3.3.2 抛物线的几何性质（五大题型）（题型专练）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的几何性质 题型一：判断抛物线的开口方向 1．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【详解】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 2．已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程，得或， 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合； 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合， 综上，方程表示的曲线可能是C. 故选：C. 3．已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】B 【详解】对于①：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，矛盾.故①错误； 对于②：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：异号，符合要求.故②成立； 对于③：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立； 对于④：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误； 故选：B 题型二：比较抛物线的开口大小 4．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项平方项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 5．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系： （1）；    （2）；     （3）；    （4）． 【详解】解:抛物线如图,x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 题型三：求抛物线的对称轴 6．（22-23高二上·江苏苏州·期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】把代入抛物线方程中，得， 因为该抛物线的对称轴为纵轴， 所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4， 故选：A 7.（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】解：对于A选项，对于曲线上的任意点，其关于轴对称的点满足方程，关于轴对称的点也满足方程，故满足条件； 对于B选项，即为，表示焦点在轴正半轴的抛物线，关于轴对称，但不关于轴对称，故不满足； 对于C选项，即为，表示焦点在轴上的椭圆，满足既关于轴对称，又关于轴对称，故满足条件； 对于D选项，即为，表示圆心为，半径为的圆，其关于轴对称，不关于轴对称，故不满足条件. 故选：AC 8．判断下列方程所表示的曲线是否关于x轴、y轴或原点对称： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1），是椭圆方程，所以关于原点、x轴、y轴对称． （2），曲线是双曲线方程，所以关于原点、x轴、y轴对称． （3），曲线是抛物线方程，开口向下，对称轴为轴，不关于原点、x轴对称． （4）在曲线上任取一点，则关于x轴、y轴、原点的对称点分别为：、、， 将代入曲线方程，得到，与方程不同，将代入曲线方程，得到，与方程不同， 将代入曲线方程，得到，与方程不同， 所以曲线不关于x轴、y轴，原点对称. 题型四：抛物线的范围 9．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，则由解得， 所以点的横坐标为3. 故选：A 10．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由已知，，. 如图，设点，则， ， 在中，有 ， 易知，则， 则， 因为，所以当时，取得最大值， 又，所以，. 所以，的取值范围是. 故选：A. 11.已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而， 而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍， 从而得，即， 设点，而，，则， 当且仅当t=1时取“=”，， 因此得，即，得， 所以的取值范围为. 故答案为： 题型五：抛物线的对称性的应用 12.已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 【答案】B 【解析】由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果. 【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和， 所以，即，代入抛物线方程可得， 整理得，解得或. 故选：B. 13．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号装置与卫星接收天线中心的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先设出抛物线的方程，将点代入抛物线方程求得，即可得出结果. 【详解】如图建立直角坐标系： 设抛物线的方程为， 利用已知条件可得： 点在抛物线上， 所以， 则， 所以信号装置与卫星接收天线中心的距离为. 故选：A. 14．已知拋物线的焦点为椭圆的右焦点，且与的公共弦经过，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，椭圆的右焦点，则其左焦点， 设过的与的公共弦在第一象限的端点为点P，由抛物线与椭圆对称性知，轴，如图， 直线PF方程为：，由得点，于是得， 在中，，，则，因此，椭圆的长轴长， 所以椭圆的离心率. 故选：A 15．（多选）（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】关于轴的对称点为，关于轴的对称点为， 同时满足方程、、，ACD选项正确. ，是开口向上的抛物线，关于轴对称，不关于轴对称，B选项错误. 故选：ACD 16．（多选）在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则（    ） A．四边形ABCD不可能为平行四边形 B．存在四边形ABCD，满足∠A=∠C C．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2 D．若为正三角形，则该三角形的面积为 【答案】ABD 【详解】A，构成平行四边形的条件是对边平行且相等，而水平直线与y2=2x至多只有一个交点， 因此，四边形ABCD不可能为平行四边形，故A正确； B，如图所示，连接， 则当，， 则，则∠A=∠C，故B正确； C，设，，， ，解得，所以，故C错误； D，设若为正三角形，如图： 由抛物线的对称性可知，， 则直线：， 则 ，解得，， ， ，故D正确. 故选：ABD 17.（多选）在平面直角坐标系中，方程对应的曲线为，则（    ） A．曲线是封闭图形，其围成的面积大于 B．曲线关于原点中心对称 C．曲线上的点到原点距离的最小值为 D．曲线上的点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于选项A，作出曲线的图象，即可判断为封闭图形，再作出的图象，    由图可知曲线围成的面积大于曲线围成的面积，且曲线与轴正半轴的交点坐标为，与轴正半轴的交点坐标为，所以围成的面积为，所以选项A正确； 对于选项B，因为点，点均满足方程，则可得到曲线关于原点中心对称，所以选项B正确； 对于选项C，设曲线E上任意一点为，则其到原点的距离的平方为，且，即曲线上的点到原点距离的最小值为，故选项C错误； 对于选项D，曲线上任意一点为，则其到直线距离为，故选项D正确； 故选：ABD 18．（多选）如图，一个杯座圆放置在水平桌面上且内壁光滑的酒杯，杯身的轴截面图形是顶点为O、焦点为的抛物线，，为杯口圆的圆心，足够长，杯脚．现有一根长的细木棍放在此酒杯的杯身内，的中点在桌面上的投影为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【详解】 如图：以为原点，以所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，因为，所以焦点为的抛物线的方程为， 因为的中点在桌面上的投影为，所以轴， 由分析可知：当时，此时木棍与轴垂直时，最小， 当时，过焦点时，最小， 当时，对于，令可得， 如图：此时中点为与轴的交点，投影点即为点，此时 此时最小为，即当时，最小为， 可得当，则的最小值为，故选项C正确； 当时，最小为，故选项A不正确； 当时，最小为，故选项D正确； 当时，过焦点时，最小， 如图作垂直于准线与点，作垂直于准线与点， 的中点在准线上的投影为， 由抛物线的定义可得，所以， 而，所以，此时的最小值为， 故选B正确， 故选：BCD. 19．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期中）若抛物线（）的焦点为，其准线与轴交于点.过点作直线与抛物线交于点，且（），直线与抛物线的另一交点为（点在点的左边）.下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】， 设直线的方程为，， 则， 因为（）， 所以，所以， 联立得， 则， 所以，所以， 所以，解得， 即直线的斜率为，故A错误； 由，得， 由，得， 即， 所以，,故B正确； ， 所以， 所以直线关于轴对称， 所以，故C正确； 由题意可得都在的左侧，且直线关于轴对称， 根据抛物线的对称性可得，故D正确. 故选：BCD. 20．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）已知曲线：（）的焦点F与曲线：（）的右焦点重合，曲线与曲线交于A，B两点，曲线：（）与曲线交于C，D两点，若四边形的面积为，则曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】设曲线与曲线在第一象限的交点为， 由对称性知，再由得， 故，故， 由于抛物线的焦点和双曲线的焦点重合， 故， 代入双曲线：（）得， 整理得，等式两边同时除以， 得，解得离心率. 故答案为：. 21．（22-23高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点A，B（不与O重合）是抛物线上两个动点，且满足． (1)当AB垂直x轴时，求三角形OAB的面积； (2)探究x轴上是否存在点P使得？若存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【详解】（1）因AB垂直x轴，由抛物线对称性知，点A，B关于x轴对称，不妨令点A在第一象限， 而，则直线方程为：，由得点，从而得，， 所以的面积为. （2）设直线方程为：，由得，直线方程为：， 由得点，同理可得点， 假定在x轴上存在点P使得，设点， 则直线斜率，直线斜率， 由得，则有，即， 整理得，显然当时，对任意不为0的实数k，恒成立， 即当时，恒成立，恒成立， 所以在x轴上存在点P使得成立，点. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设，，由题设 因为直线l的倾斜角为，故， 由可得，解得或， 故，，故， 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：设，，. 由题意得抛物线焦点坐标为，准线方程为. 因为， 所以点是的重心， 故， . 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏盐城·期末）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线方程为（） 由已知点在抛物线上， 所以， 所以， 所以抛物线方程为， 所以焦点坐标为， 所以绳子最合适的长度是， 故选：B. 4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，解得， 所以. 故选：D 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的方程为代入抛物线，消去得， 设，，则，，， 所以 ， 所以，故直线过定点. 故选：B. 6．（24-25高二上·江苏泰州·期末）点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【详解】令且，则，联立抛物线准线，可得， 令，故，故， 所以， 令，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增， 所以的最小值为. 故选：B 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏徐州·期末）在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，是上异于顶点的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若过点，则为钝角 B．若，则的斜率为 C．若，则点的横坐标为2时，最小 D．若四边形为平行四边形，则过定点 【答案】ACD 【详解】易知焦点， 对于A，若过点，可设直线方程为，； 联立抛物线方程可得，可得， 所以 ， 所以为钝角，即A正确； 对于B，由可得过点，由（1）可得； 所以，结合可得， 可得的斜率为，即B错误； 对于C，易知是抛物线的准线与轴的交点，作与准线垂直，垂足为，如下图所示：    由抛物线定义可得，所以， 又在中，，且， 因此当取得最大值时，满足题意，此时斜率存在且与抛物线相切， 设的方程为，代入抛物线方程可得， 所以，即； 解得，此时，因此点的横坐标为2时，最小，即C正确； 对于D，设，直线，如下图：      联立，可得，因此； 所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 即，所以； 代入可得，解得； 即，显然过定点，即D正确. 故选：ACD 8．（24-25高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的通径长为4 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线与的准线交于点，则 【答案】ACD 【详解】对A：由过点，且抛物线的焦点在轴正半轴上， 故点即为抛物线的焦点，则，即， 则的通径长为，故A正确； 对B：，消去得：， 设、，则，， 有，， 故线段的中点为，在曲线上，不在定直线上，故B错误； 对C：， 故直线的斜率之积为定值，故C正确； 对D：若，由，则，， 则，故，故D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点为上的动点，则的最小值为 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【详解】抛物线的焦点为，联立，解得， 所以，抛物线的通径长为，可得， 对于B选项，抛物线的焦点为，B对； 对于A选项，抛物线的标准方程为， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，则，A对； 对于C选项，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点， 由抛物线的定义可得，则，如下图所示： 当、、三点共线时，即当时，取最小值，C错； 对于D选项，设点、， 先证明出抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，即，则， 所以，抛物线在点处的切线方程为， 同理可知，抛物线在点处的切线方程为， 由于这两条切线的交点为，则， 所以，点、的坐标均满足方程， 联立可得，解得，， 所以，， 设点的横坐标为，由题意可知，抛物线在点处的切线与直线平行， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，则，解得， 此时，有，解得，则，即点， 所以，点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为，D对. 故选：ABD. 10．（24-25高二上·江苏无锡·期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图，曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一，下列结论中正确的是（　　）    A．曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3 B．曲线C关于y轴对称 C．曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点） D．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 【答案】ABD 【详解】根据曲线C:x2+y2=1+|x|y，可得曲线与x轴，y轴的交点M(1,0),N(-1,0),P(0,-1),Q(0,1). 选项A，曲线C所围成的“心形”区域的面积大于图中两个小正方形与一个三角形的面积之和.两个正方形的面积均为1，△MNP的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，所以选项A正确.    选项B:将方程中的x换成-x方程不变，所以图形关于轴对称，故B正确； 选项C: C与x轴，y轴的交点M(1,0),N(-1,0),P(0,-1),Q(0,1),结合曲线的图象可知，H(-1,1),K(1,1).故曲线一共经过6个整点，所以选项C错误； 具体证明如下：由图可知，x轴下方只有一个整点，即点P，当y>0时，根据曲线的图象的对称性，可先设图象上第一象限的任意一点T(x,y),则x>0.由得，即.把方程看作关x于的一元二次方程，则有,解得：.所以y只能取1. 同理，把上述方程看作关于y的一元二次方程，可得0<.所以x只能取1. 因此，点T只有一种情况,即第一象限只有一个整点，同理第二象限也只有一个整点.因此共有6个整点. 选项D: 设图象上任意一点T(x,y) ，x>0,则.因为x>0,由,得,当且仅当时，等号成立.所以即 ，当且仅当时，取得最大值，即当时，图象上的点到原点的距离都不超过,根据曲线的图象的对称性可得，当时，图象上的点到原点的距离都不超过;当时，.所以选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为，若斜率为的直线与交于、两点，且，则的方程为 ． 【答案】 【详解】抛物线上一点到点的距离为， 由抛物线定义可得，则，所以，抛物线的方程为． 设直线的方程为，设、， 将的方程代入方程整理得， 需满足，解得， 由韦达定理可得， 故，解得，合乎题意， 故直线的方程为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的焦点为F，点，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线与C的另一个交点分别为M，N．当直线斜率不存在时， ；当直线斜率存在时， ． 【答案】 2 4 【详解】第一空： 抛物线的焦点为， 当直线斜率不存在时， ， 则． 第二空： 当直线斜率存在时，设， 如图所示： 直线的方程为：，代入，可得， 得，得， 同理得， 则， 设直线的方程为：，代入， 可得， 则，得， 故答案为：2；4 13．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是 . 【答案】或 【详解】当、在焦点左侧时， 因为渐近线关于轴对称，所以， 过作交轴于点， 设，则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 当，在焦点右侧时， 过作交轴于点， 所以，设， 则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 所以或. 故答案为：或. 14．（24-25高二上·江苏镇江·期末）若抛物线 上存在关于直线对称的点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，设抛物线 上存在关于直线对称的点为，直线的方程为， 联立，消去可得， ， 设的中点为，则，， 因为点在直线上，所以， 解得， 将代入判别式可得，化简可得， 由二次函数的关系可得恒成立， 所以上式等价于，解得. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段PM的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹交于A，B两点，且的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 【详解】（1）设的坐标为，则的坐标为 又点在抛物线上，故即 （2）设直线的方程为， 联立方程组得：，有， 则， 解得： 所以直线的方程为，即： 16．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． (1)求抛物线的方程； (2)求△的面积． 【详解】（1）因为，所以， 所以抛物线的方程为. （2）因为，代入抛物线方程可得，且，所以， 又因为，所以，所以， 联立可得，所以， 所以， 又因为，所以到直线的距离为， 所以. 17．（24-25高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，过原点直线交抛物线于另一点，且. (1)求抛物线方程； (2)已知为抛物线上两动点，且关于轴对称，，连接交抛物线于点，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标. 【详解】（1）由题意得，解得， ，解得， 抛物线方程； （2）设，则， 直线的方程为， 与，联立得， ， 直线的方程为， ，所以 直线的方程化简得， 直线过定点. 18．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为 F，点F到抛物线准线距离为2． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上， 顶点重心恰好是抛物线E的焦点 F．求所在的直线方程． 【详解】（1）由题意得， 抛物线方程为：. （2） 设，由重心坐标公式得， 中点坐标为， 两式相减得， 方程：， 此时 直线的方程为. 19．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 【详解】（1）由题意可得，所以， 得抛物线C的方程为：，焦点为， 直线l的方程为：， 联立方程，消去y得， 设，则， 得弦长． （2）设直线l的方程为：，， 联立方程，消去x得， 设，则， 所以， 同理可得， 所以四边形的面积为： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为： 20．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆的圆心在轴上，且过，两点，抛物线与圆有且只有一个交点. (1)求圆的标准方程； (2)求的最小值； (3)当取最小值时，过抛物线上的点作圆的两条切线，它们分别交于点，（，均异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【详解】（1）由题可设，则，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）联立或， 因为抛物线与圆有且只有一个交点， 所以， 所以的最小值为1. （3）证明：由（2）得，由题可设， 设过点M的圆E的切线方程为，即， 由圆心到切线距离为半径1得，整理得， 两边平方得，展开化简得， 进一步整理得， 设两切线斜率分别为，则是上述方程的两根，故， 设，由消去x得， 则，即；同理得. 所以， ， 又， 所以. 所以是一个定值. 【点睛】关键点睛：解决本题第（3）问的关键1是理解两切线斜率是方程的两根，进而得，关键2是设，分别由两切线与抛物线联立依次求出和. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的几何性质 题型一：判断抛物线的开口方向 1．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 2．已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 题型二：比较抛物线的开口大小 4．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 5．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 题型三：求抛物线的对称轴 6．（22-23高二上·江苏苏州·期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．1 7.（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 8．判断下列方程所表示的曲线是否关于x轴、y轴或原点对称： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四：抛物线的范围 9．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C． D． 10．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为 . 题型五：抛物线的对称性的应用 12.已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 13．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号装置与卫星接收天线中心的距离为（    ）． A． B． C． D． 14．已知拋物线的焦点为椭圆的右焦点，且与的公共弦经过，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．（多选）（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（  ） A． B． C． D． 16．（多选）在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则（    ） A．四边形ABCD不可能为平行四边形 B．存在四边形ABCD，满足∠A=∠C C．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2 D．若为正三角形，则该三角形的面积为 17.（多选）在平面直角坐标系中，方程对应的曲线为，则（    ） A．曲线是封闭图形，其围成的面积大于 B．曲线关于原点中心对称 C．曲线上的点到原点距离的最小值为 D．曲线上的点到直线距离的最小值为 18．（多选）如图，一个杯座圆放置在水平桌面上且内壁光滑的酒杯，杯身的轴截面图形是顶点为O、焦点为的抛物线，，为杯口圆的圆心，足够长，杯脚．现有一根长的细木棍放在此酒杯的杯身内，的中点在桌面上的投影为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 19．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期中）若抛物线（）的焦点为，其准线与轴交于点.过点作直线与抛物线交于点，且（），直线与抛物线的另一交点为（点在点的左边）.下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 20．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）已知曲线：（）的焦点F与曲线：（）的右焦点重合，曲线与曲线交于A，B两点，曲线：（）与曲线交于C，D两点，若四边形的面积为，则曲线的离心率为 ． 21．（22-23高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点A，B（不与O重合）是抛物线上两个动点，且满足． (1)当AB垂直x轴时，求三角形OAB的面积； (2)探究x轴上是否存在点P使得？若存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 3．（24-25高二上·江苏盐城·期末）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏泰州·期末）点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏徐州·期末）在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，是上异于顶点的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若过点，则为钝角 B．若，则的斜率为 C．若，则点的横坐标为2时，最小 D．若四边形为平行四边形，则过定点 8．（24-25高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的通径长为4 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线与的准线交于点，则 9．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点为上的动点，则的最小值为 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 10．（24-25高二上·江苏无锡·期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图，曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一，下列结论中正确的是（　　）    A．曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3 B．曲线C关于y轴对称 C．曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点） D．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 三、填空题 11．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为，若斜率为的直线与交于、两点，且，则的方程为 ． 12．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的焦点为F，点，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线与C的另一个交点分别为M，N．当直线斜率不存在时， ；当直线斜率存在时， ． 13．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是 . 14．（24-25高二上·江苏镇江·期末）若抛物线 上存在关于直线对称的点，则实数k的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段PM的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹交于A，B两点，且的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 16．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． (1)求抛物线的方程； (2)求△的面积． 17．（24-25高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，过原点直线交抛物线于另一点，且. (1)求抛物线方程； (2)已知为抛物线上两动点，且关于轴对称，，连接交抛物线于点，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标. 18．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为 F，点F到抛物线准线距离为2． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上， 顶点重心恰好是抛物线E的焦点 F．求所在的直线方程． 19．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 20．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆的圆心在轴上，且过，两点，抛物线与圆有且只有一个交点. (1)求圆的标准方程； (2)求的最小值； (3)当取最小值时，过抛物线上的点作圆的两条切线，它们分别交于点，（，均异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $