4.3.3 等比数列的前n项和（第2课时 等比数列前n项和的性质及应用）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

4.3.3　 等比数列的前n项和 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 一、基础达标练 1.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=3,S4=12,则S6的值为(　　) A.24 B.48 C.39 D.36 2.一个项数为偶数的等比数列,它的偶数项之和是奇数项之和的2倍,且首项为1,中间两项的和为24,则此等比数列的项数为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 3.(多选题)已知在单调递增的正项等比数列{an}中,a5-a1=30,a4-a2=12,其公比为q,前n项和为Sn,则下列选项正确的有(　　) A.q=2 B.a8=512 C.Sn=2an-1 D.Sn<an+1 4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),则a7=　　　　　　.  5.已知等比数列{an}的前10项中,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为170,则S=a3+a6+a9+a12的值为　　　　　.  6.企业进行技术改造,有甲、乙两种方案:甲方案为一次性贷款10万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案为每年年初贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年都比前一年增加利润5 000元.两方案使用期限都是十年,到期一次性还本付息,且银行贷款利息均按年息10%的复利计算. (1)若选用甲方案,则十年后,到期一次性需要还银行多少本息? (2)试比较甲、乙两种方案的优劣.(计算时精确到千元,1.110≈2.59,1.310≈13.79) 7.设Sn是等比数列{an}的前n项和,a5=,且S1,S3,S2成等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)设t为实数,S2n为{an}的前2n项和,Tn为数列{}的前n项和,且S2n=tTn,求t的值. 二、能力提升练 8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若a1+a2+a3=2,S6=9S3,则S9=(　　) A.50 B.100 C.146 D.128 9.古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天织布多少?”根据上述的已知条件,可求得该女子第5天所织布的尺数为(　　) A. B. C. D. 10.已知一个等比数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为P,Q,R,则下列式子正确的是(　　) A.P+Q=R B.Q2=PR C.P2+Q2=P(R-Q) D.(P-Q)2=P(R-Q) 11.为建设宜居之城,某市决定每年按当年年初住房总面积的4%建设新住房,同时拆除面积为b(单位:m2)的旧住房.已知该市2022年年初拥有居民住房的总面积为a(单位:m2),则到2030年年末,该市住房总面积为(　　)(参考数据:1.048≈1.37,1.049≈1.42) A.1.42a-10.5b B.1.42a-9.36b C.1.37a-9.25b D.1.37a-8.32b 12.(多选题)已知等比数列{an}的前n项和Sn=4n-1+t,则(　　) A.首项a1不确定 B.公比q=4 C.a2=3 D.t=- 13.已知{an}是首项为1,公比为2的等比数列,{bn}是首项为2,公差为5的等差数列,将同时出现在这两个数列中的数按从小到大的顺序排成数列{xn},则x100=　　　　　.  14.已知一等比数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别Sn,S2n,S3n,求证:=Sn(S2n+S3n). 15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=λ+(n-1)·2n,又数列{bn}满足an·bn=n. (1)求数列{an}的通项公式. (2)当λ为何值时,数列{bn}是等比数列?并求此时数列{bn}的前n项和Tn的取值范围. 三、拓展探究练 16.甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包,第一次由甲抛出,每次抛出时,抛沙包者等可能地将沙包抛给另外两个人中的任何一个,设第n(n∈N*)次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为an,在丙手中的方法数为bn. (1)求证:数列{an+1+an}为等比数列,并求出{an}的通项; (2)求证:当n为偶数时,an>bn. 17.设等比数列a1,a2,…,ak和b1,b2,…,bk,记cn=an-bn(n=1,2,…,k). (1)写出一组a1,a2,a3和b1,b2,b3,使得c1,c2,c3是公差不为0的等差数列; (2)当k≥4时,证明:{cn}不可能是公差不为0的等差数列. 参考答案 1.C　2.B　3.AD　4.1 458　5.585 6.解 (1)若选用甲方案,则十年后,到期一次性需要还银行的本息为10×(1+10%)10≈25.9(万元). (2)甲方案十年共获利1+1×(1+30%)+…+1×(1+30%)9=≈42.6(万元),到期一次性需要还银行的本息约为25.9万元, 所以甲方案十年的净收益约为42.6-25.9=16.7(万元). 乙方案十年共获利1+1.5+…+(1+9×0.5)==32.5(万元),到期一次性需要还银行的本息为1×(1+10%)+…+1×(1+10%)10=≈17.5(万元),所以乙方案十年的净收益约为32.5-17.5=15.0(万元).因为16.7>15.0,所以甲方案优于乙方案. 7. 解 (1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0), 由a5=,且S1,S3,S2成等差数列,得 解得 所以an=1×=(-)n-1. (2)由(1)知,S2n=(1-),数列{}是以1为首项,为公比的等比数列,则Tn=(1-),由S2n=tTn,得(1-)=t·(1-),即t=. 8.C　9.B　10.D 11.A　解析 由题意,2022年年末的住房面积为a1=1.04a-b,2023年年末的住房面积为a2=1.04a1-b=1.042a-1.04b-b,2024年年末的住房面积为a3=1.04a2-b=1.043a-1.042b-1.04b-b,… 2030年年末的住房面积为a9=1.049a-(1.048b+1.047b+…+b)=1.049a-≈1.42a-10.5b. 到2030年年末,该市住房总面积为1.42a-10.5b. 12.BCD　解析 a1=1+t,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(4n-1+t)-(4n-2+t)=3×4n-2.由数列{an}为等比数列,可得a1必定符合an=3×4n-2,有1+t=,可得t=-,数列{an}的通项公式为an=3×4n-2,a2=3,公比q=4.由上述知只有A选项错误. 13.2397　解析 数列{an}中的数等于2的整数次幂,数列{bn}中的数被5除余2.注意20,21,22,23,…被5除的余数依次为1,2,4,3,1,2,4,3,…,不难发现,{an}中仅有形如24k-3的数被5除余2,从而出现在{bn}中,因此xn=24n-3,则x100=2397. 14.证明 设此等比数列的公比为q,首项为a1,当q=1时,Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1,所以=n2+4n2=5n2,Sn(S2n+S3n)=na1(2na1+3na1)=5n2,所以=Sn(S2n+S3n).当q≠1时,Sn=(1-qn),S2n=(1-q2n),S3n=(1-q3n),所以·[(1-qn)2+(1-q2n)2]=·(1-qn)2·(2+2qn+q2n).又Sn(S2n+S3n)=(1-qn)·(2-q2n-q3n)=·(1-qn)2·(2+2qn+q2n), 所以=Sn(S2n+S3n). 15.解 (1)由Sn=λ+(n-1)·2n,当n=1时,S1=a1=λ; 当n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n-1)·2n-(n-2)·2n-1=n·2n-1, 而a1=1×21-1=1,故数列的通项公式为 an= (2)由an·bn=n,得bn= 若数列{bn}为等比数列,则首项b1=,n≥2的情况,故λ=1,则Tn=b1+b2+…+bn==2(1-).因为Tn+1-Tn=>0,所以Tn=2(1-)是单调递增的,故Tn<2且Tn≥1,即Tn∈[1,2). 16.证明 (1)由题意知第n次抛沙包后的抛沙包方法数为2n,第n+1次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为an+1,若第n次抛沙包后沙包在甲手中,则第n+1次抛沙包后,沙包不可能在甲手里,只有第n次抛沙包后沙包在乙或丙手中,故an+1=an×0+(2n-an)×1=2n-an,且a1=0,故an+1+an=2n,=2(n≥2), 所以数列{an+1+an}为等比数列. 由an-1+an=2n-1,得(-1)n-1an-1-(-1)nan=(-2)n-1, (-1)1a1-(-1)2a2=(-2)1, (-1)2a2-(-1)3a3=(-2)2, (-1)3a3-(-1)4a4=(-2)3, …… (-1)n-1an-1-(-1)nan=(-2)n-1, 以上各式相加,得(-1)1a1-(-1)nan=, 可得an=. (2)由题意知第n次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等均为bn,则an+2bn=2n,因为当n为偶数时,an=,bn=,所以an>bn. 17. (1)解 a1=4,a2=8,a3=16,b1=1,b2=3,b3=9,此时c1=3,c2=5,c3=7. (2)证明 设an=apn,bn=bqn,则cn=apn-bqn,假设{cn}是公差不为0的等差数列,则由2cn+1=cn+cn+2,得apn(p-1)2=bqn(q-1)2,当k≥4时,n可取1,2.故ap(p-1)2=bq(q-1)2,ap2(p-1)2=bq2(q-1)2,解得p=q. 因此当p=q≠1时,a=b,从而c1=c2=…=ck=0; 当 p=q=1时,c1=c2=…=ck=a-b. 又数列{cn}是公差不为0的等差数列,矛盾.因此,命题成立. 7 学科网（北京）股份有限公司 $