专题06 向量的运算（5年汇编）（上海专用）【好题汇编】2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 上海中考向量运算专题汇编，含2022-2026年5年真题及多区模拟题，聚焦向量线性运算与几何载体综合应用 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|2题|向量线性表示、中点性质|结合三角形中点性质考查向量关系判断| |填空题|21题|向量加减/数乘运算、几何载体（平行四边形/正六边形/梯形）、几何性质（中线/重心/角平分线）|真题几何载体从三角形升级至正六边形，模拟题融合相似、角平分线等深化运算与几何结合，适配中考命题趋势|

专题06 向量的运算 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 向量的运算 2022、2023、2024、2025、2026 向量的运算：2022 年以平行四边形为载体考查向量减法的平行四边形法则，2025 年以正方形为载体考查向量加法的三角形法则与模长计算，向量线性表示与几何综合：均以填空题形式出现，载体从普通三角形、平行四边形逐步升级为正六边形，结合相似三角形、线段比例、正多边形性质设问，核心考查向量数乘与加减混合运算，对几何性质与向量运算的结合能力要求逐步提升 考点 向量的运算 1．（2025·上海·中考真题）在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了向量、向量的加法及向量模，理解这些知识是关键；在正方形中，向量相加的模长即为正方形对角线的长，它与边长的比值可通过勾股定理直接计算即可． 【详解】解：设正方形边长为，由勾股定理得：； 在正方形中， 表示从A到B再到C的路径，其结果为向量，即； ∴． 故选：C． 2．（2026·上海·中考真题）如图，在正六边形中，，，用、表示的结果是________． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质得到，再结合平行四边形法则得到，进而求出用、表示的结果． 【详解】解：如图，设正六边形的中点为，连接，， 在正六边形中，、，且、， 四边形是平行四边形， 根据向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线向量等于两邻边向量之和：， ． 3．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则___________（结果用含，的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 是上一点，， ， ， ， 故答案为：． 4．（2023·上海·中考真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示________．    【答案】 【分析】先根据向量的减法可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵向量，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键． 5．（2022·上海·中考真题）如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则=_____． 【答案】 【分析】利用向量相减平行四边形法则：向量相减时，起点相同，差向量即从后者终点指向前者终点即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O， 又，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量相减平行四边形法则，解题的关键是熟练掌握向量相减平行四边形法则． 一、单选题 1．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）在中，、分别是边、的中点，下列说法不正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】结合向量平行、相等、模长的概念，以及三角形中位线的性质，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， 对于选项A，，因此，A说法正确； 对于选项B，与模长相等，但方向相反，满足，因此，B说法不正确； 对于选项C，E是中点，，因此，C说法正确； 对于选项D，是的中位线，且，方向相同，因此，D说法正确； 综上，答案选B． 二、填空题 2．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）如图，已知中，中线相交于点G，设，，那么用向量、表示向量__________．    【答案】 【分析】求出，根据重心的性质可得，，利用三角形法则求出，得到，进而可得结果． 【详解】解：∵，， ∴ ∵中线、交于点G， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． ∴ 3．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）已知在中，，，用向量、表示________． 【答案】 【分析】本题可根据向量减法的三角形法则，结合已知条件将用和表示． 【详解】解：根据向量减法的三角形法则，可得， ，， ． 4．（上海市闵行区2025-2026学年第二学期九年级第三次质量检测数学学科试卷）如图，在平行四边形中，点在边上，，如果，，那么_____．（结果用含、的式子表示） 【答案】 【分析】根据向量加法法则和平行四边形的性质进行计算即可 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 5．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））如图，在正六边形中，设，，那么用向量、表示为_______． 【答案】/ 【分析】连接，取的中点为O，连接，根据向量线性运算的三角形法则和正六边形的性质即可求解． 【详解】解：连接，取的中点为O，连接， 根据正六边形的性质得到，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·上海浦东·二模）如图，在中，，平分，如果，，那么关于、的分解式为______________． 【答案】 【分析】先得出，则可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）在中，设，，点在边上且，用、的线性组合表示__________． 【答案】 【分析】先求出，再根据得到，最后利用向量加法运算求出． 【详解】解：，， ， 点在边上，且， ， ． 8．（2026·上海奉贤·二模）已知，垂足为，设，那么用向量、表示为___________ 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一可得D为中点，再利用平面向量的加减运算法则，将用，表示即可． 【详解】解：，， ， 又，， ， 9．（上海市普陀区2025学年第二学期九年级命题指导研修数学样卷）如图，菱形的对角线相交于点，如果，那么的值为________． 【答案】/ 【分析】由菱形性质、勾股定理及向量加法的平行四边形法则求解即可． 【详解】解：， ， 菱形的对角线相交于点， ，，，且， 在中，，设，则，由勾股定理可得， ，， 则． 10．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）如图，在中，的平分线交于点E，，设，，那么用向量、表示向量是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，再根据三角形法则进行计算即可. 【详解】解：∵中，的平分线交于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 11．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）如图，在中，对角线、交于点，为的重心，连接并延长交于点，设，，那么用向量、表示是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质三角形法则求出，根据重心的性质，相似三角形的判定与性质求出，即可求解． 【详解】解：∵在中，对角线、交于点，，， ∴，，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（上海市闵行区2026年九年级学业质量抽样调研数学学科）在中，，，，那么____． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算，然后根据向量加法的三角形法则求解． 【详解】解：如图， 在中，，，， 由勾股定理得， ∴． 13．（上海市黄浦区2026年二模九年级数学试卷）已知向量与方向相反，且，那么_____（用向量表示）． 【答案】 【分析】根据已知条件得到向量与的模长关系和方向关系，根据共线向量的性质解答即可． 【详解】解：∵向量与方向相反，且， ∴， ∵两个向量方向相反，系数为负， ∴． 故答案为． 14．（上海市松江区2025-2026学年九年级总复习阶段模拟练习数学）如图，已知点是的重心，如果，，那么______．（结果含、的式子表示） 【答案】 【分析】延长交于点D，先求出，再利用三角形法则求出，然后利用三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：延长交于点D， ∵点是的重心，， ∴是的中线， ∴， 又， ∴， ∵点G是的重心， ∴， ∴， 15．（2026·上海娄山中学·二模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么______．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，梯形中位线定理；由梯形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（2026·上海静安·三模）在中，点是边的中点，，，那么________________．（用、表示） 【答案】 【分析】延长到，使得，连接．首先证明，，利用三角形法则求出即可解决问题； 【详解】解：延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、三角形法则等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 17．（2026·上海崇明·二模）在梯形中，，，AC与BD交于点P，令，，那么____________；（用向量、表示） 【答案】 【分析】先根据向量的运算法则求出，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意，画图如下： ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 18．（2026·上海宝山·二模）如图，已知▱ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设，用表示为__________________． 【答案】 【分析】利用三角形中位线的性质得到BC= FC，在ABF中，利用三角形法则求得． 【详解】解：在▱ABCD中，CD∥AC． ∵E是边CD的中点， ∴CE是△ABF的中位线， ∴BC＝CF． 在四边形ABCD中，AD＝BC，＝，则＝=2． ∵＝， ∴＝＝+2． 故答案是：+2． 【点睛】本题主要考查了平面向量，平行四边形的性质，解题的关键是运用三角形法则求得答案． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 向量的运算 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 向量的运算 2022、2023、2024、2025、2026 向量的运算：2022 年以平行四边形为载体考查向量减法的平行四边形法则，2025 年以正方形为载体考查向量加法的三角形法则与模长计算，向量线性表示与几何综合：均以填空题形式出现，载体从普通三角形、平行四边形逐步升级为正六边形，结合相似三角形、线段比例、正多边形性质设问，核心考查向量数乘与加减混合运算，对几何性质与向量运算的结合能力要求逐步提升 考点 向量的运算 1．（2025·上海·中考真题）在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了向量、向量的加法及向量模，理解这些知识是关键；在正方形中，向量相加的模长即为正方形对角线的长，它与边长的比值可通过勾股定理直接计算即可． 【详解】解：设正方形边长为，由勾股定理得：； 在正方形中， 表示从A到B再到C的路径，其结果为向量，即； ∴． 故选：C． 2．（2026·上海·中考真题）如图，在正六边形中，，，用、表示的结果是________． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质得到，再结合平行四边形法则得到，进而求出用、表示的结果． 【详解】解：如图，设正六边形的中点为，连接，， 在正六边形中，、，且、， 四边形是平行四边形， 根据向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线向量等于两邻边向量之和：， ． 3．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则___________（结果用含，的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 是上一点，， ， ， ， 故答案为：． 4．（2023·上海·中考真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示________．    【答案】 【分析】先根据向量的减法可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵向量，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键． 5．（2022·上海·中考真题）如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则=_____． 【答案】 【分析】利用向量相减平行四边形法则：向量相减时，起点相同，差向量即从后者终点指向前者终点即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O， 又，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量相减平行四边形法则，解题的关键是熟练掌握向量相减平行四边形法则． 一、单选题 1．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）在中，、分别是边、的中点，下列说法不正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】结合向量平行、相等、模长的概念，以及三角形中位线的性质，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， 对于选项A，，因此，A说法正确； 对于选项B，与模长相等，但方向相反，满足，因此，B说法不正确； 对于选项C，E是中点，，因此，C说法正确； 对于选项D，是的中位线，且，方向相同，因此，D说法正确； 综上，答案选B． 二、填空题 2．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）如图，已知中，中线相交于点G，设，，那么用向量、表示向量__________．    【答案】 【分析】求出，根据重心的性质可得，，利用三角形法则求出，得到，进而可得结果． 【详解】解：∵，， ∴ ∵中线、交于点G， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． ∴ 3．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）已知在中，，，用向量、表示________． 【答案】 【分析】本题可根据向量减法的三角形法则，结合已知条件将用和表示． 【详解】解：根据向量减法的三角形法则，可得， ，， ． 4．（上海市闵行区2025-2026学年第二学期九年级第三次质量检测数学学科试卷）如图，在平行四边形中，点在边上，，如果，，那么_____．（结果用含、的式子表示） 【答案】 【分析】根据向量加法法则和平行四边形的性质进行计算即可 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 5．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））如图，在正六边形中，设，，那么用向量、表示为_______． 【答案】/ 【分析】连接，取的中点为O，连接，根据向量线性运算的三角形法则和正六边形的性质即可求解． 【详解】解：连接，取的中点为O，连接， 根据正六边形的性质得到，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·上海浦东·二模）如图，在中，，平分，如果，，那么关于、的分解式为______________． 【答案】 【分析】先得出，则可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）在中，设，，点在边上且，用、的线性组合表示__________． 【答案】 【分析】先求出，再根据得到，最后利用向量加法运算求出． 【详解】解：，， ， 点在边上，且， ， ． 8．（2026·上海奉贤·二模）已知，垂足为，设，那么用向量、表示为___________ 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一可得D为中点，再利用平面向量的加减运算法则，将用，表示即可． 【详解】解：，， ， 又，， ， 9．（上海市普陀区2025学年第二学期九年级命题指导研修数学样卷）如图，菱形的对角线相交于点，如果，那么的值为________． 【答案】/ 【分析】由菱形性质、勾股定理及向量加法的平行四边形法则求解即可． 【详解】解：， ， 菱形的对角线相交于点， ，，，且， 在中，，设，则，由勾股定理可得， ，， 则． 10．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）如图，在中，的平分线交于点E，，设，，那么用向量、表示向量是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，再根据三角形法则进行计算即可. 【详解】解：∵中，的平分线交于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 11．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）如图，在中，对角线、交于点，为的重心，连接并延长交于点，设，，那么用向量、表示是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质三角形法则求出，根据重心的性质，相似三角形的判定与性质求出，即可求解． 【详解】解：∵在中，对角线、交于点，，， ∴，，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（上海市闵行区2026年九年级学业质量抽样调研数学学科）在中，，，，那么____． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算，然后根据向量加法的三角形法则求解． 【详解】解：如图， 在中，，，， 由勾股定理得， ∴． 13．（上海市黄浦区2026年二模九年级数学试卷）已知向量与方向相反，且，那么_____（用向量表示）． 【答案】 【分析】根据已知条件得到向量与的模长关系和方向关系，根据共线向量的性质解答即可． 【详解】解：∵向量与方向相反，且， ∴， ∵两个向量方向相反，系数为负， ∴． 故答案为． 14．（上海市松江区2025-2026学年九年级总复习阶段模拟练习数学）如图，已知点是的重心，如果，，那么______．（结果含、的式子表示） 【答案】 【分析】延长交于点D，先求出，再利用三角形法则求出，然后利用三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：延长交于点D， ∵点是的重心，， ∴是的中线， ∴， 又， ∴， ∵点G是的重心， ∴， ∴， 15．（2026·上海娄山中学·二模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么______．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，梯形中位线定理；由梯形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（2026·上海静安·三模）在中，点是边的中点，，，那么________________．（用、表示） 【答案】 【分析】延长到，使得，连接．首先证明，，利用三角形法则求出即可解决问题； 【详解】解：延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、三角形法则等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 17．（2026·上海崇明·二模）在梯形中，，，AC与BD交于点P，令，，那么____________；（用向量、表示） 【答案】 【分析】先根据向量的运算法则求出，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意，画图如下： ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 18．（2026·上海宝山·二模）如图，已知▱ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设，用表示为__________________． 【答案】 【分析】利用三角形中位线的性质得到BC= FC，在ABF中，利用三角形法则求得． 【详解】解：在▱ABCD中，CD∥AC． ∵E是边CD的中点， ∴CE是△ABF的中位线， ∴BC＝CF． 在四边形ABCD中，AD＝BC，＝，则＝=2． ∵＝， ∴＝＝+2． 故答案是：+2． 【点睛】本题主要考查了平面向量，平行四边形的性质，解题的关键是运用三角形法则求得答案． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 向量的运算 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 向量的运算 2022、2023、2024、2025、2026 向量的运算：2022 年以平行四边形为载体考查向量减法的平行四边形法则，2025 年以正方形为载体考查向量加法的三角形法则与模长计算，向量线性表示与几何综合：均以填空题形式出现，载体从普通三角形、平行四边形逐步升级为正六边形，结合相似三角形、线段比例、正多边形性质设问，核心考查向量数乘与加减混合运算，对几何性质与向量运算的结合能力要求逐步提升 考点 向量的运算 1．（2025·上海·中考真题）在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2026·上海·中考真题）如图，在正六边形中，，，用、表示的结果是________． 3．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则___________（结果用含，的式子表示）． 4．（2023·上海·中考真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示________．    5．（2022·上海·中考真题）如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则=_____． 一、单选题 1．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）在中，、分别是边、的中点，下列说法不正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 二、填空题 2．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）如图，已知中，中线相交于点G，设，，那么用向量、表示向量__________．    3．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）已知在中，，，用向量、表示________． 4．（上海市闵行区2025-2026学年第二学期九年级第三次质量检测数学学科试卷）如图，在平行四边形中，点在边上，，如果，，那么_____．（结果用含、的式子表示） 5．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））如图，在正六边形中，设，，那么用向量、表示为_______． 6．（2026·上海浦东·二模）如图，在中，，平分，如果，，那么关于、的分解式为______________． 7．（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）在中，设，，点在边上且，用、的线性组合表示__________． 8．（2026·上海奉贤·二模）已知，垂足为，设，那么用向量、表示为___________ 9．（上海市普陀区2025学年第二学期九年级命题指导研修数学样卷）如图，菱形的对角线相交于点，如果，那么的值为________． 10．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）如图，在中，的平分线交于点E，，设，，那么用向量、表示向量是______． 11．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）如图，在中，对角线、交于点，为的重心，连接并延长交于点，设，，那么用向量、表示是______． 12．（上海市闵行区2026年九年级学业质量抽样调研数学学科）在中，，，，那么____． 13．（上海市黄浦区2026年二模九年级数学试卷）已知向量与方向相反，且，那么_____（用向量表示）． 14．（上海市松江区2025-2026学年九年级总复习阶段模拟练习数学）如图，已知点是的重心，如果，，那么______．（结果含、的式子表示） 15．（2026·上海娄山中学·二模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么______．（用含的式子表示） 16．（2026·上海静安·三模）在中，点是边的中点，，，那么________________．（用、表示） 17．（2026·上海崇明·二模）在梯形中，，，AC与BD交于点P，令，，那么____________；（用向量、表示） 18．（2026·上海宝山·二模）如图，已知▱ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设，用表示为__________________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $