第08讲 函数模型及其应用（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦函数模型及其应用专题，涵盖指数、对数、幂函数模型的性质，常见函数模型及实际问题建模步骤，按“命题透视-知识精讲-题型破译-真题训练”流程，帮助学生构建系统知识框架，突破高考高频考点。 资料以数学建模与数据分析素养为导向，针对对数函数模型等近三年北京卷高频考点，设计“题型拆解+方法技巧+变式训练”环节，如通过分贝问题实例强化对数运算应用，配合分层课后训练，助力学生高效提升实际问题转化能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第08讲 函数模型及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 三种函数模型的性质 知识点2 常见的函数模型 知识点3 解函数模型问题的步骤 题型破译 (含超链接） 题型1 指数函数模型【含方法技巧】 题型2 对数函数模型【含方法技巧】 题型3 建立拟合函数模型解决实际问题【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 对数函数模型 T13（5分） T9（4分） T7（4分） 实际问题的函数建模 T13（5分） T9（4分） T7（4分） 函数模型的应用与比较 — T9（4分） T7（4分） 考情分析 函数模型及其应用是高考的重要考查内容，北京卷近三年连续以选择题、填空题形式直接命题，分值约4~5分，难度中等。近三年考情显示，命题集中考查对数函数模型在实际情境中的应用（音乐频率、人工智能训练、生物水质评价），要求学生从实际问题中抽象出对数关系，进行运算求解和比较判断，强调数学建模与数据分析核心素养。复习时需重点关注对数函数模型的运算特征（换底公式、对数运算法则）及其在实际问题中的增长规律。 复习目标 1.理解对数函数模型 的图象特征与增长规律（递增但增速递减）。 2.能从实际问题中抽象出对数函数关系，确定函数解析式及参数的实际意义。 3.熟练掌握对数的运算性质（乘法变加法、除法变减法、换底公式），能对对数模型进行求解和比较。 4.能利用对数函数模型进行实际情境中的计算、比较与判断（如本题中的倍增量比较、范围求解）。 5.体会数学建模的全过程（审题→抽象→建模→求解→验证），提升数学建模与数据分析素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点2 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 自主检测1当蛋白质分子量达到一定量级时，其分子量与迁移率之间满足，其中为常数.若，则当分子量变为原来的2倍时，现迁移率与原迁移率的差值为（    ） A． B． C． D．2 自主检测2声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 自主检测3某生态保护区定期监测野生水鸟种群数量，发现种群数量（单位：只）与监测时间（单位：年，）近似满足函数关系.已知监测第2年时，种群数量为3200只，则当种群数量达到12800只时，需要的监测时间约为（    ） A．2.5年 B．3年 C．3.5年 D．4年 自主检测4生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（   ） A． B． C． D． 知识点3 解函数模型问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 题●型●破●译 题型1 指数函数模型 例1-1（2026·北京西城·二模）某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（   ） A．6a B．8a C．9a D．12a 例1-2（2026·北京通州·一模）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（   ） A．24 B．35 C．47 D．100 方法技巧 1.识别模型特征：指数函数模型 （，）适用于描述等比例增长或衰减的问题，如人口增长、细胞分裂、放射性衰变、复利计算等。当 时为增长型，当 时为衰减型。 2.确定解析式：根据题设条件，通常利用两组已知数据代入 ，建立方程组求出参数 和 。若已知初始值（ 时 ），则 ，再代入另一组数据求 。 3.“半衰期”与“倍增期”： 衰减模型中，，其中 为半衰期； 增长模型中，，其中 为倍增期（或倍增时间）。 利用这一形式，无需求出底数 的具体值，可直接通过半衰期或倍增期进行求解。 4.换底公式的应用：当需要求解时间 时，常将指数方程转化为对数形式，利用换底公式计算。例如，由 得 。 5.实际问题中的定义域：根据实际意义确定自变量的取值范围，如时间通常取 ，人数、个数等应为正整数，结果需根据实际情况取整。 【变式训练1-1】（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（25-26高三上·北京房山·期末）奶茶温度衰减满足函数关系，其中（单位：）为（单位：分钟）时的温度，（单位：）为室温，为常数，．已知某奶茶店的室温为，奶茶制作完成时温度为分钟后温度为，该奶茶适宜饮用温度为，则制作完成后适宜饮用的时间约为（ ） （参考数据：．结果保留整数） A．25分钟 B．30分钟 C．35分钟 D．40分钟 【变式训练1-3】一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为，经过分钟净化后，废气中二氧化硫的浓度为，并满足.根据环保要求，当废气中二氧化硫的浓度降至时，达到排放标准，则该化工厂的废气达到排放标准需要至少净化（参考数据：，，）（    ） A．136分钟 B．140分钟 C．142分钟 D．150分钟 题型2 对数函数模型 例1-1（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 例1-2（2026·北京顺义·一模）一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级（单位：），其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.若测得交通主干道某时段的实际声压为，声压级大约为.某所图书馆某时段的实际声压为，声压级大约为. 给出下列三个结论： ①； ②； ③若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的，则声压级减少约为0.92dB； （参考数据：，） 其中正确结论的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 方法技巧 1.识别模型特征：对数函数模型 （，）适用于描述初期增长较快、后期趋于平缓的现象，如声强级（分贝）、地震震级（里氏震级）、pH值、心理感知强度等。 2.确定解析式：利用题设给出的已知数据，代入 ，建立方程组求出参数 、、。若底数 已知（如常用对数 或自然对数 ），则只需确定 和 。 3.模型转换：对数函数模型通常与指数函数模型互为反函数。若实际问题中自变量和因变量的关系呈现“当 按等比增长时， 按等差增长”的特征，则 与 满足对数关系。 4.换底公式统一底数：在比较或计算时，若模型中的底数不同，可利用换底公式 统一为自然对数或常用对数，便于计算。 5.实际意义约束：注意对数函数的真数必须大于 ，在实际问题中，自变量的取值通常有其物理或现实意义（如浓度、压强、能量等均为正值）。 【变式训练1-1】某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 【变式训练1-2】某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（    ） A．307 B．308 C．309 D．310 题型3 建立拟合函数模型解决实际问题 例1-1在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； (2)若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． 例1-2环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： (1)当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 方法技巧 1.收集与整理数据：先从实际问题中提取数据，列出表格，观察 与 的变化趋势（如均匀增长、加速增长、增长趋缓、先增后减等），初步判断函数类型。 2.选择拟合函数类型： 若数据呈线性增长（ 随 均匀变化），选用一次函数模型 ； 若数据呈等比例增长或衰减，选用指数函数模型 ； 若数据呈现增长趋缓、逐渐饱和的趋势，选用对数函数模型 或分式型模型 ； 若数据呈现先增后减（或先减后增）的趋势，选用二次函数模型 ； 若数据呈现幂增长趋势，选用幂函数模型 。 3.确定拟合函数的参数： 对于一次函数、二次函数等简单模型，可利用待定系数法，选取数据表中的两组或三组关键数据代入求解。 对于指数、对数模型，可通过对数变换转化为线性模型：如 可两边取自然对数得 ，令 ，则化为关于 的线性函数。 对于幂函数模型 ，两边取对数得 ，令 ，，同样转化为线性模型。 4.模型检验与优化： 将求得的函数模型回代，计算拟合值与实际值的误差。 若误差较大，可尝试更换函数类型或增加参数（如将一次函数改为二次函数，或引入修正项）。 对于多个候选模型，可通过比较误差平方和或平均相对误差来确定最优模型。 5.利用模型进行预测：确定最终函数模型后，代入所需的 值进行预测或决策，并对结果的合理性做出解释，说明模型的适用范围和局限性。 6.分段函数拟合：若数据在不同区间内呈现不同的变化规律，可考虑建立分段函数模型，各段分别选择合适的函数类型进行拟合。 【变式训练1-1】2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天的销售单价 （元）的解析式为 （为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） (1)求实数的值； (2)根据表格判断①，②这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出的函数解析式； (3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 【变式训练1-2】近年来，漳州文旅直播平台以“闽南文化推广”为主题，聚焦漳州土楼，闽南古厝，漳州小吃等内容.从2025年初上线后会员人数逐月增加，下表是平台上线第个月的会员人数统计： 平台上线第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请恰当选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，若平台会员人数至少达到12万才能开启“漳州非遗专场直播”，请问至少第几个月才能开启该专场直播. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 3．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．某地GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率，多少年后该地GDP会翻两番？ （参考数据，） 2．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具） 3．当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗？ 4．在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A． B． C． D． 5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是 ；一条鱼静止时耗氧量的单位数为 ． 6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？ 7．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a(单位：元)，每期利率为r，本利和为y(单位：元)，存期数为x. （1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式； （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄. 8．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x. （1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式； （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和. 9．1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？（碳14的半衰期为5730年） 10．2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%（碳14的半衰期为5730年），能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？ 11．声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:). (1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围. (2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级. 12．某地去年的GDP（国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%. （1）设经过年达到的年GDP为亿元，试写出未来5年内，关于的函数解析式； （2）经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？ 13．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖励金额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？ 14．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T. R. Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率. 