专题05 一元二次方程及其应用（5年汇编）（上海专用）【好题汇编】2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦一元二次方程专题，汇编2022-2026上海中考真题及模拟题，覆盖根的判别式、实际与几何综合应用，高频必考，适配中考复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约28题|根的判别式（2026真题判断无实根）、实际应用（营业额增长率）、几何综合（等弦圆）|结合新定义（再生二次函数），贴近中考命题趋势| |解答题|约5题|函数解析式、方程应用（包装盒设计）|注重实际情境与数学建模，梯度分布合理|

专题05 一元二次方程及其应用 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 考点01一元二次方程及其应用 2026、2025、2024、2023、2022 一元二次方程根的判别式、一元二次方程实际与几何综合应用，覆盖 2022 至 2026 五年上海中考真题，题型以选择题、填空题为主，少量几何综合填空压轴，分值稳定 2-6 分，属于高频必考代数考点。 考点01 一元二次方程及其应用 1．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 2．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 3．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 4．（2023·上海·中考真题）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 5．（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____． 【答案】/ 【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可． 【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK， 过圆心O，， 设的半径为 ∴ 整理得： 解得： 不符合题意，舍去， ∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键． 6．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为_____． 【答案】20% 【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解． 【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得， 解得，（舍去） 所以，增长率为20% 故答案为：20% 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 7．（2022·上海·中考真题）已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】m<3 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(-2)2-4m>0，求解即可． 【详解】解：∵x-x+m=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=(-2)2-4m>0 解得：m<3， 故答案为: m<3． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·上海风华中学·三模 ）方程的根的情况是（     ） A．有两个互为相反数的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】D 【分析】计算判别式，然后与比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴该方程有两个相等的实数根． 2．（2026·上海奉贤·二模 ）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将各选项方程化为一般形式，计算根的判别式，根据判别式等于时方程有两个相等实数根判断即可． 【详解】对于一元二次方程 ，根的判别式 ，当 时，方程有两个相等的实数根； 选项A：将原方程化为一般形式得 ，可得 ，计算得 ，方程有两个相等的实数根，符合题意； 选项B：方程为 ，可得 ，计算得 ，方程没有实数根，不符合题意； 选项C：将原方程化为一般形式得 ，可得 ，计算得 ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项D：方程为 ，可得 ，计算得 ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 3．（2026·上海虹口·三模）判断关于x的方程根的情况（     ） A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】利用判断根的情况，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，计算后判断其与0的大小关系即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，，，， ∴ ， ∵ 对任意实数，都有， ∴ ， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． 4．（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题使用换元法，将换元后的式子代入原分式方程，去分母化简即可得到关于的整式方程． 【详解】解：， ， 将其代入原分式方程可得， 方程两边同乘（），得， 整理得：． 5．（上海市普陀区2025学年第二学期九年级命题指导研修数学样卷）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么下列各数中，m可以取的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式，计算得到的取值范围后，即可结合选项选出正确答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 只有，符合要求， 因此可以取的值是． 6．（上海市黄浦区2026年二模九年级数学试卷）解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原方程中对应部分用换元后的y替换，再对分式方程去分母整理得到整式方程即可解答． 【详解】解：∵令，可得 将其代入原方程得： 方程两边同乘（）去分母得：， 移项整理得：， 因此换元后整理得到的整式方程为． 7．（2026年上海市静安区中考数学二模练习）当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方数的非负性，通过举反例和配方变形，逐个判断各选项是否满足代数式的值一定为正数即可． 【详解】解：A、当时，，0不是正数，故A选项不符合题意； B、当时，，0不是正数，故B选项不符合题意； C、，当时，，故C选项不符合题意； D、，∵，∴，即代数式的值一定为正数，故D选项符合题意． 8．（上海市松江区2025-2026学年九年级总复习阶段模拟练习数学）下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用判断方程是否对任意实数恒有实数根，若对任意恒成立，则符合要求． 【详解】解：A、对于方程，当时，方程为，有实数根；当时，，不一定恒大于等于0，故方程不一定有实数根，故A不符合题意； B、对于方程，，而对任意实数，都有，故恒成立，不论取何实数值，方程都有实数根，故B符合题意； C、对于方程，，不一定恒大于等于0，故方程不一定有实数根，故C不符合题意； D、对于方程，，不一定恒大于等于0，故方程不一定有实数根，故D不符合题意． 9．（2026年上海市娄山中学中考数学模拟考）下列关于的方程，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判断式，解分式方程，偶数次方及二次根式非负性，解题的关键是根据偶数次方的非负性判断选项A；根据一元二次方程根的判断式判断选项B；解分式方程可判断选项C；根据二次根式非负性判断选项D． 【详解】解：A．∵，则， ∴方程没有实数根，故此选项不符合题意； B． ∵， ∴方程有实数根，故此选项符合题意； C．在方程两边同乘以，得：， 检验：把代入，得：， ∴不是原方程的根， ∴方程无解，故此选项不符合题意； D．∵， ∴， ∴方程无解，故此选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 10．（2026年上海市娄山中学中考数学模拟考）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点______． 【答案】和 【分析】先对抛物线E进行化简得，再令即可求解． 【详解】解： ， 令，解得：或， 当时，，时，， 则抛物线E总过定点和． 11．（上海市闵行区2026年九年级学业质量抽样调研数学学科）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 12．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 13．（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，__________．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？如果设衬衫的单价降了元，根据题意，得．（补填上合适的条件） 【答案】商场平均每天可多售出2件 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据所给方程和已知条件分析方程各项的含义，补全条件即可． 【详解】解：中，表示降价元后每件衬衫的盈利，表示降价元后每天的销售量，而是因降价元增加的销售量，意味着衬衫的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件． 14．（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值是__________． 【答案】 【分析】方程有两个相等的实数根时，，根据该关系列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：有两个相等的实数根，， 解得：． 15．（上海市奉贤区2025-2026学年第二学期九年级数学练习）如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据“当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根”进行求解即可． 【详解】解：由关于x的方程有两个不相等的实数根，可知： ， 解得：． 16．（上海市崇明区2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在中，，，将沿着过点的直线翻折，使点落在边上的点处，点是边上一点，若四边形是“等对角四边形”，则的值为__________． 【答案】或 【分析】先根据等腰三角形的性质求出各内角的度数，再结合“等对角四边形”的定义分两种情况进行解答即可． 【详解】解：在中，， ， 设过点的直线与相交于点P，连接， 由翻折的性质可知 当四边形是“等对角四边形”时，有以下两种情况： ①当时， ∵， ∴和点重合，如图所示， 此时， ∴ ∴四边形是“等对角四边形”； 设其中 ∴ ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴， 整理得到， 解得， 即（不合题意，舍去）， ∴时，， 即 ②当时，如图所示， 同理可得， ∴ ∴四边形是“等对角四边形”； 设其中 ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 由①可知， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， 综上可知，的值为或． 17．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 【答案】或 【分析】利用二次函数顶点解析式以及待定系数法进行求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得，， 将代入解析式得， 解得或． 18．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）请写出一个常数的值，使得关于的方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是______． 【答案】0（答案不唯一，满足即可） 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，即可得到符合要求的的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得， 那么的值可以是：0（答案不唯一，满足即可）． 19．（上海市黄浦区2026年二模九年级数学试卷）已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个相等的实数根时，判别式的值为，据此列方程求解即可. 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，整理得， 解得. 20．（2026·上海浦东·二模）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 故答案为：． 21．（2026·上海宝山·二模）关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 22．（2026·上海崇明·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】且/且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 23．（2026·上海娄山中学·二模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键；根据还原法求解即可； 【详解】方程，如果设， 则， ， 故答案为：； 24．（2026·上海静安·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据题意得出，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 25．（2026·上海闵行·三模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握：有实数根，则是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 26．（2026·上海静安·二模）方程•＝0的解是_______． 【答案】1 【分析】首先根据二次根式有意义的条件，判定x的取值范围，然后方程两边同时平方，解一元二次方程即可得解. 【详解】根据题意，得 解得 将方程两边平方，得 解得 综上， 【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件以及一元二次方程的求解，熟练掌握，即可解题. 27．（2026·上海宝山·二模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围． 【详解】∵关于x的方程有两个不相等的实数根， 解得， 解得． 三、解答题 28．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价y（万元）与年产量x（吨）的函数关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不用写定义域） (2)当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价每吨售价年产量） 【答案】(1) (2)吨 【分析】（1）由待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据题意可得，即可得到方程求解，再检验是否符合题意即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 代入和，则， 解得， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 而由题意得，，故不符合题意，舍去， ∴该产品的年产量为吨． 29．（2026年上海市上海市静安区上海田家炳中学中考前模拟数学试题）舍解可能是舍去增根，也有可能是因实际情况不允许而舍去． (1)已知关于的方程：有增根，求：； (2)某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，求：增长率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先，解分式方程得，再由分式方程有增根，得，解得或，最后，再分别代入计算即可； （2）设6、7月相同的增长率为x，再根据增长率公式：，列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，整理，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， ∵关于的方程：有增根， ∴，即或，解得或， 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，k的值为； （2）解：设6、7月相同的增长率为x， 根据题意，得，解得(不合题意，舍去)， 答：增长率为． 30．（上海市青浦区2026学年九年级数学试学科练习卷）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； (2)尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 【答案】(1) (2) 解：∵ ，底面积等于， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，方案1包装盒的表面积为：， ∵两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形， ∴得图 当， 时，满足条件， ∴， 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积 方案2包装盒的表面积为：， 则对方案2“表面积最小”的评价准确． 【分析】（1）根据图形可知剪去的长方形的长为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积； （2）根据底面积相同，可解方程得底边长宽分别为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积，即可验证方案． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， ∴ 则剪去的长方形的长为： 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积； （2）略 31．（上海市黄浦区2026年二模九年级数学试卷）解方程组： 【答案】， 【分析】整理后得出，解一元二次方程，再代入①解答即可； 【详解】解： ，由分式分母不为0，得， ②可化为： ， 将①代入，得 ，解得：③， 由①得，代入③得：， 整理得：， 因式分解得， 解得或， 代入①求并检验，时，；时，，两组解都满足原方程， 因此，是原方程组的解． 32．（上海市杨浦区2025--2026学年第二学期九年级数学阶段学情自测试卷）解方程组：． 【答案】 ， 【分析】先对第二个二次方程因式分解降次，将原方程组转化为两个二元一次方程组，再分别结合已知一次方程求解即可. 【详解】解： ， 对②因式分解得 ， 可得或 ， 原方程组可化为 和 ， 解 ， 把代入，得 ， 解得， 得 ， 即该方程组的解为 ， 解 ， 把代入，得 ， 解得， 得 ， 即该方程组的解为 ， 因此原方程组的解为，． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05一元二次方程及其应用 五年真题分类园 考点01一元二次方程及其应用 1.【答案】D 2.【答案】D 3【省案】<日 4.【答案】a>9 5. 【答案】2-21-V2+2 6.【答案】20% 7.【答案】K3 一年模拟练测园 一、单选题 1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】D 5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】D 8.【答案】B 9.【答案】B 二、填空题 10.【答案】 (2,0)和-L,6) 11.【答案】m<1 1/4 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17 12.【答案】m< 13.【答案】商场平均每天可多售出2件 14.【答案】2 15.【答案】m>3 5-1 16.【答案】2或5-2 17.【答案】k=3或k=2 18.【答案】0（答案不唯一，满足C>-l即可） 19.【答案】3 1 20.【答案】a≤4 4 21.【答案】c<1 22.【答案】a≤1且a≠0/a≠0且a≤1 y2-2y-1=0 23.【答案】 24.【答案】-4-0.25 25.【答案】k≥-1 26.【答案】1 27.【答案】m<9 三、解答题 28. x+80 1 【答案】I)y= (2)40吨 29. 或6 【答案】1)厂2 (2)20% 30. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)-2x2-60.x+6000 (2) 解：：DH=CF=100-2x,底面积等于600cm2, ,(100-2x)(30-x)=600 解得：x=20或x=60(舍去)， 当x=20时，方案1包装盒的表面积为：-2×202-60×20+6000=4000cm2, ,两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形， 得图 当FL=20cm,CF=30cm时，满足条件， D H G B ∴.AC=20cm,FB=50cm 则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积·正方形面积·长方形面积 =100×60-2×202-2×20×50=3200cm2 方案2包装盒的表面积为：3200cm2<4000cm2, 则AI对方案2‘表面积最小”的评价准确. 31. x=1 x2=2 【答案】 y=2,y2=1 32. 【答案】 314 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∫x=4∫x=6 y=4,y=3 专题05 一元二次方程及其应用 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 考点01一元二次方程及其应用 2026、2025、2024、2023、2022 一元二次方程根的判别式、一元二次方程实际与几何综合应用，覆盖 2022 至 2026 五年上海中考真题，题型以选择题、填空题为主，少量几何综合填空压轴，分值稳定 2-6 分，属于高频必考代数考点。 考点01 一元二次方程及其应用 1．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 4．（2023·上海·中考真题）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 5．（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____． 6．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为_____． 7．（2022·上海·中考真题）已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____． 一、单选题 1．（2026·上海风华中学·三模 ）方程的根的情况是（     ） A．有两个互为相反数的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 2．（2026·上海奉贤·二模 ）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·上海虹口·三模）判断关于x的方程根的情况（     ） A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 4．（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（ ） A． B． C． D． 5．（上海市普陀区2025学年第二学期九年级命题指导研修数学样卷）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么下列各数中，m可以取的值是（    ） A． B． C． D．0 6．（上海市黄浦区2026年二模九年级数学试卷）解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 7．（2026年上海市静安区中考数学二模练习）当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 8．（上海市松江区2025-2026学年九年级总复习阶段模拟练习数学）下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026年上海市娄山中学中考数学模拟考）下列关于的方程，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2026年上海市娄山中学中考数学模拟考）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点______． 11．（上海市闵行区2026年九年级学业质量抽样调研数学学科）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为__________． 12．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 13．（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，__________．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？如果设衬衫的单价降了元，根据题意，得．（补填上合适的条件） 14．（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值是__________． 15．（上海市奉贤区2025-2026学年第二学期九年级数学练习）如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 16．（上海市崇明区2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在中，，，将沿着过点的直线翻折，使点落在边上的点处，点是边上一点，若四边形是“等对角四边形”，则的值为__________． 17．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 18．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）请写出一个常数的值，使得关于的方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是______． 19．（上海市黄浦区2026年二模九年级数学试卷）已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值是______． 20．（2026·上海浦东·二模）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______． 21．（2026·上海宝山·二模）关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 22．（2026·上海崇明·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____________． 23．（2026·上海娄山中学·二模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为______． 24．（2026·上海静安·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 25．（2026·上海闵行·三模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 26．（2026·上海静安·二模）方程•＝0的解是_______． 27．（2026·上海宝山·二模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 三、解答题 28．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价y（万元）与年产量x（吨）的函数关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不用写定义域） (2)当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价每吨售价年产量） 29．（2026年上海市上海市静安区上海田家炳中学中考前模拟数学试题）舍解可能是舍去增根，也有可能是因实际情况不允许而舍去． (1)已知关于的方程：有增根，求：； (2)某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，求：增长率． 30．（上海市青浦区2026学年九年级数学试学科练习卷）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； (2)尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 31．（上海市黄浦区2026年二模九年级数学试卷）解方程组： 32．（上海市杨浦区2025--2026学年第二学期九年级数学阶段学情自测试卷）解方程组：． / 学科网（北京）股份有限公司 $