内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

巴彦淖尔市2025一2026学年第二学期高一期末考试 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 弥 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的： 1.数据3,2,2,4,5,6,8的极差为 A.4 B.5 C.6 D.7 2.将笼中的100只小白鼠按1~100编号，从中任意取1只小白鼠，其编号不大于40的概率为 A若 R号 c号 9 D.100 3.已知向量a=(W2,2),b=(2√2,1)，则a在b上的投影向量的模为 封 A号 B青 C.2 D.3 4.如图，四边形ABC'D'是正方形ABCD的直观图，且A'C=8,则 四边形A'B'C'D'的面积为 A.4 B.4V2 A C.8 D.8√2 5.设复数x满足|x十1|=|x一2|，则x的实部为 A分 R日 C.2 D.-2 线 6某抽奖活动设置了“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种抽奖结果，已知甲、乙两人各抽奖一次， 设事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，则事件“至少有一人中奖”可表示为 A.A∩B B.AUB C.A∩B D.A∩B 7.在正六棱柱ABCDEF-A:B1C1D1E1F1中，AB=3,AA1=2V3,H为 A 底面ABCDEF所在平面内的任意一点，则异面直线A1D与BH所成 B E 角的最小值为 A B否 C. 4 D晋 【高一数学第1页（共4页）】 8,在△ABC中，D,E均在BC上，Ai=号，A成=号AC,Aò+应=Ai+AN(x, R),则22十y= A.3 B.6 C.7 D.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数x=2一2i,则 A.z=2+2i B.z的虚部为2 C.z2为纯虚数 D.之在复平面内对应的点位于第二象限 10.林下调研区划分出8块独立的菌菇监测样地，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，每块样地被随机选 中的概率均为分，调研人员先后两次独立选取样地开展观测（有放回地选取，两次选取互不 影响)，记录每次选中的样地编号.设事件A为“第一次选取选中的菌菇监测样地的编号为 8”,事件B为“第二次选取选中的菌菇监测样地的编号为偶数”，事件C为“两次选取选中的样地 编号之和为9”，事件D为“两次选取中，恰有一次选中编号不大于4的菌菇监测样地”，则 A.A与B相互独立 B.A与C相互独立 C.C与D相互独立 D.A与D相互独立 11.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AB=4,AD=12,CD=5,F在BC上， E,H均在AD上，AE=ID=3.将矩形ABFE沿EF翻折至四边形MEFN的位置，将 Rt△DHC沿直线HC翻折至△PHC的位置，如图2所示，连接MH,NC,PF,且∠MEH =∠PHE=60°，K在MH上，则 H ò M B F N 图1 图2 A.平面FNC⊥平面EFCH B.FK+KP的最小值为√91 C.几何体PHMEFNC共有8个面 D.几何体PHMEFNC外接球的半径为√I3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知圆台的上、下底面半径分别为1,3，高为2，则该圆台的体积为▲ 13.某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验 成绩的平均数为90分，方差为71.那么这90名同学本次测验成绩的平均数为▲分，方 差为▲ 【高一数学第2页（共4页）】 14.长春净月潭国家森林公园是知名研学实践基地，景区标志性建筑碧 松净月塔楼矗立在观潭山上.某高中数学研学小组开展实地测量活 动，选取与塔楼底部O位于同一水平面的地面三点A,B,C,且A, B,C三点在同一直线上，AB=BC=41米.若在A,B,C三处分别 测得塔楼顶端P的仰角为30°，45°，60°，则碧松净月塔楼的竖直高度 OP=▲米.（结果保留一位小数，参考数据：取√6=2.45） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O圆周上的动点，过动点M的直线DM垂直于⊙O所在 平面，E,F分别是DM,DB的中点. (1)证明：EF/平面ABM. (2)证明：EF⊥平面DAM. M 16.(15分) 某高校为调查学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生，统计他们每周的锻炼时长（单 位：小时)，得到如下频数分布表： 锻炼时长 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10] 频数 10 20 30 25 15 (1)估计该校学生每周锻炼时长的75%分位数； (2)若该校共有2000名学生，估计每周锻炼时长不低于6小时的学生人数； (3)按锻炼时长采用按比例分层随机抽样的方法从锻炼时长在[6,8)，[8,10]内的学生中抽 取8人，再从这8人中抽取2人，求这2人不在同一锻炼时长区间内的概率， 17.（15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 bsin Bsin C=√3csin2B. (1)求B; (2)若△ABC外接圆的半径为1，求△ABC面积的最大值. 【高一数学第3页（共4页）】 8.(17分) 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序，规则如 下，连续答对2题可获得7天会员，连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会 员，已知甲答对题1的概率为号，答对题2的概率为，答对题3的概率为力0<中<1)，各 题答对与否相互独立， (1)若力=3，且甲按题1-→题2-~题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率。 (2)若力=2，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ (3)若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求力的取值范围， 欧 9.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形，AB⊥BD,PB =8,BC=4,E为PA的中点，F为PD上靠近点P的三等分点. (1)设平面PAB∩平面PCD=L,证明：CD∥. (2)作出平面BEE与棱PC的交点，并说明作法与理由 (3)当2≤BD≤2√2时，作出二面角B-PC-D的平面角，并求二面角B-PC-D的正弦值的取 值范围. E ! 线 【高一数学第4页（共4页）】巴彦淖尔市2025一2026学年第二学期高一期末考试 数学参考答案 1.C数据2,2,3,4,5,6,8的极差为8-2=6. 2B从中任意取1只小白鼠，其编号不大于40的概率为0-，一 3.Ca在b上的投影向量的模为ab=4g=2. 4.D因为A'C=8,所以B'D'=4,过点D'作D'H垂直于x'轴，垂足为H(图略)，则D'H= 巨，所以四边形ABCD'的面积为2×号×8×2=8巨. 5.A设x=a+bia6∈R,则a十1+b=a-2十b,解得a=受 6.BA∩B表示“两人都中奖”，不符合“至少有一人中奖”；AUB表示“甲中奖或乙中奖”，即 至少有一人中奖，符合题意；A∩B表示“两人都不中奖”，与“至少有一人中奖”是对立事件； A∩B表示“甲中奖且乙不中奖”，只是“至少有一人中奖”里的一种情况 7.B异面直线AD与BH所成角的最小值为直线A1D与平面 ABCDEF所成角的大小.因为AA1⊥平面ABCDEF,连接AD,所以B ∠A1DA即为直线A1D与平面ABCDEF所成的角，tan∠A1DA= 地-2-所以∠ADA-各 8.B设AD=mAB+nAC,A它-AB+uAC,m十n=入+u=1,则AD+AE=(m十λ)AB+ (n+)AC-m+x0Ai+3(n+)Ad,则2(m+a)=x,3(n+）=y,所以m+a+n+ -号+y-2同2z+y6 9.AC因为之=2一2i,所以之=2十2i,之的虚部为一2，z2=一8i,之在复平面内对应的点(2，一 2)位于第四象限，所以A,C均正确，B,D均不正确. 1ADPa)日PB)专3PC)是g,PCD)X4结4X4CAB)清 64 -,PA)P(B)=日×号GP(AB)=PCA)PCB),A正确PAC)-d,PAP(C -日×日动PaC)=PCAP(C,B正晚PCD)是-日，P(C)PD)=日×名 2 PC)P(D)≠P(CD,C错误P(AD)=青元，P(A)P(D)=日×分，P(AD) 【高一数学·参考答案第1页（共6页）】 =P(A)P(D),D正确. 11.ABD几何体PHMEFNC共有7个面，C错误.因为四边形ABFE为矩形，所以EF⊥ FC,EF⊥FB,翻折后EF⊥FC,EF⊥FN,因为FC∩FN=F,所以EF⊥平面FNC,因为 EFC平面EFCH,所以平面FNC⊥平面EFCH,A正确.因为∠MEH=60°，EM=3,EH =6,所以MH=√9+36-2X3×6×2=33,所以MH+ME2=EH,则MHLME,同 理可证HP⊥PE,可将几何体PHMEFNC补全为长为3√5、宽为3、高为4的长方体，其外 接球即为长方体的外接球，外接球的半径为27,9干6-√3，D正确，连接FM,FH,将 2 平面FMH与平面MPH展开至同一平面，如图3所示，当F,K,P在同一直线上时，FK十 KP取得最小值.因为MH⊥ME,MH⊥EF,ME∩EF=E,所以MH⊥平面MNFE,则 MH⊥MF,在图3中过F作FT⊥PH,与PH的延长线交于点T,则FT=MH=3√3，PT =PH+HT=PH+MF=3+√32+42=8，所以FK+KP≥FP=√64+27=√9I,B 正确 M H 图3 12 26r该圆台的体积V=号 3 (R+R+)=写x×2x9+3+1)-2 13.97,134这90名同学本次测验成绩的平均数为12X10548X90=97分， 90 方差为号×[86+(105-97y]+8×[71+(00-97)门=70+64=134 14.50.2设0P=h米.因为OP⊥平面ABC,所以OA=,h tan30°= h h v3h米，0A°=3h,OB=tam45=h米，OB=h,0C tan60°- h A 3 米，0C=根据as∠AB0十cms∠CB0=0,得 OBA804+0B+BC-0C_+4-3hA2+4- 3 2X412-号 =0, 2OB·AB 2OB·BC 82h 82h 82h 【高一数学·参考答案第2页（共6页）】 解得5=号×41，所以h-5×41*50.2 15.证明：(1)因为E,F分别是DM,DB的中点，所以EF是△DBM的中位线，…2分 所以EF/MB.…4分 因为EF在平面ABM,MBC平面ABM,所以EF/平面ABM.…5分 (2)因为AB是⊙O的直径，所以BM⊥MA.…7分 因为DM⊥平面ABM,BMC平面ABM,新以DM⊥BM.…9分 因为DM∩MA=M,所以BM⊥平面DAM.…11分 由(1)得EF/MB,所以EF⊥平面DAM.…13分 16.解：(1)由表可知，锻炼时长在[0,2)内的频率为0.1，在[2,4)内的频率为0.2，…1分 在[4,6)内的频率为0.3，在[6,8)内的频率为0.25，在[8,10]内的频率为0.15.…2分 因为0.1+0.2+0.3=0.6<0.75,0.1十0.2+0.3+0.25=0.85>0.75，…3分 所以75%分位数位于[6,8)内.设75%分位数的估计值为x, 则0.6十（红一6）×025=0.75，解得x=7,2,即估计该校学生每周锻炼时长的75%分位数 2 为7.2。…6分 (2)因为样本中锻炼时长不低于6小时的频率为0.25十0.15=0.4，…7分 所以该校2000名学生中符合条件的人数约为2000×0.4=800.…8分 (3)根据分层抽样，其中位于[6,8)内的有5人，记这5人为A1,A2,A3,A4,A5, 位于[8,10]内的有3人，记这3人为B1,B2,B3.…9分 从这8人中抽取2人，有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A),(A2,Ag),(A2,A4), (A2,A),(A3,A4),(A3,A),(A4,A),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2, B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A5,B1), (A5,B2),(A5,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共28种情况.…12分 这2人不在同一区间内的情况有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2, B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A5,B1),(A5,B2), (A写，B3),共15种，……14分 所以这2人不在同一锻炼时长区间内的概率为28 15 …15分 17.解：(1)根据正弦定理可得2 sin Bsin Bsin C=2√3 sin Csin Bcos B,…2分 即2 sin Bsin C(sinB-√3cosB)=0.…4分 因为0<B<π，0C<π，所以2 sin Bsin C>0,sinB-√3cosB=0,…5分 所以tanB=√3，… 6分 得B=等 …7分 【高一数学·参考答案第3页（共6页）】 (2)根据正弦定理可得inB-2,解得6=√3. …9分 由余弦定理可得b2=a2十c2-2acc0sB=a2十c2一ac=3,…11分 所以a2十c2-ac=3≥2ac-ac=ac,即ac≤3，当且仅当a=c=√3时，等号成立，…12分 所以△ABC的面积S=rsnB≤号X3×-35 2 4， …14分 即△ABC面积的最大值为3y 4 15分 4 3 18.解：(1)甲获得30天会员的概率为5× 2 X 2 。0， 4 35 2分 (2)当p=2时，各种答题顺序的情况如下： 按题1+喝2一吧3的序答题，甲案得会员的质率为号×+(1一)××}铝，“ 3分 按题1→题3→遥2的顺序答题，甲获得会员的服率为号×号+(1-)×分×子-8 4403 …4分 按题2一喝1一返3的损序答题，甲疾得会员的5率为×号+(1-)××}0：“ 51 5分 按题2一感一怎1的履序答题，甲英得会员的概率为×+(1号)×子×普一品。 6分 校题3一题1+思2的顺序答题，甲获得会员的藏率为×号+(1-》×号×品：“ 7分 按题3一地2一题1的顺序答题，甲线得会员的概率为2×+(1-》×子×号-忍 8分 7、27、19 因为0>4040，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3或按题3→题1→ 题2的顺序答题 …9分 (3)根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题. 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率P=(受+p)×号是×号=号+片： …11分 【高一数学·参考答案第4页（共6页）】 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率P,-(+p）×-子×-+》 5+20 …13分 若题3位于中向的顺序，则甲获得会员的赛率P,=(停+)×子×一 20p. …15分 因为P>P,所以只需请足P,>P,即可，即品>十，解得> 1 …16分 因为0<<1，所以p的取值范围为（号，1）小. …17分 19.(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，所以CD∥BA.…1分 因为CD中平面PAB,ABC平面PAB,所以CD平面PAB.…2分 因为CDC平面PCD,平面PAB∩平面PCD=I,所以CD. …4分 (2)解：设平面BEF与PC交于点H,连接FH,BH.连接AC,与BD交 P 于点O,取FD的中点M,连接OM,MC,AM.…5分 因为F为PD上靠近点P的三等分点， 所以F为PM的中点，所以EF∥AM. 因为EF中平面AMO,AMC平面AMO,所以EF平面AMO. …6分 同理可证BF/伻面AMO.…7分 因为BF∩EF=F,所以平面BEF平面AMO.…8分 因为平面BEF∩平面PCD=FH,平面AMO∩平面PCD=MC,所以 FH/MC.…9分 因为F为PM的中点，所以H为PC的中点.…10分 (3)解：过点D作DN⊥BC,垂足为N,过点N作NI⊥PC,垂足为I,连接DI,则△BDC∽ △DNC,△CNIp△CPB, 8.16-BD2 所以CN=CDL6-BD,NI=PB·NC 4 BC PC PC 11分 因为PB⊥DN,DN⊥BC,PB∩BC=B,所以DN⊥平面PBC,所以DN⊥PC 因为NI⊥PC,DN∩NI=N,所以PC⊥平面NID,则PC⊥ID, 所以∠NID为二面角B-PC-D的平面角.…12分 由题意可得CD=√BC2-BD=√I6-BD2. 由等面积法可得DN=BD·CD_BD·VI6-BD BC 4 在Rt△PBC中，PC=VPB+BC-√64+16=4,5，则NI=16-BD 25 令BD=x,x∈[2,2√2]. 【高一数学·参考答案第5页（共6页）】 x·W/16-x2 在Rt△NID中，sin∠DIN=DY 4 5x DI +() Wx2+64 4 2√5 …]4分 5x,x∈[2,22]，则fx)= √5 令f(x)= 在[2,2√2]上单调递增，…15分 x2+64 所以f(x)m=f(2)= V4+64=17f(x)x=f(2v2)=210-5 2W5=√85 , …16分 √/8+64 所以二面角BPCD的正孩值的取值范阻为停，得] …17分 【高一数学·参考答案第6页（共6页）】