表是1950~1959年我国的人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人口数/万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； (2)如果按表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？ 15．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数. 0 5 10 15 20 万元 20 40 万元 20 40 （1）求函数的解析式; （2）求函数的解析式； （3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异. 16．我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题： （1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？ （2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？ 17．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 (1)某次地震释放出的能量为焦耳，则这次地震的震级是多少？ (2)2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍？（，） 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 3．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（   ） A．3天 B．6天 C．9天 D．12天 6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么10h后的污染物含量是初始含量的（    ） A． B． C． D． 7．第五届世界生物圈保护区大会于2025年9月在杭州举办，大会围绕生物圈保护区相关议题展开研讨，对推动全球生态保护和可持续发展具有重要意义．某生物圈保护区内的某种濒危鸟类的数量逐年增长，其数量N(单位：只)与年份t(t=0表示2020年)的关系满足其中为2020年的初始数量．已知2025年该鸟类的数量约为600，则2020年该鸟类的初始数量约为（    ） 参考数据： A．343 B．360 C．387 D．400 8．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则tmin后物体的温度℃满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min后牛奶的温度是50℃，则（   ） A． B． C． D． 9．牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 10．溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（    ） A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 重难·创新演练 11．股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（  ）（参考数据：，） A．7 B．8 C．9 D．10 12．某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（   ）天启动．（参考数据：，，） A．6 B．7 C．8 D．9 13．某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：，其中，a和b为常数.已知A款电动汽车使用2年后保值率为，使用4年后保值率为.若该车的保值率低于即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：，）（   ） A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 14．在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 15．工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加（订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本）．因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用（不包括购买原料费用）最少．设时间以天为单位，工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为吨，每次订货费为元，每天每吨原料贮存费为元，当贮存量降到0时订货可立即送达，订货费、贮存费和需求量均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为即每天订一次货），则每次订货量为，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为，所以一个订货周期的贮存费为，要使每天所需平均成本费用最低，则（    ） A． B． C． D． 16．社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（    ） A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 函数模型及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 三种函数模型的性质 知识点2 常见的函数模型 知识点3 解函数模型问题的步骤 题型破译 (含超链接） 题型1 指数函数模型【含方法技巧】 题型2 对数函数模型【含方法技巧】 题型3 建立拟合函数模型解决实际问题【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 对数函数模型 T13（5分） T9（4分） T7（4分） 实际问题的函数建模 T13（5分） T9（4分） T7（4分） 函数模型的应用与比较 — T9（4分） T7（4分） 考情分析 函数模型及其应用是高考的重要考查内容，北京卷近三年连续以选择题、填空题形式直接命题，分值约4~5分，难度中等。近三年考情显示，命题集中考查对数函数模型在实际情境中的应用（音乐频率、人工智能训练、生物水质评价），要求学生从实际问题中抽象出对数关系，进行运算求解和比较判断，强调数学建模与数据分析核心素养。复习时需重点关注对数函数模型的运算特征（换底公式、对数运算法则）及其在实际问题中的增长规律。 复习目标 1.理解对数函数模型 的图象特征与增长规律（递增但增速递减）。 2.能从实际问题中抽象出对数函数关系，确定函数解析式及参数的实际意义。 3.熟练掌握对数的运算性质（乘法变加法、除法变减法、换底公式），能对对数模型进行求解和比较。 4.能利用对数函数模型进行实际情境中的计算、比较与判断（如本题中的倍增量比较、范围求解）。 5.体会数学建模的全过程（审题→抽象→建模→求解→验证），提升数学建模与数据分析素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点2 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 自主检测1当蛋白质分子量达到一定量级时，其分子量与迁移率之间满足，其中为常数.若，则当分子量变为原来的2倍时，现迁移率与原迁移率的差值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由题意得， 原迁移率，现迁移率， 可得. 自主检测2声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【答案】D 【分析】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题推得，将这种火箭发射的声强代入公式结合对数运算即可求得． 【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题意，，则得， 依题意，该火箭发射时的声强约为 W/m²，则其发射的声强级约为： . 自主检测3某生态保护区定期监测野生水鸟种群数量，发现种群数量（单位：只）与监测时间（单位：年，）近似满足函数关系.已知监测第2年时，种群数量为3200只，则当种群数量达到12800只时，需要的监测时间约为（    ） A．2.5年 B．3年 C．3.5年 D．4年 【答案】B 【详解】由题意知，所以，解得， 所以.令，解得. 自主检测4生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知在环境温度为时， 的体重为、脉搏率为210次， 故， 的脉搏率是105次，设其体重为t kg，则， 则，即，解得（kg）. 知识点3 解函数模型问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 题●型●破●译 题型1 指数函数模型 例1-1（2026·北京西城·二模）某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（   ） A．6a B．8a C．9a D．12a 【答案】B 【分析】根据给定信息，利用年增长率的意义，结合指数运算求解. 【详解】设原规划年平均增长率为，由2023年的年产值为a，10年后（2033年）产值为， 得，即，设实际年平均增长率为， 由2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，得， 即，因此2033年工厂的实际年产值为. 例1-2（2026·北京通州·一模）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（   ） A．24 B．35 C．47 D．100 【答案】C 【分析】由题意可得，将代入，解得，再将代入，由求解即可. 【详解】因为，所以当时，， 即，解得，即， 所以，所以， 所以，解得， 所以训练到第47轮就要对模型调整. 方法技巧 1.识别模型特征：指数函数模型 （，）适用于描述等比例增长或衰减的问题，如人口增长、细胞分裂、放射性衰变、复利计算等。当 时为增长型，当 时为衰减型。 2.确定解析式：根据题设条件，通常利用两组已知数据代入 ，建立方程组求出参数 和 。若已知初始值（ 时 ），则 ，再代入另一组数据求 。 3.“半衰期”与“倍增期”： 衰减模型中，，其中 为半衰期； 增长模型中，，其中 为倍增期（或倍增时间）。 利用这一形式，无需求出底数 的具体值，可直接通过半衰期或倍增期进行求解。 4.换底公式的应用：当需要求解时间 时，常将指数方程转化为对数形式，利用换底公式计算。例如，由 得 。 5.实际问题中的定义域：根据实际意义确定自变量的取值范围，如时间通常取 ，人数、个数等应为正整数，结果需根据实际情况取整。 【变式训练1-1】（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，年臭氧剩一半可得衰减常数，代入臭氧剩的条件，再利用参考数据计算出. 【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为， 已知经过年臭氧含量剩下一半，即， 两边同时取对数得：，所以， 要求臭氧含量剩初始含量的，即，所以，即， 由，，得， 代入得：年， 因此，经过约年臭氧含量只剩下初始含量的. 【变式训练1-2】（25-26高三上·北京房山·期末）奶茶温度衰减满足函数关系，其中（单位：）为（单位：分钟）时的温度，（单位：）为室温，为常数，．已知某奶茶店的室温为，奶茶制作完成时温度为分钟后温度为，该奶茶适宜饮用温度为，则制作完成后适宜饮用的时间约为（ ） （参考数据：．结果保留整数） A．25分钟 B．30分钟 C．35分钟 D．40分钟 【答案】C 【分析】由题，，当时，，，，代入运算可得，令运算得解. 【详解】由题，，当时，，则，得， 又，，故，得，所以， 当时，有，所以， 所以， 故制作完成后适宜饮用的时间约为35分钟. 故选：C. 【变式训练1-3】一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为，经过分钟净化后，废气中二氧化硫的浓度为，并满足.根据环保要求，当废气中二氧化硫的浓度降至时，达到排放标准，则该化工厂的废气达到排放标准需要至少净化（参考数据：，，）（    ） A．136分钟 B．140分钟 C．142分钟 D．150分钟 【答案】C 【详解】依题意，时，，则，解得，所以， 当时，可得，所以，所以， 故，故浓度降至需要至少142分钟. 题型2 对数函数模型 例1-1（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【答案】A 【分析】设原强度、新强度,代入分贝公式拆分对数，利用已知和计算,得结果. 【详解】设原来的噪音强度为，对应的等级. 改善后的噪音强度为，对应的等级为. 根据公式，代入得：. 计算：. 将，代入： . 例1-2（2026·北京顺义·一模）一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级（单位：），其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.若测得交通主干道某时段的实际声压为，声压级大约为.某所图书馆某时段的实际声压为，声压级大约为. 给出下列三个结论： ①； ②； ③若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的，则声压级减少约为0.92dB； （参考数据：，） 其中正确结论的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题可根据声压级的定义公式，结合对数的运算性质，分别对三个结论进行分析判断. 【详解】根据声压级定义，可得. 对于①：，①正确； 对于②：,②正确； 对于③：因为，可得， 因为实际声压降低到原来的，可得 所以，则声压级减少约为，③正确 方法技巧 1.识别模型特征：对数函数模型 （，）适用于描述初期增长较快、后期趋于平缓的现象，如声强级（分贝）、地震震级（里氏震级）、pH值、心理感知强度等。 2.确定解析式：利用题设给出的已知数据，代入 ，建立方程组求出参数 、、。若底数 已知（如常用对数 或自然对数 ），则只需确定 和 。 3.模型转换：对数函数模型通常与指数函数模型互为反函数。若实际问题中自变量和因变量的关系呈现“当 按等比增长时， 按等差增长”的特征，则 与 满足对数关系。 4.换底公式统一底数：在比较或计算时，若模型中的底数不同，可利用换底公式 统一为自然对数或常用对数，便于计算。 5.实际意义约束：注意对数函数的真数必须大于 ，在实际问题中，自变量的取值通常有其物理或现实意义（如浓度、压强、能量等均为正值）。 【变式训练1-1】某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 【答案】D 【分析】由条件列方程求，由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得． 【详解】由题意知，当时，，代入， 得， 整理得：，也就有， 将代入， 得， 整理得：， 故，但由于扩增次数必须为整数， 故至少需要27次扩增，即. 【变式训练1-2】某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（    ） A．307 B．308 C．309 D．310 【答案】C 【分析】在第一阶段解出，在第二阶段解出. 【详解】在第一阶段，由， 即，得，而，所以解得， 即时第一阶段迭代结束，所以.在第二阶段， 由，即， 得， 而，所以解得，即时模型停止训练. 故选：C. 题型3 建立拟合函数模型解决实际问题 例1-1在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； (2)若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． 【答案】(1)选择模型为，理由如下： 依题意可知，所选的函数模型必须满足两个条件： 一是函数的定义域为； 二是“每千米能耗”随着“载重”的增多而增大． 因为模型①的定义域不可能为，所以不符合： 因为模型②是单调递减函数，所以不符合； 因为模型③在有意义，且当时，单调递增，符合题意， 故应选择模型为． 函数解析式为. (2)（i）不能，依题意，得，所以该无人机不能完成本次配送任务． （ii）9km 【分析】（1）先根据定义域和单调性要求筛选出函数模型③，把已知点代入模型求出、的值，检验其余点是否在所得函数图象上确定解析式. （2）（i）计算载重9时飞行20km能耗并与300比较判断能否完成任务. （ii）先算出载重25时总能耗表达式，再根据能耗限制列不等式求解的最大值. 【详解】（1）选择函数模型③，理由略， 将点（0，2），（1，7）代入得，解得， 所以． 经检验，点（4，12），（9，17），（16，22）都在函数的图象上， 所以所求的函数解析式为， 且当时，表示空载能耗. （2）由（1）得． （i）略 （ii）依题意，得， 所以，解得， 所以的最大值为9km． 例1-2环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： (1)当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)选择模型，其解析式为 (2)在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为，最少为 【分析】（1）根据特值代入验证和函数的单调性，结合表格即可判断； （2）根据国道路段和高速路段所用时间列式，利用函数单调性分别求出最小值再相加即得. 【详解】（1）对于,因不合题意，舍去； 对于为递减函数，这与表格中不符，舍去； 故选择. 根据提供的数据，有解得 所以当时，. （2）国道路段长为50km，所用时间为， 所耗电量为， 因为，当时，； 高速路段长为100km，所用时间为， 所耗电量为 下证函数在单调递减. 任取，且， , ,故, 即,,故在单调递减, ，此时，, 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 方法技巧 1.收集与整理数据：先从实际问题中提取数据，列出表格，观察 与 的变化趋势（如均匀增长、加速增长、增长趋缓、先增后减等），初步判断函数类型。 2.选择拟合函数类型： 若数据呈线性增长（ 随 均匀变化），选用一次函数模型 ； 若数据呈等比例增长或衰减，选用指数函数模型 ； 若数据呈现增长趋缓、逐渐饱和的趋势，选用对数函数模型 或分式型模型 ； 若数据呈现先增后减（或先减后增）的趋势，选用二次函数模型 ； 若数据呈现幂增长趋势，选用幂函数模型 。 3.确定拟合函数的参数： 对于一次函数、二次函数等简单模型，可利用待定系数法，选取数据表中的两组或三组关键数据代入求解。 对于指数、对数模型，可通过对数变换转化为线性模型：如 可两边取自然对数得 ，令 ，则化为关于 的线性函数。 对于幂函数模型 ，两边取对数得 ，令 ，，同样转化为线性模型。 4.模型检验与优化： 将求得的函数模型回代，计算拟合值与实际值的误差。 若误差较大，可尝试更换函数类型或增加参数（如将一次函数改为二次函数，或引入修正项）。 对于多个候选模型，可通过比较误差平方和或平均相对误差来确定最优模型。 5.利用模型进行预测：确定最终函数模型后，代入所需的 值进行预测或决策，并对结果的合理性做出解释，说明模型的适用范围和局限性。 6.分段函数拟合：若数据在不同区间内呈现不同的变化规律，可考虑建立分段函数模型，各段分别选择合适的函数类型进行拟合。 【变式训练1-1】2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天的销售单价 （元）的解析式为 （为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） (1)求实数的值； (2)根据表格判断①，②这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出的函数解析式； (3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 【答案】(1) (2)模型②最符合题意， (3)在第8天最低，最低为5000元 【分析】（1）由题意分别求出舰艇模型第天的销售单价和销售量，根据销售收入列出方程，求解可得的值； （2）根据销售量的增长速度可知函数模型②更适合，选取和代入模型②，求出函数解析式，并利用和检验，确定函数解析式； （3）利用（1）和（2）的结果，列出销售收入对应的函数解析式，并利用基本不等式求得其最小值. 【详解】（1）由题意得，舰艇模型第天的销售单价； 第天的销售量，依题意，解得. （2）模型②最符合题意，理由如下： 因为每增长10，需要的天数越来越多，可知不是匀速增长，而是增长速度越来越慢，故排除模型①，选择模型②. 将，分别代入函数模型②，可得，解得. 所以， 经验证，，均满足该函数解析式. 故函数解析式为. （3）由（1）知，由（2）知， 则 . 当且仅当，即时，等号成立. 所以日销售收入在第8天最低，最低收入为5000元. 【变式训练1-2】近年来，漳州文旅直播平台以“闽南文化推广”为主题，聚焦漳州土楼，闽南古厝，漳州小吃等内容.从2025年初上线后会员人数逐月增加，下表是平台上线第个月的会员人数统计： 平台上线第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请恰当选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，若平台会员人数至少达到12万才能开启“漳州非遗专场直播”，请问至少第几个月才能开启该专场直播. 【答案】(1)①，理由见解析 (2)，至少第11个月 【分析】（1）由给定数表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可. （2）由（1）选择的模型，将两组数据组代入模型，求出，即可求得解析式，再求出时的最小正整数解即可. 【详解】（1）由给定数表知，函数定义域为，会员人数增长速度随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数的增长速度随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，当时，会员人数的增长速度随增大而减缓，符合题意. 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知，选择模型①， 将数据组代入，得，解得. 因此. 函数在定义域上单调递增. 令，则，所以. 因为，且，所以. 所以所求函数模型的解析式为，预测至少第11个月会员人数达到12万. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意，则，解得， 所以f的取值范围为. 2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 3．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．某地GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率，多少年后该地GDP会翻两番？ （参考数据，） 【答案】22年后 【解析】设该地今年的GDP为，年后该地GDP翻两番，得到解得. 【详解】解：设该地今年的GDP为，年后该地GDP翻两番， 则， . ∴年后该地GDP会翻两番 【点睛】本题考查对数的应用，属于基础题. 2．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具） 【答案】6.16倍 【解析】根据平均增长率问题可得． 【详解】设现在的蓝藻量为，经过30天后的蓝藻量为，则， ，∴经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍. 【点睛】本题考查平均增长率问题，平均增长率问题的函数模型是． 3．当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗？ 【答案】能 【解析】碳14的含量呈指数型变化，由此可得出结论． 【详解】解：由题意，经过九个“半衰期后”，碳14的含量为， 所以能探测到． 【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题． 4．在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在2h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B． 故选：B． 5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是 ；一条鱼静止时耗氧量的单位数为 ． 【答案】 100 【详解】因为鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为： ，其中表示鱼的耗氧量的单位数， 所以，当一条鱼的耗氧量是2700个单位时， 它的游速是， 一条鱼静止时，则 ∴，∴． 故答案为：,. 6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？ 【答案】 【详解】令，所以，即燃料质量是火箭质量的倍． 7．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a(单位：元)，每期利率为r，本利和为y(单位：元)，存期数为x. （1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式； （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄. 【答案】（1）（）；（2）. 【详解】（1）依题意可知，（）. （2）由（1）得，本利和为. 8．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x. （1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式； （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和. 【答案】（1）.（2）（元）. 【解析】（1）根据题意，结合复利的含义，分析可得本利和随变化的函数关系式； （2）根据（1）的函数表达式，代入数据即可计算5期后的本利和． 【详解】解：（1）根据题意可得； （2）由（1）可知，当时， ， ∴5期后的本利和约为元． 【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题． 9．1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？（碳14的半衰期为5730年） 【答案】大概是公元前1892年的. 【解析】设这批古建筑群距今已t年，初始量为，则现存量，由可求时间. 【详解】设这批古建筑群距今已t年，初始量为，则现存量， 由题设得，所以， . 而. 所以大概是公元前1892年的. 【点睛】本题考查指数函数模型在实际中的应用，注意利用半衰期求函数关系式，本题属于容易题. 10．2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%（碳14的半衰期为5730年），能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？ 【答案】水坝大概是公元前2902年建成的 【解析】设样本中碳14的初始量为，衰减率为，经过年后，残余量为，选择函数为，且，其中根据半衰期可得的值，再根据残留量约为初始量的55.2%，可得的值，从而可推断此水坝建成的年代. 【详解】设样本中碳14的初始量为，衰减率为， 经过年后，残余量为,根据问题的实际意义， 可选择如下模型：，且，其中. 由碳14的半衰期为5730年，得. 于是，所以. 由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知，， 即，解得，由计算工具得. 因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的. 【点睛】本题考查指数函数模型在实际中的应用，注意利用半衰期求，利用残留量求时间，本题属于中档题. 11．声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:). (1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围. (2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)分别代入与求解即可. (2)代入求解即可. 【详解】解:(1). . 因此人听觉的声强级范围为. (2). 【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题. 12．某地去年的GDP（国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%. （1）设经过年达到的年GDP为亿元，试写出未来5年内，关于的函数解析式； （2）经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？ 【答案】（1）；（2）约经过4年该地GDP能达到3900亿元人民币. 【解析】（1）根据平均增长率问题得函数解析式，注意定义域； （2）由，求，可取对数计算． 【详解】（1）由题意. （2）令，得， ∴约经过4年该地GDP能达到3900亿元人民币. 【点睛】本题考查指数函数的应用．在指数式中已知幂要求指数时，可取对数计算． 13．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖励金额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？ 【答案】模型确实能符合公司要求. 【详解】作出函数，，，的图像 观察图像发现，在区间上，模型，的图像都有一部分在直线的上方，只有模型的图像始终在的下方， 这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断. 首先计算每个模型的奖金总数不超过5万元. 对于模型，它在区间上递增，而且当时，，因此，当时，，所以该模型不符合要求； 对于模型，由函数图像，并利用计算器，可知在区间内有一个点满足，由于它在区间上递增，因此当时，，所以该模型也不符合要求； 对于模型，它在区间上递增，而且当时，，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求. 再计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当时，是否有成立. 令，. 作出函数的图像，由图像可知它是递减的， 因此，即. 所以，当时，. 说明按模型奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型确实能符合公司要求.   【点睛】本题考查了对数函数的应用，意在考查学生的应用能力. 14．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T. R. Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率. 表是1950~1959年我国的人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人口数/万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； (2)如果按表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？ 【答案】(1)答案见解析 (2)第39年（即1989年） 【详解】（1）设1951~1959年我国各年的人口增长率分别为，，…，. 由， 可得1951年的人口增长率. 同理可得，，，，，，，，. 于是，1951~1959年期间，我国人口的年平均增长率为. 令，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为，. 根据表4.5-4中的数据画出散点图，并画出函数（）的图象（图4.5-6）. 由图4.5-6可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.    （2）将代入， 由计算工具得. 所以，如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿. 15．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数. 0 5 10 15 20 万元 20 40 万元 20 40 （1）求函数的解析式; （2）求函数的解析式； （3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异. 【答案】（1）（2）（3）详见解析 【详解】（1）因为是按直线上升的房价,设, 由,, 可得, 即. （2）因为是按指数增长的房价,设, 由, 可得, 即. （3）由（1）和（2）,当时,； 当时,；当时,, 则表格如下: 0 5 10 15 20 万元 20 30 40 50 60 万元 20 40 80 则图像为: 根据表格和图像可知: 房价按函数呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度；按函数呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例. 【点睛】本题考查一次函数、指数型函数在实际中的应用,考查理解分析能力 16．我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题： （1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？ （2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？ 【答案】（1）1480.7倍（2）115天、230天、345天 【解析】（1）根据所给条件，利用指数幂的性质变形，最后利用计算器计算可得. （2）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，分别利用计算器计算可得. 【详解】解：（1）. ∴一年后“进步”的大约是“落后”的倍 （2）由得 ∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍. 由得. ∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍. 由得解得 ∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍. 【点睛】本题考查指数和对数的互化，计算器的应用，属于基础题. 17．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 (1)某次地震释放出的能量为焦耳，则这次地震的震级是多少？ (2)2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍？（，） 【答案】(1)6级 (2)31.6倍 【详解】（1）将能量代入得 整理得，又，即 所以，解得，故此次地震震级为6级. （2）设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为，由可得， 作差得 故，故里氏9.0级地震释放的能量是里氏8.0级地震释放的能量的31.6倍. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】P与t的函数关系式为． 2．已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意：，所以. 所以. 当时，（）. 3．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得（舍去）． 4．为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】设脱碳处理的次数为，则脱碳处理次后的碳排放浓度为， 由题意可得，则，即， 由于，所以的最小值为， 故至少需要脱碳处理的次数为. 5．农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（   ） A．3天 B．6天 C．9天 D．12天 【答案】C 【分析】根据国家食品安全标准规定得出不等式，再由函数单调性解不等式即可求得结果. 【详解】设该蔬菜的最短安全采收间隔期为天, 依题意可得,其中，， 所以可得，即，解得； 因此该蔬菜的最短安全采收间隔期为9天. 6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么10h后的污染物含量是初始含量的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可求解. 【详解】当时，； 当时，，即， 当时，， 即10h后，污染物含量是初始含量的. 故选：B. 7．第五届世界生物圈保护区大会于2025年9月在杭州举办，大会围绕生物圈保护区相关议题展开研讨，对推动全球生态保护和可持续发展具有重要意义．某生物圈保护区内的某种濒危鸟类的数量逐年增长，其数量N(单位：只)与年份t(t=0表示2020年)的关系满足其中为2020年的初始数量．已知2025年该鸟类的数量约为600，则2020年该鸟类的初始数量约为（    ） 参考数据： A．343 B．360 C．387 D．400 【答案】C 【分析】确定2025年对应的年份参数，代入数量关系式，计算指数项的值后求解初始数量. 【详解】2025年对应，代入得. 故，，则. 故选：C 8．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则tmin后物体的温度℃满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min后牛奶的温度是50℃，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题设列方程求解即可. 【详解】由，得， 即，则，即. 故选：C 9．牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 【答案】D 【分析】先将，代入题设求出，设再经过分钟温度可由降为，将数据代入题设关系式即可求解. 【详解】由题，， 当，，由得， 则，所以． 设再经过分钟，温度可由降为，即， 即，即. 故选：D． 10．溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（    ） A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 【答案】C 【详解】对于A，令，则摩尔/升，故A错误； 对于B，胃酸的，故B错误； 对于C，当摩尔/升时， 根据可得当越大时，越小，故酸性越大，故C正确； 对于D，当摩尔/升时， 根据可得若溶液的碱性越大，则越大，故越小， 故D错误. 重难·创新演练 11．股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（  ）（参考数据：，） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据每日最大涨幅列出个交易日后股票价格满足的不等式，两边取常用对数后结合给定参考数据计算，得到的最小正整数值. 【详解】要让最小，需要每个交易日都涨停（每天价格变为原来的倍）， 因此天后的价格满足不等式化简得， 两边取常用对数，得 因为， ， 所以， 因为是正整数，所以的最小值为. 12．某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（   ）天启动．（参考数据：，，） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】由题意可得，所以，所以. 由，得， 两边取自然对数得，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 所以最迟应在发现疫情后第7天启动． 13．某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：，其中，a和b为常数.已知A款电动汽车使用2年后保值率为，使用4年后保值率为.若该车的保值率低于即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：，）（   ） A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 【答案】B 【详解】由题意，当时，， 根据题中数据，可列方程组，则，则， 即，所以，由，则， 所以该车大约在使用6年后会进入“大幅贬值”区间. 14．在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件，将代入关系式可求出的值，再利用对数的运算即可求解. 【详解】当时，，即. 当时，，即， 则，即. 因为， 所以.令，则， 所以，则. 15．工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加（订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本）．因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用（不包括购买原料费用）最少．设时间以天为单位，工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为吨，每次订货费为元，每天每吨原料贮存费为元，当贮存量降到0时订货可立即送达，订货费、贮存费和需求量均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为即每天订一次货），则每次订货量为，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为，所以一个订货周期的贮存费为，要使每天所需平均成本费用最低，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为贮存费为，且订货费为，所以总费用为，易知每天所需平均成本费用为. 设，. 令，解得. 又因为，单调递减，，单调递增. 所以时最小. 16．社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（    ） A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元 【答案】B 【分析】每日销售利润等于每盒利润乘以每日销量．先写出利润函数，对利润函数取对数，再利用导数判断最大值的位置，最后结合四个选项进行判断． 【详解】由题意，每盒进货成本为10元，每盒售价为元，所以每盒利润为 元． 每日销量为，且 ． 因此每日销售利润为． 因为 ，所以 ． 令，则 ． 求导得．令 ，得 ． 两边同乘，得 ． 整理得 ，解得或． 因为 ，所以只取 ． 当时， ，利润函数递增；当 时， ，利润函数递减． 所以利润函数在 时取得最大值． 在选项中，17.9元和18.9元都小于19.18元，且利润函数在此区间递增， 所以18.9元优于17.9元；19.9元和20.9元都大于19.18元，且利润函数在此区间递减， 所以19.9元优于20.9元．再比较18.9元和19.9元，代入利润函数可得18.9元对应的利润更大，故每盒礼盒应定价为18.9元． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $