内蒙古自治区赤峰市部分校联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

装 2026年赤峰市高一年级学年考试试题 姓 名 数学 26 本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考 号 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码粘贴区. 2、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔写， 字体工整、笔迹清楚， 3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答沙： 在草稿纸、试卷上答题无效， 订 4,作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮物. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个无项 中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分 1.复数z=1+i(其中i为虚数单位)， 则月= A.2 B.√2 C. D. 1-2 2. 已知集合4=02或，8=号0 则AnB= A.{3) B.{2,3} C.{0,3} D.{xx≥2或x≤1 线 3.在△ABC中，D为AC边上靠近点A的三等分点，BD=1AB+uAC,则+= .- 1 A B. 1 C. 3 2 2 4.已知f(x)是定义域为 22 的偶函数，且满足当0≤x<时，f)=m,则圣 数y=f-2 的零点个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 高一数学第1页（共4页） 5、已知四边形ABCD,则“ABCD是平行四边形”是“AB=DC”的 A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C、充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.函数∫(x)=1og2(x2-1)的单调递增区间为 A.（-o0,-1) B.（-o,0) C.(0,+oo) D.(L,+) 7、两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是 A.两个角均为锐角 B.一个角为0°，一个角为90 C.两个角均为0° D.两个角均为90 8.若将函数f(x)=ln(a+b仍≠0)的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则b= A.1 B.2 C.-1 D.-2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知a=ln3,b=ln2,下列说法正确的是 A.In6=a+b B.In4=26 C.log3 2=4 b D.log,12=a+2b 2b 10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的是 A.若a2+b2-c2=ab,则C=60 B.若a=√2，b=3,A=30°，则满足条件的△ABC有两个 C.若a=3,cosA=-2,则△4BC周长的最大值为3+5 D.若a>b,则cosA<cosB 11.在正三棱柱ABC-AB,C中，所有棱长均为2，D为BC中点，M为AB中点，连接DM、 AM、AD.下列命题正确的是 A.DM∥面AAC,C B.三棱雏A-MDC的体积为 C.平面ADM与平面ABC所成二面角的正弦值为47 17 16 D.正三棱柱ABC-ABC外接球的表面积为 高一数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 17. 12.已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为 13.在平面直角坐标系中，已知向量b=(1,2),且ab=-1,则向量a在向量b上的投影 D 向量的坐标为 14.“无字证明”(Proof Without Words),就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的 几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个 三角恒等变换公式： coSa 18 sin SIn A K cos B米 cos B 图乙 图甲 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C. (1)若a=3,b=5,c=7,求角C及△ABC的面积； （2)求证：△Bc的面积S=2(p-op-op-0(供中n=a++e, 19 16.（15分) 已知函数g闭=osx,将g的图象向右平移个单位长度，得到函数f()的图象. (1)求函数f(x)的解析式与对称中心； 2π (2)当x∈0， 3 时，求f(x)的最大值与最小值： (3)若角a满足fa)-},求sn(e+?的值. 61 高粘出络2面（出4面） 17.(15分) 装 如图，在三棱锥P-ABC中，PO⊥底面ABC,垂足为O,且OC=-2OD,AC=BC=V13, D为AB中点，CD=3, (1)求证：AB⊥PC; (2)若OP=2,求直线PC与平面PAB所成角的正弦值. 18.（17分) 如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是AB、BC边上的动点，且满足AE=BF, AF与DE相交于点M 订 D (1)若E为AB中点，求DE,AB的值； (2)（i)求证：在运动过程中，恒有∠AMD=90°； (ii)求DM.DC的最大值， M 19.(17分) 对于任意两个实数w,v(u<),记区间[u,]上曲线y=e与直线x=u,x=v及x轴围 !: 成的曲边梯形面积为E(u,),约定E(w,w)=0,E(w,)=-E(y,w),并定义E(0,x)=e-1. (1)对任意实数u和h,且h>0,证明：he<E(,w+h)<he“(注：可借助图形辅助证 .: 明)： 线 (2)若E(0,a)+E(0,2)=E(0,a+),求实数a的值； (3)(i)求证：对任意实数t,都有E(u+t,v+)=eE(4,); (i)设m>0,记Sa=E(a,a+m)-E(a-m,a),是否存在实数a。,使得 S)=S-)恒成立？若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由. 高一数学第4页（共4页）装 2026年赤峰市高一年级学年考试试题 姓 名 数学 26 本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考 号 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码粘贴区. 2、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔写， 字体工整、笔迹清楚， 3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答沙： 在草稿纸、试卷上答题无效， 订 4,作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮物. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个无项 中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分 1.复数z=1+i(其中i为虚数单位)， 则月= A.2 B.√2 C. D. 1-2 2. 已知集合4=02或，8=号0 则AnB= A.{3) B.{2,3} C.{0,3} D.{xx≥2或x≤1 线 3.在△ABC中，D为AC边上靠近点A的三等分点，BD=1AB+uAC,则+= .- 1 A B. 1 C. 3 2 2 4.已知f(x)是定义域为 22 的偶函数，且满足当0≤x<时，f)=m,则圣 数y=f-2 的零点个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 高一数学第1页（共4页） 5、已知四边形ABCD,则“ABCD是平行四边形”是“AB=DC”的 A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C、充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.函数∫(x)=1og2(x2-1)的单调递增区间为 A.（-o0,-1) B.（-o,0) C.(0,+oo) D.(L,+) 7、两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是 A.两个角均为锐角 B.一个角为0°，一个角为90 C.两个角均为0° D.两个角均为90 8.若将函数f(x)=ln(a+b仍≠0)的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则b= A.1 B.2 C.-1 D.-2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知a=ln3,b=ln2,下列说法正确的是 A.In6=a+b B.In4=26 C.log3 2=4 b D.log,12=a+2b 2b 10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的是 A.若a2+b2-c2=ab,则C=60 B.若a=√2，b=3,A=30°，则满足条件的△ABC有两个 C.若a=3,cosA=-2,则△4BC周长的最大值为3+5 D.若a>b,则cosA<cosB 11.在正三棱柱ABC-AB,C中，所有棱长均为2，D为BC中点，M为AB中点，连接DM、 AM、AD.下列命题正确的是 A.DM∥面AAC,C B.三棱雏A-MDC的体积为 C.平面ADM与平面ABC所成二面角的正弦值为47 17 16 D.正三棱柱ABC-ABC外接球的表面积为 高一数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 17. 12.已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为 13.在平面直角坐标系中，已知向量b=(1,2),且ab=-1,则向量a在向量b上的投影 D 向量的坐标为 14.“无字证明”(Proof Without Words),就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的 几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个 三角恒等变换公式： coSa 18 sin SIn A K cos B米 cos B 图乙 图甲 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C. (1)若a=3,b=5,c=7,求角C及△ABC的面积； （2)求证：△Bc的面积S=2(p-op-op-0(供中n=a++e, 19 16.（15分) 已知函数g闭=osx,将g的图象向右平移个单位长度，得到函数f()的图象. (1)求函数f(x)的解析式与对称中心； 2π (2)当x∈0， 3 时，求f(x)的最大值与最小值： (3)若角a满足fa)-},求sn(e+?的值. 61 高粘出络2面（出4面） 17.(15分) 装 如图，在三棱锥P-ABC中，PO⊥底面ABC,垂足为O,且OC=-2OD,AC=BC=V13, D为AB中点，CD=3, (1)求证：AB⊥PC; (2)若OP=2,求直线PC与平面PAB所成角的正弦值. 18.（17分) 如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是AB、BC边上的动点，且满足AE=BF, AF与DE相交于点M 订 D (1)若E为AB中点，求DE,AB的值； (2)（i)求证：在运动过程中，恒有∠AMD=90°； (ii)求DM.DC的最大值， M 19.(17分) 对于任意两个实数w,v(u<),记区间[u,]上曲线y=e与直线x=u,x=v及x轴围 !: 成的曲边梯形面积为E(u,),约定E(w,w)=0,E(w,)=-E(y,w),并定义E(0,x)=e-1. (1)对任意实数u和h,且h>0,证明：he<E(,w+h)<he“(注：可借助图形辅助证 .: 明)： 线 (2)若E(0,a)+E(0,2)=E(0,a+),求实数a的值； (3)(i)求证：对任意实数t,都有E(u+t,v+)=eE(4,); (i)设m>0,记Sa=E(a,a+m)-E(a-m,a),是否存在实数a。,使得 S)=S-)恒成立？若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由. 高一数学第4页（共4页）2026年赤峰市高一年级学年联考试题 数学参考答案与评分细则 题号 1 2 5 7 8 答案 B C A 0 C 0 D B 题号 9 10 11 答案 ABD AD ABC 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1.复数=1+i(其中1为虚数单位)，则月 A2 B.√2 【答案】B 【详细解答】因为z=1+i,所以2=1-i.即目=V5故选B 2已知华合4=12头，8月， 则A∩B= A3 B.{2,3} C.{0,3} D.{xx≥2或x≤1} 【答案】C 【详细解谷】8=子0的解架为B=x>2减<，所以4nB=0,3}故选C 3.△ABC中，D为AC边上靠近点A的三等分点，BD=AB+AC,则入+L= a 1 B.2 c 【答案】A 【详细解答】BD=AD-AB,又D为AC边上靠近A的三等分点，所以，AD=AC 即而-青4GA丽，即1背=1，剥2业子故选A 4已知9)是定义域为-引的网函数，且满足当0≤<行时，国-m,期函数 y=f()-2的零点个数为 A5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【详细解答】由题意可得分段函数y=f(x)图象如图，函数的零点 个数为函数y=f(x)与y=图象交点个数，即为2个故选D 高一数学答案第1页/共13页 5.已知四边形ABCD,则“ABCD是平行四边形”是“AB=DC”的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【详细解答】四边形ABCD构成平行四边形即有AB=DC,若AB=DC,四边形ABCD一定 构成平行四边形，所以为充分必要条件.故选C. 6.函数f(x)=log2(x2-1)的单调递增区间为 A(-0,-1) B.（-n,0) C.(0,+0) D.(1,+o) 【答案】D 【详细解答】函数f(x)=1og,(x2-1)的定义域为{xx>1或x<-1},根据复合函数的单调 性可得f(x)=log2(x2-1)的单调增区间是(1，+∞)故选D. 7.两条异面直线与同一平面所成角，不可能是 A两个角均为锐角 B.一个角为0，一个角为90 C.两个角均为0° D.两个角均为90 【答案】D 【详细解答】D选项中两条直线与同一平面所成角是90°，则两直线平行，与题干矛盾.故 选D &若将函数f(x)=a+b≠0)的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则= A1 B.2 C.-1 D.-2 【答案】B 【详细解答】函数图象向右平移1个单位后得到g(x)=hna十b x-] 的图象关于原点对称， 即g(x)+g(-x)=0,即ln ab b2 =1,解得a=1,b=2.或a=-1,b=-2. x+1x-1x2-1 =1整理得a2+2ab-b2 x2-1 所以ab=2 (还可以利用y=nc+b k≠0)为奇函数直接得出结果)，故选B. kx-b 高一数学答案第2页/共13页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知a=ln3,b=n2,下列说法正确的是 A.In6=a+b B.In 4=26 C.log32- b D.1og412=a+2b 2b 【答案】ABD 【详细解答】 对于A,n6=ln2+ln3=a+b,故A正确： 对于B,h4=2ln2=2a,故B正确； 对于C,1og2=n2_a,b 一，故C错误： In3 b a 对于D,1og412=血l2_血3+h4_n3+2m2_+2 ,故D正确： n41n4 2n2 2b 故选ABD 10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的是 A若d+b2-c2=b,则C=60° B.若a=√2，b=3,A=30°，则满足条件的△ABC有两个 C.若a=3,cosA= 2,则A1BC周长的最大值为3+5 D.若a>b,则cosA<cosB 【答案】AD 【详细解答】 对于A,c0sC= d+b2-c2=b=,又C∈(0，)，故∠C=60,故A正确： 2ab 2ab 2 对于B,由正弦定理可得V迈 3 sin30°sinB 可得smnB= 2>1,故不存在满足条件的三角 形ABC,故B错误； 对于C,由余弦定理可得a=b2+c2-2bcc0sA,即9=b+c2+bc,由基本不等式可 高一数学答案第3页/共13页 得9=+6+bc=0+0-ac≥6+0-(5-0+g,故+e≤25，所以 △ABC周长的最大值为3+2V3,故C错误； 对于D,因为a>b,根据三角形大边对大角，所以A>B,又y=Cosx在(0，π)上单调 递减，所以coSA<coSB,故D正确： 故选AD 11.在正三棱柱ABC-AB,C1中，所有棱长均为2，D为BC中点，M为AB中点，连接DM、 AM、AD.下列命题正确的是 ADMI∥面AACC 8三棱锥A-MDC的体积为 3 C平面ADM与平面ABC所成二面角的正弦值为4回 17 D正三棱柱ABC-A8G外接球的表面积为？π 16 【答案】ABC 【详细解答】 对于A取AC中点E,连接CE、ME,△AB,C1中，由于M,E分别为BA,AC的中 点，M1/BS,且m=BG,又BC1BC,且BG=BC,从而MB1/BC,MB=DC, 故四边形MCD为平行四边形，所以CE//MD,又CEC面ACCA,所以DM∥面 A4CC,故A正确： 对于Ba:=么匹0x心含2x分c040=点，放E正确： 3 对于C取AB、AD的中点为F、G,由图可知，MG⊥AD,FG⊥AD,所以平面ADM 与平面ABC所成二面角为∠MGF,在RtAMFG中，MF=4FG=2, 2 sin∠MGF= 4v17 17,故C正确： +22 对于D易知正三棱柱的中心为外接球球心O,且O到底面ABC的距离为1， O4-2AD=名5，所以外接球表面积S=4R=42+22 3 《3)}=二π，故D错误 故选ABC 高一数学答案第4页/共13页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上， 12.已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为 【答案】4 【详细解答】由扇形面积公式S=m,1=1可知，。=4 13.在平面直角坐标系中，已知向量b=(1,2),且b=-1,则向量1在向量b上的投影向量 的坐标为 【答案】 【详细解答】向量4在向量b上的投影向量为 =g=3 14.“无字证明”(Proof Without Words),就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的 几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒 等变换公式： cosa cosB米 图乙 图甲 【答案】sin(a+B)=sina cos B+cosasinB 【详细解答】由图可知，图甲、乙中的白色阴影部分面积相等，又由图甲可知，阴影部分图 1 形四条边长均为1，此图形为菱形，面积S= sin(a+)×2=sin(a+B);图乙中阴影部分 2 图形面积为S2=sin acosB+cosasin B因此可得三角恒等变换公式为 sin(a+B)=sin a cos B+cosasin B 高一数学答案第5页/共13页 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C (1)若a=3,b=5,c=7,求角C及△ABC的面积： ②)求证：△4BC的面积S=√pp-a)D-b)(p-c(其中p=(a+b+c). 【详细解答】 (1)由余弦定理可得cosC=a+b-c (1分) 2ab 9+25-491 (2分) 2×3×5 2 因为角为C三角形内角，则C∈(0，)，则C=120° (3分) 1 △ABC的面积S=二ab sin C .(5分) 2×3×5×sim120°=15V5 (7分) 1 (2)= a2b2sin2C.......... (1分) 1a2b1-osC） (2分) a+b2-c 2ab (3分) =a6x2ab-(a+-c】 4 Aa'b? 2b-a-6+c2b++-c (4分) -rle (a =16c-a)a+c-b)atb-c)a+b+c) (5分) =p(p-a)(p-b)(p-c). .S4c=√p(p-a(p-b)(p-c)… (6分) 高一数学答案第6页/共13页 16.(15分) 己知函数=c,将8)的图象向右平移号个单位长度，得到函数)的图象 (1)求函数f(x)的解析式与对称中心： (2)当xe0,3」 2π 时，求f(x)的最大值与最小值： 3)若角“满足f(a-年求a+爱的值。 1 【详细解答】 1π (1)由已知图象平移得y=cosx- 2 3 (2分) 所以fx)=cos专x-6 (3分) 设1--石，少=cos1的对称中心为依r+受0)ke之 2 6 所以x-工=k元+T解得，x=2k红+ 4π 26 2 3 （4分) 所以f)的对称中心为(2k红+4红，0)k∈Z 3 （(5分) 26 .(2分) 由于y=cost为偶函数，且在t∈[0，上为减函数 所以当1=宁名=0，即专计，九有最大值1 (4分) 当：宁名吾即x=0时，0有袋小值九9 .(5分) 2 (3)四co急子设女名m,则u2m写且o则 4 ..(1分) 6 sme-急=nm2m+?=nm+f )cos2m=2cos*m-1 .(3分) sin(+2com-12x .(5分) 高一数学答案第7页/共13页 17.（15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PO⊥底面ABC,垂足为O,且 OC=-2OD,AC=BC=V13,D为AB中点，CD=3. (1)求证：AB⊥PC; (2)若OP=2,求直线PC与平面PAB所成角的正弦值， 【详细解答】 (1)PO⊥平面ABC,ABC平面ABC,.PO⊥AB.......(1分) AC=BC,D是AB中点，.CD⊥AB.… (2分) 又CDc平面POC,POC平面POC,CD∩PO=O,AB⊥平面POC(4分) PCc平面POC,.AB⊥PC. 。。。。。。。。。。 .(5分) (2)法一： 连接PD,AB⊥平面POC,ABc平面PAB,.平面PAB⊥平面POC…(1分) 过C做CM⊥PD,:平面PAB∩平面POC=PD,CMc平面POC,∴.CM⊥平面PAB, .∠CPD即CP与平面PAB所成角..(3分) OC=-20D,CD=3,0C=2,0D=1 (4分) PO⊥平面ABC,CDC平面ABC,.PO⊥CD. PC=VP02+C02=2√5.. (5分) PD=VP02+D02=√5 。。。。。。。。 。。。。。。。。。。 .(6分) SAPCD= -PDx PC×sin∠CPD (8分) 2 高一数学答案第8页/共13页 .sin∠CPD= P0×CD2×33V10 PD×PC√5x2W210 .(9分) 即Cp与平面PAB所成角正弦值为30 ..(10分) 10 法二： 连接PD,过C做CM⊥PD,:AB⊥平面POC,CMC平面POC, .AB1CM(1分) 又'CM⊥PD,PDC平面PAB,ABC平面PAB,AB∩PD=D,.CM⊥平面PAB, .∠CPD即CP与平面PAB所成角..（3分) 0C=-20D,CD=3,.0C=2,0D=1.....(4分) PO⊥平面ABC,CDC平面ABC,∴PO⊥CD PC=VP02+C02=2√2. (5分) PD=√P02+D02=√5 。。。。。。。。。。 .(6分) 由余弦定理，cos∠CpD=PD+PC-CD2-5+8-9i0 (8分) 2PD×PC 2×V5×2W510 sin CPD=c0CPD=310 (9分) 10 即Cp与平面PAB所成角正弦值为30 10 .(10分) (法一与法二找线面成角的方法和求角的方法不同，可以自由组合，其他合理方法亦可) 高一数学答案第9页/共13页 18.(17分) 如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是AB、BC边上的动点，且满足AE=BF, AF与DE相交于点M (1)若E为AB中点，求DEAB的值； (2)（i)求证：在运动过程中，恒有∠AMD=90°； (i)求DM.DC的最大值. 【详细解答】 (1)法一：基底法 ·E为AB中点 .D丽=B-AD 。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。 2 .（2分) 亚而-兮而西-号证=2 。。。。。。。。 .…(3分) 法二：建系法 以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系…(1分) 则AE=1, 则A(0,0),B(2,0)D(0,2),E(1,0) (2分) D2=1,-2),AB=(2,0) D2.AB=2×1-2×0=2… (3分) (2)(i)》 法一：基底法 设正=AB,则BF=BC(2∈0,1).... ..(1分) DE=A正-AD=AB-AD (2分) 则AF=AB+BC (3分) :DE.AF=(AAB-AD).(B+ABC)=AAB'-AAD.BC=AAB2-AAD2=0.......() .DE⊥AF ∴.恒有∠AMD=90°... ....(6分) 法二：建系法 以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系…(1分) 设AE=x, 高一数学答案第10页/共13页 则A(0,0),F(2,x)D(0,2),E(x,0) (2分) DE=(x,-2),AF=(2,x). (3分) DE.AF=2x-2x=0.... (4分) 故D2⊥F (5分) 故恒有∠AMD=90°. .(6分) (i) 法一：投影法 由(i)知∠AMD=90°，所以点M轨迹是以AD为直径的圆在正方形ABCD内部的部分. (2分) 设DM在DC上的投影向量为a,则DM.DC=a.DC..(3分) 由M点轨迹知，a与Dc同向共线，且alm=Dcl. ..(6分) (DM.DC)=(d.DC)2. (8分) 法二：三角函数法 设∠ADM=aa=0孕，则∠CDM-号a (2分) 则DM=2c0Sa,... (3分) 则DM/DC=2cosa-2cosa (4分) =4cosa.sina............... (5分) =2 sin 2a (6分) 故当a= 下时 (7分) 4 (DM.DC)=2......... (8分) 法三：基底法 设AE=AB(∈[0,1)，则BF=BC,又设DM=xD正…(1分) 则DM.DC=x(AB-AD)-DC=4x元，… (2分) 又'AADM~AEDA ∴.AD2=DM·DE (3分) ∴.4=DM.DE 高一数学答案第11页/共13页 DM 4 4 ∴.X= DE-DE2-4+42 .(4分) :DM.DC=41= 42 ,(5分) 1+2 4 .DM.DC= 0 元+ (6分) 0, 1=0 2+1≥2 2 (7分) 等号成立分2=1 故(DM.DC)ax=2… (8分) 法四：建系法 建系方法同上.设AE=t,0≤t≤1. 则A(0,0),F(2,t)D(0,2),E(t,0) 当A,E重合时，DM.DC=0… (1分) 当A,E不重合时，直线AF的方程为y=二x, (2分) 直线DE的方程为y=一 一x+2 (3分) 联立直线AF与DE的方程得M点坐标为( 4t2t2 4+F4+F (4分) m-4c: (5分) .DM.DC= 8t 4+t2 .DM.DC=_ t≠0). 4 (6分) t+ t 4 t+-≥4 t 等号成立分1=2… (7分) .(D☑DC)x=2 (8分) 高一数学答案第12页1共13页 19.(17分) 对于任意两个实数，v(u<v),记区间[u,]上曲线y=e与直线x=u,x=v及x轴围成 的曲边梯形面积为E(u,),约定E(u,u)=0,(u,v)=-E(v,W),并定义E(0,x)=e-1. (1)对任意实数u和h,且h>0,证明：he”<u,u+h)<he+(注：可借助图形辅助证明)： (②)若(0，a)+(0,2)=E(0,a+1),求实数a的值： (3)(i)求证：对任意实数t,都有E(u+t,v+t)=tE(u,); (ii)设m>0,记Sa=E(a,a+)-E(a-l,),是否存在实数4，使得S)=S-)恒 成立？若存在，求4的所有值：若不存在，请说明理由. 【详细解答】 (1)如图，AB=h,AD=BE=e“,AF=BC=e+ (1分) h加=S矩形BBD<S曲边梯形BCD=E(u,l+h)… (2分) E(L,L+)）=S猫边带形5cD<S矩彩CP=he+h…(3分) e<B(u,u+h）<heh(4分) (2)由己知，e°-1+e2-1=eaH-1.… (1分) 所以e2-1=eaH-e，(e-1)(e+1)=e(e-1).(2分) 所以e+1=e.(3分) 所以a=ln(e+1)… .(4分) （3)(i)①若t≥-u,则0≤u+t<v+t. E(u+t,v+t)=E(0,v+t)-E(0,u+t)=e*-1-(ew+t-1)=e(e"-e ②若-v<t<-u,则u+t<0<v+t. E(u+t,y+t)=Eu+t,0)+E(0,v+t)=-E(0,u+t)+E(0,v+t)=-(e"+t-1)+e+-l=e(e'-e9=eE(u,v) …(2分) ③若t≤-v,则u+t<v+t≤0. E(u+t,v+t)=Eu+t,0)-E(v+t,0)=-E(0,u+t)+E(0,y+t)=-(euH-1)+ev-1=ee'-e9=eEu,) (3分) 综上所述，t∈R,E(u+t,v+t)=eE(u,)） (5分) (ii) So-S-o=E(a,a+m）E(a。-m,a）E(←a,-4+m)HB（4-,-4) =eoE(0,m)-eE(l,0)-eE(0,m)+eoE（l,0）. .（1分) =(e-e0)(E(0,m)-E(m,0)） =(e-e0)）(E(0,m)+E(0,-m) =(e-eo）em+em-2）. ……（2分) em+em-2≥2 vemem-2=0,当且仅当em=em,即m=0时等号成立. m>0,.em+em-2>0.. …(3分) 假设存在a使S-S-)=0恒成立，则e0-e0=0,所以4=0.(4分) 高一数学答案第13页/共13页