第10讲 指数（知识详解+4典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（苏教版必修第一册）

第10讲 指数（知识详解+4典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：n次方根、根式的概念 知识点02：根式的运算性质 知识点03：分数指数幂 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：根式的化简求值 题型02：指数幂的运算 题型03：分数指数幂与根式的互化 题型04：指数幂的化简、求值 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】n次方根、根式的概念 1.a的n次方根的定义 一般地,如果xn=a(n>1,n∈N*),那么称x为a的n次方根. 2.a的n次方根的表示(n>1,n∈N*) n的奇偶性 a的n次方根 的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0,+∞) 3.根式:式子叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数. 【例1】化简求值： 解：步骤1：拆分两个根式分别化简 对于 ：根指数 是奇数，根据根式性质 ， 可得：。 对于 ：根指数 是偶数，根据根式性质 ， 可得：。 步骤2：合并计算结果 最终答案： 【知识点02】根式的运算性质 根式的性质(n>1,且n∈N*): (1)当n为奇数时,=a; 当n为偶数时,=|a|= (2)()n=a. 温馨提示　(1)对于()n=a,若n为奇数,则a∈R;若n为偶数,则a≥0. (2)()n与意义不同,比如=-3,=3,而()4没有意义,故()n≠. (3)当a≥0时,()n=;当a<0且n为奇数时,()n=;当a<0且n为偶数时,()n没有意义. 【例2】利用根式运算性质化简： 解：步骤1：利用积的根式性质合并根式 由 得： 步骤2：化简被开方数 原式化简为：. 步骤3：计算最终结果 最终答案： 【知识点03】分数指数幂 分数指数幂的意义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义:=(a>0,m,n∈N*,n>1); (2)规定正数的负分数指数幂的意义:=(a>0,m,n∈N*,n>1); (3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 温馨提示　(1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数. (3)分数指数幂中,规定底数a>0,因为当a=0时,a0及a的负分数指数幂没有意义;当a<0时,若n为偶数,m为奇数,则,无意义.因此这样规定就省去了不必要的讨论,便于学习和应用. 【例3】计算 的值 解：步骤1：拆分式子，分别计算两项 计算 ： 根据分数指数幂公式 ，得 因为 ，代入得： 计算： 根据负分数指数幂公式，得 ，因此 步骤2：合并运算 最终答案： 【题型01】根式的化简求值 【典例1-1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）在实数范围内，的四次方根为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用4次方根的意义列式计算. 【详解】在实数范围内，的四次方根为. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高一上·江苏泰州·开学考试）化简：（1）；          （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由于，所以直接开方可得结果； （2）由于，所以直接开方化简即可 【详解】（1）原式 ． （2）原式= ， ∵，∴，所以，原式＝． 【点睛】此题考查了二次根式的化简，属于中档题. 【变式1-3】求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据根式的运算性质化简可得结果； （2）将每个二次根式的被开方数表示为完全平方的形式，利用根式的运算性质化简可得结果. 【详解】（1）； （2）原式. 【点睛】本题考查根式的化简计算，考查计算能力，属于基础题. 【题型02】指数幂的运算 【典例2-1】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂运算法则直接求解即可. 【详解】，，.故选：D 【变式2-1】（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则计算得解. 【详解】. 故选：B 【变式2-2】（24-25高一上·山西太原·期中）计算下列各式的值 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】利用指数幂的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）. 【变式2-3】化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）（2）利用指数运算法则计算得解. 【详解】（1）. （2）. 【题型03】分数指数幂与根式的互化 【典例3-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式与分数指数幂的互化可得出结果. 【详解】当时，则. 故选：B. 【变式3-1】（多选）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据根式和分式指数幂的关系进行转化即可. 【详解】对于A，，左边，右边，故A错误； 对于B，，当时，，故B错误； 对于C，由分式指数幂可得，则，故C正确； 对于D，，故D错误. ∴不正确的是A、B、D. 故选：ABD. 【点睛】本题为基础题，考查负指数分数指数幂与根式的转化运算. 【变式3-2】已知，化简：=____．（用分数指数幂表示） 【答案】/ 【分析】将根式化为分数指数幂，再进行相关计算. 【详解】. 故答案为： 【变式3-3】用分数指数幂的形式表示下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】利用分数指数幂的定义将根式化为分数指数幂 【详解】（1） （2） （3） （4）由于，即，故 （5） （6） 【题型04】指数幂的化简、求值 【典例4-1】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 故选：C 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 【变式4-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是______. 【答案】 【分析】根据的关系先求解出的值，由此可求的值. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）7；（2）. 【分析】（1）利用指数运算性质求出的值. （2）逆用指数运算法则，代入计算得解. 【详解】（1）由，得. （2）由，得. 知识点01 n次方根、根式 核心梳理 1. 基本定义 若 （），则称 为 的 n次方根。 式子 叫做根式， 为根指数， 为被开方数。 2. n次方根存在规律（必考） ① n 为奇数：任意实数 有且仅有一个 n 次方根 ； ② n 为偶数：正数有两个互为相反数的次方根 ；负数没有偶次方根；0 的偶次方根为 0。 3. 根式两大核心恒等式 关键：偶数开方必须加绝对值，奇数开方直接去根号。 知识点02 根式的运算性质 核心梳理 1. 适用前提 所有根式四则运算性质，默认要求：，。 2. 三大基础运算公式 ① 积根式： ② 商根式： ③ 叠根式化简： 3. 性质作用 用于根式拆分、合并、降次化简，将复杂根式化为最简根式，是根式转指数幂的前置基础。 知识点03 分数指数幂 核心梳理 1. 根式与分数指数幂互化公式（核心） 设 ： ① 正分数指数幂： ② 负分数指数幂： ③ 特殊规定：0 的正分数指数幂为 0，0 的负分数指数幂无意义。 2. 有理数指数幂通用运算性质 设 ， 为有理数： ① ② ③ 3. 知识意义 分数指数幂实现了根式运算 → 指数幂运算的转化，把复杂开方运算转化为简单的指数加减、乘方运算，是高中指数运算的核心工具。 知识点04本节高频易错点总结 易错点1：偶数次根式化简 忘记加绝对值，直接等于 ，导致符号错误。 易错点2：对负数开偶次方，出现无意义运算，忽略“负数无偶次方根”。 易错点3：根式运算性质随意用于负数，不满足 前提，公式失效。 易错点4：负分数指数幂混淆倒数关系，直接去掉负号，忘记取倒数。 易错点5：混淆 与 的区别，二者并不恒等。 一、单选题 1．化简 (a>0)等于（    ） A．6a B．－a C．－9a D．9a2 【答案】C 【分析】根据指数运算法则进行运算. 【详解】 故选：C 2．下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 3．（24-25高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 4．若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用进行求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 5．已知，则等于（    ） A．6 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】对两边同时平方，即可得出答案. 【详解】由可得：， 则. 故选：C. 6．（24-25高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案. 【详解】将两边平方，得，即， 所以. 故选：A. 7．（25-26高一上·江苏南通·期中）若，则化简=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算可得答案. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A. 8．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏苏州·期中）设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分别根据幂的运算法则，逐项进行判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：BC 10．已知，则下列选项中正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，对两边平方可得结果； B选项，先计算，开方即可； C选项，先计算，再结合，开方求出答案； D选项，使用立方和即可求解. 【详解】两边平方得：， 所以，A正确； ， 因为的大小不确定，所以，B正确； ， 因为，所以，C错误； 由立方和公式可得： ， D正确. 故选：ABD 11．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂的运算结合完全平方公式，立方和公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，由，得，化简得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，由A，，所以，所以，故C错误； 对于D，由， 由B，，，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段检测）若，则______. 【答案】 【分析】根据题意结合根式的运算求解即可. 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 13．（25-26高一上·江苏无锡·期中）___________． 【答案】 【分析】利用指数的运算法则计算即可. 【详解】由 . 故答案为： 14．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【分析】根据实数指数幂运算法则进行计算即可. 【详解】原式． 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由指数幂的运算性质化简求解即可； （2）给两边同时平方即可求出，再两边同时平方可得，然后求解即可. 【详解】（1）原式= . （2）因为，所以两边同时平方得：， 所以，两边再平方得：， 故， 所以. 16．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）100；（2）. 【分析】（1）由指数的运算性质即可计算求解； （2）由平方和公式和立方和公式即可计算求解. 【详解】（1）原式. （2）对两边平方得，所以， 再对两边平方得，所以 所以， 则. 17．（24-25高一上·江苏连云港·阶段检测）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化化简； （2）根据实数指数幂的运算法则化简； （3）由根式与分数指数幂的转化及实数指数幂运算法则化简. 【详解】（1）; （2）； （3）. 18．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；② 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 19．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将条件式子进行平方； （2）将（1）中式子进行平方得出； （3）将进行平方，计算即可. 【详解】（1）因为， 所以，得； （2）因为， 所以，则； （3）因为， 所以， 则 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 指数（知识详解+4典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：n次方根、根式的概念 知识点02：根式的运算性质 知识点03：分数指数幂 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：根式的化简求值 题型02：指数幂的运算 题型03：分数指数幂与根式的互化 题型04：指数幂的化简、求值 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】n次方根、根式的概念 1.a的n次方根的定义 一般地,如果xn=a(n>1,n∈N*),那么称x为a的n次方根. 2.a的n次方根的表示(n>1,n∈N*) n的奇偶性 a的n次方根 的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0,+∞) 3.根式:式子叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数. 【例1】化简求值： 【知识点02】根式的运算性质 根式的性质(n>1,且n∈N*): (1)当n为奇数时,=a; 当n为偶数时,=|a|= (2)()n=a. 温馨提示　(1)对于()n=a,若n为奇数,则a∈R;若n为偶数,则a≥0. (2)()n与意义不同,比如=-3,=3,而()4没有意义,故()n≠. (3)当a≥0时,()n=;当a<0且n为奇数时,()n=;当a<0且n为偶数时,()n没有意义. 【例2】利用根式运算性质化简： 【知识点03】分数指数幂 分数指数幂的意义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义:=(a>0,m,n∈N*,n>1); (2)规定正数的负分数指数幂的意义:=(a>0,m,n∈N*,n>1); (3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 温馨提示　(1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数. (3)分数指数幂中,规定底数a>0,因为当a=0时,a0及a的负分数指数幂没有意义;当a<0时,若n为偶数,m为奇数,则,无意义.因此这样规定就省去了不必要的讨论,便于学习和应用. 【例3】计算 的值 【题型01】根式的化简求值 【典例1-1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）在实数范围内，的四次方根为__________. 【变式1-2】（24-25高一上·江苏泰州·开学考试）化简：（1）；          （2）． 【变式1-3】求下列各式的值： （1）； （2）. 【题型02】指数幂的运算 【典例2-1】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）的值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·山西太原·期中）计算下列各式的值 (1)； (2). 【变式2-3】化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)． 【题型03】分数指数幂与根式的互化 【典例3-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，化简：=____．（用分数指数幂表示） 【变式3-3】用分数指数幂的形式表示下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型04】指数幂的化简、求值 【典例4-1】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是______. 【变式4-3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 知识点01 n次方根、根式 核心梳理 1. 基本定义 若 （），则称 为 的 n次方根。 式子 叫做根式， 为根指数， 为被开方数。 2. n次方根存在规律（必考） ① n 为奇数：任意实数 有且仅有一个 n 次方根 ； ② n 为偶数：正数有两个互为相反数的次方根 ；负数没有偶次方根；0 的偶次方根为 0。 3. 根式两大核心恒等式 关键：偶数开方必须加绝对值，奇数开方直接去根号。 知识点02 根式的运算性质 核心梳理 1. 适用前提 所有根式四则运算性质，默认要求：，。 2. 三大基础运算公式 ① 积根式： ② 商根式： ③ 叠根式化简： 3. 性质作用 用于根式拆分、合并、降次化简，将复杂根式化为最简根式，是根式转指数幂的前置基础。 知识点03 分数指数幂 核心梳理 1. 根式与分数指数幂互化公式（核心） 设 ： ① 正分数指数幂： ② 负分数指数幂： ③ 特殊规定：0 的正分数指数幂为 0，0 的负分数指数幂无意义。 2. 有理数指数幂通用运算性质 设 ， 为有理数： ① ② ③ 3. 知识意义 分数指数幂实现了根式运算 → 指数幂运算的转化，把复杂开方运算转化为简单的指数加减、乘方运算，是高中指数运算的核心工具。 知识点04本节高频易错点总结 易错点1：偶数次根式化简 忘记加绝对值，直接等于 ，导致符号错误。 易错点2：对负数开偶次方，出现无意义运算，忽略“负数无偶次方根”。 易错点3：根式运算性质随意用于负数，不满足 前提，公式失效。 易错点4：负分数指数幂混淆倒数关系，直接去掉负号，忘记取倒数。 易错点5：混淆 与 的区别，二者并不恒等。 一、单选题 1．化简 (a>0)等于（    ） A．6a B．－a C．－9a D．9a2 2．下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 5．已知，则等于（    ） A．6 B．12 C．14 D．16 6．（24-25高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏南通·期中）若，则化简=（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏苏州·期中）设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（   ） A． B． C． D． 10．已知，则下列选项中正确的有（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段检测）若，则______. 13．（25-26高一上·江苏无锡·期中）___________． 14．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）计算：___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，求的值. 16．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，求的值． 17．（24-25高一上·江苏连云港·阶段检测）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 18．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 19．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 1 学科网（北京）股份有限公司 $