专题二十 二次函数-【冲刺2026】2025年中考数学真题汇编

专题二十 二次函数 一．选择题（共11小题） 1．（2025•广州）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 2．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 3．（2025•福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 4．（2025•威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 5．（2025•甘肃）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 6．（2025•安徽）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0 7．（2025•广元）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … m ﹣4 n ﹣4 s … 其中0＜m＜2．以下结论：①abc＜0；②若抛物线经过点（﹣2，y1），（7，y2），则y2＞y1；③关于x的方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0有两个不相等的实数根；④s+n＜﹣4；⑤当m＝1，t≤x≤t+2时，y的最小值是1，则t＝2或4．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025•哈尔滨）抛物线y4的顶点坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4） 9．（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 10．（2025•兰州）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 11．（2025•天津）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝6s时，CN＝DM； ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2； ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共4小题） 12．（2025•广东）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　 ．（写出一个即可） 13．（2025•盐城）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围是　 　 ． 14．（2025•哈尔滨）抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于点A，B，则线段AB长是　 　 ． 15．（2025•武汉）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列五个结论： ①该函数图象经过点（﹣1，0）； ②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而减小； ③该函数图象与x轴有两个不同的公共点； ④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1； ⑤若a＞2，则关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个． 其中正确的是　 　 （填写序号）． 三．解答题（共11小题） 16．（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 17．（2025•滨州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，﹣3）在抛物线y＝x2mx﹣m上． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）点N（a，b）在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围； （3）把直线y＝x向下平移n（n＞0）个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 18．（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 19．（2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 20．（2025•安徽）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）． （i）若a，且x1＝x2，比较y1与y2的大小； （ii）当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 21．（2025•云南）已知a是常数，函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1，记T． （1）若x＝﹣4，a＝1，求y的值； （2）若x＝3a+2，y＝1，比较T与3的大小． 22．（2025•青海）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（1，0），点C（2，5）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）①求点A的坐标； ②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围 　 　 ； （3）连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 23．（2025•长沙）我们约定：当x1，y1，x2，y2满足（x1+y2）2+（x2+y1）2＝0，且x1+y1≠0时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“✓”，错误的打“×”）； ①函数y（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；　 　 ②函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”；　 　 ③函数y＝x2+x﹣1的图象上至少存在两对“对偶点”．　 　 （2）若关于x的一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（b1，b2都是常数，且b1•b2＜0）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于x的二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 24．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标． （4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 25．（2025•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，b＞0）． （Ⅰ）当a＝﹣1，b＝2，c＝3时，求该抛物线顶点P的坐标； （Ⅱ）点A（﹣1，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点． ①当a＝﹣2时，若点D在抛物线上，∠CAD＝90°，AC＝AD，求点D的坐标； ②若点B（m，0），∠CAB＝2∠ABC，以AC为边的▱ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上，当CE+CF取得最小值为时，求顶点E的坐标． 26．（2025•福建）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（1，t），B（2，t）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为1． （i）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 参考答案 一．选择题 1．【答案】A 【解析】解：∵y＝ax2﹣2ax（a＞0）， ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把x＝1代入y＝ax2﹣2ax得y＝a﹣2a＝﹣a， ∴顶点为（1，﹣a）， ∵两点A（x1，y1）．B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）， ∴当x1＜0目y1•y2＜0时，y1＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方）， 故y2＜0， 此时0＜x2＜2，故A选项的结论正确； 当x1＜x2＜1时，抛物线在x＜1时递减， 故x2越大，y2越小， 即y1＞y2，故C选项的结论错误； 当x1＜0且y1•y2＞0时，y2＞0， 此时x2应满足x2＜0或x2＞2，故B选项的结论错误； 当x1＞x2＞1时，抛物线在x＞1时递增， 故x1越大，y1越大， 即y1＞y2，故D选项的结论错误； 故选：A． 2．【答案】D 【解析】解：由题意可得， ∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴， 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 3．【答案】A 【解析】解：∵y＝3x2+bx+1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2， 故选：A． 4．【答案】C 【解析】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵三点为（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）， ∴与对称轴的距离分别为|﹣2﹣2|＝4，|3﹣2|＝1，|7﹣2|＝5， ∴1＜4＜5， ∴y2＞y1＞y3． 故选：C． 5．【答案】B 【解析】解：y＝﹣x2+2x（x﹣1）2+1（x﹣1）2， ∵﹣1＜0， ∴当x＝1时，y取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 6．【答案】C 【解析】解：由图象可知抛物线交x轴于点（2，0），另一个交点横坐标在﹣1和0之间， 根据对称性可知对称轴， ∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，故B选项错误； 当x＝﹣1时，可知y＞0，即a﹣b+c＞0，故D选项错误； 观察图象知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故A选项错误； 由对称轴的范围可各知b＜﹣a，即b+a＜0， 故4b+4a＜0①， 把点（2，0）代入抛物线中， 得4a+2b+c＝0，故4a＝﹣2b﹣c， 再代入①式中，可得4b﹣2b﹣c＜0， 整理即为2b﹣c＜0，故C选项正确． 故答案为：C． 7．【答案】C 【解析】解：∵当x＝1和x＝3时，均有y＝﹣4， ∴点（1，﹣4）和点（3，﹣4）关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为， ∴b＝﹣4a， ∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣4ax+c， 又∵当x＝0时，y＝c，由表格可知当x＝0时，y＝m， ∴c＝m， ∵0＜m＜2， ∴m＞﹣4， ∴抛物线的开口向上， ∴a＞0，c＞0，b＝﹣4a＜0， ∴abc＜0，故①正确； 由①可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上，对称轴为x＝2， ∵|7﹣2|＝5，|﹣2﹣2|＝4， ∴5＞4， ∵开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的y值越大， ∴y2＞y1故②正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上，对称轴为x＝2， ∴（0，m）与（4，s）关于对称轴对称， ∴m＝s，由①可知m＝c， ∴m＝s＝c， ∵0＜s＜2，当s＞1时，0＜s﹣1＜1，把方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0整理得：|ax2+bx+c|＝s﹣1， ∴|ax2+bx+c|＝s﹣1有4个根； 当s＝1时，方程为|ax2+bx+c|＝0， ∴方程有2个根；当s＜1时，s﹣1＜0，则有|ax2+bx+c|＝s﹣1＜0， ∴方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0无实根，故③错误； ∵x＝2时，n＝4a+2b+c，当x＝1时，a+b+c＝﹣4，当x＝3时，9a+3b+c＝﹣4，可得b＝﹣4a，c＝3a﹣4， ∴n＝4a+2b+c＝﹣a﹣4，s＝m＝c＝3a﹣4， ∴s+n＝2a﹣8， ∵0＜m＜2， ∴0＜3a﹣4＜2，解得：， ∴，故④正确； ∵当m＝1时，m＝c＝s＝1，此时抛物线过点（0，1），（4，1），抛物线y＝ax2+bx+1与y＝1交于点（0，1），（4，1）， ∵t≤x≤t+2时最小值为1， ∴t+2≤0或t≥4，当t+2≤0时，t≤﹣2， ∴t＝﹣2或t＝4，与结论t＝2不符合，故⑤错误． 综上所述，正确结论为①②④，共3个． 故选：C． 8．【答案】A 【解析】解：抛物线y4的顶点坐标是（3，4）， 故选：A． 9．【答案】D 【解析】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12． 在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2， ∴m＝13． ∴A错误． ∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12． 当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225＝PH2， ∴PB＝PH， ∵PG⊥AB， ∴BG＝HG＝12， ∴AB＝13+12＝25， ∴选项B错误． ∴当x＝0，即点Q在A点时， ∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250． ∴点C的纵坐标为250． ∴选项C错误． 当x＝15时，点Q运动到点K， ∴AK＝15． ∴GK＝AK﹣AG＝2． ∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85． ∴点（15，85）在该函数图象上． ∴选项D正确． 故选：D． 10．【答案】D 【解析】解：∵正方形ABCD中，AB＝2cm， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm， ∴，OC＝OAACcm． 当点P在OA上运动时，由题意得CQ＝x，CP＝OC+OPx， 作PG⊥CD于点G， ∵∠PCG＝45°， ∴，，是二次函数； 当点P在AB上运动时，由题意得CQ＝x， ∴是一次函数． 故选：D． 11．【答案】C 【解析】解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为点M在AD上的运动时间为，点N在CB上的运动时间为16s， ①当t＝6s时，点M在AD上， 此时AM＝2×6﹣8＝4cm，CN＝6cm， ∴DM＝AD﹣AM＝6cm， ∴CN＝DM，故①正确； ②当1≤t≤2时，点M在AB上， 此时BM＝2tcm，CN＝tcm， ∴BN＝（16﹣t）cm， ∴2t（16﹣t）＝﹣t2+16t＝﹣（t﹣8）2+64， ∵﹣1＜0， ∴当t＜8时，S△BMN随t的增大而增大， ∴当t＝2时，S△BMN取得最大值，最大值为﹣（2﹣8）2+64＝28， 即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2，故②错误； ③当点M在AB上时， ∵△BMN的面积为39cm2， ∴， 解得：t1＝3，t2＝13（舍去）， ∴当t＝3时，△BMN的面积为39cm2； 当点M在AD上时， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，即AB⊥AD， 此时． 解得：， ∴当时，△BMN的面积为39cm2； ∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2，故③正确． 故选：C． 二．填空题（共4小题） 12．【答案】y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）． 【解析】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0）， ∴0＝﹣c2+bc+c， ∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象不经过原点， ∴c≠0， 则c﹣b＝1， 若取b＝1，则c＝2， ∴该二次函数的表达式可以是y＝﹣x2+x+2， 故答案为：y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）． 13．【答案】﹣4≤y≤5． 【解析】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵当x＝1时，y＝﹣4， 当x＝4时，y＝（x﹣1）2﹣4＝5， ∴当0≤x≤4时，函数y的取值范围是﹣4≤y≤5， 故答案为：﹣4≤y≤5． 14．【答案】4． 【解析】解：把（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c，得c＝﹣3． 令y＝x2﹣2x﹣3＝0． 解得x1＝3，x2＝﹣1． ∴A（﹣1，0），B（3，0）． ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4． 故答案为：4． 15．【答案】①②④⑤． 【解析】解：把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝a+2﹣a﹣2＝0， 故该函数图象经过点（﹣1，0），故①正确； 当a＝﹣1时，该二次函数开口向下， 对称轴为直线x， 故当x时，y随x的增大而减小， 因此当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故②正确； ∵Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣2）2+8a＝（a+2）2≥0， ∴该函数图象与x轴有两个不同公共点或只有一个公共点，故③错误； 由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1， 设另一个根为x2，由韦达定理可知， ∴， 当a＞2时，有， 即关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1，故④正确； 当a＞2时，对称轴为直线x0， 则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解， 将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象， 令y＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点， 其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余都为负， 即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 三．解答题（共11小题） 16．【答案】（1）y＝x2+2x﹣2；（2）顶点坐标为（﹣1，﹣3），作图见解析；（3）n＝1或n＝4． 【解析】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x1． ∴可设二次函数为y＝a（x+1）2+k． 又∵图象过（0，﹣2），（1，1）， ∴﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a（1+1）2+k． ∴a＝1，k＝﹣3． ∴二次函数为y＝（x+1）2﹣3，即y＝x2+2x﹣2． （2）由题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）． 作图如下． （3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3． ∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上． ∴①当3≤n﹣1时，即n≥4， ∴当x＝0时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最小值为（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3﹣（4﹣n）2+3＝5． ∴n4，不合题意． ②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4， ∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3或（4﹣n）2﹣3；当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3+3＝5或（4﹣n）2﹣3+3＝5． ∴n＝1或n＝1（不合题意，舍去）或n＝4（不合题意，舍去）或n＝4． ③当n﹣1≤0时，即n≤1， ∴当x＝0时，y取最小值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最大值为（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（4﹣n）2﹣3﹣（1﹣n）2+3＝5． ∴n1，不合题意． 综上，n＝1或n＝4． 17．【答案】（1）（1，﹣4）； （2）﹣4≤b＜21； （3）3＜n． 【解析】解：（1）∵点M（2，﹣3）在抛物线y＝x2mx﹣m上， ∴﹣3＝4m×2﹣m． ∴m＝3． ∴y＝x23x﹣3，即y＝x2﹣2x﹣3． ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4． ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （2）由题意，∵点N（a，b）在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4， ∴﹣4＜a＜4． 又∵y＝（x﹣1）2﹣4， ∴当x＝﹣4时，y＝21；当x＝1时，y取最小值为﹣4；当x＝4时，y＝5． ∴﹣4≤b＜21． （3）∵直线y＝x向下平移n（n＞0）个单位长度， ∴平移后直线为y＝x﹣n． 在平面直角坐标系中作出二次函数y＝x2﹣2x﹣3与直线为y＝x﹣n的图象． 当y＝x﹣n过点（0，﹣3）时，则﹣3＝0﹣n， ∴n＝3． 当y＝x﹣n与y＝x2﹣2x﹣3相切时， ∴方程x2﹣2x﹣3＝x﹣n有两个相等的实数根，即方程x2﹣3x﹣3+n＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝9﹣4（﹣3+n）＝0． ∴n． 又∵直线y＝x向下平移n（n＞0）个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限， ∴结合图象可得，3＜n． 18．【答案】（1）c＝0，b＝﹣2a；（2）①4；②0＜a或a＜0． 【解析】解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c， 可得c＝0， ∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx， 将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx， 可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a； （2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2﹣2x，y＝x， 当t＝4时，可有点P（4，0），如图， ∵PM⊥x轴， ∴xM＝xN＝4， 将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8）， 将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4）， ∴MN＝8﹣4＝4； ②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中， ∵PM⊥x轴，P（t，0）， ∴xM＝xN＝t， 将x＝t代入y＝ax2﹣2ax，可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at）， 将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at）， ∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|， 令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3， 若a＞0，可有2a＞0，即点P在y轴右侧，如图， 当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则， 解得， 当t＞3时，可有MN＝at2﹣3at其图象开口向上，对称轴为直线，不符合题意； 若a＜0，可有2a＜0，即点P在y轴左侧，如图， 当t＜0时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向上，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大， 则，解得， ∴a＜0， 综上所述，a的取值范围为0＜a或a＜0． 19．【答案】（1）6； （2）﹣3； （3）8． 【解析】解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5， 得：1﹣a+5＝0， 解得：a＝6； （2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5， ∴对称轴为直线， ∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段AC的中点， ∴xc＝2xB， ∴， ∴xB＝2， ∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5， 得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3， ∴t＝﹣3； （3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4）， 当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点， ∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称， 又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图： ∴当x2﹣6x+5＝12时， 解得：x1＝7，x2＝﹣1， 即n＝7，m＝﹣1， ∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8． 20．【答案】（1）对称轴是直线x＝2； （2）①y2＞y1；②，b＝﹣4a＝﹣2． 【解析】解：（1）由题意得，将点（4，0）代入y＝ax2+bx得， 16a+4b＝0，即b＝﹣4a， ∴， 故所求抛物线的对称轴是直线x＝2． （2）①由（1）可知，抛物线的解析式为． 又∵x1＝x2， ∴． ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴x1≠0， ∴， 故y2＞y1； ②由题意知，，， ∵， ∴， ∵两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以x1≠0，x2≠0． 故，即x2＝a（x1﹣4）+2． ∴， 依题意知，是与x1无关的定值． 不妨将x1＝1和x1＝2分别代入，可得2﹣3a＝1﹣a， 解得， 经检验，当时，是一个与x1无关的定值，符合题意． ∴，b＝﹣4a＝﹣2． 21．【答案】（1）y的值为1；（2）当a＝﹣2时，T＜3；当a2﹣4a+1＝0时，T＞3． 【解析】解：（1）把x＝﹣4，a＝1代入函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1， 得y＝（﹣4+4）（﹣4﹣12+1﹣3）+1＝1， ∴y的值为1； （2）将x＝3a+2，y＝1代入函数， 得（3a+2+4）（3a+2﹣a2+a﹣3）+1＝1， 整理得：﹣3（a+2）（a2﹣4a+1）＝0， ①当a+2＝0时，即a＝﹣2， ∴， ②当a2﹣4a+1＝0时，a≠0， 则有a2＝4a﹣1， ∵a2+1＝4a， ∴a4， ∴T ， 综上可知：当a＝﹣2时，T＜3；当a2﹣4a+1＝0时，T＞3． 22．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）①A（﹣3，0）；②﹣3＜x＜1；（3）存在，P1（0，7），P2（0，﹣3）． 【解析】解：（1）将B（1，0）、C（2，5）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0）得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）①令y＝0，则x2+2x﹣3＝0， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴点A的坐标为（﹣3，0）； ②根据图象可知，当y＜0时，x的取值范围为﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1； （3）设点P的坐标为（0，a）， ∵A（﹣3，0），C（2，5）， ∴AC2＝（2+3）2+（5﹣0）2＝50，AP2＝（0+3）2+（a﹣0）2＝9+a2，CP2＝（0﹣2）2+（a﹣5）2＝a2﹣10a+29， ∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当AP为斜边时，则AP2＝AC2+CP2， ∴9+a2＝50+a2﹣10a+29， 解得a＝7， ∴P1（0，7）， 当CP为斜边时，则CP2＝AC2+AP2， ∴a2﹣10a+29＝50+9+a2， 解得a＝﹣3， ∴P2（0，﹣3）， 综上所述，存在符合条件的P点，P1（0，7），P2（0，﹣3）． 23．【答案】（1）①✓；②✓；③×； （2）S； （3）a． 【解析】解：（1）①设函数y图象上任意一点（m，），可知（，﹣m）也在函数y图象上， 而（m，）与（，﹣m）是“对偶点”， ∴函数y（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”； 故答案为：✓； ②设（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1图象上一对“对偶点”， ∴﹣n＝﹣2（2n﹣1）+1， 解得n＝1， 此时n+（﹣2n+1）＝0，不符合“对偶点”定义， ∴函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”， 故答案为：✓； ③设（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函数y＝x2+x﹣1的图象上的“对偶点”， ∴（﹣t2﹣t+1）2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t， 变形整理得：（t+1）（t﹣1）（t2+2t﹣1）＝0， 解得t1＝﹣1，t2＝1，t31，t41， 当t1＝﹣1或t2＝1时，（1，1）和（﹣1，﹣1）是一对“对偶点”，符合题意； 当t31，t41时，t+（t2+t﹣1）＝0，不符合“对偶点”定义； ∴函数y＝x2+x﹣1的图象上只有一对“对偶点”， 故答案为：×； （2）由题意可得：x2＝﹣y1，y2＝﹣x1，则点（x1，y1）与点（﹣y1，﹣x1）在x1≠﹣y1是一对“对偶点”， ∵y＝k1x+b1是“对偶函数”， ∴其图象上必存在一对“对偶点”，有，两式相减可得k1＝1， 同理可得k2＝1， ∴两个一次函数为y＝x+b1，y＝x+b2， ∵b1，b2都是常数，且b1•b2＜0， ∴两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如图： ∴其面积之和S； （3）由题意可得a≠0，且x1≠﹣y1时，有， 两式相减可得， ∴， 代入①整理可得2x11＝0， ∵二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”， ∴关于x1的一元二次方程2x11＝0必有实数根， 而Δ＝1﹣8a（1）＝8a﹣3， 当Δ＝0，即8a﹣3＝0时，a，由x10可得x1， ∴y1（）2﹣1， ∴x1+y1＝0，此时不符合题意，这种情况舍去； ∴必有Δ＝﹣3+8a＞0， 解得． 24．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣1； （2）面积比保持不变为，理由见解答； （3）或； （4）m≤﹣1或m＜1或． 【解析】解：（1）将（2，﹣1）代入y＝x2+bx﹣得，﹣1＝4+2b﹣1， 解得b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1； （2）如图所示，面积比保持不变为，理由如下： 根据题意可得，∠M＝∠ODQ＝90°，∠Q＝∠Q， ∴△QOD∽△QPM， ∴， ∴， 则； （3）如图所示，QM经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为， 纵坐标为， 该抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）， ∵∠PNO＝∠ODQ＝90°，∠NPO＝∠DOQ， ∴△PON∽△OQD，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，OD＝2， 则，即， 解得， ①当时， 即为如图所示， 此时， 点Q在第四象限， 故； ②如图所示， 当时，此时点P在第一象限，点Q在第三象限，此时， 故； 综上，或； （4）①当PQ经过顶点T时，过点T作TE⊥x轴，交x轴于点E， 由∠PNO＝∠TEO＝90°，∠PON＝∠TOE得，△PON∽△TOE， ∴，即，解得m＝1（舍去），或m＝﹣1， ∴当点P向左运动时，满足题意， ∴m≤﹣1； ②如图所示，当点Q在抛物线上时，过点Q作QE⊥x，交x轴于点E， 同理，△PON∽△QOE，相似比仍为 此时，Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1， 解得（舍去），或， 此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时，都符合题意， 当x2﹣2x﹣1＝0时， 解得，x2＝1， ∴当m＜1时，符合题意； ③图所示，当点Q在抛物线上时，点Q在第二象限，点P在第四象限， 思路同②，此时Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1， 解得（舍去），或， 此时，当P点向右一直移动，直至到x轴时，都符合题意， ∴当时，符合题意； 综上m≤﹣1或m＜1或时符合题意． 25．【答案】（I）（1，4）； （II）①；②． 【解析】解：（I）∵a＝﹣1，b＝2，c＝3， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该抛物线顶点P的坐标为（1，4）； （II）①∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c上， ∴0＝a﹣b+c，即c＝b﹣a， 又∵a＝﹣2，点C（0，c）， ∴OC＝c＝b+2，AO＝1， ∴抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx+b+2， 如图，点D在第四象限，过点D作DH⊥x轴于点H， ∴∠AHD＝90°， ∴∠HAD+∠ADH＝90°， ∵∠CAD＝90°， ∴∠CAO+∠HAD＝90°， ∴∠ADH＝∠CAO， 又∵AD＝AC，∠AHD＝∠AOC＝90°， ∴△ADH≌△CAO（AAS）， ∴DH＝AO＝1，AH＝OC＝b+2， ∵OH＝AH﹣AO， ∴OH＝b+2﹣1＝b+1， ∴点D的坐标为（b+1，﹣1）， ∵点D在抛物线y＝﹣2x2+bx+b+2上， ∴﹣1＝﹣2（b+1）2+b（b+1）+b+2， 整理得，b2+2b﹣1＝0， 解得， ∵b＞0， ∴，不合题意，舍去， ∴， ∴点D的坐标为； ②∵c＝b﹣a，a＜0，b＞0， ∴c＞0，m＞1， 在x轴上点A的左侧取点G，使GA＝AC，连接GC． ∴∠ACG＝∠CGA，得∠CAB＝2∠CGA． ∵∠CAB＝2∠ABC， ∴∠ABC＝∠CGA． ∴CG＝CB，则GO＝OB． 在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC2＝AO2+OC2， ∴， ∴， ∴． 又∵点B（m，0），得OB＝m． ∴，即c2＝m2﹣2m， 根据题意，点A和点B关于直线l对称，点F在直线l上，得AF＝BF． 又∵▱ACEF中，AF＝CE．得CE＝BF． ∴CE+CF＝BF+CF≥BC． ∴当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值，即， 在Rt△OBC中，OB2+OC2＝BC2， ∴m2+c2＝24． 将c2＝m2﹣2m代入，得m2+（m2﹣2m）＝24． 解得m1＝4，m2＝﹣3（舍）， ∴， ∴点B（4，0），， ∴直线BC的解析式为． 设点F的横坐标为x0，则4﹣x0＝x0﹣（﹣1）， 得， ∴点F的坐标为． ∵线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的， ∴点E可以看作是点F向右平移一个单位，向上平移个单位得到的， ∴点E的坐标为． 26．【答案】（1）﹣3；（2）①y＝﹣x2+3x﹣2；②证明见解析． 【解析】（1）解：二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象的对称轴为直线， ∵点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上， ∴， ∴， ∴； （2）①解：由（1）可得， ∵b＝﹣3a， ∴该函数的表达式为y＝ax2﹣3ax﹣2， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵函数的最大值为， ∴a＜0，且， 解得a＝﹣1，或a＝4（舍去）， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x﹣2， ②证明：∵点M（x1，m）在函数y＝﹣x2+3x﹣2的图象上， ∴， 由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线对称，不妨设x1＜x2， 则，即x1+x2＝3， ∴ ＝0， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $