专题14 解答题第25题（代几综合题，压轴题）（上海专用）2026年中考数学二模分类汇编

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题14解答题25题（代几综合题，压轴题） 一、解答题 1.(25-26九年级下·上海长宁期中)已知线段AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上的一点. D C ●0 B B (图1) (图2) (图3) (I)连接AC、BC,如图1，如果AC=BC,∠C=45°，且AB=4√2，求⊙O的半径长； (2)当圆心0O在线段AB上时. ①如图2，已知点D在⊙O上，满足DA=DC,且S.ADc=S。ACB,如果BC=2,求AC的长， ②如图3，已知点E在线段AB上，满足AE:BE=2:3,如果沿着弦BC翻折⊙O后的弧线恰好经过点E,求 tan ZABC的值. 【答案】(1)4 2042:② 【分析】(1)连接OA、OB,根据圆周角定理得到∠A0B=2∠C,进而得到AOB是等腰直角三角形，利 用勾股定理求解即可： (2)①连接0D,根据垂径定理得到OD14C、AP=CF-)AB,由三角形中位线的性质得到OF=BC ,根据圆周角定理得到LACB=90°，利用S。4Dc=S。AcB求出DF长，进而求出DO长，在RtOFA中，根据 勾股定理求出AF长，利用AC=2AF求解即可； ②过点E作EG⊥BC交⊙O于点E,连接AE、BE'、OE'、AC,设AE=4m、BE=6m,则AB=10m, 由翻折的性质得：BE'=BE=6m、∠ABC=∠E'BC、E'G=EG,证明△AMC∽△E'MG,则 AMACAC ,再证明△ABC∽aEBG,进而得到AM=5m、E'M=3m,证明△ACM∽△BCA,得到 E'M E'G EG AC AM BC AB ，据此解答即可。 【详解】(1)解：如图，连接OA、OB, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0A=0B、∠A0B=2LC=2×45°=90°， B (图1) :△AOB是等腰直角三角形， 在RtAAOB中，OA2+OB2=AB2, 2042=(4W2, 解得0A=4或0A=-4(舍去)， ⊙0的半径长为4： (2)①解：如图，连接OD, D F B:AD=DC、OD是O0的半径， (图2) .OD⊥AC、 AF-CF-LAB. 2 :点F是AC的中点， ∴OF是ABC的中位线， .OF-BC-1x2-1. 2 :AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， S.ADC S.ACB, XACX DF-XACxBC :DF=BC=2, A0=D0=DF+0F=2+1=3, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rta0FA中，由勾股定理得：AF=√A02-F02=V32-12=2V2, AC=2AF=2×2√2=42； ②解：如图，过点E作EG⊥BC交⊙O于点E,连接AE'、BE'、OE'、AC,设AE'交BC于点M, E B:∠E'GC=90°， (图3) AE:BE=2:3, 设AE=4m、BE=6m,则AB=AE+BE=4m+6m=10m, 由翻折的性质得：BE'=BE=6m、∠ABC=∠E'BC、E'G=EG, :AB是⊙O的直径， ∠ACB=LAE'B=90°， 在Rt△ABE'中，由勾股定理得：AE'=√AB2-BE2=V10m)2-(6m)2=8m, :∠ACB=∠E'GC=90°、∠AMC=∠E'MG, △AMC∽△E'MG, .AM-AC AC E'M E'G EG :∠ACB=∠EGB、∠CBA=∠GBA, ∴.△ABCm△EBG, AC AB 10m 5 EG EB6m3' AM AC 5 E'M EG3' ÷AM=5m、E'M=3m, :∠CAM=∠E'BM,∠ABC=∠E'BC, :∠CAM=∠ABC, :∠ACM=∠BCA, △ACM∽△BCA, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC AM 5m 1 BC AB 10m2 在Rt△ACB中，tan∠ABC= AC 1 BCZ' 【点晴】本题考查圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、 翻折的性质，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键。 2.(25-26九年级下·上海嘉定·期中)如图，己知⊙O的直径AB=6,射线AC与⊙O相切于点A,0P半径 为1，圆心P在射线AC上运动（点P不与点A重合），连接OP,交⊙O于点D,过点B作OP的平行线， 交⊙O于点E,交射线AC于点F. (I)求证：AD=DE; (2)令AP=x,BE=y,请求出y关于x的函数解析式（不用写出定义域）： (3)连接ED并延长，交AC于点G,当PD=PG时，求OP与⊙O的位置关系. 【答案】(1)见解析 (2)y=18F2+9 x2+9 (3)0P与⊙O相离 【分析】(1)连接，根据OE=OB,可得∠B=∠OEB,再结合OP∥BF,可得∠AOD=∠DOE,即可求证： (2过点0作O01BE于点Q,则B0BE=方，可得osB=船-名，再由切线的性质可得O41AP OB 6 从面得写OPF9,可存os100-8部-)我箱400：B,即可求解 (3)连接PE,OE,证明aAOP≌aEOP(SAS),可得LOEP=LOAP=90°，结合PD=PG,可得到 ∠PGD=∠OED,从而得到AP∥OE,可证明四边形AOEP是正方形，从而得到OP=3√2，即可求解 【详解】(1)证明：如图，连接OE, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OE =0B, .∠B=∠OEB, :OP∥BF, ∠B=∠AOD,∠OEB=∠DOE, .∠AOD=∠DOE, AD=DE; (2)解：过点0作001BE于点Q,则B0-E= 连接口PE,OE口， (3) E B :0P=0P,∠A0D=∠D0E,0A=0E, △AOP≌EOP(SAS, ∠0EP=∠0AP=90°， .PD=PG, LPDG=∠PGD, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0D=0E, ∠OED=∠ODE, :∠ODE=∠PDG, ∠PGD=LOED, AP∥OE, ∠A0E+∠0AP=180°， ∠A0E=90°， :四边形AOEP是矩形， :0A=0E, :四边形AOEP是正方形， 0A=AP=3, 0P=VAP2+0A2=3V2, :⊙0的半径为3,0P半径为1，且3√2>3+1=4， :0P与⊙O相离. 3.(25-26九年级下·上海杨浦·期中)综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科.通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形， 还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动. 【操作探究】 (1)小创小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中∠ABG=°，并写出求 解过程； D D B 图1正方形ABCD 图2对折正方形ABCD图3将点A折至EF上点H (2)小智小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕BE、BG与折痕AC的交点分别是H、 Q,经过多次操作和测量，发现线段HQ与EG的比值是一个定值，请你帮助小智小组求出 H№的值： GE 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B 图4正方形ABCD 图5对折正方形ABCD 图6将AB折至EF 图7将BC折至EF 【尝试应用】 (3)如图7，设正方形ABCD的边长为1，AE=m,求 的值（用含m的代数式表示）. HO 【答案】(1)30 (2)№V2 GE 2 ③9=1+m Qc 1-m2 【分析】(1)利用折叠的性质求得。ABH是等边三角形，据此求解即可； (2)连接GH,BD,证明RtAGFB≌RtAGCB(HL),求得∠FBG=∠CBG,LBGF=∠BGC,证明 △BQH∽△CQG和△HQG∽△BQC,推出aBHG是等腰直角三角形，再证明△BHQ∽△BGE,据此计算即 可求解， 图)证明△BDBA00B、AAEACBH分别求春CQ2pEE-m,CHeB ,据此求 1+m 解即可 【详解】(1)解：连接AH, G E H C 由折叠的性质得AB=HB,∠ABG=∠HBG,EF是AB的垂直平分线， .HA=HB, .HA=HB AB, “△ABH是等边三角形， ∠ABG= 2∠ABH=30°， (2)解：连接GH,BD, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D G B :正方形ABCD, .AB=BC,∠ABC=∠ADC=90°，∠ACB=∠ACD=∠BDC=45°， 由折叠的性质得AB=BF,∠ABE=∠FBE,∠EAB=LEFB=90°， BC=BF,LGFB=∠GCB=90°， .BG=BG, :RtAGFB≌Rt△GCB(HL), .∠FBG=∠CBG,∠BGF=∠BGC, ∠EBG=∠EBF+∠GBF=ABF+CBF)=45, ∠HBQ=∠GCQ=45°， :∠BQH=∠CQG, .△BQH∽△CQG, ∠BHQ=∠BGC=∠BGE, H_B9,即 oGo GO CO BO CO :∠HQG=∠BQC, △HQG∽△BQC, .∠HGB=∠ACB=45°， .∠HBG=∠HGB=45°， ∴LBHG=90°，△BHG是等腰直角三角形， ∠EHG=180°-90°=90°，BG=V2BH, :∠HBQ=∠GBE=45°，∠BHQ=∠BGE, △BHQ∽△BGE, H№_BH=2 GE BG 2 (3)解：连接BD, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G :正方形ABCD的边长为1，AE=m, AD∥BC,DE=1-m,AC=BD=√2， :∠EBG=LDBC=45°， .∠EBD=∠QBC=45°-∠DBG, :∠EDB=∠QCB=45°， △EDB∽△QCB, DE_BD= CO BC co-DEm). 2 :AD∥BC, .△AEH∽△CBH, BcCH,即"=2-CH AE AH 1 CH :CHs② 1+m 22 .HO=CH-CO=- (1-m, 1+m2 2 H=1+m 1-m 2 1+m2 OC 1-m2 4.(2026上海青浦二模)己知ABC中，AC=BC=5,AB=2V5,点D是射线CB上一点，连接AD, 圆O经过A、B、D三点 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点D在线段BC上时， ①记圆O交AC于点F,求证：AF=BD; 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ②设CD=m,用m表示圆O的半径； (2)如图2，在线段AD的右侧，以AD为底边作等腰△EAD,且始终满足∠EAD=∠BAC.若以C为圆心， CE为半径的圆C与圆O有公共点，请直接写出线段CD的取值范围. 【答案】(1)①见详解：②V5m2-30m+125 4 (2)0≤m≤3 【分析】(1)①根据同弧所对的圆周角相等即可求解： ②由外接圆的圆心是中垂线的交点可知0在中垂线上，进而可知m∠8CH弓，根据正切值可得OG=5+” 4 ,进而根据勾股定理即可求解； (2)证明△48D~s1CE,可得点E的运动轨迹为直线CE,根据相似三角形的性质可知OC-55+m叫， CE= 55-m,当OC≤CE+0D,CE为半径的圆C与圆0有公共点，列不等式即可求解， 2 【详解】(1)①证明：连接BF,DF ABC中，AC=BC=5, B D .∠BAC=∠ABC, :在圆O中，DF=DF, 根据圆周角定理可知，∠DBF=∠DAF, ∠BAD=∠ABF, .AF BD: ②解：：圆O是△ABD的外接圆， 所以O是三边中垂线的交点， 如图，取AB的中点H,连接CH,取BD的中点G,连接OG, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H B D CH⊥AB,OG⊥BC, AC=BC=5,AB=25, ÷BH=AB=5, 2 CH=VBC2-BH=2√5， BH5 1 tan∠BCH= H252' CD =m, .BD 5-m, GD=BG=5-m CG=CD+GD=5+m 2 tan∠BCH= 0G1 CG 2' :0G=5+m.1_5+m 224 OB=BG2+0G2 V5m2-30m+125 则圆0的半径为： V5m2-30m+125 (2)解：由题意可得， (H) G B D 当点D在BC线段上时， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ABC中，AC=BC=5, .ZBAC=ZABC, :△EAD是以AD为底边的等腰三角形， ∠EAD=∠EDA, :∠EAD=∠BAC, .ZABC Z EDA △ABC∽△ADE, .AB AD 25 AC AE 5 :∠BAD=LCAE, △ABD~△ACE, .∠ABD=LACE, :点E的运动轨迹为直线CE, :4B=BD25 AC CE 5 设CD=m, :由(1)可知0G=5+m,BD=5-m, 4 sin ZBCH=BI5 OG BC 5 OC ÷0c=55+m 4 CE=55-m 2 由(1)可知0B=0D=V5m-30m+125 =R, 当OC≤CE+OD,以CE为半径的圆C与圆O有公共点， V55+m<55-m+V5m2-30m+125 4 2 4 解得：0≤m≤3. 5.(2026上海徐汇二模)在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在边CD上，且CE=3DE,AB=2AE,连接 AE、BE D D B 图1 图2 图3 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图1，求证：∠AEB=∠ABC; (2②如图2，当4B=CD=BE时，求P的值： BC (3)如图3，当四边形ABCD为矩形且AB=8时，点O在线段BE上，且⊙O截AB、CD两边所得的两条弦相 等.如果⊙O与⊙C的公共弦所在直线恰好经过点B,⊙C的半径为3，求此公共弦的长， 【答案】(1)见解析 a明 (3)2√6 【分析】(1)延长AE交BC延长线于点F,由AD∥BC,可得△ADE∽a△FCE,再证明△BAE∽△FAB,即可 证明结论； (2)延长AE交BC延长线于点G,过点A作AH⊥BC于点H,过点D作DM⊥BC于点M,过点E作 EN⊥BC于点N,同理(1)可得CG=3AD,BG=2BE,设AD=x,AB=CD=BE=4a，则CG=3x, BG=8a,DE=a,CE=3a,求出BN,NE,在RtaBNE中，利用勾股定理即可求解； (3)过点O作OH1CD于点H,连接OC,CF,设FG与OC交于点P,由条件先可得AD=BC=2V5, BE=45,再由O0截B、CD两边所得的两条弦相等，可得0H:号4D=8C=V5,再证明△08C是 等边三角形，可得∠0CB=60°，再由FG中⊙O,⊙C的公共弦，可得CE垂直平分FG,即可求解. 【详解】(1)证明：如图，延长AE交BC延长线于点F, A D E :AD∥BC, △ADE∽△FCE, DE AE CE-FE' .CE =3DE, AE DE 1 ·FECE3' .FE =3AE, .AF=AE+EF=4AE, AB=2AE, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :4E={,4B-24E1 AB2' AF4AE),即上、.AB AB AF .∠BAE=∠FAB, △BAE∽△FAB, ∴∠ABE=∠AFB, :∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE,∠ABF=180°-LAFB-∠FAB, .ZAEB ZABC (2)解：如图，延长AE交BC延长线于点G,过点A作AH⊥BC于点H,过点D作DM⊥BC于点M, 过点E作EN⊥BC于点N, 同理(1)可得，△ADE∽△GCE, CE=3DE, AD DE I CG-CE-3 :CG=3AD, 同理(1)可得，△BAEn△GAB, BE_AE1 BG AB2' .BG =2BE, AD x,AB=CD=BE=4a,CG=3x,BG=8a,DE=a,CE=3a, :AD∥BC,AH⊥BC,DM⊥BC, .四边形AHMD是矩形， .HM=AD=x,DM =AH, 在Rt△ABH和RtADCM中 AB=DC AH=DM' :RtaABH≌RtADCM(直角三角形全等的判定定理)， .BH =CM, BH +CM =BG-CG-HM =8a-3x-x=8a-4x, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CM=BMH=sa-4树=4a-2x. 在Rt△ABH中，DM2=AH2=AB2-BH2=(4a2-(4a-2x2=16xa-4x2, :DM⊥BC,EN⊥BC, ∴.△CEN∽△CDM, CEENCN CD DM CM CE2 EN2 CN2 即3a EN2 CN2 CD (4a716xa-42(4a-2x2' ÷EN2=9xa- 3 BN=BG-CG-CN-8a-3x-3a-3x _x. 在RtaBNE中，BN2+NE2=BE2, 3)2 5a- 2 a_9x=4a2, +9xa 4 2 解得a=二x, 3 ∴BC=BG-CG=8a-3x=8×3t-3x7】 3, ·BC=7 了* 7. (3)解：如图，过点O作OH1CD于点H,连接OC,CF,设FG与OC交于点P, D :四边形ABCD为矩形且AB=8, 4E=4B=4,8C=4D,DE=CD=48=2,则CE=CD-DE=6,∠8CD=∠D=90, 41 在RtAADE中，AD=√AE2-DE2=V42-22=2V5, 在RtABCE中，BE=VBC2+CE=25'+62=4V5, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :⊙O截AB、CD两边所得的两条弦相等， :点O到AB和CD的距离相等， :OH=AD=1BC=3, 2 2 OH⊥CD,∠BCD=90°， OH∥BC, .△EOH∽△EBC, EO OH 1 EB-BC=2 .EB=2E0, “点O为EB的中点， :0C=BE=0B=25, 3 .OC =OB=BC=23, :△OBC是等边三角形， .∠0CB=60°， :FG中⊙O和OC的公共弦， .OF=OG,CF=CG, CE垂直平分FG, ∠BPC=90°，FG=2FP, ∠PBC=90°-∠0CB=30°， ac-v5, 在RtAPCF中，FP=VCF2-CP=32-(=6, FG=2FP=2√6. 6.(2026上海奉贤·二模)如图，AB、AC是⊙O的弦，AB=AC,过点C作AB的平行线，交半径A0的 延长线于点D,连接BD 0 B 备用图 备用图 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：四边形ABDC是菱形； (2②如果C是CB的中点，求4C的值； AD (3)连接C0,如果⊙O的半径是2，且△C0D是等腰三角形，求边AB的长. 【答案】()见解析 2)3 3 (3)2√2或√5+1 【分析】(1)先证明aOAC≌△OAB,得到LOAC=∠OAB,结合已知条件AB=AC,，AB∥CD可推导四边 形ABDC是平行四边形，又有邻边相等，即证四边形ABDC是菱形； (2)连接CB交AD于点H,根据C是ACB的中点，可知CA=CB,从而得到ABC是等边三角形，最后 结合菱形的性质以及等边三角形的边角关系即可解答； (3)已知⊙O的半径是2，且△COD是等腰三角形，分三种等腰三角形的情况讨论求解即可. 【详解】(1)证明：如图，连接OC、OB, D AB=AC,OA=0A,OB=OC, .∴AOAC≌OAB(SSS, .∠OAC=∠OAB, :ABI CD, .∠OAB=∠CDA, .∠OAC=∠CDA, .AC=DC, .AB=AC, :AB=DC, 又：AB‖CD, 四边形ABDC是平行四边形， AB=AC, ·平行四边形ABDC是菱形： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：连接CB交AD于点H, :C是ACB的中点， ..CA=CB, :AB=AC, :AB=AC=CB, △ABC是等边三角形， ∠BAC=60°， :四边形ABDC是菱形， AC=CD,AD平分∠BAC,AD⊥BC,AH=DH, B∠CAD=∠BAC=30°，LAHC=90° 在RtACH中，∠CAH=30°， CH-AC AH-VAC-CHAC. 2 :AD =2AH =3AC, AC AC 3 AD 3AC3 D B (3)解：若⊙O的半径0A=0C=2,设∠0AC=a, 由(1)知，AC=CD=AB,∠ODC=∠0AC=a,连接CO, 当△COD是等腰三角形，分类讨论： ①当0C=0D=2时，则∠0DC=∠0CD=∠0CA=a,∠C0D=2a, C B 由三角形内角和定理可得，a+a+2a=180°，解得a=45°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠C0D=90°， 根据勾股定理得CD=√0C2+0D2=2√2， 故AB=CD=2√2； ②当0C=CD=2时， 则∠C0D=∠0DC=a, 0A=0C, :.ZOAC=Z0CA=a, ∠C0D=a+a=2a, 即2a=a,解得a=0,不符合题意，舍去： B ③如图，当D0=CD时， D :0A=0C, B :.∠OAC=∠OCA=a, :∠0DC=L0AC=a, ∠OCA=∠CDA, ·△OAC∽△CAD, AC OA AD-AC' 即AC2=OA·AD, 设AC=CD=D0=x,则AD=x+2, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .x2=2(x+2, 即x2-2x-4=0, 解得x=V5+1,x,=-5+1(舍)， CD=V5+1, :四边形ABDC是菱形， :AB=CD=5+1. 7.(2026上海金山二模)如图，点C在以AB为直径的半圆0上，AB=4,联结0C,过点C作0C⊥CE ,交AB的延长线于点E,在AC上取点D,使BC=CD,联结OD、BD. 0 备用图 (I)求证：BD∥CE; (2)联结BC、CD,若四边形OECD为梯形，求四边形OBCD的面积； (3)直线CD与直线AB交于点F,若△CEF为等腰三角形，求BE的长， 【答案】(1)见解析 (2)23 (3)2W2-2或2W5 【分析】(1)由垂径定理的推论得到OC⊥BD,再由OC⊥CE,即可证明BD∥CE; (2)可证明当四边形0ECD为梯形时，只能是CD川OE,可证明△COD是等边三角形，△COB是等边三角 形；根据S西边形oBcD=S△Boc+S△coD,只需要求出△COD和△COD的面积即可； (3)分两种情况：点F在点E右侧和点F在点E左侧，画出对应的示意图，讨论求解即可. 【详解】(1)证明：：BC=CD, OC⊥BD, 又：0C⊥CE, BD∥CE; (2)解：BD∥CE,且BD与OD,OE都有交点， CE与OD,OE都有交点， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：CE与CD有交点， :当四边形OECD为梯形时，只能是CD川OE, .∠0CD=LC0B; BC=CD, .∠C0D=∠C0B, :∠C0D=∠OCD, 0D=0C, .∠0DC=∠0CD, ∴∠0DC=∠OCD=∠C0D, :∠0DC+∠0CD+∠C0D=180°， ∴.∠0DC=∠0CD=∠C0D=60°， :.△C0D是等边三角形，∠C0B=60°， 又：0B=0C, .△COB是等边三角形： 如图所示，过点C作CK⊥AB于点K, D :AB=4,且AB是直径， 0C=0B=2, 0k=08=1, CK=OC2-OK2=3 5x=0B-CK=5, 同理可得SAoc=V5, ·S四边形o8cD=S△Boc+SACOD=2√3； (3)解：如图所示，当点F在点E右侧时， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B CE⊥OC, L0CE=90°， ∠CE0<90°， 90°<∠CEF=180°-∠CE0<180°， :此时只存在CE=FE这种情况， .ZF ZECF, 设∠F=∠ECF=x,则LCEO=∠F+∠ECF=2x, .BD∥CE, ∠BDF=∠ECF=x, ∠OBD=∠BDF+∠F=2x, :0D=0B, ∠0DB=∠0BD=2x, .∠ODC=∠ODB+∠BDF=3x; :0D=0C, .∠0CD=∠0DC=3x, ∠C0F=∠0CD-∠F=2x, .∠C0E=LCE0, ∴.0C=CE=2, 0E=V0C2+CE2=2V2, ·BE=OE-0B=2√2-2； 当点F在点E左侧时，：OC⊥CE, ∠0CE=90°， ∠FCE=∠0CF+∠0CE>90°， .此时只存在CF=CE这种情况， ∠E=∠F, 设LE=LF=y, BD∥CE, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠OBD=∠E=y, :0B=0D, ∠ODB=∠OBD=y, :∠DOF=∠ODB+∠OBD=2y, ∠ODC=∠F+∠DOF=3y, 0D=0C, :∠OCD=∠ODC=3y, ∠COE=∠F+∠OCD=4y, 在Rt△OCE中，∠COE+∠E=90°， y+4y=90°， .y=18°； 如图所示，在OA上取一点M,连接DA,DM使得DA=DM,过点D作DN⊥OA于点N, D F ANM O :0A=0D, ∠04D=∠0DA=-180°-∠40D=72°， 2 DA=DM, ∠DAM=∠DMA=72°， :∠ADM=180°-72°-72°=36°，∠MD0=∠DMA-∠M0D=36°， .∠ADM=∠AOD=∠MDO, ·DM=OM=AD; 又：∠DAM=∠OAD, .△DAM∽△0OAD, ADAM OA AD' AD=2-AD 2 AD' “AD=V5-1或AD=-V5-1(舍去)， :AM=0A-0M=2-(5-1=3-V5, :DN⊥AM, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MN-14M=3-5 ∠NDM=∠ADM=180, 2 3-V5 sin∠NDM=sinl8°= M 2 5-1, M 5-14 :OE=0C2 =2√5+2， sinE sin18 :.BE=0E-0B=2√5 综上所述，BE的长为2√2-2或25 8.(2026上海浦东新·二模)在口ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连结AE,DE,EF, DE =DC. 图1 图2 图3 (I)如图1，连结BD,如果EF∥BD,求证：△ECF∽aADE; (2)已知tanC=√5，连结AF. ①如图2，如果点D,E关于直线AF对称，求S△ADF:S。ABcD的值； ②如图3，如果AF=5DF,∠HFE=∠EDC,求C5的值. FD 【答案】(1)见解析 20g:@时 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、平行四边形的性质等： (1)先证明△BCD≌△ADE,结合△ECF∽△BCD,即可证明结论； (2)①作DH⊥BC,垂足为H.作FP⊥AD,交AD的延长线于P,延长PF交BC于Q,容易证得 AD DE 0C设C=0,可得到0=北=3a,进而可证得AE=EG:3a,结合D吹，D FC CG =3,FcF0' DF PF PF 3 PF AP 可得到PO4:②过点F作FP⊥AD,交AD的延长线于点P,设DP=m,可求得DPPF,进而可求得 ∠DFP=∠PAF,得到∠40D=90,乙F0D=90,证明△DEF△F0D,可求得DE-6,进而可求待 CF-V6m 【详解】(1)解：四边形ABCD是平行四边形， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC=AD,AD∥BC, ∴.∠ADE=∠DEC. DE =DC, :ZC=ZDEC. .∠C=∠ADE. BC=AD,C=ZADE,CD=DE, △BCD≌△ADE. EF∥BD, .△ECF∽△BCD. △ECFAADE, (2)解：①作DH⊥BC,垂足为H,作FP⊥AD,交AD的延长线于P,延长PF交BC于Q,延长AF交 BC延长线于点G. 设HC=a,则HD=HC.tanC=V5a,DE=DC=VHD2+HC2=V6a· D B E :点D,E关于直线AF对称， .AD AE. ∴：∠ADE=∠AED. DE =DC, ∴LDEC=∠DCE. :∠ADE=∠DEC, ∴∠ADE=∠AED=∠DEC=LDCE. ∴.△ADEn△DEC. AD DE DE EC :DE=DC,DH⊥BC, .EC=2HC =2a. AD a √V6a2a 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AD =3a. .AD AE 3a. :D,E关于直线AF对称， ∴∠DAF=∠EAF. :AD∥BC. LDAF=∠G. ∠G=LEAF. .AE EG=3a. ..CG a. :AD∥BC, .△ADFn△GCF,△DPF∽△CQF. FCC DF AD DE PE =3,r0F0 PF :FO =3 PF3 P04 :S△ADr=)AD.PF，SBcn=ADPO, 2 :S4=2 3 SABCD ②过点F作FP⊥AD,交AD的延长线于点P. B E 设DP=m, :AD∥BC, ∠PDF=∠C. &PF=DP,iam∠PDF=V5m,simn∠DFP= 6 DF=VDP2+PF2=√6m, AF =5DF, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AF=√30m .AP=√AF2-DF2=5m .AD 4m DPPF PF AP .△DPF∽△FPA. ∴∠DFP=∠PAF. 设∠DFP=∠PAF=a, .LPDF=90°-a. ∠C=∠DEC=LADE=90°-a. ∠FAP+∠ADE=90°， .LA0D=90°. .∠F0D=90°. OD=AD-sin∠PAF=4msin∠DFp=2y6, 3m. :∠EDF=∠AFE,∠EDF+LDFO=90°， ∴.∠EFD=∠AFE+∠DFO=90°. ·LEFD=LFOD 又∠ODE=∠FDE, ∴△DEF∽△FOD. DO DF DF DE n. c-6m. :CF=1/6m. 2 1 DF√6m 2 9.(2026上海普陀二模)扇形A0B与扇形C0D组成一个如图1的图形，其中扇形A0B的圆心角等于90° ,点C、D分别在半径OA、OB上，分别记扇形AOB、扇形COD的圆心角所对的弧为AB与CED,半径长 分别为R与r / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 o B y B 图1 图2 (I)已知AB的长与CED的长相等，AC=6,求这个图形的面积S(结果保留π)： (2)连接CD，作CED关于直线CD的对称图形CED: ①连接AB,如果CED与AB交于点M、V(点M在点V的左侧)，且AM=MW,求R与r之间的数量关系； ②如果cED所在的圆与AB所在的圆内切于点F(如图2所示)，点P是CF上一点，连接FP并延长交AC 于点Q,当=5+1时，求∠c0r的度数. PO 【答案】(1)27元 (2)①R=3②LC0F=82.5 【分析】本题是圆和三角形综合题，考查了扇形面积和弧长公式，勾股定理应用，解三角形，等腰三角形 性质，平行线分线段成比例等知识点 (1)根据AB的长与CED的长相等和扇形弧长公式，求出r=3,R=9,再利用扇形面积公式求解. (2)①记O的对称点为O,OO,与BC交点为P,延长OO交AB于Q,连接O,M,关键是表示出△O,MQ 各边的长，再利用勾股定理求解；②记O的对称点为O,OO与BC交点为G,连接PG,O,P,作 O,H⊥PG于H,这样就构造出等腰直角三角形O,HG和直角三角形OHP,解三角形可求得 ∠HPO,=30°，∠HO,P=60°，再利用等腰三角形求出∠O,PF=52.5°，根据平行线分线段成比例知 ∠CQF=∠GPF=∠HPO,+∠O,PF. 【详解】(1)解：由题可知0A=R=0C+AC=r+6, 1.=%πR_90π(r+6 B180 180 :∠C0D=360°-90°=270°， .1 =,π1-270πr, cED180180 CED' 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 90π(r+6)_270πr 180 180 解得r=3,故R=9, 8=5,+S.三nxR"r=0rx9x9+270π×3x3-81π27π=27元 AOB 360 360 360 44 (2)①如图，记O的对称点为O,OO,与CD交点为P,延长OO交AB于Q,连接OM, E B F 由对称性可知P是CD中点，由△OCD是等腰直角三角形，CD=√2OC=√2r, OP=CD= r且OP⊥CD, 再由对称性可知OO=2OP=√2r, △0AB同样是等腰直角三角形，AB=√2OA=√2R,OQ= 正R :CD∥AB, .OQ⊥AB, :Q是AB中点也是MN中点， 由已知得MN=!AB=2R, 3 3 .MO= 6 2 02=00-00=2R-v2 且OM=r, 在Rt△OMQ中，由勾股定理得 0M2=0,02+M02, rg-j 解得R=3r或0.6r, 由题可知R≥P, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故R=3r ②如图，记O的对称点为Q,OO,与BC交点为G,连接PG,O,P,作O,H⊥PG于H, G B 由于CED所在的圆与AB所在的圆内切于点F, ..0F=r, 由①知0G=0,G= √ -r, 2 FG=0,F+0G=2+ -P 2 2+√2 2。-=1+V2sp FG OG PO -r :PG02, ∴∠CQF=∠GPF=∠HPO+∠OPF, PG∥O2, ∠HGO,=∠AOF=45°，再由O,H⊥PG知△O,HG是等腰直角三角形， 1 0,H=0,Gcos45°=r, 2 ∴.sin∠HPO= OH 1 0,P2' .∠HP01=30°，∠H0,P=60°， .∠P0,F=180°-∠H0,P-∠H0,G=180°-60°-45°=75°， 由△O,PF是等腰三角形， ∠0，PF=180°-∠P0,F-180°-75 =52.5°， 12 2 .∠CQF=∠GPF=∠HP0+∠0，PF=30°+52.5°=82.5°. 10.(2026上海虹口·二模)如图1，在扇形A0B中，∠AOB=90°，点C是弧AB上一点，点D是半径OB上 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 的点，连接CD,∠OCD的平分线和∠COD的平分线相交于点P,连接BP. D 图1 图2 备用图 0求证：∠0PB=90°+)∠0DC: (2)连接BC(如图2).如果CD⊥OB,CP=10,△OPB的外接圆OM与扇形A0B所在的圆⊙O相交， ①当cos∠CBD=}时，求0M与⊙0的公共弦的长， 4 ②连接AM和AP,AP交OC于点E,当AM⊥OP时，求tan∠PAM的值和OE的长 【答案】(1)证明见详解 (2)①40；②tan∠PAM= 3’0E=6V5 【分析】(1)连接PB,由CP平分∠OCD,OP平分∠COD,得∠POC=∠P0D,∠PC0=∠PCD,进而可 证，0CPe,08P,得∠0PC=∠0PB,即得∠P0D+∠PC0=0-号∠0DC,得到∠0PC=90+0DC 2 ,即可求证； (2)①由CD⊥OB得∠0DC=90D,由(1)知∠0PB=135☐，由a0CP≌a0BP得CP=BP=10, L0PC=L0PB=135,即得∠CP8=90☐，BC=10√2，利用cos∠CBD=可求出BD、CD,进而利用勾 4 股定理可求出圆0半径R=20√2，设两圆另一交点为Q,由∠0PB=135D得劣弧OB的圆心角∠0MB=90D ,又由OM垂直平分公共弦BQ,可得点B、M、Q共线，BQ为圆M直径，再利用等腰直角三角形的性 质等腰求出BM即可求解：②延长CD交圆O于点N,由垂径定理得BC=BN,∠BCD=∠BNC=!∠BOC ,由4M10P得40=AP,即得∠PAM=<01P,再证明：40P≌08C,得∠04P=∠80C, OP=BC=10w5,即得∠PMM=∠B0C=∠BCD,延长oP交BC于R,由三线合-得R为8C中点，可 得BR=PR=5E,OR=15反，得到a∠80R-行再证明∠PAM=∠B0R=LCOP,进而即可求解。 【详解】(1)解：：CP平分∠OCD,OP平分∠CoD, ∠P0C=LP0D,∠PC0=∠PCD, OC=0B,ZPOC=ZPOB,OP=OP, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴AOCP≌OBP(SAS), :∠OPC=∠0PB, 在a0CD中，∠C0D+∠0CD+∠ODC=180°， 即2∠P0D+2∠PC0+∠0DC=180□， ∠P0D+∠Pc0=0<0DC, RZ0PC=180D∠P0C-∠PC0=180L-(90E2∠0DC)=90+ ∠oDC, 21 ∠0PB=∠OPC=90°+}∠ODC, (2)①CD10B, :∠CD0=90☐，即∠0DC=90☐， 由(1)结论可得，∠0PB=900+,∠0DC=90+45=135, :aOCP≌aOBP(SAS, CP=BP=10,∠0PC=∠0PB=135D, :∠CPB=360☐-1350-1350=90☐， .BC=VCP2+BP2=V100+100=10W2, .coS∠CBD BD 1 BC=4' 设BD=k,则BC=4k=10V2, .k= 55,即BD=5 2 CD=V8c2-B0=200-252=20-25=0875-550 4 2 设圆0半径为R,则0B=0C=R,OD=OB-BD=R-5y2, 2 在Rta0DC中，OC2=OD2+CD2, 即R=R5235 2 2/ 2 解得R=20√2， 设圆O与圆M的另一个交点为Q,连接BQ、OM, ∴.BQ是两圆的公共弦， :∠0PB=135☐，优弧OB所对的圆心角为2×135☐=270☐， :劣弧OB所对的圆心角∠0MB=360☐-270☐=90口， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OM⊥BM, 又OM垂直平分公共弦BQ, :0M⊥B0, :BM⊥OM,BQ⊥OM,且B为公共点， B、M、Q三点共线， ∴.BQ过圆心M,即BQ是圆M的直径， :O、B都在圆上， ..OM=BM :△OMB是等腰直角三角形， BM=08=2 2 ×20V2=20, :BQ=2BM=40, :⊙M与⊙0的公共弦长为40； 0 ②延长CD交圆O于点N, CD⊥OB, :OB垂直平分弦CN, :.BC=BN,BC BN, :∠BCD=∠BNC, <8Nc=<80c. ZBCD=5∠BOC :AM⊥OP,M是圆心，OP是圆M的弦， :OG=PG,即AM是OP的垂直平分线， :AO=AP, AM平分Z0P,即∠PAM=)∠OHP, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AM⊥OP,CB⊥OP, AM∥BC, ∠AF0=∠CB0, :0A⊥0B,CD⊥OB, LA0B=∠CDB=90°， :LOAF=∠BCD,即∠PAM=∠BCD, ∴.∠OAP=∠BOC, 在△AOP和△OBC中， :A0=0B,∠0AP=∠B0C,AP=A0=0C, .△AOP≌△0BC(SAS, .OP=BC=10V2,∠OAP=∠B0C, ∠PM-<a0c=∠acD, 延长OP交BC于R, OP平分∠B0C,0C=0B, OR⊥BC,R为BC中点， .BR-BC-52, 2 :△CPB是等腰直角三角形，R为BC中点， PR=BR=5√2， ∴OR=OP+PR=10V2+5√2=152， :在R1aB0R中，tan∠BOR=BR-5V2=I OR 1523 :01P=∠80C,∠PAM-5<0P,∠B0R=∠CoP 1∠BOC, .∠PAM=∠BOR=LCOP, 1 ∴.tan∠PAM=tan∠BOR= 3' :AM⊥OP, ∠PAM+LAPG=90°， ∠C0P+∠APG=90°， .∠0EP=90°， ZBOR=ZCOP, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 年tan∠COP=tan∠BoR=，, PE 1 OE-3 设PE=x,则OE=3x, PE2+OE2=OP2, ÷x2+(3x)2=102, 解得x=25, .0E=3x=6V5. NB 【点晴】本题考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和 性质，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键， 11.(2026上海松江二模)己知正方形ABCD,点E在边BC上，点F在BC的延长线上，AF与CD交于点 G B E C 图1 图2 备用图 (I)如图1，如果CE=CG,求证：BC2=BE·BF; (2)如图2，如果∠EAF=45°，且CE=CF,求∠F的正切值； (3)以点C为圆心CE为半径画圆，OC与以AE为直径的⊙O的另一个交点记为点P,如果AB=2, CF=2CE,EP=CG,求EF的长. 【答案】()见解析 (33 3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)2 【分析】(I)先证明△ADG≌△ABE(SAS),再证明△BAE∽△BFA,即可求证： (2)连接AC,设正方形的边长为1，CE=CF=x,然后证明△CE4∽△AEF,得到 AE2=EC×EF=x·2x=2x2,而由勾股定理得AE2=AB2+BE2=x2-2x+2,继而得到方程x2-2x+2=2x2 ,然后解方程，再利用正切的定义求解即可： (3)设以AE为直径的圆记为⊙J,连接CJ交PE于点L,过点J作JK⊥BC于点K,由题意得可设 CE=I,则CF=2x,由△FCGFBA,得到EP=CG=2x ,再由△EJK∽△EAB,求出KJ=1, x+1 EK=1-x,则kC=K+CE=1+分，可由勾歌定理得到)C 由相交两圆得性质可得 CJ⊥PE,EL= 2 再由sn∠BCL-是-生立方程求解 EP=_x EC JC 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .AD=AB=BC=CD,∠B=∠D,AD∥BC .CE =CG ∴BC-CE=CD-CG .BE=DG :△ADG≌ABE(SAS) ∠DAG=∠BAE, :AD∥BC, ∠DAG=∠F, ∴∠BAE=∠F, :∠B=∠B △BAE∽△BFA, BA BE BF BA BC BE BF BC ∴.BC2=BE·BF: (2)解：连接AC, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B C 图2 设正方形的边长为1，CE=x, 由题意得，CF=CE=x :四边形ABCD是正方形， :BA=BC=1,∠ECA=号∠BCD=450,∠B=90° :∠EAF=45 .∠EAF=LECA, LCEA=∠AEF ·△CEA△AEF, CE AE ·AEEF .AE2=EC×EF=x·2x=2x2, :AE2=AB2+BE2=1+(1-x)2=x2-2x+2, x2-2x+2=2x2, 整理得，x2+2x-2=0, 解得x=5-1,x,=-V5-1(舍去)， ·anF=AB BF1+V5-13 (3)解：如图，设以AE为直径的圆记为OJ,连接CJ交PE于点L,过点J作JK⊥BC于点K, B 由题意得可设CE=x,则CF=2x, :EF 3x, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 正方形ABCD, AB∥CD,AB=BC=2 .△FCG∽△FBA CG FC ABFB' CG 2x 2=2+2x1 ..CG=- 2x +i, 2x .EP=CG=- +1 :JK⊥BC,∠ABC=90° ∠ABC=LJKE=90 .ABI JK △EJK∽△EAB EK KJ EJ 1 EB AB EA2' =48=1,K=B=2-=1-, 1 ..KC=EK+CE=1-x+x=1+x, 2 JC=JK2+CK2 ,,12 :OJ与OC相交于点E,P CJ⊥PE,EL=5EP= 2 x+1 :sin∠ECL=EL-JK x+1= 1 ..x .1)2 1+1+-x V（2 解得x=名或x=0《舍) 3 2 EF=3×2=2 3 12.(2026上海崇明·二模)如图1，AB是半圆0的直径，点C是半圆上一点，过点C的直线交BA的延长 线于点D,点E是线段OB上一点，且满足OE=AD,过点E作AB的垂线交DC的延长线于点F,交BC于 点G,且∠F=2∠ABC. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D E D 图1 图2 备用图 (1)求证：LACD=LABC; ②如图2，当BE=30E时，求的值 (3)设EF与BC的交点为P,连接OP,交BC于点M,若以O为圆心，OE长为半径的圆与以P为圆心， PM为半径的圆外切，求sin∠ABC的值. 【答案】(1)见解析 % 3)3-1 2 【分析】(1)连接0C,先推导出∠F=∠AOC,得到∠DCA+∠ACO=90°，∠ACO+∠OCB=90°，则 ∠ACD=∠OCB,继而证明∠OCB=∠ABC,得到LACD=LABC,即可解答； (2)连接0C,设OE=x,则AD=x,推导出ACDCBD,aDC0∽aDEF,得到D-CD,CD-D0 CD BD'DE DF 求出CD=x或-3r钤去得到证解有DP=10r,求出cF=0F-CD:,即可解答 (3)设OM=OE=y,BE=a,推导出△OBM∽△ABC,得到AC=2OM=2y,由(2)可知 D=AD,BD=3y+2a3Y+2,△DAC△DCB,得到8-C求地 BC2=(2CD)2=12y2+8ay,再根据勾股定理，得到AC2+BC2=AB2,求出a=√5y或-√5y(舍去)，得到 OB=y+5y=(V5+1y,则sin∠ABC=OM 。y=5-1 B5+y2，即可解答。 【详解】(1)证明：连接0C,如图， C :EF⊥BD, B E 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DEF=90°， ∠D+∠F=90°， :∠AOC=2∠ABC,∠F=2∠ABC, ∴.∠F=∠AOC, ∴.∠D+∠AOC=90°， ∠DC0=90 ∴.∠DCA+∠ACO=90°， AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠AC0+∠OCB=90, ∴.∠ACD=∠OCB, 0C=0B, .∠OCB=∠ABC, ∠ACD=∠ABC: (2)解：连接0C,如图， C G D A OE 设OE=x, 则AD=x,BE=3OE=3x, :.OB=OE +BE =4x, 0A=0B=4x,AB=20B=8x, BD=AD+AB=9x,DO=AD+AO=5x, :DE=D0+OE =6x, 由(1)可知LACD=LABC,∠DCO=∠DEF=90°， ∠D=∠D, ∴△ACDP△CBD,△DCO∽△DEF, AD CDCD DO CD BD'DE DF ∴.CD2=AD·BD=x.9x=9x2 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得CD=3x或CD=-3x(舍去)， :3r5x “6xDF 解得DF=10x, :CF=DF-CD =7x, CF 7x 7 CD33 (3)解：如图， 设OM=OE=y,BE=a, ∴.DA=OE=y,OB=y+a, .BD=DA+20B=3y+2a, AB=20B=2y+2a, :BC切于以OE为半径的⊙O于点M, .OM⊥BC,OM=OE=y, .∠OMB=∠ACB=90°， .∠OBM=∠ABC ∴.△OBMP△ABC, OM OB 1 AC AB2 .AC=20M=2y, 由(2)可知CD2=AD·BD=y(3y+2a=3y2+2ay, :△DACm△DCB, AD AC CD BC' 即品能 .BC 2CD BC2 =(2CD)=12y2+8ay, AC2+BC2=AB2, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2y2+12y2+8ay=(2y+2a2, 4y2+12y2+8ay=4y2+8ay+4a2, 3y2=a2, 解得a=√5y或-V5y(舍去)， :0B=y+5y=(5+1y, ,sin∠ABC= OM y 5-1 OB 3+1y 2 13.(2026上海宝山二模)如图1，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CP是⊙O的切线，P为切 点，连接BP、OP. B 图1 图2 备用图 (1)求证：CP2=AC·BC; (2)如图2，过点B作BD∥OP交⊙O于D, ①如果BD=18,BP=6V5,求CP的长； ②连接CD、DP,如果△CDP是以CD为腰的等腰三角形，求C的值。 CP 【答案】(1)见解析 (2)020,②BC-5 PC 3 【分析】(1)连接AP,证明aCAP∽△CBP,即可得证： (2)①作0H1D于点H,作8G10P于点G,垂径定理得到BH-8D=9,证明四边形0G8H为矩形， 得到OH=BG,0G=BH=9,设⊙O的半径为r,在Rt△0BH中，由勾股定理得OH=OB2-BH=r2-92 ,在Rt△BGP中，由勾股定理得BG2=BP2-PG2=6V5-(r-9)2,进而得到r2-92=(65-(r-9)2, 求出"的值，证明△OGB∽△OPC,列出比例式进行求解即可；②分CD=CP和CD=DP两种情况进行讨论 求解即可. 【详解】(1)证明：连接AP, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B P :AB是⊙O的直径， ∠APB=90°， ∠A+∠ABP=90°， :CP是⊙O的切线，P为切点， .0P⊥PC, .∠0PB+∠CPB=90°， OB=OP, .∠OPB=∠ABP, .∠A=LCPB, 又：∠C=∠C, △CPBn△CAP, CP AC CB CP' .CP2=AC.BC; (2)解：①作0H1BD于点H,作BG1OP于点G,则BH=BD=9, P OP∥BD, BG⊥BD, 四边形OGBH为矩形， .OH=BG,0G=BH=9, 设⊙O的半径为r,则0P=OB=r, .PG=0P-0G=r-9, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△0BH中，由勾股定理得OH=OB2-BH=r2-92, 在Rt△BGP中，由勾股定理得BG2=BP2-PG2=(65-(r-9)2, OH=BG r2-92=(65-(r-9)2, 解得r=15或r=-6（舍去)： BG=0H=V152-92=12, BG⊥0P,0P⊥PC, BG∥CP, .△OGBm△OPC, PC OP PC 15 BG OG 即29' PC=20; ②当CD=PD时，延长DB交CP于点E, OP∥BD,OP⊥PC, DE⊥PC, DE垂直平分PC, .BP=BC, .ZBPC=ZBCP, :∠BPC+∠OPB=90°，∠OCP+∠POC=90°， .∠OPB=∠P0B, .BP=OB, .BP=OB=OP, ·POB为等边三角形， .∠P0B=60°， ∠0CP=30°， BC=BP,BP=OP, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC=OP, BC OP PC CP =tan30°=3。 3 当CD=CP时，连接OD,PD交OC于点E,则OP=OD, P .OC垂直平分DP,LOPD=∠ODP, LOED=∠BED=90°， :OP∥BD, ∴∠OPD=LBDP,LPOB=∠DBO, .LODP=∠BDP, .LD0B+∠ODP=∠DB0+∠BDP=90°， .∠DOB=∠DB0, :OD =DB ∴OD=OB=DB, .△OBD为等边三角形， .∠DB0=60°， :∠POB=∠DB0=60°， 0P=0B, :△OPB为等边三角形， ∠OPB=60°，BP=0P, ∠0PC=90°， :.∠PCO=30°，∠BPC=∠OPC-∠OPB=30°， .∠BPC=∠BCP, .BC=BP=OP, BC OP PC CP =tan30°= 3: 综上： BC PC 3 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 14.(2026上海黄浦·二模)如图，圆心O是一处激光光源，照射在圆O的弦AB所在的挡板上，且 ∠AOB=90°，现在弦AB上两个位置M、N处开缝，使激光束透过这两个缝隙最终照射在弧AB上的两个亮 点C、D恰好能将弧AB三等分. 备用图 (I)求证：CD∥AB; (②)试说明：点M、N不是弦AB的两个三等分点； (3)假设弦AB上的开缝位置P、Q恰好是弦AB的两个三等分点，试画出新的激光光源S的位置，使得激光 束通过缝隙P、Q后最终照射在弧AB上的两个亮点恰好是C、D,并求∠ASB的大小. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)30° 【分析】(1)先说明LAOC=LCOD=LBOD,如图：取AB的中点E,连接OE,进而说明OE平分∠COD 利用等腰三角形的性质可得OE⊥CD,最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证明结论： (2)先根据已知条件说明∠AB0=∠OAB=45°，如图：过点M作MF⊥OB于点F,过点M作MI⊥A0于 点I,则四边形MIOF是矩形，MF=BF,OF=IA,∠FMB=45°，∠0MF=30°，进而得到OM=2OF; 设OF=a,则OM=2a,IA=IM=a,利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理可得MB=√6a, 4W,测B-小6，易将指万写即点不是8的三等分点：同题：点N不是 AB的三等分点，从而证明结论： (3)如图：连接AC,CD,BD,运用等腰三角形的性质以及相关已知条件可得LACM=LAMC=75°，即 1C-C:设1C=C00=26.则4W:8=26,利n指-可得48=2小5+b:如图：以 AB的中点E,则0E1AB,易得OE=N5+1b,∠M0E=15°，ME=5-1b;如图：连接CP,DP并延 长交于S,由对称性可知点S在AB的垂直平分线上，同时也在CD的垂直平分线上，连接SO延长交AB、 CD于G,H,然后求得AP= 6、PG=5+b:连接AC,过C作C1AP,则 23+1. 3 3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC=2b,∠CA1=30°，HG=CI=b,设SG=h,则SH=h+b,证明aSPG∽aSCH,可求得h= 3+1b. 2-V5 利用三角函数可得tan∠ASG=2-√5，即LASG=15°，进而完成解答. 【详解】(1)证明： :点C、D恰好将AB三等分， AC=CD=DB, .∠AOC=LC0D=∠B0D, 如图：取AB的中点E,连接OE, :0A=0B, OE⊥AB,∠A0E=∠B0E, :∠A0C=∠B0D=30°， ∴∠AOE-∠AOC=∠B0E-∠B0D, .LC0E=∠D0E .OE平分∠C0D. 在△C0D中，OC=0D,OE平分∠C0D. OE⊥CD. :OE⊥AB,OE⊥CD CD∥AB; (2)解：由(1)可得：∠A0C=∠C0D=∠B0D, :A0B=90°， ∠C0B=60°， :∠A0B=90°，0A=0B, LAB0=∠0AB=45°， :点C、D恰好将AB三等分， AC=CD=DB,AC CD=BD, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠A0B=90°， ∠A0C=∠C0D=∠B0D=30°， :0A=0C=0D, ∠0AC=∠0CA=∠0CD=180°-30 =75°， 2 CD∥AB, ∠0MN=∠0CD=75°，同理可得：∠0NM=∠0DC=75°， ∠0MN=∠ONM=75°， 如图：过点M作MF⊥OB于点F,过点M作MI⊥AO于点I,则四边形MIOF是矩形，MF=BF, OF=IA,∠FMB=45°， :∠0MF=∠OMN-∠FMB=30°， .0M=20F, 设OF=a,则OM=2a,IA=IM=a BF=MF=OM2-OF2=3a,AM=A12+M12=2a MB=VBF2+MF2=√6a, :AB=AM+MB=(+6a, AM √2a 1 1 AB (2+V6)a+5,即点M不是B的三等分点， 同理：点N不是AB的三等分点， :点M、N不是弦AB的两个三等分点. (3)解：如图：连接AC,CD,BD, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D :点C、D恰好将AB三等分， :AC=CD=DB,AC CD BD, :LA0B=90°， .∠A0C=∠C0D=∠B0D=30°， :0A=0C=0D, ÷∠0AC=∠0CA=∠0CD=180°-30 =75°， 2 :CD∥AB, .∠0MN=∠0CD=75°，同理可得：∠ONM=∠0DC=75°， ∠0MN=∠0NM=75°， 0M=0N, :∠0MN=∠AMC=75 .∠ACM=∠AMC=75° .AC=CM, 设AC=CD=BD=2b,则AM=NB=2b, 由(2)解答过程可知： AM 1 AB3+' A3+1解得：AB=25+1b, 2b1 如图：取AB的中点E,则OE⊥AB, 0 :0A=0B,∠A0B=90°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0E=54B=E1=EB-5+b,∠M0E=∠CoD=15, :ME=AE-AM=V5+1b-2b=(5-1b, tan∠MOE=tanl5°=ME_ 5-1b OE (5+1b =2-V3,即tan15°=2-5； 如图：连接CP,DP并延长交于S,由对称性可知点S在AB的垂直平分线上，同时也在CD的垂直平分线上， 连接SO延长交AB、CD于G,H, 4G-34B-5+1b,CH-CD=b,∠4s8=2∠4G :P、Q恰好是弦AB的两个三等分点，AB=2(V5+1b, AP=4B 25+, 1b, 3 3 PG=4G-AP=5+6.25+l6-5+6 3 3 如图：连接AC,过C作C1⊥AP,则AC=2b,∠CAI=∠OAC-∠OAB=30°，HG=1C 即H B D ÷HG=CI=AC=b, 2 设SG=h,则SH=h+b, :CD∥AB, .△SPG∽aSCH, 贸品即 9,得hB五 h+b Γ2-V3 b ·SG= V3+1 b, 2-√5 :ian∠AsG=AG_N5+1b =2-√5 SG 3+1 2-3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :tan15°=2-√5， ∠ASG=15°， ∠ASB=2LASG=30°. 15.(2026上海静安二模)菱形ABCD中，点E在线段AD上，连接CE、BE. D 图1 图2 备用图 (I)如图1，连接AC交BE于点F,若EC=DC,求证：∠EBC=∠BAC; (2)如图2，AB=6,∠ABC=60°，点P在线段BE上，且满足LBCP=∠BEC,设AE=X,BP=y, ①求y关于x的函数解析式，并写出定义域； ②当AE=3时，以AE为半径的OA和以BP为半径的OB是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如果 不相交，请说明理由 【答案】(1)见解析 36 (2)①y= Vx2+6x+3 60≤x≤6例：②相交，947 14 【分析】(1)由等边对等角可得LD=LCED,由菱形的性质可得LABC=∠D,∠BAC=LCAE,再证明 点A、B、C、E四点共圆，得出∠EBC=∠CAE,即可得证； (2)①作BH⊥DA,交DA的延长线于点H,由菱形的性质可得AB=BC=6,AD∥BC,求出 AH=AB=3,BH=35,可得HE=x+3,由勾股定理可得BE=√2+6r+36,再证明△BCP∽aBEC 2 ,由相似三角形的性质计算即可得出结果：②当4E=时，y-25,则，=AB=3,与=BP=125 7 7 结合125-3<6<125+3，得出以AE为半径的0A和以BP为半径的0B相交，设两圆相交于MN,连接 7 7 AM、AN、BM、BN,连接MN交AB于点G,则AM=AN=AE=3,BM=BN=BP=12V7 ,由垂径 7 定理可得GM=GN=MN,AB⊥MN,设AG=a,则BG=6-a,再结合勾股定理计算即可得出结果， 【详解】(1)证明：：EC=DC, .∠D=∠CED, :四边形ABCD为菱形， .LABC=LD,∠BAC=LCAE, LABC=∠CED, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AEC+∠CED=180°， ∠AEC+∠ABC=180°， 点A、B、C、E四点共圆， ∴∠EBC=LCAE, ∠EBC=LBAC; (2)解：①如图，作BH⊥DA,交DA的延长线于点H, D B :四边形ABCD为菱形， AB=BC=6,AD∥BC, .∠BAH=∠ABC=60°， ∠ABH=90°-∠BAH=30°， .AH=-AB=3, 2 BH=AB2-AH2=33, .HE=AH AE=x+3, .BE=√BH2+HE2=√x2+6x+36, :∠BCP=∠BEC,∠CBE=∠PBC, △BCP∽aBEC, BC BP BE BC 6 √x2+6x+36 6 36 .y= (0≤x≤6)： Vx2+6x+36 36 ②当AE=3时，y= -12万 32+6x3+367 =4E=3,5=BP=127 7 :4B=6,且12 ,12√7 7 7+3, :.以AE为半径的OA和以BP为半径的OB相交， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，设两圆相交于MN,连接AM、AN、BM、BN,连接MN交AB于点G, 则AM=AN=AE=3,BM=BN=BP=12万 由垂径定理可得：GM=GN=方N,AB1MN, 设AG=a,则BG=AB-AG=6-a, GN2=AN2-AG2=32-a',GN2=BN2-BG 32-a2=12v7】 7 -6-a2, 57 解得：a= 28 AG= 28 GN =VAN-AG947 28 ·MW=2GN= 9V47 14 【点晴】本题考查了等腰三角形的判定与性质、菱形的性质、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与 性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键 16.(2026上海闵行·二模)己知：如图，AB为半圆O的直径，点E为CD的中点，连接OE交弦CD于点G 、交弦AD于点P,且∠APO=∠ABD,连接AC、BD E F MO B B 图① 图② 备用图 (1)如图①，求证：四边形ABDC是等腰梯形； (2)点M在直径AB上(M不与A、B重合)，连接CM交AD于点F, 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ·如图②，当CM上AD,且M为A0的中点时，求的值； IⅡ.连接BF,半圆O的半径为1，∠BFM=∠ACM,当△AFM为直角三角形时，求AM的长. 【答案】(1)见解析 ②1.4Ⅱ.3-5 【分析】(1)根据∠AP0=∠ABD,证明∠AOE=∠E0B=90°，则点E为AB的中点，再根据点E为CD的 中点，可得AC=BD,则AC=BD,AB∥CD,∠CAB=∠DBA,即可得证： (2)I,设AM=a,则0M=a,OA=OB=2a,BM=3a,先证明四边形CMBD是平行四边形，再证明 △AFM∽△DFC,即可求解；IⅡ.分三种情况讨论：当∠AFM=90°时，当LAMF=90°时，当 ∠MAF=90°时，分别求出AM的长 【详解】(1)解：AB为半圆0的直径， ∠ADB=90°. ∠DAB+∠ABD=90°. ∠APO=∠ABD, ∠DAB+LAP0=90°. ∠A0E=∠E0B=90°. .AE =BE. “点E为CD的中点， ..CE DE. :AC=BD. ..AD=BC,CDA ZDAB,AC BD. ∠CAB=∠DBA,AB∥CD. 四边形ABDC是等腰梯形. (2)解：I.设AM=a, :M为A0的中点， :AM =OM =a. 0A=0B=2a. :BM 3a :CM⊥AD,∠ADB=90°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CM∥BD. AB I CD :.四边形CMBD是平行四边形 :CD BM =3a. AB I CD, ∴.△AFM∽△DFC. FM AM a 1 CF CD 3a3' FM 1 : CM 4' IⅡ.如图，当∠AFM=90°时， C 设AM=x,则BM=2-x, 由(1)可得四边形CMBD是平行四边形， :CD BM =2-x,CM =BD. :∠BFM=∠ACM,∠BFM+∠DFB=∠ACM+∠CAF=90°， ∠DFB=∠CAF. :∠CFA=∠FDB=90°， ∴.△CAF∽△BFD CF AF BD FD :CM∥BD, AM AF FM AM MB FD BD AB CFAM BD MB CM-FM AM CM MB :1M AM CM MB .:1-FM AM BD MB :14M AM AB MB 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1-=,x,解得x=3+5(舍)，,=3-5 22-x ·AM=3-V5. 如图，当∠AMF=90°时， :∠BFM=∠ACM,∠BFM+∠FBM=∠ACM+∠CAM=90°， ∠FBM=∠CAM. ·∠CAM=LDBA, ∠FBM=∠DBA. 此时点F与点D重合，此种情况不存在 当∠MAF=90°时， :∠MAF=∠DAB<90°， .此种情况不存在 综上所述，AM=3-V5, 专题14 解答题25题（代几综合题，压轴题） 一、解答题 1．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知线段是的一条弦，点C是上的一点． (1)连接、，如图1，如果，，且，求的半径长； (2)当圆心在线段上时． ①如图2，已知点D在上，满足，且，如果，求的长． ②如图3，已知点E在线段上，满足，如果沿着弦翻折后的弧线恰好经过点，求的值． 2．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，已知的直径，射线与相切于点A，半径为1，圆心P在射线上运动（点不与点重合），连接，交于点D，过点B作的平行线，交于点，交射线于点． (1)求证：； (2)令，请求出关于的函数解析式（不用写出定义域）； (3)连接并延长，交于点G，当时，求与的位置关系． 3．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 (1)小创小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中______°，并写出求解过程； (2)小智小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕、与折痕的交点分别是H、Q，经过多次操作和测量，发现线段与的比值是一个定值，请你帮助小智小组求出的值； 【尝试应用】 (3)如图7，设正方形的边长为1，，求的值（用含m的代数式表示）． 4．（2026·上海青浦·二模）已知中，，，点是射线上一点，连接，圆经过、、三点． (1)如图1，当点在线段上时， ①记圆交于点，求证：； ②设，用表示圆的半径； (2)如图2，在线段的右侧，以为底边作等腰，且始终满足．若以为圆心，为半径的圆与圆有公共点，请直接写出线段的取值范围． 5．（2026·上海徐汇·二模）在四边形中，，点在边上，且，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，当四边形为矩形且时，点在线段上，且截、两边所得的两条弦相等．如果与的公共弦所在直线恰好经过点，的半径为3，求此公共弦的长． 6．（2026·上海奉贤·二模）如图，、是的弦，，过点作的平行线，交半径的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果是的中点，求的值； (3)连接．如果的半径是2，且是等腰三角形，求边的长． 7．（2026·上海金山·二模）如图，点在以为直径的半圆上，，联结，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，联结、． (1)求证：； (2)联结、，若四边形为梯形，求四边形的面积； (3)直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 8．（2026·上海浦东新·二模）在中，点，分别在边，上，连结，，，． (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)已知，连结． ①如图2，如果点，关于直线对称，求的值； ②如图3，如果，，求的值． 9．（2026·上海普陀·二模）扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r． (1)已知的长与的长相等，，求这个图形的面积S（结果保留）； (2)连接 ，作关于直线的对称图形． ①连接，如果与交于点M、N（点M在点N的左侧），且，求R与r之间的数量关系； ②如果所在的圆与所在的圆内切于点F（如图2所示），点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数． 10．（2026·上海虹口·二模）如图，在扇形中，，点是弧上一点，点是半径上的点，连接，的平分线和的平分线相交于点，连接． (1)求证： ； (2)连接（如图）．如果，，的外接圆与扇形所在的圆相交． ①当时，求与的公共弦的长； ②连接和，交于点，当时，求的值和的长． 11．（2026·上海松江·二模）已知正方形，点在边上，点在的延长线上，与交于点． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，且，求的正切值； (3)以点为圆心为半径画圆，与以为直径的的另一个交点记为点，如果，，，求的长． 12．（2026·上海崇明·二模）如图1，是半圆的直径，点是半圆上一点，过点的直线交的延长线于点，点是线段上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)设与的交点为，连接，交于点，若以为圆心，长为半径的圆与以为圆心，为半径的圆外切，求的值． 13．（2026·上海宝山·二模）如图1，是的直径，C是延长线上一点，是的切线，P为切点，连接、． (1)求证：； (2)如图2，过点B作交于D， ①如果，，求的长； ②连接、，如果是以为腰的等腰三角形，求的值． 14．（2026·上海黄浦·二模）如图，圆心O是一处激光光源，照射在圆O的弦所在的挡板上，且，现在弦上两个位置M、N处开缝，使激光束透过这两个缝隙最终照射在弧上的两个亮点C、D恰好能将弧三等分． (1)求证：； (2)试说明：点M、N不是弦的两个三等分点； (3)假设弦上的开缝位置P、Q恰好是弦的两个三等分点，试画出新的激光光源S的位置，使得激光束通过缝隙P、Q后最终照射在弧上的两个亮点恰好是C、D，并求的大小． 15．（2026·上海静安·二模）菱形中，点E在线段上，连接、． (1)如图1，连接交于点F，若，求证：； (2)如图2，，，点P在线段上，且满足，设，， ①求y关于x的函数解析式，并写出定义域； ②当时，以为半径的和以为半径的是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如果不相交，请说明理由． 16．（2026·上海闵行·二模）已知：如图，为半圆的直径，点为的中点，连接交弦于点、交弦于点，且，连接、． (1)如图①，求证：四边形是等腰梯形； (2)点在直径上（不与、重合），连接交于点． Ⅰ．如图②，当，且为的中点时，求的值； Ⅱ．连接，半圆的半径为1，．当为直角三角形时，求的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $