第12讲 函数的概念和图象（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（苏教版必修第一册）

第12讲 函数的概念和图象（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数的概念的理解 知识点02：求函数的值域或函数值 知识点03：函数图象的理解 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：函数关系的判断 题型02：求函数值 题型03：已知函数值求自变量或参数 题型04：具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 题型05：已知函数的定义域求参数 题型06：常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型07：复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型08：判断两个函数是否相等 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数的概念的理解 概念 给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 对应 关系 y=f(x),x∈A 对应关系相同,定义域相同的两个函数就是同一个函数 定义域 集合A(自变量x的取值范围) 值域 若A是函数y=f(x)的定义域,则对于A中的每一个x(输入值),都有一个y(输出值)与之对应.我们将所有输出值y组成的集合{y|y=f(x),x∈A}称为函数的值域 温馨提示　(1)A,B是非空的实数集,定义域是数集A,函数的值域是集合B的子集. (2)应注意函数定义中的“每一个”“都有”“唯一”等关键词. (3)函数符号“y=f(x)”是一个整体,不表示y等于f与x的乘积.f(x)也不一定是解析式,还可以是图象或表格,或其他的对应关系. (4)虽然两个函数的表达形式不同,但如果其对应关系相同,定义域相同,那么这两个函数就是同一个函数. (5)给定函数时要指明函数的定义域.对于用表达式表示的函数,如果没有指明定义域,那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合. 【例1】判断下列对应是否为函数： ① ② 解：根据函数定义：任意对应唯一，逐一判定。 ① 对于，取，可得或，一个自变量对应两个函数值，属于一对多，不是函数。 ② 对于，定义域为，任意一个实数，都有唯一确定的实数与之对应，满足函数定义，是函数。 结论：①不是函数，②是函数。 【知识点02】求函数的值域或函数值 不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数,我们称之为抽象函数,其一般形式为y=f(x). 【例2】已知函数， （1）求的函数值；（2）求该函数的值域。 解：步骤1：代入求指定函数值 将代入解析式： 将代入解析式： 步骤2：配方化简函数 该函数为开口向上的二次函数，对称轴：，定义域。 步骤3：求最值确定值域 当时，函数取最小值： 当时，函数取最大值： 最终结论：；函数值域为。 【知识点03】函数图象的理解 函数y=f(x)的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,f(x))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象. 温馨提示　(1)满足函数y=f(x),x∈A的有序实数对(x,y)一定在函数y=f(x),x∈A的图象上; (2)函数y=f(x),x∈A图象上的点(x,y)一定满足y=f(x),x∈A. (3)若两个函数是同一个函数,则它们的图象完全相同. 【例3】已知函数， （1）求的函数值；（2）求该函数的值域。 解：步骤1：代入求指定函数值 将代入解析式： 将代入解析式： 步骤2：配方化简函数 该函数为开口向上的二次函数，对称轴：，定义域。 步骤3：求最值确定值域 当时，函数取最小值： 当时，函数取最大值： 最终结论：；函数值域为。 【题型01】函数关系的判断 【典例1-1】（24-25高一上·河南驻马店·期中）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）设是集合到集合的函数，如果集合，那么集合不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义，就自变量的值与函数值的对应关系易于判断. 【详解】由题意，集合到集合的函数得对应关系是：，因， 故对于A，时，可得，故A符合； 对于C，时，可得，故C符合； 对于D，时，可得，故D符合； 对于B，时，，故B不符合. 故选：B. 【变式1-2】托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，A不是； 对于B，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，B不是； 对于C，集合中的每个元素按对应关系，在集合中都有唯一元素与之对应，C是； 对于D，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，D不是. 故选：C 【变式1-3】（多选）已知集合=，集合=，下列能表示从集合到集合的函数关系的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】BD 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于选项A：显然当时，在集合中，没有与之对应的实数，故不表示从集合到集合的函数关系，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当时，任意一个，在集合中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合到集合的函数关系，所以本选项符合题意； 对于选项C：显然当时，在集合中有两个数与之对应，故不表示从集合到集合的函数关系，所以本选项不符合题意； 对于选项D：当时，任意一个，在集合中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合到集合的函数关系，所以本选项符合题意， 故选：BD 【题型02】求函数值 【典例2-1】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据函数的表达式求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：A 【变式2-1】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足，则_____. 【答案】14 【分析】令，可得，代入运算即可. 【详解】令，可得， 所以. 故答案为：14. 【变式2-2】（多选）若函数定义域为，且，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，赋值求解即可. 【详解】解：因为，， 所以，令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 故BD选项正确，AC选项错误. 故选：BD 【变式2-3】已知定义域为R的函数和，计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1)12；(2)3 【分析】根据题中函数解析式直接计算得到答案. 【详解】（1）函数，，故； （2）函数，则，， 所以 【题型03】已知函数值求自变量或参数 【典例3-1】（24-25高一上·江苏徐州·阶段检测）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 【变式3-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】令，解得， 所以， 因为，所以， 故选：B. 【变式3-2】已知函数，若，则实数的值为____________． 【答案】 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，进而可解得实数的值. 【详解】已知函数，若，则，解得. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数． (1)求，； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)4；2 (2)或． 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）根据，求解即可. 【详解】（1）由，可知， ， 所以 ． （2）函数的定义域为， 因为，即， 解得或． 故或． 【题型04】具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 【典例4-1】（24-25高一上·江苏徐州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由即可求解； 【详解】由题意可得：，得：， 所以数的定义域为， 故选：B 【变式4-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得的定义域，进而求得的定义域. 【详解】对于， 由解得， 所以的定义域为. 对于有， 解得，所以的定义域是. 故选：C 【变式4-2】（25-26高一上·江苏·期中）已知函数的定义域是，则的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，函数的定义域是， 所以对于，有， 解得，所以的定义域为. 故答案为： 【变式4-3】（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，，则函数的定义域为______. 【答案】 【分析】解法1、先求得函数的定义域为，令，进而求得函数的定义域； 解法2、根据题意求得，进而求得其定义域. 【详解】解法1：由函数，则满足，可得， 即函数的定义域为， 对于函数，令，即，解得， 即函数的定义域为. 解法2：由，， 可得， 令，解得，所以的定义域为. 故答案为：. 【题型05】已知函数的定义域求参数 【典例5-1】若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：对一切实数恒成立，分和两种情况，结合二次方程分析求解. 【分析】由题意可知：对一切实数恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数k的取值范围是. 故选：C. 【变式5-1】（多选）已知函数的定义域为，则的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得：，即时，恒成立，符合题意； 时，的定义域是，只需， 解得：，综上所述：. 故选：BCD 【变式5-2】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）若对一切实数都有意义，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】由两种情况讨论即可. 【详解】由题意可得对一切实数都有意义， 当时，成立； 当时，显然不成立， 当时，需满足，解得， 综上实数的取值范围为， 故答案为： 【变式5-3】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据题意，可得恒成立，再求解即可. 【详解】， 所以的定义域为R，即，对任意恒成立， 当时，不等式变为，符合题意； 当时，可得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型06】常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 【典例6-1】函数在的值域为_____________. 【答案】 【分析】根据不等式性质运算求解即可. 【详解】因为，则，可得， 所以在的值域为. 故答案为：. 【变式6-1】（24-25高一上·福建漳州·阶段检测）函数的值域________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 【变式6-2】作出下列函数的图象，并写出其值域． (1)； (2). 【答案】(1)图像见解析，. (2)图像见解析，. 【分析】描点，连线即可的图象，根据图象即可的值域. 【详解】（1）当时，； 当时，；当时，. 函数图象过点. 图象如下图所示．    由图可知，函数的值域为. （2）当时，；当时，； 当时，.图象如下图所示．    由图可知，函数的值域为. 【变式6-3】求下列函数的值域. (1)，. (2)，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的知识求得正确答案. （2）结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】（1）， 所以的值域为 （2）二次函数的开口向下，对称轴为， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 所以的值域为. 【题型07】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【典例7-1】（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域. 【详解】令，可得，即， 所以， 因为函数在上为增函数，故， 即函数的值域为. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）函数的值域是_________． 【答案】 【分析】利用基本不等式直接可得函数的最小值，进而可得值域. 【详解】因为，所以. 所以 ， 当且仅当，即时等号成立.. 当时，，所以函数的值域为. 故答案为：. 【变式7-2】求下列函数的值域： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合基本不等式得出值域； （2）由换元法结合二次函数的性质得出值域. 【详解】（1）解：，故. 当且仅当时“”成立，值域为. （2）设, 则. ， 对称轴为，由二次函数的性质可知，故值域为. 【变式7-3】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）方法一：通过变量分离可得 因为，由于，即可得出值域．方法二：函数可化为由可得出值域． （2）化简可得，借助二次函数即可得出结果. （3）令，，借助二次函数即可得出结果. （4）令,方法一：函数可化为，方程式有解，利用判别式计算即可得出结果.方法二： 令，化简可得，当时，；当时，，借助基本不等式化简计算可得结果. 【详解】（1）方法一  因为，且，所以，所以原函数的值域为． 方法二 令，则， 所以原函数的值域为． （2）因为， 所以， 所以原函数的值域为． （3）设，则且， 得． 因为，所以，即， 所以原函数的值域为． （4）方法一 令，因为， 所以关于x的方程有解，则当，即时，； 当时，， 整理得，解得或． 综上，原函数的值域为． 方法二 令，则， 当时，； 当时，， 当时，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以， 当时，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以． 综上，原函数的值域为． 【题型08】判断两个函数是否相等 【典例8-1】（25-26高一上·广东汕头·期中）与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相同函数的概念逐项分析可得. 【详解】函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以A不正确； 对于B，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以B不正确； 对于C，函数的定义域为，且对应关系相同，所以与函数是同一函数，所以C正确； 对于D，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以D不正确. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高一上·江苏·阶段检测）下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的三要素逐一判断即可. 【详解】因为，， A，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数； B，因为的定义域，与的定义域相同，且，与的对应关系相同，表示同一函数； C，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数； D，因为的定义域，与的定义域相同，但，与的对应关系不同，不是同一函数. 故选：B 【变式8-2】（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）下列函数为同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数. 【详解】对于A，的定义域为，且， 的定义域为，且，则两函数为同一函数，故A正确； 对于B，，由得，故的定义域为， ，由得或，故的定义域为， 则两函数不为同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为，解得， 的定义域为，解得， 故两个函数的定义域均为，且， 则两函数为同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为R，的定义域为R，且对应法则相同，值域也相同， 则两函数为同一函数，故D正确. 故选：ACD 【变式8-3】试判断下列各组函数是否表示同一个函数． （1）与； （2）与； （3）与 ； （4），与，. 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）是；（4）不是. 【分析】（1）求两个函数的定义域即可求解； （2）根据两个函数的对应关系即可求解； （3）求两个函数的定义域和对应关系即可求解； （4）根据两个函数的对应关系即可求解； 【详解】（1）函数，定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以它们不是同一个函数； （2）因为，，对应关系不同，所以它们不是同一个函数． （3）因为定义域为， ，两个函数的对应关系、定义域均相同，所以它们是同一个函数； （4）因为，，，，两个函数的对应关系不同，所以它们不是同一个函数． 知识点01函数的概念（核心定义） 1. 函数严格定义 设为两个非空实数集，如果按照某一确定的对应关系，对于集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与之对应，则称为集合上的函数。 函数记法： 2. 函数三要素（必考） 定义域：自变量的取值集合； 对应关系：，是函数的核心本质； 值域：全体函数值构成的集合 。 两函数相等的充要条件：定义域相同、对应关系完全相同（值域自动相同）。 3. 函数判定规则 允许：一对一、多对一（属于函数） 禁止：一对多（不属于函数） 知识点02函数值与值域 1. 函数值定义 若，代入解析式得到的数值 称为处的函数值。 2. 值域核心性质 值域由定义域和对应关系唯一确定，脱离定义域求值域无意义。 3. 必修一常用求值域方法 （1）观察法：适用于简单一次、反比例型函数； （2）代入法：有限定义域、离散定义域； （3）配方法：闭区间上二次函数 ； （4）单调性法：利用增减性求区间最值，进而得值域。 知识点03函数的图象 1. 图象定义 函数的图象：所有坐标点 （）组成的图形。 2. 函数图象判定法则（竖线法则） 任意直线 与图形最多只有一个交点，满足则为函数图象，否则不是函数图象。 3. 图象的作用 直观读取定义域、值域、单调区间、最值、特殊点、增减变化趋势。 知识点04本节必背公式与结论 1. 函数通用形式： 2. 值域集合形式： 3. 函数判定核心：任取一个x，仅有唯一y对应 知识点05高频易错点总结 1. 解析式相同、定义域不同，不是同一个函数； 2. 一类式子为一对多，不是函数； 3. 求值域必须先看定义域，定义域改变，值域一定改变； 4. 图象判断优先使用竖线法，杜绝一对多对应。 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】应用赋值法计算求解. 【详解】因为，令，则. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【分析】根据给定条件，代入计算即可得解. 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 3．（25-26高一上·江苏常州·期中）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，函数的定义域、值域均为R，A不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为R，B不是同一函数； 对于C，函数与的定义域均为，且，C是同一函数； 对于D，函数的定义域、值域均为R，的定义域为R，值域为，D不是同一函数. 故选：C 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式和根式有意义列不等式组求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：C 5．（25-26高一上·贵州遵义·期末）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A，，与的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数，A错误； 对于B，，与的对应关系不同，不是同一函数，B错误； 对于C，，与的定义域不同，不是同一函数，C错误； 对于D，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，D正确． 故选：D． 6．（25-26高一上·江苏无锡·期中）下列各组函数表示相同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据相同函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项中两个函数是否为相同函数即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，不是相同函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是相同函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，不是相同函数，故C错误； 对于D，， 因为，所以，定义域为， 的定义域为，是相同函数，故D正确. 故选：D 7．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】时直接代入；时利用可得答案． 【详解】因为函数的定义域为， 所以关于的方程无实数解， 当时，显然无解，符合题意； 当时，则，解得． 综上可得． 故选：D． 8．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A．[2，4] B． C． D． 【答案】C 【分析】将解析式去绝对值写成分段函数，画出图像，分段令解方程，结合图像求得实数的取值范围. 【详解】 ，图象如下：    令，解得， 令 ，解得， 由图象可知m的取值范围为． 故答案为：． 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）下列各组函数不是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D． 【答案】ABC 【分析】根据函数的三要素逐一判断即可. 【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，故A符合题意； B选项，的定义域为，的定义域为，故B符合题意； C选项，的定义域为，的定义域为，故C符合题意； D选项，、的定义域均为，且，故D不符合题意. 故选：ABC 10．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案. 【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确； 对于B，由可得，即的值域为，错误； 对于C，函数与函数的图象关于y轴对称， 故函数的值域与函数的值域相同，为，正确； 对于D，由可得，即的值域为，错误. 故选：AC 11．定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用赋值法逐项求解判断即可. 【详解】令，得，因为， 所以，即，故A正确； 令，得，即， 所以，所以，故B错误； ，， 所以，故C错误； ，， ，， 所以，故D正确. 故选：AD 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏盐城·期末）函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知，则_________． 【答案】5 【分析】先求出当时的值，然后将值代入到中，得到的值. 【详解】令，得到. 将代入中，即. 故答案为：5. 14．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 【答案】 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【详解】由于恒成立，所以原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， 所以函数的值域为 故答案为： 四、解答题 15．已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】 【分析】抽象函数定义域求解注意两点，一是定义域为的取值范围，二是同一个函数符号下，括号内的取值范围一致. 【详解】由题意得，解得， 故的定义域为. 16．（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【详解】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 17．已知函数. (1)求； (2)判断是否为定值，并求出 的值. 【答案】(1)3； (2)6067.5. 【分析】（1）根据给定的函数，代入计算即得. （2）先求出是定值3，再借助此定值及规律，利用加法运算律求值即得. 【详解】（1）函数，则，， 所以. （2）依题意，， 所以是定值3， . 18．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解； （2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解； 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； 19.已知函数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 【答案】(1)且 (2)， (3) 【分析】（1）根据函数定义域的求法求得正确答案. （2）根据函数的解析式求得正确答案. （3）根据已知条件解方程来求得. 【详解】（1）由解析式知：，可得且， 故定义域为且， （2）， . （3）由，， 所以，显然在定义域内， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 函数的概念和图象（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数的概念的理解 知识点02：求函数的值域或函数值 知识点03：函数图象的理解 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：函数关系的判断 题型02：求函数值 题型03：已知函数值求自变量或参数 题型04：具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 题型05：已知函数的定义域求参数 题型06：常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型07：复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型08：判断两个函数是否相等 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数的概念的理解 概念 给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 对应 关系 y=f(x),x∈A 对应关系相同,定义域相同的两个函数就是同一个函数 定义域 集合A(自变量x的取值范围) 值域 若A是函数y=f(x)的定义域,则对于A中的每一个x(输入值),都有一个y(输出值)与之对应.我们将所有输出值y组成的集合{y|y=f(x),x∈A}称为函数的值域 温馨提示　(1)A,B是非空的实数集,定义域是数集A,函数的值域是集合B的子集. (2)应注意函数定义中的“每一个”“都有”“唯一”等关键词. (3)函数符号“y=f(x)”是一个整体,不表示y等于f与x的乘积.f(x)也不一定是解析式,还可以是图象或表格,或其他的对应关系. (4)虽然两个函数的表达形式不同,但如果其对应关系相同,定义域相同,那么这两个函数就是同一个函数. (5)给定函数时要指明函数的定义域.对于用表达式表示的函数,如果没有指明定义域,那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合. 【例1】判断下列对应是否为函数： ① ② 【知识点02】求函数的值域或函数值 不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数,我们称之为抽象函数,其一般形式为y=f(x). 【例2】已知函数， （1）求的函数值；（2）求该函数的值域。 【知识点03】函数图象的理解 函数y=f(x)的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,f(x))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象. 温馨提示　(1)满足函数y=f(x),x∈A的有序实数对(x,y)一定在函数y=f(x),x∈A的图象上; (2)函数y=f(x),x∈A图象上的点(x,y)一定满足y=f(x),x∈A. (3)若两个函数是同一个函数,则它们的图象完全相同. 【例3】已知函数， （1）求的函数值；（2）求该函数的值域。 【题型01】函数关系的判断 【典例1-1】（24-25高一上·河南驻马店·期中）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A．B．C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）设是集合到集合的函数，如果集合，那么集合不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）已知集合=，集合=，下列能表示从集合到集合的函数关系的是（    ） A．   B．     C．   D．   【题型02】求函数值 【典例2-1】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，则（   ） A． B． C． D．4 【变式2-1】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足，则_____. 【变式2-2】（多选）若函数定义域为，且，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知定义域为R的函数和，计算下列各式： (1)； (2) 【题型03】已知函数值求自变量或参数 【典例3-1】（24-25高一上·江苏徐州·阶段检测）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式3-2】已知函数，若，则实数的值为____________． 【变式3-3】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数． (1)求，； (2)若，求实数的值． 【题型04】具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 【典例4-1】（24-25高一上·江苏徐州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·江苏·期中）已知函数的定义域是，则的定义域为__________. 【变式4-3】（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，，则函数的定义域为______. 【题型05】已知函数的定义域求参数 【典例5-1】若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选）已知函数的定义域为，则的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-2】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）若对一切实数都有意义，则实数的取值范围为___________. 【变式5-3】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围为__________. 【题型06】常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 【典例6-1】函数在的值域为_____________. 【变式6-1】（24-25高一上·福建漳州·阶段检测）函数的值域________． 【变式6-2】作出下列函数的图象，并写出其值域． (1)； (2). 【变式6-3】求下列函数的值域. (1)，. (2)，. 【题型07】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【典例7-1】（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）函数的值域是_________． 【变式7-2】求下列函数的值域： (1) (2) 【变式7-3】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． (4)． 【题型08】判断两个函数是否相等 【典例8-1】（25-26高一上·广东汕头·期中）与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·江苏·阶段检测）下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）下列函数为同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-3】试判断下列各组函数是否表示同一个函数． （1）与； （2）与； （3）与 ； （4），与，. 知识点01函数的概念（核心定义） 1. 函数严格定义 设为两个非空实数集，如果按照某一确定的对应关系，对于集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与之对应，则称为集合上的函数。 函数记法： 2. 函数三要素（必考） 定义域：自变量的取值集合； 对应关系：，是函数的核心本质； 值域：全体函数值构成的集合 。 两函数相等的充要条件：定义域相同、对应关系完全相同（值域自动相同）。 3. 函数判定规则 允许：一对一、多对一（属于函数） 禁止：一对多（不属于函数） 知识点02函数值与值域 1. 函数值定义 若，代入解析式得到的数值 称为处的函数值。 2. 值域核心性质 值域由定义域和对应关系唯一确定，脱离定义域求值域无意义。 3. 必修一常用求值域方法 （1）观察法：适用于简单一次、反比例型函数； （2）代入法：有限定义域、离散定义域； （3）配方法：闭区间上二次函数 ； （4）单调性法：利用增减性求区间最值，进而得值域。 知识点03函数的图象 1. 图象定义 函数的图象：所有坐标点 （）组成的图形。 2. 函数图象判定法则（竖线法则） 任意直线 与图形最多只有一个交点，满足则为函数图象，否则不是函数图象。 3. 图象的作用 直观读取定义域、值域、单调区间、最值、特殊点、增减变化趋势。 知识点04本节必背公式与结论 1. 函数通用形式： 2. 值域集合形式： 3. 函数判定核心：任取一个x，仅有唯一y对应 知识点05高频易错点总结 1. 解析式相同、定义域不同，不是同一个函数； 2. 一类式子为一对多，不是函数； 3. 求值域必须先看定义域，定义域改变，值域一定改变； 4. 图象判断优先使用竖线法，杜绝一对多对应。 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C．3 D． 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 3．（25-26高一上·江苏常州·期中）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·贵州遵义·期末）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（25-26高一上·江苏无锡·期中）下列各组函数表示相同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A．[2，4] B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）下列各组函数不是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D． 10．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 11．定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏盐城·期末）函数的定义域为___________． 13．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知，则_________． 14．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 四、解答题 15．已知函数的定义域为，求函数的定义域． 16．（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 17．已知函数. (1)求； (2)判断是否为定值，并求出 的值. 18．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 19.已知函数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $