专题05 二次函数（5年汇编）（福建专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦二次函数专题，汇编2022-2026年福建中考真题及模拟题，覆盖高频考点，强化数形结合与分类讨论思想，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约20题|二次函数性质（对称轴、开口方向、参数范围）|2026福建卷结合点到对称轴距离考查函数值比较，2023卷融入增长率实际应用| |填空题|约10题|含参取值范围、交点距离|2022卷通过两抛物线交点距离关系求参数，突出综合计算| |解答题|约15题|几何代数综合（顶点、面积、定点定值）|压轴题多小问梯度设计，如2026卷第(3)问结合外心与坐标法探究数量关系，区分度强|

专题05 二次函数 5年真题1年模拟 考点分类 福建考情（2022-2026） 命题规律 考点01二次函数的性质 2026 福建卷、 2025 福建卷、 2024 福建卷、 2023 福建卷、 2022 福建卷 高频压轴选择题、填空题；核心考查对称轴、开口方向、点到对称轴距离与函数值大小比较、含参数取值范围；偶尔结合增长率实际应用；侧重数形结合，易错点：分类讨论点在对称轴左右两侧、距离比较不等式建立。 考点02 二次函数压轴 2026 福建卷、 2025 福建卷、 2024 福建卷、 2023 福建卷、 2022 福建卷 试卷最后一道几何代数综合大题，多小问梯度设问；常综合顶点、判别式、坐标交点、直线相交、距离相等（外心）、面积倍数、定点定值、几何等量探究；核心思想：数形结合、坐标法、分类讨论；难度大，区分整张试卷水平，第 (1)(2) 问基础易得分，第 (3) 问综合性强。 考点01 二次函数的性质 1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 2．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． 3．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， 当时，， ， 故A、B错误，不符合题意； 当时，， 由二次函数对称性可知，， 当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于， 故C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 4．（2023·福建·中考真题）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2023·福建·中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵分别位于抛物线对称轴的两侧， 假设点在对称轴的右侧，则，解得， ∴ ∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧， ∴ 解得： 又∵， ∴ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2022·福建·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______． 【答案】8 【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。 【详解】解： 把y=0代入得：， 解得：，， 把y=0代入得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 即， ， 令，则， 解得：，， 当时，，解得：， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，，解得：， ∵， ∴符合题意； 综上分析可知，n的值为8． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键． 考点02 二次函数压轴 1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)证明：抛物线上的点在轴上方， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有两个交点． (3)和的数量关系是， 证明：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，如图， 故可设，，， 则，是方程的两根， 由求根公式可得，， 又坐标平面内存在点满足， 由对称性可设， 由勾股定理可得，，， ， 解得， 点的坐标为， 直线与相交于点， ， 联立，解得， 点的坐标为， 由，可知， 又， 垂直平分， ． 【分析】（1）将，代入抛物线表达式，配方得顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可； （2）由抛物线上的点在轴上方得，进而得， 进而得判别式为，得有两个不相等的实数根，进而判断抛物线与轴有两个交点； （3）设，，，由对称性可设，根据抛物线与方程的关系可得、，根据勾股定理得，，由列式计算可得点的坐标，联立直线与可得点的坐标，进而得，由得垂直平分，进而得． 【详解】（1）解：，， ， 抛物线的顶点坐标为． （2）略 （3）略 2．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①； ②证明：因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②略 3．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． （2）设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 4．（2023·福建·中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，且，求证：三点共线； (3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2)证明：      设直线对应的函数表达式为， 因为为中点，所以． 又因为，所以，解得， 所以直线对应的函数表达式为． 因为点在抛物线上，所以． 解得，或． 又因为，所以． 所以． 因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线； (3)的面积为定值，其面积为2 【分析】（1）将代入，即可解得； （2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线； （3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2． 【详解】（1）解：因为抛物线经过点， 所以 解得 所以抛物线的函数表达式为； （2）略 （3）解：的面积为定值，其面积为2． 理由如下：（考生不必写出下列理由） 如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．      如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值． 又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值． 在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键． 5．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或（3，4） (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解； （3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值． 【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）设直线AB的解析式为， 将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以直线AB的解析式为． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E． 所以 ． 因为A（4，0），B（1，4），所以． 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 所以，． 设，则． 所以， 即， 解得，． 所以点P的坐标为或（3，4）． （3） 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 ， ， 设 直线AB的解析式为． 设，则 整理得 时，取得最大值，最大值为 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键． 1．（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 2．（2026·福建三明·三模）将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 3．（2026·江苏南通·一模）二次函数的图象过点，，，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出对称轴为直线，故点为顶点坐标．把其余两点代入函数解析中可得，，进而可判断出，因为恒为正，且，故必为负，必为正，由此可列不等式组，解不等式组即可解决问题． 【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线，故点为顶点坐标． ， 二次函数的图象还过，两点， ，， 比较点和点到对称轴的距离， 即，且， ． ∵， 恒为正， ∵， 必为负，必为正， 故有， 解得：． 4．（2026·福建南平·二模）二次函数（m是常数且）图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据二次函数和一次函数解析式得出两者都恒过定点，与轴的交点都为．当时，画出大致图象，根据选项一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线与直线都恒过定点，与轴的交点都为． 当时，大致图象如下， 由图可知，当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，若，则，若，则，故选项D不一定正确，符合题意． 5．（2026·福建三明·二模）小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程的根，他发现方程有四个不等实数根，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，将方程转化为与的交点问题，画出函数图象得到的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：画出的图象如图： ∵方程有四个不等实数根， ∴， 故的值可能是1. 6．（2026·福建泉州·二模）作二次函数（）的图象关于原点的中心对称图形，所得图象的解析式为，当时，二次函数最大值与最小值的差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用关于原点中心对称的坐标变换求出原二次函数的解析式，再根据开口向上的二次函数性质，在给定范围内找出最大值和最小值，计算二者的差即可. 【详解】解：设对称后图象上任意一点为，则其关于原点的对称点在原二次函数上 将代入原函数得 ， 整理得对称后函数解析式为， ∵对称后解析式为，展开得， ∴， ∴原函数整理为， ， 二次函数开口向上，对称轴为， ∵ ∴当时，值最小，即 到对称轴距离为，到对称轴距离为，， 最大值在处，代入得； 最大值与最小值的差为. 7．（2026·福建泉州·模拟预测）已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先代入已知点坐标得到和关于的表达式，再根据顶点在第一象限的条件确定的取值范围，最后将表示为的一次式，即可求出的取值范围. 【详解】解：∵二次函数过点和， ∴ ， 整理得， ∵抛物线顶点在第一象限，且过和， ∴抛物线的开口向下，即，顶点横坐标为， ∴， ∴， 即，综上得 ， ∵，代入，得：， ∵， ∴， ∴，即. 8．（2026·福建漳州·模拟预测）已知抛物线经过不同的两点，，当时，，若，则d的值可能为（     ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】抛物线对称轴为y轴，先根据给定的范围的不等式判断开口方向，再利用点在抛物线上推导和d的关系，验证选项得到结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， 若，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，不满足时， ∴，抛物线开口向上，开口向上时，，随增大而减小，最小值在处， ∴， 将代入抛物线得， ，得， ∵ ∴， ∴，且当时，取得最小值． 由①式得， ∴抛物线为， 将代入抛物线得， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， ∴，故排除选项A（）和D（）， 对，满足，但此时，得到，不存在a的值．故排除选项C． 综上所述，d的值可能为，B选项符合题意． 9．（2026·福建泉州·模拟预测）已知点和在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算点M的纵坐标，可知当时，．再分a的正负讨论，结合抛物线的图像性质，推导出满足条件的a的取值范围． 【详解】解：∵，代入得：，由题意可得对于，，都有，此时当时，． ∵抛物线的对称轴为直线， 当 时，抛物线开口向下，对称轴 当时，随着的增大而减小，故最小值在处，此时， ∵， ∴， ∴，不满足条件； 当时，抛物线开口向上，对称轴 当时，随着的增大而增大，故最小值在处，此时， ∵， ∴要使，则有， 解得， ∴． 综上所述，． 10．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，点是抛物线的顶点，点、点在抛物线上，轴，，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把抛物线解析式化成顶点式可得，即点；再结合以及图形可求得点B、点C的纵坐标为，点D的纵坐标为，然后求出、，最后代入求出比例即可． 【详解】解：∵， ∴点， ∵， ∴点B的横坐标为，点C和点D的横坐标为， ∴点B、点C的纵坐标为，点D的纵坐标为， ∴，， ∴． 11．（2026·福建泉州·二模）设抛物线的顶点为，与轴分别交于两点，判定的形状是（     ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再求抛物线与轴交点得到的长度，利用抛物线对称性得到为等腰三角形，再根据线段长度关系判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴顶点的坐标为，到轴的距离为 令，得， 解得，， ∴两点在轴上的坐标为和， 可得 ∵抛物线对称轴为，顶点在对称轴上， ∴，是等腰三角形， ∵到的距离为，满足到的距离， 可得， ∴是等腰直角三角形． 12．（2026·福建泉州·模拟预测）抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到与的关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 13．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线 过点， ，当 时，若存在使，则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用开口向上抛物线的函数值性质，先推导对称轴的位置，再利用对称轴左侧的单调性比较与的大小． 【详解】设抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，函数值满足：点离对称轴越远，函数值越大， ∵，抛物线 过点， ， ∴， ∴两边平方得， 整理得：， ∵， ∴， 不等式两边除以，不等号方向改变得：，即， ∵， ∴，要存在满足不等式，必有，即对称轴在轴右侧， ∵抛物线开口向上，对称轴左侧（）随增大而减小， 又∵，、都在对称轴左侧，将代入抛物线得， ∴一定成立． 14．（2026·福建厦门·三模）如图，在正方形中，是边上的动点，连接，过点作交于点，在点从点运动到点的过程中，线段长度的变化情况是（     ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 【答案】D 【分析】设正方形边长为，，，通过证明，建立与的函数关系式，利用二次函数的性质判断的变化情况． 【详解】设正方形的边长为，，，则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， 该函数图象开口向下，对称轴为直线， 点从点运动到点，即， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 线段长度的变化情况是先变大再变小． 15．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线经过，当时，总有，则的值不可能为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据抛物线性质得到的取值范围，再判断选项即可，解题用到开口向下的二次函数函数值与点到对称轴距离的关系． 【详解】∵抛物线 中 ∴抛物线开口向下，点到对称轴距离越近，函数值越大，抛物线对称轴为 ， 当 时总有 ，都有 ， 整理得 ，即（） 当时，， ∴根据抛物线的性质可知， ∵ ∴ 解得 ∵选项中只有 不满足条件 ∴的值不可能为1． 16．（2026·福建宁德·一模）对于二次函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，该二次函数的图象与轴没有交点 B．当时，该二次函数的图象与轴必有交点 C．当时，在第一象限内，的值随值的增大而增大 D．当时，在第二象限内，的值随值的增大而减小 【答案】C 【分析】可通过判别式判断函数与x轴的交点情况，结合对称轴位置和开口方向判断函数增减性，推导判断各选项正误． 【详解】解：二次函数中，，判别式 ，对称轴为， 对于选项A：当时，取， ，得 ，函数图象与轴有交点，A错误； 对于选项B：当时，取， ，得 ，函数图象与轴没有交点，B错误； 对于选项C：，二次函数开口向上，，即对称轴在轴左侧，第一象限内，所有点都在对称轴右侧，开口向上的二次函数在对称轴右侧随增大而增大，C正确； 对于选项D：，取， ，满足，得对称轴 ，当 ，代入得， ，增大时增大，说明第二象限内不是随增大而减小，D错误。 17．（2026·福建漳州·模拟预测）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根所在的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】仿照题干给出的方法，将原方程变形得到两个函数，方程的实数根即为两个函数图象交点的横坐标，通过计算不同x处两个函数的函数值，结合函数增减性即可判断交点所在范围． 【详解】解：∵不满足方程， ∴， 方程两边同除以，得， 因此方程的实数根是函数与图象交点的横坐标， ∵当两个函数图象相交时，交点的纵坐标， ∴当两个函数图象相交时，交点的横坐标， 当时，，，可得， 当时，，，可得， ∵在时，y随x的增大而增大，在时，y随x的增大而减小， ∴两个函数交点的横坐标满足，即方程的实数根所在范围是． 18．（2026·福建厦门·模拟预测）经研究发现某型号火箭高度与时间的关系近似满足二次函数，科研人员在测试该型号火箭向上竖直升空时，获得的部分数据如下表，则下列判断正确的是（     ） 时间 火箭高度 A．火箭在前持续上升 B．火箭在后才开始下降 C．火箭在前可以达到 D．火箭在时的高度低于 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，结合火箭运动轨迹确定开口方向，再利用待定系数法求出函数解析式，结合二次函数的增减性和对称性逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：∵二次函数中，和时相等， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵火箭先上升后下降， ∴二次函数开口向下， ∴，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，最高点在处， ∴火箭在后已经开始下降，故选项错误； 设函数解析式为，代入和得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得或， ∴最早才达到，前无法达到，故选项错误； ∵关于对称轴的对称点为， ∴， ∵时随增大而减小，且， ∴，即时高度低于，故选正确． 19．（2026·福建漳州·模拟预测）已知抛物线 与x轴交于A，B两点，抛物线 与x轴交于 C，D两点，其中．若，则b的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出两个抛物线与x轴的交点坐标，根据确定四个交点在x轴上的位置顺序，再根据列出关于的方程，解方程即可得到结果. 【详解】解：把代入得：， 解得，， ∵， ∴； 把代入得：， 解得，， ∵， ∴， ∴四个交点的横坐标从小到大依次为， 不妨设横坐标为，横坐标为，横坐标为，横坐标为； ∵x轴上两点距离为大横坐标减小横坐标， ∴，； ∵， ∴，解得，符合， 故的值为. 20．（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 【答案】D 【分析】先对二次函数配方得到对称轴，再根据给定区间的增减性确定开口方向，最后根据最值条件确定k的取值范围，选出符合条件的选项． 【详解】解：对二次函数配方得：， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，随的增大而增大，且，说明对称轴左侧随增大而增大， ∴抛物线开口向下，即． 当时，代入得， 关于对称轴的对称点为， 即时． ∵开口向下时，点离对称轴越远函数值越小，且时，函数最大值为，最小值为， ∴， 观察选项，只有在范围内． 21．（2026·福建南平·一模）抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线与x轴两交点，求出对称轴；根据抛物线平移对称轴不变，算出A、B两点到对称轴的距离，分别为定值2和；按开口向上：函数值越大，离对称轴距离越远；开口向下，函数值越小，离对称轴距离越远，分类进行讨论，根据列绝对值不等式，结合a的正负范围取交集，求出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线过点，，且P、Q是两个不同交点， ∴，且， ∴其对称轴为： ∵抛物线向上平移2个单位得到，对称轴不变， ∴的对称轴仍为． ∵，，两点到对称轴的距离分别为： 当时（开口向上）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大． 要使恒成立，需，即： 解得或， 即或． ∵ ∴． 当时（开口向下）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． 要使恒成立，需， 即： 解得，即． ∵， ∴． 综合两种情况可得：a的取值范围为：或． 22．（2026·福建漳州·模拟预测）已知点，，在抛物线上，则下列结论中，错误的是（   ） A．当时， B．存在实数a，使得 C．a取任意非零实数时，都有 D．a取任意非零实数时，都存在t，使得 【答案】D 【分析】把点，，代入抛物线，可得，，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：把代入，得， 把代入，得， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∴A选项正确，不符合题意； 令，即，， 解得， ∴存在实数a，使得， ∴B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴取任意非零实数时，都有， ∴C选项正确，不符合题意； 若，则， ∵， ∴， 当时，，与矛盾， ∴当时，不存在，使得， ∴D选项错误，符合题意． 23．（2026·福建泉州·二模）已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二次函数纵坐标相等的两点求出原函数对称轴，再根据函数平移规律得到目标方程对应函数的对称轴，最后利用二次函数交点关于对称轴对称的性质推导两根之和． 【详解】解：∵二次函数经过纵坐标相等的两点， ∴原二次函数的对称轴为直线， ∵令 ，它是原二次函数向右平移3个单位得到的函数， ∴的对称轴为直线， ∵方程的两个根是图象与图象的两个交点的横坐标，这两点关于二次函数的对称轴对称， ∴，整理得； 而的值不确定，因此只有B选项正确． 24．（2026·福建南平·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质判断即可 【详解】解：∵已知抛物线与x轴交于，两点， 根据抛物线与x轴交点的横坐标，得出抛物线的对称轴， ∴抛物线对称轴是直线， ∴点D是抛物线的顶点， ∵不确定a大于还是小于0，根据点D横坐标与抛物线的对称轴，判断点D为顶点；a的大小不确定，需分类讨论． ∴抛物线开口方向不确定，是这个二次函数的最值，但不确定是最大值还是最小值， ∴和的大小关系不能确定，故C，D选项错误； 由于是这个二次函数的最值，只要C不是顶点，即， ，都有， 当时，开口方向仍有两种可能， ∴和的大小关系不能确定，故A选项错误； 当时，抛物线开口向下，是这个二次函数的最大值，故，B选项正确． 25．（2026·福建三明·一模）已知二次函数（m为常数）．若，点，在该函数图象上，则p与q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】分别代入求出，再作差比较大小即可． 【详解】解：二次函数， ， ， 又， ，则， 即， 故，即． 26．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题利用抛物线对称轴性质，垂直关系和线段相等条件，结合点M在抛物线上的坐标性质，化简推导得到长度的平方，即可求出． 【详解】解：设点，，抛物线对称轴为直线， ∵，由勾股定理得：， 代入坐标得：， 展开化简得：， ∵在抛物线上， ∴， 两边除以得：， 设是抛物线与轴交点， ∴， 两边除以得， ∵， ∴， 代入坐标得： ， 展开化简并代入，得： ， ∴， 把代入得： ， 化简得：， ∵， ∴． 27．（2026·福建漳州·一模）已知是抛物线上不同的三个点．若对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，然后分别画图求解和时的的取值范围． 【详解】解：对于，对称轴为直线， ∵，如图： ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ∵，如图： ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 综上：． 28．（2026·福建厦门·一模）从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；）与小球的运动时间t（单位：）之间满足．则下列选项中正确的是（   ） A．和时，小球离地面的高度相同 B．时，小球到达最高点 C．时，小球回到地面 D．时，小球处于下降阶段 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，当时，，利用待定系数法可得，据此利用二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，当时，， ∴， ∴或（舍去）； ∴， 当时， 当时，， ∴和时，小球离地面的高度不相同，故A说法错误； ∵， ∴当时，有最大值， ∴时，小球到达最高点，故B说法错误； 当时，， ∴时，小球没有回到地面，故C说法错误； ∵，， ∴当时，h随t的增大而减小， ∴当时，小球处于下降阶段，故D说法正确； 故选：D． 29．（2025·福建龙岩·一模）已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴为，根据和关于对称，分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，点关于对称， ①当时，则点关于对称轴对称， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴， ∴， ∴； ③当时，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：； 故选A． 30．（2026·福建泉州·模拟预测）等边中，，点P、点Q分别是、上的动点，且，过、P、Q三点作，则半径的最小值为________． 【答案】2 【分析】连接，过点作，由题意易得，则有，然后可得，要使的半径为最小，即的值为最小，则需满足的值为最小，过点作，设，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 要使的半径为最小，即的值为最小，则需满足的值为最小， 过点作，设，则有， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即， ∴的最小值为， 即半径的最小值为． 31．（2026·福建福州·模拟预测）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，涨价元时，利润最大，可设解析式为，其中，故抛物线开口向下，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大，据此结合题意列不等式组即可求解. 【详解】设月利润为元，涨价额为元，二次函数为，，其对称轴为． 存在最大值， 抛物线开口向下，，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大， 由题意可得：， 当时，不等式组可化为：，不等式组无解， 当时，不等式组可化为：，解得， 当时，不等式组可化为：，该不等式组恒成立， 综上所述：． 32．（2026·福建宁德·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根．下列说法：①的取值范围是；②若，则的值为或5；③二次函数的最小值总不大于0；④代数式的最大值是．其中正确的是________．（填写序号） 【答案】①③ 【分析】根据一元二次方程根的判别式得到的取值范围即可判断①，结合根与系数的关系得出，，代入，整理得出关于t的一元二次方程，解方程结合①t的取值范围即可求出t的值，即可判断②，把二次函数的一般式化成顶点式即可判断③，把化为关于t的二次函数，利用二次函数的性质可判断④． 【详解】解：已知，是一元二次方程的两个实数根， 对于①由根的判别式得，解得，故①正确． 对于②由根与系数的关系得，， 代入得：； 整理得： 解得或， 因为， 所以舍去，仅符合题意，故②错误． 对于③二次函数，开口向上，最小值为， 因为，所以，即最小值总不大于，故③正确． 对于④因为是方程的根， 所以， 则，又， 因此原式， 该式是关于的二次函数，开口向下，对称轴为， 因为， 所以当时，原式取得最大值， 代入得最大值，故④错误． 综上：①③正确； 33．（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷），为方程的两个实数根，则k的取值范围为_____． 【答案】且 【分析】方程有两个实数根，说明该方程为一元二次方程，二次项系数不为，且根的判别式大于等于，再利用图象法解不等式即可． 【详解】解：，为方程的两个实数根， 该方程为一元二次方程，可得， 这里，，， ． 方程有两个实数根， ，即， 整理得，， 故令，其函数图象如下图所示： 当时，即， ，即，， 由图象可知，当时，即， 此时，， 综上，的取值范围是且． 34．（2026·福建厦门·三模）已知点是抛物线上的点，其中点A，C在抛物线对称轴的两侧．若，则c，，的大小关系是________． 【答案】 / 【分析】根据抛物线开口方向，结合已知条件先求出对称轴的取值范围，再明确是抛物线处的函数值，利用开口向上的抛物线上点到对称轴的距离越大，函数值越大的性质，比较三个点到对称轴的距离即可得到大小关系． 【详解】解：抛物线中，因此抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越大， 设抛物线对称轴为，则， ∵， ∴， ∴，整理得，解得， ∵点，在对称轴两侧，的横坐标为，的横坐标为， ∴， ∴， 当 时，代入抛物线解析式得，因此是抛物线上横坐标为的点的函数值， ∵，，，且， ∴ ∴， ∴． 35．（2026·福建漳州·模拟预测）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量开始快充时，累计充电时间与汽车仪表盘显示的电量的关系可用二次函数近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程与电量的关系如下表所示． 汽车仪表盘显示的电量 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为，此时到目的地的路程还有．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则充电时间为________． 【答案】/ 【分析】由表可知，每行驶千米，需要的电量，根据题意可得，电量需充到，根据累计充电时间与汽车仪表盘显示的电量的关系，即可求解． 【详解】解：由表可知，每行驶千米，需要的电量， 根据题意可得，电量需充到， 在中， 当时，， 当时，， ∴充电时间为． 36．（2026·福建三明·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线图象上的三点，若时，满足恒成立，则的整数部分数值为_____． 【答案】 【分析】通过代入三点横坐标求出抛物线对应纵坐标，根据函数值的大小关系列不等式解出的取值范围，结合时不等式恒成立的条件确定的取值范围，进而得出的整数部分即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵点在抛物线上， ∴， ， ， 由得 ， 化简得， ∵，两边除以，不等号方向改变，得， 解得， 由得 ， 化简得， ∵，两边除以，不等号方向改变，得，解得， ∴， ∵时不等式恒成立， ∴的整数部分为． 37．（2026·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，其中为常数且．若，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将原不等式整理为一元二次不等式，因式分解求解对应一元二次方程的根，根据判断两根大小，利用二次函数的性质得到一元二次不等式的解集，再结合已知条件排除不成立的解集，即可得到的取值范围． 【详解】解： 令 因式分解得 解得， ，即 设， ∵二次项系数为， ∴二次函数开口向上， ∴当时，或，即或， ，且， ∴与无公共解，舍去， 故的取值范围为． 38．（2026·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，在线段上取一点（不与，重合），点的横坐标为，作轴于，交双曲线于，记．若随的增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】先根据点A在双曲线上求出a的值，进而得到直线解析式和交点B的横坐标，确定t的初始取值范围，再用t表示d，得到d关于t的二次函数，根据二次函数的增减性求出满足条件的t的范围． 【详解】解：点在双曲线上， ， 解得， 即． ①当时，， 将代入，得 ， 解得， ∴直线 当时， 解得，， 即点的横坐标为， 点在线段上，不与，重合， ． 由题意得，，，且时，，， ， 该二次函数开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而减小，结合得． ②当时，，将代入，得 ， 解得， ∴直线， 当时， 解得，，即点的横坐标为， 点在线段上，不与，重合， ． 由题意得，，， 且时，， ， ， 该二次函数开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而减小， 结合，得 ． 综上，的取值范围是或． 39．（2026·福建厦门·一模）抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，等边三角形的性质，勾股定理，首先根据顶点式确定原抛物线的顶点 A 的坐标，再写出平移后的抛物线方程和顶点B的坐标．联立两条抛物线方程求出交点C的坐标；过点C作于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出的长和点D的坐标，进而建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，点A的坐标为， ∵将抛物线沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B， ∴点B的坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为， 联立，得， ∴或， 当时，，不符合题意； 当时，， 在中，当时，， ∴； 如图所示，过点C作于D， ∵是等边三角形， ∴（向右平移，m是正数）， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为： 40．（2026·福建泉州·模拟预测）若对于实数，，满足，且当时，对应的函数值的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”． (1)若二次函数存在“保值区间”，且当时的一个“保值区间”为，求的值； (2)已知为二次函数的“保值区间”，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由当时的一个保值区间为，可得当时，，据此求解即可； （2）由为二次函数的“保值区间”，可得，，所以，为关于的一元二次方程的根，求出，，，然后用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵的二次项系数1大于0，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 当时的一个“保值区间”为，且， 当时，， ，． 又 ∴； （2）解：的二次项系数1大于0，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 为二次函数的“保值区间”， 当时，， 当时，， 整理得，， ，为关于的一元二次方程的根， ，，， ∴原式． 41．（2026·福建漳州·模拟预测）抛物线经过点． (1)求c的值； (2)已知B是x轴上方的抛物线上一点，轴，垂足为H，且 ①求证：为定值； ②若抛物线上有且仅有两个点C，D（异于点B），使得的面积相等，求该抛物线的函数表达式． 【答案】(1) (2)①证明：设， 点在轴上方， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ，为定值． ②抛物线的函数表达式为或 【分析】（1）把点代入抛物线，即可求解； （2）①设，则，根据，得到，因此，从而可推出，得到，即可证明，为定值； ②根据同底三角形面积相等得点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于，结合交点个数要求，利用一元二次方程判别式求出b的值，即可得到抛物线解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． （2）①略； ②∵的面积相等，且它们有公共边，在x轴上， ∴点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于， ∴点B，C，D是直线或直线与抛物线的交点， 由方程组得， ∵， ∴该方程总有2个不同实根，对应抛物线上2个点，其中一个为B，因此异于B有1个点满足条件． 由方程组得， ∵要求异于B共有2个点满足条件， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为或． 42．（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，将点坐标代入，解方程求出的值，再结合即可得到结果． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 整理得 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由得抛物线解析式为， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴根据平移规律，得到平移后的解析式为， ∵平移后抛物线经过点， ∴将，代入得， ， 解得，， ∵， ∴． 43．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用点C坐标与对称轴为求出，再求出点D的坐标，进而分别求出点C、D到的距离，利用列出方程，求出、的值，从而求出抛物线的解析式． 【详解】解：如图，令直线与交于点F， 将点代入抛物线得：， 抛物线对称轴为， ， ， 抛物线解析式为， 将代入得：， ， 轴，点P的纵坐标为2， 、， 、， 抛物线的图象开口向下， ， ， ， ， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为． 44．（2026·福建福州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点在轴下方的抛物线上运动，直线，分别交抛物线的对称轴于点，，当点，均在点的下方时，试判断是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，计算即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， ， 解得，                                   抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 抛物线的解析式为 对称轴为直线， 在中，当时，， ， 如图，设点， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式， 在中，当时，， ， ． 同理可得直线的解析式为，                      在中，当时，， ， ， ． ∴是定值，且． 45．（2026·福建南平·二模）如图，二次函数（其中）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 (1)点B的坐标为______，点C的坐标为_______； (2)若点D为的外心，判断的形状并说明理由； (3)若点D为的外心，与的面积之比为，求二次函数的表达式． 【答案】(1)， (2)解：是等腰直角三角形， 理由：由（1）知点，点，点， ∴，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵点D为的外心， ∴，即是的内接三角形，如图： ∴， ∴是等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）在中，分别令，，即可求解； （2）由（1）知点，点，点，可得，易证是等腰直角三角形，且，根据点D为的外心，得到是的内接三角形，利用圆周角定理可得即可说明； （3）由（2）得是等腰直角三角形，易证，结合已知可得，求出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得，即， 解得，， ∴点，点， 在中，令得， 点； （2）略 （3）解：由（2）得是等腰直角三角形， ∴， ， ∵点，点，点， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； ∴二次函数的表达式为． 46．（2026·福建泉州·二模）问题探究 定义：对于一个函数，若存在自变量，对应的函数值也等于，则称点为该函数图象上的一个“不动点”．例如：对于一次函数，当时，，则点为该函数图象上的一个“不动点”．请你尝试探究下面问题． (1)对于反比例函数，求当满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？ (2)已知二次函数（m为常数）． ①求证：无论m取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②若点和点是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段的长是否与m的取值有关？ 【答案】(1)当k满足时，该函数图象上存在“不动点” (2)①设是二次函数图象上的点， 则， 即， ∵， ∴以上方程有两个不等实根， 即该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②线段的长与m的取值无关 【分析】（1）设反比例函数图象上存在“不动点”，可得出，问题得解； （2）①设是二次函数图象上的点，将其代入二次函数解析式，即可得到关于的一元二次方程，再根据方程的判别式判断根的情况，问题得解； ②由①得方程的两根，，根据根与系数的关系，可以列出、的式子，再根据勾股定理表示出，再代入、的式子，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的图象上存在“不动点”，即， 则，即， ∴当k满足时，该函数图象上存在“不动点”； （2）①略 ②由①得方程的两根，满足， ∴ ， 即线段的长与m的取值无关． 47．（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）． (1)若比长米，求、的长； (2)若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 【答案】(1)长米，长米 (2)花园可以围出的最大面积是 【分析】（1）设长米，依据比长6米表示出的代数式，再结合栅栏总长米列一元一次方程，解方程得到长后算出长度； （2）先设为米，用总长表示，根据树木位置列出的取值不等式确定取值范围，列出面积二次函数，根据函数性质即可求出最大面积． 【详解】（1）解：设长米，则长米， 根据题意，得：， 解得； ∴； 答：长米，长米； （2）解：设长米，则长米， 由题意得， 解得， ∵花园面积 ， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，花园的面积取得最大值， ， 答：花园可以围出的最大面积是． 48．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)若抛物线经过点，，且与直线在第一象限内交于点；为抛物线在第四象限的图象上一点，是否存在这样的点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；理由如下： 抛物线的对称轴为， ，抛物线开口向上 又∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ． (2)不存在，理由如下： ∵抛物线经过点、． ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵抛物线与直线在第一象限内交于点， ∴联立，得． 解得（不符题意，舍去）或， ∴， ． ，， ， ， ． 设，且在第四象限， ，． ∵直线的解析式为，点到直线的距离为， ． 化简：． ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在这样的点． 【分析】（1）由抛物线的解析式得其对称轴为直线，另一方面，由题意得抛物线的对称轴为直线，由此即可得与关系； （2）由待定系数法可求得抛物线的解析式为，从而可求出抛物线与直线在第一象限内交于点的坐标，与的面积；设，且在第四象限， 从而可表示的面积，这样得到关于t的一元二次方程，判断方程是否有解即可判断点D是否存在． 【详解】（1）解：；理由略； （2）解：不存在；理由略． 49．（2026·福建泉州·二模）如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为． (1)求的值； (2)点是抛物线上第四象限的一动点，当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入中，进一步可得答案． （2）如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点，此时，求解点坐标为，直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：将代入中， 得 ． 解得； （2）解：将代入中，得 ∴， 解得，， ∴点坐标为， 将代入中，得 解得， ∴点坐标为． 如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点， 此时， ∵关于轴对称点为． ∴点坐标为． 设直线解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线解析式为． 联立方程， 解得，， ∴点坐标为． ∴． ∴的长为． 50．（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上的一点，且在直线下方．过点作轴的垂线，垂足为，直线交直线于点，设点为．若的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2) 【分析】（1）将点代入解析式得出，进而代入得出，根据对称轴公式，即可求解； （2）根据题意得出，其中，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得；此时该抛物线为， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 设直线的表达式为，代入， 那么， ∴， ∴直线为， 将代入，可得，即， ∵抛物线位于直线下方， ∴，其中， 对于，，则其图象开口向下，对称轴为直线， ∵的长随的长的增大而增大，即的长随t的增大而增大， ∴ 的取值范围为． 51．（2026·福建福州·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点A，点B，交y轴于点．且a，b，c满足和，连接．点P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与B，C重合）： (1)求二次函数解析式； (2)连接，，若，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的表达式为，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，根据轴，轴，推出，在中，由，求的取值范围，然后根据三角函数的定义求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：依题意，得．二次函数的图象经过点和点， ∴二次函数的表达式可写为． ∵点在抛物线上， ， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为，把点和点代入，得：， 解得：， ∴直线的表达式为； 过点作轴于点，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， 轴，，， 轴，， ． ． ，，， ，， 在中，． ， ， ． 当时，， ， ， ， 同理当时，， ． 52．（2026·福建泉州·模拟预测）综合与实践 为了落实阳光体育运动，学校计划开展跳绳比赛，某数学项目组决定协助跳绳比赛筹备组对多人跳绳的站队方式进行了相关研究． 【数学模型】 如图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作一条抛物线（如图所示）． 【实践操作】 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为米，并且两人相距米； 第二步：当绳子甩到最高点时，最高点距地面的垂直距离为米； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 【问题解决】： (1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线的函数表达式； (2)当绳子甩到最高处时，试通过计算说明身高米的小明，从乙的左侧距离乙米处进入跳绳游戏，能否顺利通过？ (3)现有位同学身高如下（单位：米）：，，，，，并按如图将这位同学与两位摇绳人并排一列方式同时起跳，为了确保安全，要求相邻两人的间距至少为米．当这位同学同时落地时，绳子能否顺利甩过所有队员的头顶？若能，请写出一种队列方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)解：小明能顺利通过，理由如下： 由条件可知，小明同学进入跳绳位置的横坐标为， 当时，， ， ∴小明能顺利通过． (3)绳子能顺利甩过所有队员的头顶，方案：这位同学相邻两人的间距都为米，且身高的同学排在抛物线对称轴的位置，身高和两位同学排在身高同学的前后，身高和两位同学排在两端（除最高同学外的四位同学的位置不唯一），如：可按，，，，的顺序排成一列 【分析】（1）绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，用待定系数法求解即可； （2）由时求出其相应的函数值，进一步与进行比较即可确定结论； （3）由自变量的值求出函数值，再逐一比较便可得出结论． 【详解】（1）解：由已知条件可知该抛物线过点，顶点坐标为， ∴设该抛物线的表达式为， 将代入，得，解得， ∴绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为， 即． （2）略 （3）解：绳子能顺利甩过所有队员的头顶，方案如下： 这位同学相邻两人的间距都为米，且身高的同学排在抛物线对称轴的位置，身高和两位同学排在身高同学的前后，身高和两位同学排在两端（除最高同学外的四位同学的位置不唯一）， 如：可按，，，，的顺序排成一列． ∵将代入得， ∴绳子能顺利甩过身高同学的头顶． ∵将代入得， ∴绳子能顺利甩过身高和两位同学的头顶， ∵将代入得， ∴绳子能顺利甩过和两位同学的头顶， ∴按这种队列方案能使绳子顺利甩过所有队员的头顶． 53．（2026·福建三明·三模）已知二次函数． (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个交点； (2)若该二次函数图象的对称轴是直线，且此对称轴与该二次函数图象交于点． ①求该二次函数的解析式； ②直线与该二次函数图象交于点、，当的面积为时，求此直线的解析式． 【答案】(1)证明：令得：， 判别式为 ， ， ， 该二次函数的图象与轴总有两个交点； (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）令得到一元二次方程，求出其判别式，利用完全平方公式进行证明即可； （2）①利用二次函数的对称轴列出方程，求出的值，从而求出二次函数解析式； ②求出点的坐标，根据题意可知，直线恒过定点，求出长，设、，则，进而求出，联立直线和二次函数解析式，利用根与系数关系求出的表达式，从而求出的值． 【详解】（1）略； （2）解：①二次函数的对称轴为 解得： 二次函数表达式为； ②当时，， ， 由题意得：直线， 直线恒过定点， 定点在对称轴上， ， 设、， ， ， ， 联立， 整理得：， 由根与系数关系得：，， ， ， 整理得：， 解得：或， 此直线的解析式为或． 54．（2026·福建莆田·模拟预测）某数学兴趣小组进行数学活动，如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．在x轴上任取一点M，完成下列作图步骤： 步骤一：连接，作线段的垂直平分线，过M作x轴的垂线，记的交点为P． 步骤二：在x轴上多次取点的位置，按步骤一操作得到相应的点，把点用平滑的曲线连接起来，得到曲线L． (1)小组成员小明取点，且利用网格作出点所对应的点，请你作出点分别所对应的点，并把这些点用平滑的曲线连接起来，猜想：曲线L是一条____________________； (2)设，求y关于x的函数解析式； (3)该兴趣小组进一步研究发现：，是曲线L上不同的两点，直线相交于点Q，无论C，D在曲线L上如何运动，中必存在面积为定值的三角形．请指出面积为定值的三角形，并求该定值． 【答案】(1)如图所示，点，，，和曲线L为所求： 猜想：曲线L是一条抛物线 (2) (3)是面积为定值的三角形，定值为4 【分析】（1）根据图象的基本特征，有最低点，有对称性，不是直线，也不是双曲线，由此特点可以猜想其图像是抛物线； （2）设，根据垂直平分线性质，得，化简即可得到关于x的函数解析式； （3）根据已知条件得出c，d为关于x的方程的两根，利用韦达定理得出，，分别求出直线和的解析式，联立两个解析式求得点Q的坐标，从而得出为定值． 【详解】（1）略 （2）解：根据线段垂直平分线的性质，得， ∵，， ∴， 整理，得， ∴． （3）解：∵点C，D在曲线L上， ∴，， ∴， ∴， ∴c，d为关于x的方程的两根， 由韦达定理可知，，， 设的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴的解析式为， 设的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴的解析式为， 联立， 整理得：， ∴，， ∴为定值． 55．（2026·福建三明·模拟预测）已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线． (1)当时，求该二次函数的表达式； (2)求证：； (3)若点的坐标为，且点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴，交直线于点． ①若以，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标； ②是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：∵该二次函数图象经过， ． ∵该二次函数图象的对称轴为直线， ，即．   ，即．   又， ． (3)①或；②的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称性，结合已知，化简证明即可； （3）①设，，根据三角形的相似，分类求解即可； ②过点作交于点．利用解方程组的方法求解即可； 【详解】（1）解：当时，．   ∵该二次函数图象与轴交于、两点，且对称轴为直线， ，解得：，即．   将和代入得： ， 解得：． ∴当时，该二次函数的表达式为． （2）略 （3）①解：∵该二次函数图象经过，，， ∴二次函数表达式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， 直线表达式为． 又轴， 设，， ，． 当时，有，即．   解得：（不符合题意，舍去）或． ．   当时，有，即．   解得：（不符合题意，舍去）或． ．   ②过点作交于点． ， ．   ，， ，， ， ， ． 又，， （）． ． ．   设直线的解析式为，由点，可得： ，解得：， ∴直线表达式为． ，且 ∴同理可得：直线表达式为． ∵点在和上， ．   解得或（不符合题意，舍去）． ∴存在点，使得．的坐标为． 56．（2026·福建漳州·模拟预测）阅读、综合与应用． 【阅读材料】在初中数学的学习中，我们已经知道一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程的两根为，，则，．这一结论可以帮助我们在不解方程的情况下，快速得到根与系数的关系，为解决复杂的数学问题提供了有力的工具．当我们将研究范围从二次方程拓展到更高次的方程时，会发现类似的规律依然存在．下面，我们就来进一步探究，感受数学知识的连贯性与拓展性．对于一般的一元三次函数，当时，我们得到一个一元三次方程．这个方程总有三个根（重根按重数计算），记为，，，这三个根与系数a，b，c，d之间存在着必然的联系． 推广1：若一元三次方程的三个根分别为，，，则三次多项式可以因式分解为，即 推广2：一般地，对于一元三次方程，如果它的三个根分别为，，，那么． 拓展1：图象的对称性我们知道，二次函数的图象是一条抛物线，具有轴对称性．三次函数的图象是一条连续的曲线，它具有中心对称性．也就是说，在平面直角坐标系中，总能找到一个点，使得整个三次函数的图象关于这个点对称，这个点叫做三次函数的对称中心．经过数学研究发现，对于一个三次函数，其对称中心的坐标为 拓展2：超级韦达定理对于任意实数p，我们可以构造一个表达式通过展开和代换，可以发现它与原三次函数有着直接的联系，即，这个公式在处理与根的差相关的乘积问题时，能起到化繁为简的神奇作用． 【问题解决】请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)已知方程的三个根分别为，，． ①求三次函数的图象的对称中心的坐标； ②不解方程，求的值． (2)已知三次函数的图象关于点中心对称，且，求d的值，并分别用含a的式子表示b，c． (3)证明推广2的结论． 【答案】(1)，； (2)，，； (3)见解析 【分析】（1）①根据拓展1的结论计算即可； ②根据拓展2的结论计算即可； （2）根据拓展1的结论进行反推得到，，根据求出，即可得到； （3）先计算，由可知左右多项式对应同类项系数相等，进而列等式计算即可． 【详解】（1）解：①根据材料给出的结论：三次函数的对称中心为， ∴三次函数的图象的对称中心的横坐标为，纵坐标为， 即对称中心坐标为； ②∵， ∴； （2）解：∵对称中心为， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； （3）证明： 由推广1可知，对任意实数，恒有等式， 则，， 解得：，，． 57．（2026·福建泉州·三模）【提出问题】 全民参与文体活动日渐流行，某小区开发商打算在售楼处原址新建一栋多层文体活动中心．为了保障居民的生活质量，开发商与居民达成一致：规划建筑时，保证全部居民全年采光． 【分析问题】 工作人员通过查阅资料、实地测量，获得如下的信息： 材料一：根据《建筑设计防火规范—（）》规定，小区围栏与活动中心之间还要留出至少的距离作为消防疏散通道； 材料二：小区围栏与住宅楼之间的距离，小区围栏，活动中心就建在这个矩形区域内，其中建筑面积长宽层数，如图所示； 材料三：为了保证后排建筑物在冬季能获得足够的光照，楼间距的设计需要以当地冬至日正午太阳高度角（太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角）为依据，冬至日是北半球太阳高度角最小的时候，如果此时前排建筑物的阴影不会遮挡后排建筑物的底层窗户（距离地面），那么在其他季节就更能保证采光，每个地区的冬至日正午太阳高度受到所在纬度的影响，若该地冬至日正午太阳高度角为，如图所示． 【解决问题】 (1)经实地测量，在冬至日正午测得该小区一棵高度为的小树影长为，则________；（请以该太阳高度角为依据解决以下问题） (2)若给定文体活动中心建筑方案如下，请填表并判断该方案是否合理． 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 (3)在文体活动中心建筑单层楼高为且保证居民全年采光的前提下，将该建筑面积尽可能建大一点，请给出方案（结果精确到）． (4)在保证居民全年采光，建筑面积尽可能建大一点的前提下，若记文体活动中心的建筑面积为，单层楼高为，层数为，直接写出等式表示，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 该方案不合理； (3) 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 (4)． 【分析】由即可求解； 根据题意可得建筑面积，楼高为，通过乘法法则即可求解，由题意得、、，，再通过三角函数求出，从而求解； 设层数为，则楼间距，楼宽，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 由单层楼高为，层数为，则楼间距，楼宽，所以． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：该方案不合理，理由如下： ∵建筑面积长宽层数， ∴建筑面积，楼高为，楼间距为 填表略， 如图，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴该方案不合理； （3）解：设层数为，则楼间距，楼宽， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是正整数， ∴当时， ∴楼间距，楼宽，建筑面积， 方案略； （4）解：∵单层楼高为，层数为， ∴楼间距，楼宽， ∴． 58．（2026·福建漳州·模拟预测）【数学文化阅读】 我国南宋时期著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，其实质是根据三角形的三边长来求三角形的面积．古希腊数学家海伦也有类似的公式，因此这个公式常被称为海伦秦九韶公式．它是解决“已知三角形三边长求面积”问题的经典公式，具体形式为：若一个三角形的三边长分别为，，，记（为三角形周长的一半，即半周长），则三角形的面积． (1)【数学理解】已知一个三角形的三边长分别为，，，请求出该三角形的面积． (2)【数学应用】小明在研究该公式时发现，当三角形三边长为连续整数时，面积公式可简化．设三角形三边长分别为，，（且为整数）． 试用含的代数式表示该三角形的面积，并化简； 若该三角形的面积为整数，求的最小值． (3)【拓展探究】某公园计划借助一面围墙，用一段长米的篱笆围一个三角形花圃．测得所用围墙的长度米，用篱笆围成的两边长分别为，，且米．设该三角形花圃的面积为，请求出的最大值，并判断此时围成的三角形花圃是否为特殊三角形． 【答案】(1)； (2)；的最小值为； (3)的最大值为平方米，此时围成的三角形花圃是等腰三角形． 【分析】（）直接代入公式计算即可； （）①代入公式化简得到面积表达式； ②根据整数要求验证得到最小的； （）先整理得到关于的表达式，再利用二次函数性质得到的最大值，进而求出的最大值，最后判断三角形形状． 【详解】（1）解：已知三角形三边长，，， 根据公式得， ∴； （2）解：三角形三边长为，，，则， ∴，，， ∴； ∵且为整数，要使为整数， ∴当时，，不是整数， 当时，，是整数， ∴的最小值为； （3）解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 又，则， ∴， ∴当时，的最大值为，此时， 将代入得（平方米）， 此时， ∴该三角形是等腰三角形， 答：的最大值为平方米，此时围成的三角形花圃是等腰三角形． 59．（2026·福建厦门·一模）已知二次函数：部分自变量的值与的值如下表． (1)直接写出该二次函数的对称轴； (2)若，当时，，求a的取值范围； (3)点，是该二次函数与轴的交点，点在该二次函数的对称轴上，当时，试问该二次函数上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线 (2) (3)存在，点的坐标为，， 【分析】（1）根据二次函数图像对称性，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，可直接计算对称轴 （2）先写出二次函数交点式，代入点坐标，根据判断乘积符号，进而得到的取值范围； （3）先根据的值求出二次函数解析式，再分为菱形的边和为菱形的对角线两种情况，结合菱形的性质计算点坐标，验证是否在抛物线上得到结果 【详解】（1）解：由表格可知，二次函数图像经过点和，两点纵坐标相同， 因此两点关于对称轴对称.因此对称轴为直线. （2）解：设二次函数解析式为， 将，代入得 ，， 因此 ，即的取值范围是. （3）解：将展开得，因此 ， 解得 因此二次函数解析式为， 当时，， 解得： ∴点，，， ∵点在对称轴上，设，， 分情况讨论：情况1：为菱形的边 ， 与纵坐标相等，且， 解得或. 将代入解析式，得，得. 将代入解析式，得，得. 根据对称性，若，代入解析式得， 整理得， 判别式，无实根，此情况不存在符合条件的点. 情况2：为菱形的对角线时， 菱形对角线互相平分， 中点与中点重合，中点为， 因此 解得，. 将代入解析式，得， 因此，验证可得四边边长相等，满足菱形条件. 综上，存在符合条件的点，坐标为，，. 60．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且是等腰直角三角形． (1)求证：； (2)已知，过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在内． ①求抛物线的函数表达式及点P的坐标； ②若直线：过点P，且抛物线在的部分与有公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) 证明：∵是直角三角形， ∴，或，或， 如果，则， 此时，但，，，与函数的定义不符， ∴， 同理，， ∴， ∵是直角三角形， ∴， 又∵，所以，即抛物线的对称轴为y轴， ∴； (2)①，；② 【分析】（1）先得到，，则只能，由等腰直角三角形得到，结合，得到，即抛物线的对称轴为y轴，； （2）①由（1）知，，，得到，，代入解方程即可求出解析式；设为抛物线上一点． 依题意，的最小值为．根据勾股定理，，得到当，即时，取得最小值．结合点P位于第一象限，得到． ②代入得到，与抛物线联立得到．根据是方程的一个根，求得．再根据列不等式计算即可； 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）知，，， 所以． 因为，所以， 因为C在y轴正半轴上，所以． 又因为，所以解得 所以抛物线的函数表达式为． 设为抛物线第一象限图象上一点． ∵过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在内， ∴的最小值为． 根据勾股定理，． 当，即时，取得最小值． 因为点P位于第一象限，所以，所以． ②因为直线过点， 所以，所以． 由（2）知，抛物线的函数表达式为． 由，，得， 整理得， 将代入方程得． 因为直线过点，且在抛物线上， 所以是方程的一个根． 设方程的另一个根为． 因为函数的图象关于直线对称， 所以， 所以． 依题意，，即． 解得． 即实数m的取值范围是． 61．（2026·福建泉州·三模）已知二次函数过点，． (1)求二次函数解析式； (2)已知，是二次函数图象上不同的两个点． （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）存在实数，使得，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) （ⅰ）由（1）得二次函数的解析式为，则对称轴为直线， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， ∵，是二次函数图象上不同的两个点， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （ⅱ）或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）（ⅰ）根据（1）所求可得对称轴为直线，且二次函数的图象开口向上，则离对称轴越近，函数值越小，根据对称性可推出，根据得到，据此可证明结论；（ⅱ）当时，，则，可得， ；根据，可推出，则，可证明，则关于m的方程必须有一个正实数根，根据判别式求出t的取值范围，再根据关于m的方程必须有一个正实数根讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数过点，， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：（ⅰ）略 （ⅱ）在中，当时，， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且，是二次函数图象上不同的两个点， ∴， ∴关于m的方程必须有一个正实数根， ∴， ∴， ∴， ∴或； 当时，， ∴此时关于m的方程的两个实数根都是正数，符合题意； 当时，， ∴此时关于m的方程的两个实数根都是负数，不符合题意； 当时，， ∴此时关于m的方程的两个实数根一正一负，符合题意； 综上所述，或． 62．（2026·福建泉州·模拟预测）规定：如果某函数的图象关于直线（为常数）对称，则称该函数为“长榆函数”，直线叫做“振万直线”． (1)下列函数，是否为“长榆函数”？若是，请在横线上填写“是”，若不是，请在横线上填写“否”． ①______；②______；③______． (2)函数和（其中、、、为常数，）均为“长榆函数”，且其“振万直线”为同一直线．若直线与、的图象相交于、、、，其中．求证：． (3)若关于的“长榆函数”的“振万直线”为，其函数图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为；函数的图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为，以、、、为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出的值，若不能请说明理由． 【答案】(1)是，否，是； (2) 证明：①当时，，如图： 依题意，函数和（其中、、、为常数，）均为“长榆函数”， 且其“振万直线”为同一直线， 根据抛物线的对称性可得， ②当时， ∵的“振万直线”为同一直线， ， 设， 如图所示，过E，G分别作x轴的平行线，过点F，H分别作y轴的平行线，交于点P，Q，则，， ， 联立， ， ，同理可得， ， 即， 即， ， ， 综上所述，； (3)四边形为矩形，． 【分析】（1）根据反比例函数以及一次函数，二次函数的性质结合新定义，即可求解； （2）分情况讨论，①当时，②当时，分别画出图形，根据二次函数与一元二次方程的解的关系，得出； （3）根据解析式得出A，B，C，D的坐标，进而根据图形，结合矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①关于直线对称，是“长榆函数”； ②其函数图象不关于直线对称，不是“长榆函数”； ③，对称轴为直线，是“长榆函数”； （2）略 （3）解：如图： ∵关于x的“长榆函数”，的“振万直线”为，与x轴交于点A、B（点A在点B的右边）， 当，即， ， 令，即， 解得：，， ∴， 当时，，则，， 函数的图象与x轴交于点C、D（点C在点D的右边），其顶点为N， ， 令，即， 解得：，，则对称轴为直线， ，， 当时，，则， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵在x轴上， ∴不可能垂直于， ∴四边形不可能是菱形， 当四边形为矩形时， ， 即， 解得：． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数 5年真题1年模拟 考点分类 福建考情（2022-2026） 命题规律 考点01二次函数的性质 2026 福建卷、 2025 福建卷、 2024 福建卷、 2023 福建卷、 2022 福建卷 高频压轴选择题、填空题；核心考查对称轴、开口方向、点到对称轴距离与函数值大小比较、含参数取值范围；偶尔结合增长率实际应用；侧重数形结合，易错点：分类讨论点在对称轴左右两侧、距离比较不等式建立。 考点02 二次函数压轴 2026 福建卷、 2025 福建卷、 2024 福建卷、 2023 福建卷、 2022 福建卷 试卷最后一道几何代数综合大题，多小问梯度设问；常综合顶点、判别式、坐标交点、直线相交、距离相等（外心）、面积倍数、定点定值、几何等量探究；核心思想：数形结合、坐标法、分类讨论；难度大，区分整张试卷水平，第 (1)(2) 问基础易得分，第 (3) 问综合性强。 考点01 二次函数的性质 1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 4．（2023·福建·中考真题）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 5．（2023·福建·中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________． 6．（2022·福建·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______． 考点02 二次函数压轴 1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 2．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 3．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 4．（2023·福建·中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，且，求证：三点共线； (3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 5．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 1．（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 2．（2026·福建三明·三模）将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·一模）二次函数的图象过点，，，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·福建南平·二模）二次函数（m是常数且）图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 由图可知，当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，若，则，若，则，故选项D不一定正确，符合题意． 5．（2026·福建三明·二模）小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程的根，他发现方程有四个不等实数根，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·福建泉州·二模）作二次函数（）的图象关于原点的中心对称图形，所得图象的解析式为，当时，二次函数最大值与最小值的差是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·福建泉州·模拟预测）已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·福建漳州·模拟预测）已知抛物线经过不同的两点，，当时，，若，则d的值可能为（     ） A． B． C．1 D．4 9．（2026·福建泉州·模拟预测）已知点和在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，点是抛物线的顶点，点、点在抛物线上，轴，，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 11．（2026·福建泉州·二模）设抛物线的顶点为，与轴分别交于两点，判定的形状是（     ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 12．（2026·福建泉州·模拟预测）抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 13．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线 过点， ，当 时，若存在使，则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 14．（2026·福建厦门·三模）如图，在正方形中，是边上的动点，连接，过点作交于点，在点从点运动到点的过程中，线段长度的变化情况是（     ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 15．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线经过，当时，总有，则的值不可能为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2026·福建宁德·一模）对于二次函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，该二次函数的图象与轴没有交点 B．当时，该二次函数的图象与轴必有交点 C．当时，在第一象限内，的值随值的增大而增大 D．当时，在第二象限内，的值随值的增大而减小 17．（2026·福建漳州·模拟预测）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根所在的范围是（     ） A． B． C． D． 18．（2026·福建厦门·模拟预测）经研究发现某型号火箭高度与时间的关系近似满足二次函数，科研人员在测试该型号火箭向上竖直升空时，获得的部分数据如下表，则下列判断正确的是（     ） 时间 火箭高度 A．火箭在前持续上升 B．火箭在后才开始下降 C．火箭在前可以达到 D．火箭在时的高度低于 19．（2026·福建漳州·模拟预测）已知抛物线 与x轴交于A，B两点，抛物线 与x轴交于 C，D两点，其中．若，则b的值为（     ） A． B． C． D． 20．（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 21．（2026·福建南平·一模）抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 22．（2026·福建漳州·模拟预测）已知点，，在抛物线上，则下列结论中，错误的是（   ） A．当时， B．存在实数a，使得 C．a取任意非零实数时，都有 D．a取任意非零实数时，都存在t，使得 23．（2026·福建泉州·二模）已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（2026·福建南平·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 25．（2026·福建三明·一模）已知二次函数（m为常数）．若，点，在该函数图象上，则p与q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 26．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．4 27．（2026·福建漳州·一模）已知是抛物线上不同的三个点．若对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（2026·福建厦门·一模）从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；）与小球的运动时间t（单位：）之间满足．则下列选项中正确的是（   ） A．和时，小球离地面的高度相同 B．时，小球到达最高点 C．时，小球回到地面 D．时，小球处于下降阶段 29．（2025·福建龙岩·一模）已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（2026·福建泉州·模拟预测）等边中，，点P、点Q分别是、上的动点，且，过、P、Q三点作，则半径的最小值为________． 31．（2026·福建福州·模拟预测）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 32．（2026·福建宁德·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根．下列说法：①的取值范围是；②若，则的值为或5；③二次函数的最小值总不大于0；④代数式的最大值是．其中正确的是________．（填写序号） 33．（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷），为方程的两个实数根，则k的取值范围为_____． 34．（2026·福建厦门·三模）已知点是抛物线上的点，其中点A，C在抛物线对称轴的两侧．若，则c，，的大小关系是________． 35．（2026·福建漳州·模拟预测）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量开始快充时，累计充电时间与汽车仪表盘显示的电量的关系可用二次函数近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程与电量的关系如下表所示． 汽车仪表盘显示的电量 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为，此时到目的地的路程还有．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则充电时间为________． 36．（2026·福建三明·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线图象上的三点，若时，满足恒成立，则的整数部分数值为_____． 37．（2026·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，其中为常数且．若，且，则的取值范围是________． 38．（2026·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，在线段上取一点（不与，重合），点的横坐标为，作轴于，交双曲线于，记．若随的增大而减小，则的取值范围是______． 39．（2026·福建厦门·一模）抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________． 40．（2026·福建泉州·模拟预测）若对于实数，，满足，且当时，对应的函数值的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”． (1)若二次函数存在“保值区间”，且当时的一个“保值区间”为，求的值； (2)已知为二次函数的“保值区间”，且，求的值． 41．（2026·福建漳州·模拟预测）抛物线经过点． (1)求c的值； (2)已知B是x轴上方的抛物线上一点，轴，垂足为H，且 ①求证：为定值； ②若抛物线上有且仅有两个点C，D（异于点B），使得的面积相等，求该抛物线的函数表达式． 42．（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 43．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 44．（2026·福建福州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点在轴下方的抛物线上运动，直线，分别交抛物线的对称轴于点，，当点，均在点的下方时，试判断是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由． 45．（2026·福建南平·二模）如图，二次函数（其中）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 (1)点B的坐标为______，点C的坐标为_______； (2)若点D为的外心，判断的形状并说明理由； (3)若点D为的外心，与的面积之比为，求二次函数的表达式． 46．（2026·福建泉州·二模）问题探究 定义：对于一个函数，若存在自变量，对应的函数值也等于，则称点为该函数图象上的一个“不动点”．例如：对于一次函数，当时，，则点为该函数图象上的一个“不动点”．请你尝试探究下面问题． (1)对于反比例函数，求当满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？ (2)已知二次函数（m为常数）． ①求证：无论m取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②若点和点是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段的长是否与m的取值有关？ 47．（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）． (1)若比长米，求、的长； (2)若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 48．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)若抛物线经过点，，且与直线在第一象限内交于点；为抛物线在第四象限的图象上一点，是否存在这样的点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 49．（2026·福建泉州·二模）如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为． (1)求的值； (2)点是抛物线上第四象限的一动点，当时，求线段的长． 50．（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上的一点，且在直线下方．过点作轴的垂线，垂足为，直线交直线于点，设点为．若的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 51．（2026·福建福州·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点A，点B，交y轴于点．且a，b，c满足和，连接．点P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与B，C重合）： (1)求二次函数解析式； (2)连接，，若，，求的取值范围． 52．（2026·福建泉州·模拟预测）综合与实践 为了落实阳光体育运动，学校计划开展跳绳比赛，某数学项目组决定协助跳绳比赛筹备组对多人跳绳的站队方式进行了相关研究． 【数学模型】 如图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作一条抛物线（如图所示）． 【实践操作】 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为米，并且两人相距米； 第二步：当绳子甩到最高点时，最高点距地面的垂直距离为米； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 【问题解决】： (1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线的函数表达式； (2)当绳子甩到最高处时，试通过计算说明身高米的小明，从乙的左侧距离乙米处进入跳绳游戏，能否顺利通过？ (3)现有位同学身高如下（单位：米）：，，，，，并按如图将这位同学与两位摇绳人并排一列方式同时起跳，为了确保安全，要求相邻两人的间距至少为米．当这位同学同时落地时，绳子能否顺利甩过所有队员的头顶？若能，请写出一种队列方案；若不能，请说明理由． 53．（2026·福建三明·三模）已知二次函数． (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个交点； (2)若该二次函数图象的对称轴是直线，且此对称轴与该二次函数图象交于点． ①求该二次函数的解析式； ②直线与该二次函数图象交于点、，当的面积为时，求此直线的解析式． 54．（2026·福建莆田·模拟预测）某数学兴趣小组进行数学活动，如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．在x轴上任取一点M，完成下列作图步骤： 步骤一：连接，作线段的垂直平分线，过M作x轴的垂线，记的交点为P． 步骤二：在x轴上多次取点的位置，按步骤一操作得到相应的点，把点用平滑的曲线连接起来，得到曲线L． (1)小组成员小明取点，且利用网格作出点所对应的点，请你作出点分别所对应的点，并把这些点用平滑的曲线连接起来，猜想：曲线L是一条____________________； (2)设，求y关于x的函数解析式； (3)该兴趣小组进一步研究发现：，是曲线L上不同的两点，直线相交于点Q，无论C，D在曲线L上如何运动，中必存在面积为定值的三角形．请指出面积为定值的三角形，并求该定值． 55．（2026·福建三明·模拟预测）已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线． (1)当时，求该二次函数的表达式； (2)求证：； (3)若点的坐标为，且点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴，交直线于点． ①若以，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标； ②是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 56．（2026·福建漳州·模拟预测）阅读、综合与应用． 【阅读材料】在初中数学的学习中，我们已经知道一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程的两根为，，则，．这一结论可以帮助我们在不解方程的情况下，快速得到根与系数的关系，为解决复杂的数学问题提供了有力的工具．当我们将研究范围从二次方程拓展到更高次的方程时，会发现类似的规律依然存在．下面，我们就来进一步探究，感受数学知识的连贯性与拓展性．对于一般的一元三次函数，当时，我们得到一个一元三次方程．这个方程总有三个根（重根按重数计算），记为，，，这三个根与系数a，b，c，d之间存在着必然的联系． 推广1：若一元三次方程的三个根分别为，，，则三次多项式可以因式分解为，即 推广2：一般地，对于一元三次方程，如果它的三个根分别为，，，那么． 拓展1：图象的对称性我们知道，二次函数的图象是一条抛物线，具有轴对称性．三次函数的图象是一条连续的曲线，它具有中心对称性．也就是说，在平面直角坐标系中，总能找到一个点，使得整个三次函数的图象关于这个点对称，这个点叫做三次函数的对称中心．经过数学研究发现，对于一个三次函数，其对称中心的坐标为 拓展2：超级韦达定理对于任意实数p，我们可以构造一个表达式通过展开和代换，可以发现它与原三次函数有着直接的联系，即，这个公式在处理与根的差相关的乘积问题时，能起到化繁为简的神奇作用． 【问题解决】请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)已知方程的三个根分别为，，． ①求三次函数的图象的对称中心的坐标； ②不解方程，求的值． (2)已知三次函数的图象关于点中心对称，且，求d的值，并分别用含a的式子表示b，c． (3)证明推广2的结论． 57．（2026·福建泉州·三模）【提出问题】 全民参与文体活动日渐流行，某小区开发商打算在售楼处原址新建一栋多层文体活动中心．为了保障居民的生活质量，开发商与居民达成一致：规划建筑时，保证全部居民全年采光． 【分析问题】 工作人员通过查阅资料、实地测量，获得如下的信息： 材料一：根据《建筑设计防火规范—（）》规定，小区围栏与活动中心之间还要留出至少的距离作为消防疏散通道； 材料二：小区围栏与住宅楼之间的距离，小区围栏，活动中心就建在这个矩形区域内，其中建筑面积长宽层数，如图所示； 材料三：为了保证后排建筑物在冬季能获得足够的光照，楼间距的设计需要以当地冬至日正午太阳高度角（太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角）为依据，冬至日是北半球太阳高度角最小的时候，如果此时前排建筑物的阴影不会遮挡后排建筑物的底层窗户（距离地面），那么在其他季节就更能保证采光，每个地区的冬至日正午太阳高度受到所在纬度的影响，若该地冬至日正午太阳高度角为，如图所示． 【解决问题】 (1)经实地测量，在冬至日正午测得该小区一棵高度为的小树影长为，则________；（请以该太阳高度角为依据解决以下问题） (2)若给定文体活动中心建筑方案如下，请填表并判断该方案是否合理． 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 (3)在文体活动中心建筑单层楼高为且保证居民全年采光的前提下，将该建筑面积尽可能建大一点，请给出方案（结果精确到）． (4)在保证居民全年采光，建筑面积尽可能建大一点的前提下，若记文体活动中心的建筑面积为，单层楼高为，层数为，直接写出等式表示，，之间的数量关系． 58．（2026·福建漳州·模拟预测）【数学文化阅读】 我国南宋时期著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，其实质是根据三角形的三边长来求三角形的面积．古希腊数学家海伦也有类似的公式，因此这个公式常被称为海伦秦九韶公式．它是解决“已知三角形三边长求面积”问题的经典公式，具体形式为：若一个三角形的三边长分别为，，，记（为三角形周长的一半，即半周长），则三角形的面积． (1)【数学理解】已知一个三角形的三边长分别为，，，请求出该三角形的面积． (2)【数学应用】小明在研究该公式时发现，当三角形三边长为连续整数时，面积公式可简化．设三角形三边长分别为，，（且为整数）． 试用含的代数式表示该三角形的面积，并化简； 若该三角形的面积为整数，求的最小值． (3)【拓展探究】某公园计划借助一面围墙，用一段长米的篱笆围一个三角形花圃．测得所用围墙的长度米，用篱笆围成的两边长分别为，，且米．设该三角形花圃的面积为，请求出的最大值，并判断此时围成的三角形花圃是否为特殊三角形． 59．（2026·福建厦门·一模）已知二次函数：部分自变量的值与的值如下表． (1)直接写出该二次函数的对称轴； (2)若，当时，，求a的取值范围； (3)点，是该二次函数与轴的交点，点在该二次函数的对称轴上，当时，试问该二次函数上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有的坐标，若不存在，请说明理由． 60．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且是等腰直角三角形． (1)求证：； (2)已知，过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在内． ①求抛物线的函数表达式及点P的坐标； ②若直线：过点P，且抛物线在的部分与有公共点，求实数的取值范围． 61．（2026·福建泉州·三模）已知二次函数过点，． (1)求二次函数解析式； (2)已知，是二次函数图象上不同的两个点． （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）存在实数，使得，求t的取值范围． 62．（2026·福建泉州·模拟预测）规定：如果某函数的图象关于直线（为常数）对称，则称该函数为“长榆函数”，直线叫做“振万直线”． (1)下列函数，是否为“长榆函数”？若是，请在横线上填写“是”，若不是，请在横线上填写“否”． ①______；②______；③______． (2)函数和（其中、、、为常数，）均为“长榆函数”，且其“振万直线”为同一直线．若直线与、的图象相交于、、、，其中．求证：． (3)若关于的“长榆函数”的“振万直线”为，其函数图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为；函数的图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为，以、、、为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出的值，若不能请说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数 5年真题1年模拟·答案版 考点01 二次函数的性质 1.C 2.A 3.C 4.B 5. 6.8 考点02 二次函数压轴 1. 【答案】(1) (2)证明：抛物线上的点在轴上方， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有两个交点． (3)和的数量关系是， 证明：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，如图， 故可设，，， 则，是方程的两根， 由求根公式可得，， 又坐标平面内存在点满足， 由对称性可设， 由勾股定理可得，，， ， 解得， 点的坐标为， 直线与相交于点， ， 联立，解得， 点的坐标为， 由，可知， 又， 垂直平分， ． 2. 【答案】(1) (2)①； ②证明：因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②略 3. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． （2）设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 4. 【答案】(1) (2)证明：      设直线对应的函数表达式为， 因为为中点，所以． 又因为，所以，解得， 所以直线对应的函数表达式为． 因为点在抛物线上，所以． 解得，或． 又因为，所以． 所以． 因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线； (3)的面积为定值，其面积为2 【分析】（1）将代入，即可解得； （2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线； （3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2． 【详解】（1）解：因为抛物线经过点， 所以 解得 所以抛物线的函数表达式为； （2）略 （3）解：的面积为定值，其面积为2． 理由如下：（考生不必写出下列理由） 如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．      如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值． 又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值． 在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键． 5. 【答案】(1) (2)存在，或（3，4） (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解； （3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值． 【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）设直线AB的解析式为， 将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以直线AB的解析式为． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E． 所以 ． 因为A（4，0），B（1，4），所以． 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 所以，． 设，则． 所以， 即， 解得，． 所以点P的坐标为或（3，4）． （3） 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 ， ， 设 直线AB的解析式为． 设，则 整理得 时，取得最大值，最大值为 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D B D B B D C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B C B D A C C D B D 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 答案 A D B B A B B D A 30．2 31． 32．①③ 33．且 34． / 35．/ 36． 37． 38．或 ． 39． 40．(1) (2) 【分析】（1）由当时的一个保值区间为，可得当时，，据此求解即可； （2）由为二次函数的“保值区间”，可得，，所以，为关于的一元二次方程的根，求出，，，然后用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵的二次项系数1大于0，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 当时的一个“保值区间”为，且， 当时，， ，． 又 ∴； （2）解：的二次项系数1大于0，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 为二次函数的“保值区间”， 当时，， 当时，， 整理得，， ，为关于的一元二次方程的根， ，，， ∴原式． 41．(1) (2)①证明：设， 点在轴上方， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ，为定值． ②抛物线的函数表达式为或 【分析】（1）把点代入抛物线，即可求解； （2）①设，则，根据，得到，因此，从而可推出，得到，即可证明，为定值； ②根据同底三角形面积相等得点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于，结合交点个数要求，利用一元二次方程判别式求出b的值，即可得到抛物线解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． （2）①略； ②∵的面积相等，且它们有公共边，在x轴上， ∴点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于， ∴点B，C，D是直线或直线与抛物线的交点， 由方程组得， ∵， ∴该方程总有2个不同实根，对应抛物线上2个点，其中一个为B，因此异于B有1个点满足条件． 由方程组得， ∵要求异于B共有2个点满足条件， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为或． 42．(1)； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，将点坐标代入，解方程求出的值，再结合即可得到结果． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 整理得 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由得抛物线解析式为， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴根据平移规律，得到平移后的解析式为， ∵平移后抛物线经过点， ∴将，代入得， ， 解得，， ∵， ∴． 43． 【分析】先利用点C坐标与对称轴为求出，再求出点D的坐标，进而分别求出点C、D到的距离，利用列出方程，求出、的值，从而求出抛物线的解析式． 【详解】解：如图，令直线与交于点F， 将点代入抛物线得：， 抛物线对称轴为， ， ， 抛物线解析式为， 将代入得：， ， 轴，点P的纵坐标为2， 、， 、， 抛物线的图象开口向下， ， ， ， ， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为． 44．(1) (2)是定值，且 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，计算即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， ， 解得，                                   抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 抛物线的解析式为 对称轴为直线， 在中，当时，， ， 如图，设点， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式， 在中，当时，， ， ． 同理可得直线的解析式为，                      在中，当时，， ， ， ． ∴是定值，且． 45．(1)， (2)解：是等腰直角三角形， 理由：由（1）知点，点，点， ∴，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵点D为的外心， ∴，即是的内接三角形，如图： ∴， ∴是等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）在中，分别令，，即可求解； （2）由（1）知点，点，点，可得，易证是等腰直角三角形，且，根据点D为的外心，得到是的内接三角形，利用圆周角定理可得即可说明； （3）由（2）得是等腰直角三角形，易证，结合已知可得，求出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得，即， 解得，， ∴点，点， 在中，令得， 点； （2）略 （3）解：由（2）得是等腰直角三角形， ∴， ， ∵点，点，点， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； ∴二次函数的表达式为． 46．(1)当k满足时，该函数图象上存在“不动点” (2)①设是二次函数图象上的点， 则， 即， ∵， ∴以上方程有两个不等实根， 即该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②线段的长与m的取值无关 【分析】（1）设反比例函数图象上存在“不动点”，可得出，问题得解； （2）①设是二次函数图象上的点，将其代入二次函数解析式，即可得到关于的一元二次方程，再根据方程的判别式判断根的情况，问题得解； ②由①得方程的两根，，根据根与系数的关系，可以列出、的式子，再根据勾股定理表示出，再代入、的式子，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的图象上存在“不动点”，即， 则，即， ∴当k满足时，该函数图象上存在“不动点”； （2）①略 ②由①得方程的两根，满足， ∴ ， 即线段的长与m的取值无关． 47．(1)长米，长米 (2)花园可以围出的最大面积是 【分析】（1）设长米，依据比长6米表示出的代数式，再结合栅栏总长米列一元一次方程，解方程得到长后算出长度； （2）先设为米，用总长表示，根据树木位置列出的取值不等式确定取值范围，列出面积二次函数，根据函数性质即可求出最大面积． 【详解】（1）解：设长米，则长米， 根据题意，得：， 解得； ∴； 答：长米，长米； （2）解：设长米，则长米， 由题意得， 解得， ∵花园面积 ， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，花园的面积取得最大值， ， 答：花园可以围出的最大面积是． 48．(1)；理由如下： 抛物线的对称轴为， ，抛物线开口向上 又∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ． (2)不存在，理由如下： ∵抛物线经过点、． ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵抛物线与直线在第一象限内交于点， ∴联立，得． 解得（不符题意，舍去）或， ∴， ． ，， ， ， ． 设，且在第四象限， ，． ∵直线的解析式为，点到直线的距离为， ． 化简：． ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在这样的点． 【分析】（1）由抛物线的解析式得其对称轴为直线，另一方面，由题意得抛物线的对称轴为直线，由此即可得与关系； （2）由待定系数法可求得抛物线的解析式为，从而可求出抛物线与直线在第一象限内交于点的坐标，与的面积；设，且在第四象限， 从而可表示的面积，这样得到关于t的一元二次方程，判断方程是否有解即可判断点D是否存在． 【详解】（1）解：；理由略； （2）解：不存在；理由略． 49．(1) (2) 【分析】（1）将代入中，进一步可得答案． （2）如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点，此时，求解点坐标为，直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：将代入中， 得 ． 解得； （2）解：将代入中，得 ∴， 解得，， ∴点坐标为， 将代入中，得 解得， ∴点坐标为． 如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点， 此时， ∵关于轴对称点为． ∴点坐标为． 设直线解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线解析式为． 联立方程， 解得，， ∴点坐标为． ∴． ∴的长为． 50．(1)对称轴为直线 (2) 【分析】（1）将点代入解析式得出，进而代入得出，根据对称轴公式，即可求解； （2）根据题意得出，其中，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得；此时该抛物线为， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 设直线的表达式为，代入， 那么， ∴， ∴直线为， 将代入，可得，即， ∵抛物线位于直线下方， ∴，其中， 对于，，则其图象开口向下，对称轴为直线， ∵的长随的长的增大而增大，即的长随t的增大而增大， ∴ 的取值范围为． 51．(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的表达式为，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，根据轴，轴，推出，在中，由，求的取值范围，然后根据三角函数的定义求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：依题意，得．二次函数的图象经过点和点， ∴二次函数的表达式可写为． ∵点在抛物线上， ， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为，把点和点代入，得：， 解得：， ∴直线的表达式为； 过点作轴于点，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， 轴，，， 轴，， ． ． ，，， ，， 在中，． ， ， ． 当时，， ， ， ， 同理当时，， ． 52．(1) (2)解：小明能顺利通过，理由如下： 由条件可知，小明同学进入跳绳位置的横坐标为， 当时，， ， ∴小明能顺利通过． (3)绳子能顺利甩过所有队员的头顶，方案：这位同学相邻两人的间距都为米，且身高的同学排在抛物线对称轴的位置，身高和两位同学排在身高同学的前后，身高和两位同学排在两端（除最高同学外的四位同学的位置不唯一），如：可按，，，，的顺序排成一列 【分析】（1）绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，用待定系数法求解即可； （2）由时求出其相应的函数值，进一步与进行比较即可确定结论； （3）由自变量的值求出函数值，再逐一比较便可得出结论． 【详解】（1）解：由已知条件可知该抛物线过点，顶点坐标为， ∴设该抛物线的表达式为， 将代入，得，解得， ∴绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为， 即． （2）略 （3）解：绳子能顺利甩过所有队员的头顶，方案如下： 这位同学相邻两人的间距都为米，且身高的同学排在抛物线对称轴的位置，身高和两位同学排在身高同学的前后，身高和两位同学排在两端（除最高同学外的四位同学的位置不唯一）， 如：可按，，，，的顺序排成一列． ∵将代入得， ∴绳子能顺利甩过身高同学的头顶． ∵将代入得， ∴绳子能顺利甩过身高和两位同学的头顶， ∵将代入得， ∴绳子能顺利甩过和两位同学的头顶， ∴按这种队列方案能使绳子顺利甩过所有队员的头顶． 53．(1)证明：令得：， 判别式为 ， ， ， 该二次函数的图象与轴总有两个交点； (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）令得到一元二次方程，求出其判别式，利用完全平方公式进行证明即可； （2）①利用二次函数的对称轴列出方程，求出的值，从而求出二次函数解析式； ②求出点的坐标，根据题意可知，直线恒过定点，求出长，设、，则，进而求出，联立直线和二次函数解析式，利用根与系数关系求出的表达式，从而求出的值． 【详解】（1）略； （2）解：①二次函数的对称轴为 解得： 二次函数表达式为； ②当时，， ， 由题意得：直线， 直线恒过定点， 定点在对称轴上， ， 设、， ， ， ， 联立， 整理得：， 由根与系数关系得：，， ， ， 整理得：， 解得：或， 此直线的解析式为或． 54．(1)如图所示，点，，，和曲线L为所求： 猜想：曲线L是一条抛物线 (2) (3)是面积为定值的三角形，定值为4 【分析】（1）根据图象的基本特征，有最低点，有对称性，不是直线，也不是双曲线，由此特点可以猜想其图像是抛物线； （2）设，根据垂直平分线性质，得，化简即可得到关于x的函数解析式； （3）根据已知条件得出c，d为关于x的方程的两根，利用韦达定理得出，，分别求出直线和的解析式，联立两个解析式求得点Q的坐标，从而得出为定值． 【详解】（1）略 （2）解：根据线段垂直平分线的性质，得， ∵，， ∴， 整理，得， ∴． （3）解：∵点C，D在曲线L上， ∴，， ∴， ∴， ∴c，d为关于x的方程的两根， 由韦达定理可知，，， 设的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴的解析式为， 设的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴的解析式为， 联立， 整理得：， ∴，， ∴为定值． 55．(1) (2)证明：∵该二次函数图象经过， ． ∵该二次函数图象的对称轴为直线， ，即．   ，即．   又， ． (3)①或；②的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称性，结合已知，化简证明即可； （3）①设，，根据三角形的相似，分类求解即可； ②过点作交于点．利用解方程组的方法求解即可； 【详解】（1）解：当时，．   ∵该二次函数图象与轴交于、两点，且对称轴为直线， ，解得：，即．   将和代入得： ， 解得：． ∴当时，该二次函数的表达式为． （2）略 （3）①解：∵该二次函数图象经过，，， ∴二次函数表达式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， 直线表达式为． 又轴， 设，， ，． 当时，有，即．   解得：（不符合题意，舍去）或． ．   当时，有，即．   解得：（不符合题意，舍去）或． ．   ②过点作交于点． ， ．   ，， ，， ， ， ． 又，， （）． ． ．   设直线的解析式为，由点，可得： ，解得：， ∴直线表达式为． ，且 ∴同理可得：直线表达式为． ∵点在和上， ．   解得或（不符合题意，舍去）． ∴存在点，使得．的坐标为． 56．(1)，； (2)，，； (3)见解析 【分析】（1）①根据拓展1的结论计算即可； ②根据拓展2的结论计算即可； （2）根据拓展1的结论进行反推得到，，根据求出，即可得到； （3）先计算，由可知左右多项式对应同类项系数相等，进而列等式计算即可． 【详解】（1）解：①根据材料给出的结论：三次函数的对称中心为， ∴三次函数的图象的对称中心的横坐标为，纵坐标为， 即对称中心坐标为； ②∵， ∴； （2）解：∵对称中心为， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； （3）证明： 由推广1可知，对任意实数，恒有等式， 则，， 解得：，，． 57．(1)； (2) 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 该方案不合理； (3) 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 (4)． 【分析】由即可求解； 根据题意可得建筑面积，楼高为，通过乘法法则即可求解，由题意得、、，，再通过三角函数求出，从而求解； 设层数为，则楼间距，楼宽，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 由单层楼高为，层数为，则楼间距，楼宽，所以． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：该方案不合理，理由如下： ∵建筑面积长宽层数， ∴建筑面积，楼高为，楼间距为 填表略， 如图，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴该方案不合理； （3）解：设层数为，则楼间距，楼宽， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是正整数， ∴当时， ∴楼间距，楼宽，建筑面积， 方案略； （4）解：∵单层楼高为，层数为， ∴楼间距，楼宽， ∴． 58．(1)； (2)；的最小值为； (3)的最大值为平方米，此时围成的三角形花圃是等腰三角形． 【分析】（）直接代入公式计算即可； （）①代入公式化简得到面积表达式； ②根据整数要求验证得到最小的； （）先整理得到关于的表达式，再利用二次函数性质得到的最大值，进而求出的最大值，最后判断三角形形状． 【详解】（1）解：已知三角形三边长，，， 根据公式得， ∴； （2）解：三角形三边长为，，，则， ∴，，， ∴； ∵且为整数，要使为整数， ∴当时，，不是整数， 当时，，是整数， ∴的最小值为； （3）解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 又，则， ∴， ∴当时，的最大值为，此时， 将代入得（平方米）， 此时， ∴该三角形是等腰三角形， 答：的最大值为平方米，此时围成的三角形花圃是等腰三角形． 59．(1)直线 (2) (3)存在，点的坐标为，， 【分析】（1）根据二次函数图像对称性，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，可直接计算对称轴 （2）先写出二次函数交点式，代入点坐标，根据判断乘积符号，进而得到的取值范围； （3）先根据的值求出二次函数解析式，再分为菱形的边和为菱形的对角线两种情况，结合菱形的性质计算点坐标，验证是否在抛物线上得到结果 【详解】（1）解：由表格可知，二次函数图像经过点和，两点纵坐标相同， 因此两点关于对称轴对称.因此对称轴为直线. （2）解：设二次函数解析式为， 将，代入得 ，， 因此 ，即的取值范围是. （3）解：将展开得，因此 ， 解得 因此二次函数解析式为， 当时，， 解得： ∴点，，， ∵点在对称轴上，设，， 分情况讨论：情况1：为菱形的边 ， 与纵坐标相等，且， 解得或. 将代入解析式，得，得. 将代入解析式，得，得. 根据对称性，若，代入解析式得， 整理得， 判别式，无实根，此情况不存在符合条件的点. 情况2：为菱形的对角线时， 菱形对角线互相平分， 中点与中点重合，中点为， 因此 解得，. 将代入解析式，得， 因此，验证可得四边边长相等，满足菱形条件. 综上，存在符合条件的点，坐标为，，. 60．(1) 证明：∵是直角三角形， ∴，或，或， 如果，则， 此时，但，，，与函数的定义不符， ∴， 同理，， ∴， ∵是直角三角形， ∴， 又∵，所以，即抛物线的对称轴为y轴， ∴； (2)①，；② 【分析】（1）先得到，，则只能，由等腰直角三角形得到，结合，得到，即抛物线的对称轴为y轴，； （2）①由（1）知，，，得到，，代入解方程即可求出解析式；设为抛物线上一点． 依题意，的最小值为．根据勾股定理，，得到当，即时，取得最小值．结合点P位于第一象限，得到． ②代入得到，与抛物线联立得到．根据是方程的一个根，求得．再根据列不等式计算即可； 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）知，，， 所以． 因为，所以， 因为C在y轴正半轴上，所以． 又因为，所以解得 所以抛物线的函数表达式为． 设为抛物线第一象限图象上一点． ∵过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在内， ∴的最小值为． 根据勾股定理，． 当，即时，取得最小值． 因为点P位于第一象限，所以，所以． ②因为直线过点， 所以，所以． 由（2）知，抛物线的函数表达式为． 由，，得， 整理得， 将代入方程得． 因为直线过点，且在抛物线上， 所以是方程的一个根． 设方程的另一个根为． 因为函数的图象关于直线对称， 所以， 所以． 依题意，，即． 解得． 即实数m的取值范围是． 61．(1) (2) （ⅰ）由（1）得二次函数的解析式为，则对称轴为直线， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， ∵，是二次函数图象上不同的两个点， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （ⅱ）或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）（ⅰ）根据（1）所求可得对称轴为直线，且二次函数的图象开口向上，则离对称轴越近，函数值越小，根据对称性可推出，根据得到，据此可证明结论；（ⅱ）当时，，则，可得， ；根据，可推出，则，可证明，则关于m的方程必须有一个正实数根，根据判别式求出t的取值范围，再根据关于m的方程必须有一个正实数根讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数过点，， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：（ⅰ）略 （ⅱ）在中，当时，， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且，是二次函数图象上不同的两个点， ∴， ∴关于m的方程必须有一个正实数根， ∴， ∴， ∴， ∴或； 当时，， ∴此时关于m的方程的两个实数根都是正数，符合题意； 当时，， ∴此时关于m的方程的两个实数根都是负数，不符合题意； 当时，， ∴此时关于m的方程的两个实数根一正一负，符合题意； 综上所述，或． 62．(1)是，否，是； (2) 证明：①当时，，如图： 依题意，函数和（其中、、、为常数，）均为“长榆函数”， 且其“振万直线”为同一直线， 根据抛物线的对称性可得， ②当时， ∵的“振万直线”为同一直线， ， 设， 如图所示，过E，G分别作x轴的平行线，过点F，H分别作y轴的平行线，交于点P，Q，则，， ， 联立， ， ，同理可得， ， 即， 即， ， ， 综上所述，； (3)四边形为矩形，． 【分析】（1）根据反比例函数以及一次函数，二次函数的性质结合新定义，即可求解； （2）分情况讨论，①当时，②当时，分别画出图形，根据二次函数与一元二次方程的解的关系，得出； （3）根据解析式得出A，B，C，D的坐标，进而根据图形，结合矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①关于直线对称，是“长榆函数”； ②其函数图象不关于直线对称，不是“长榆函数”； ③，对称轴为直线，是“长榆函数”； （2）略 （3）解：如图： ∵关于x的“长榆函数”，的“振万直线”为，与x轴交于点A、B（点A在点B的右边）， 当，即， ， 令，即， 解得：，， ∴， 当时，，则，， 函数的图象与x轴交于点C、D（点C在点D的右边），其顶点为N， ， 令，即， 解得：，，则对称轴为直线， ，， 当时，，则， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵在x轴上， ∴不可能垂直于， ∴四边形不可能是菱形， 当四边形为矩形时， ， 即， 解得：． 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $