第11章 不等式与不等式组 暑假复习巩固综合练习 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组，通过基础巩固、综合应用及实际建模，系统覆盖概念、性质、解法及跨知识整合，体现数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题（1-3）|辨析不等式定义、性质及解集|从概念生成到解集表征，构建知识基础| |性质应用|4题（4-7）|数轴表示、分式方程解、不等式组整数解|性质推导与解集运算，强化推理能力| |综合应用|3题（9、21、22）|方程组与不等式结合求参数范围|跨知识整合，培养运算与逻辑思维| |实际建模|2题（8、23）|铁丝围图形、生产利润最大化|抽象实际问题为不等式模型，发展应用意识| |新定义探究|2题（10、25）|二阶行列式、整数同解问题|创新情境中深化知识迁移，提升数学眼光|

人教版七年级下册暑假综合练习 第11章 不等式与不等式组 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（     ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 【解析】 本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，检查每个式子即可. 【解答】 解： ① 2>0使用“ >”，是不等式； ② 4x+2y≤1使用“ ”，是不等式； ③ x-3=0使用“ =”，是等式，不是不等式； ④ y-7x-4没有不等号，不是不等式； ⑤ m-2.5>3y使用“ >”，是不等式； 不等式有 共3个； 故选：C. 2.下列式子的变形错误的是（        ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【答案】 D 【解析】 考查等式与不等式的基本性质，根据性质逐一判断各选项变形即可得到错误选项. 【解答】 解：选项A：，等式两边同时加，得，化简得，变形正确. 选项B根据不等式性质，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，， ，变形正确. 选项C：，，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，，变形正确. 选项D当时，，此时，不满足，变形错误. 故选：D.  3.下列说法中，正确的是（       ） A.是不等式的一个解 B.是不等式的解集 C.不等式的解集是 D.是不等式的解集 【答案】 A 【解析】 本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【解答】 解：、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； 、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； 、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； 、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：． 4.如图,天平左盘中物体的质量为,天平右盘中每个砝码的质量都是,则的取值范围在数轴上可表示为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据天平列出不等式组，确定出解集即可． 【解答】 解：根据题意得：， 解得：， 故选． 5.若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（       ） A. B. C.且 D.且 【答案】 D 【解析】 本题考查了根据分式方程解的情况求值，解一元一次不等式. 先通过去分母求解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为正数且分母不为零的条件，列不等式求参数范围. 【解答】 解： 去分母，得， 解得：; 分式方程 的解为正数， ， 即, 在分式方程 中，分母 ，， 即 , 故 ，得出 , 综上所述，的取值范围是 且 . 故选：D. 6.已知不等式组的解集是，则的取值范围是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集确定法则，即可得到参数m的取值范围. 【解答】 解：解不等式x-8>4x+1得x<-3 结合原不等式组中x根据“同小取小”的法则，可得m≥-3. 故选：B.  7.若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握判断不等式组解集的口诀． 先根据不等式组有解，求出不等式组的解集，然后根据关于x的不等式组 有且只有两个整数解，求出m的取值范围即可． 【解答】 解：关于x的不等式组 有解， ， 关于x的不等式组 有且只有两个整数解， 整数解为：-2，-1， ， 故选：A． 8.用长为 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 ，要使靠墙的一边长不小于 ，那么与墙垂直的一边长 的取值范围为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据题意和图形列出不等式即可解得． 【解答】 根据题意和图形可得， 解得：， 故选： 9.已知关于、的方程组的解满足不等式，且满足条件的正整数仅有3个，则满足的条件为（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 先解关于x、y的方程组，用含a的式子表示出x、y；再计算x+y，结合不等式x+y 【解答】 解：①②, ①+②得：3x=3+6a， 解得x=1+2a， 将x=1+2a代入①得：1+2a-y=3， 解得y=2a-2 , , 解得, 满足条件的正整数a仅有3个， 这3个正整数为1、2、3， , 解得. 故选：C.  10.我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则．例如：，则下列结论： ①若，则的取值范围是； ②若整数、满足，则的值为或； ③若非负数、满足，则有理数的取值范围是． 正确的个数为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查新的运算法则、解方程、不等式、方程组及不等式组，掌握二阶行列式的运算法则是解题的关键． 根据运算法则建立不等式，求解后可判断①；根据运算法则建立不等式组，再结合整数，的条件可求出，的值，可判断②；根据运算法则建立方程组，再结合非负数，的条件可建立不等式组，求解后可判断③． 【解答】 解：①， ， 解得：，故原结论正确； ②， ， ，是整数， 是整数， ， 或，，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，或，，．故原结论错误； ③， ， 解得：， ，是非负数，即， ， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为，故原结论正确． 综上，结论①③正确，共个． 故选． 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.已知是关于的一元一次不等式，则的值是___-5_____． 【答案】 【解析】 根据一元一次不等式的定义，可得未知数x的次数为1，且x的系数不为0，据此列关系式求解即可。 【解答】 解： 是关于x的一元一次不等式， 且 或 ， 故答案为：-5. 12.如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围为________． 【答案】 【解析】 不等式两边同时除以同一个负数时，不等号方向改变，据此得到关于a的不等式，求解即可. 【解答】 解：关于x的不等式的解集为 解得 故答案为：.  13.关于的不等式组的解集如图所示，请写出一个符合条件的的值：___2（答案不唯一）_____． 【答案】 2（答案不唯一） 【解析】 由数轴得不等式组的解集为x≤1，判断出a>1，选取符合的值即可. 【解答】 解：， 解不等式①得x≤1， 解不等式②得x由数轴得不等式组的解集为x≤1， ， 可以为2（答案不唯一）. 故答案为：.  14.如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则该程序需要运行______________次才停止；若该程序只运行了次就停止了，则的取值范围是______________． 【答案】 , 【解析】 ①分别求出程序运行次、次、次得出的结果，将其与比较后即可得出结论；②根据该程序只运行了次就停止了，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【解答】 解：①输入，得：， 输入，得：， 输入，得：， 若，该程序需要运行次才停止， ②依题意得：， 解得：． 的取值范围为， 故答案为：；． 15.小周的妈妈需要购买一批厨房用品，经了解发现，甲、乙两家超市的优惠方式如下： 超市 优惠方式 甲 所有厨房用品按标价的八折优惠 乙 总标价不超过200元的部分，按九五折优惠 总标价超过200元的部分，按六折优惠 通过计算，小周的妈妈发现在乙超市购买这批厨房用品更加划算，设这批厨房用品的总标价为x元，则x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 根据在乙超市购买这批厨房用品更加划算，可列出关于x的一元一次不等式，解之即可. 【解答】 解：根据题意可得总标价不超过200元时甲的折扣更多，更优惠， 在乙超市购买这批厨房用品更加划算时， 根据题意得 解得 故答案为： .  16.整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为___5_____． 【答案】 5 【解析】 根据题意先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于x的不等式，进而根据是正整数的条件求得m的范围，解一元一次不等式组 ，根据有且仅有2个整数解，确定m的范围，最后根据x，y为整数，舍去不符合题意的m的值即可求解。 【解答】 解： 得， 将 代入 ①，得 是正整数， ， 解得 ， 解不等式 ③得： 解不等式 ④得： 有且仅有2个整数解， 解得 是整数 或 6 当 时， ，不合题意，故舍去 故答案为：5. 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 解不等式 （1）解不等式：，并在数轴上表示解集； （2）解不等式组：，并求它的最大整数解． 【答案】 ，最大整数解为1 【解析】 依据不等式及不等式组的解题步骤求解。 【解答】 （1）解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 这个不等式的解集在数轴上的表示： (2) 解： 解不等式 ① ，得 ， 解不等式 ② ，得 ， 所以原不等式组的解集为 ， 所以这个不等式组的整数解为-1，0，1， 所以这个不等式组的最大整数解为1.  18.(6分) 已知关于的方程，请解决下面的问题： （1）若满足上面方程的不小于，求的取值范围； （2）求适合上面方程并满足的最小整数的值． 【答案】 -8 【解析】 （1）先从已知方程变形，用含x的代数式表示3k，再结合 得到关于x的一元一次不等式，解不等式求出x取值范围. （2）先从方程变形得到用x表示k的代数式，把代数式代入不等式 ，解不等式得到x的取值范围，再在取值范围内找出最小整数. 【解答】 （1）解：由题意知 ，则 ， 由 得 ， ，解得 ， 的取值范围是 . （2）解：由 得 ， 将 代入 中，得 ， 解得 ， 满足 的最小整数为-8， 适合上面方程并满足 的最小整数的值为-8. 19.(6分) 已知． （1）判断不等式是否成立？并说明理由； （2）若成立，则应满足的条件是______． 【答案】 成立，理由见解析 【解析】 （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质得出，解不等式求出的取值范围即可. 【解答】 （1）解：不等式成立，理由如下： 不等式成立. （2）解：，成立， 解得：.  20.(6分) 对于任意有理数a、b、c、d，规定，已知． （1）用含x的代数式表示y； （2）若的正整数解只有3个，求k的取值范围． 【答案】 【解析】 （1）直接根据新定义求解即可； （2）由（1）知 ，代入 ，得 ，则 ，再根据 的正整数解只有3个，建立关于k的不等式组 求解即可. 【解答】 （1）解：根据题中的新定义得： ， （2）解： 的正整数解只有3个. 即：   21.(8分) 已知关于x、y的方程组 （1）当时，求的值； （2）若，求a的取值范围． 【答案】 6 【解析】 （1）将a=4代入原方程组，根据加减消元法计算即可； （2）根据加减消元法得到 ，根据 ，求解即可. 【解答】 （1）解：当a=4时，方程组为 得： （2）解： 得： 又 解 得： a<2 解 得： a≥-1， 的取值范围为   22.(8分) 已知方程组的解满足为负数，为非正数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？ 【答案】 和 【解析】 （1）求出方程组的解，根据方程组的解的情况，列出不等式组，进行求解即可； （2）根据不等式的性质，得到，结合(1)中的取值范围，进行求解即可. 【解答】 （1）解：解方程组 两式相加得，解得. 两式相减得，解得. 根据题意可得，代入得. 解得; （2）解：对不等式整理得, 不等式的解集为，不等号方向改变. ，解得; 由(1)知, , 该范围内的整数为和, 即符合条件的整数为和.  23.(10分) 某工厂计划生产甲、乙两种零件，已知生产1个甲零件需要3个A原料、2个B原料；生产1个乙零件需要1个A原料、3个B原料．工厂现有A原料28个， B原料37个． （1）设生产甲零件x个，乙零件y个，列出满足原料限制的不等式组； （2）若每个甲零件利润8元，每个乙零件利润6元，在合理使用现有原料的前提下，求出总利润最大的生产方案及最大利润． 【答案】 （，且x、y为整数） 生产甲7个、乙7个时总利润最大，最大利润为98元 【解析】 （1）根据题意即可列出满足原料限制的不等式组； （2）先根据题意取边界值联立方程组 ，再依次验证可行整数解，进行解答即可. 【解答】 （1）解：由题意得， （，且x、y为整数）. （2）解：设总利润为W元， 则由题意得，. 由(1)可知， （，且x、y为整数）， 根据题意取边界值联立方程组 ， 解得 . 又 ，且x、y为整数， 依次验证可行整数解： 当时，则 ， 解得，即y的最大值为8， 此时，； 当时，则 ， 解得，即y的最大值为7， 此时，； 当时，则 ， 解得，即y的最大值为4， 此时，； 综上可知，生产甲7个、乙7个时总利润最大，最大利润为98元.  24.(11分) 阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，          又，，． 又， …………①． 同理可得…………②． 由①②得：． 的取值范围是． 按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知关于，的方程组的解都是正数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若，，求的取值范围． 【答案】 【解析】 （1）仿照已知解法进行求解即可得到答案； （2）先解不等式组，再根据不等式组的解都是正数，即可求出a的取值范围； （3）仿照已知解法结合（2）中结论，进行求解即可得到答案。 【解答】 （1）解： 又 , 同理可得 , 由 ①+②得： 的取值范围是 故答案为： （2）解： 解得： 解不等式组得： 的取值范围为： （3）解： 由（2）得， , 又 , 由 ①+②得： 的取值范围是   25.(11分) 如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． （1）下列不等式（组）中与是“整数同解”的是__③____（填写正确结论的序号）； ①，②，③ （2）已知关于的不等式组与是“整数同解”的，请求出的取值范围； （3）已知关于的不等式组与是“整数同解”的，直接写出的取值范围 【答案】 ③ 【解析】 （1）根据新定义解答，即可求解； （2）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于的不等式组，即可求解； （3）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于的不等式组，即可求解． 【解答】 （1）解：，解得：， 不等式的所有整数解为大于等于的全体整数， ①，解得：，其所有整数解为大于等于的全体整数，不符合题意； ②，解得：，其所有整数解为大于等于的全体整数，不符合题意； ③，解得：，其所有整数解为大于等于的全体整数，符合题意； 故答案为：③ （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为， 其所有整数解为， ， 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为， 不等式组与是“整数同解”的， 不等式组的所有整数解为， ， 解得：； （3）解：，解得：， ，解得：， 不等式组与是“整数同解”的， 设“整数同解”解集中的最大整数为，且为非负整数， 则有， 解得：， ， ， 为非负整数， ． 将代入得： ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级下册暑假综合练习 第11章 不等式与不等式组 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（     ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列式子的变形错误的是（        ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 3.下列说法中，正确的是（       ） A.是不等式的一个解 B.是不等式的解集 C.不等式的解集是 D.是不等式的解集 4.如图,天平左盘中物体的质量为,天平右盘中每个砝码的质量都是,则的取值范围在数轴上可表示为 A. B. C. D. 5.若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（       ） A. B. C.且 D.且 6.已知不等式组的解集是，则的取值范围是（        ） A. B. C. D. 7.若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是（       ） A. B. C. D. 8.用长为 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 ，要使靠墙的一边长不小于 ，那么与墙垂直的一边长 的取值范围为（       ） A. B. C. D. 9.已知关于、的方程组的解满足不等式，且满足条件的正整数仅有3个，则满足的条件为（     ） A. B. C. D. 10.我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则．例如：，则下列结论： ①若，则的取值范围是； ②若整数、满足，则的值为或； ③若非负数、满足，则有理数的取值范围是． 正确的个数为（       ） A. B. C. D. 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.已知是关于的一元一次不等式，则的值是________． 12.如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围为________． 13.关于的不等式组的解集如图所示，请写出一个符合条件的的值：________． 14.如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则该程序需要运行_____________次才停止；若该程序只运行了次就停止了，则的取值范围是____________． 15.小周的妈妈需要购买一批厨房用品，经了解发现，甲、乙两家超市的优惠方式如下： 超市 优惠方式 甲 所有厨房用品按标价的八折优惠 乙 总标价不超过200元的部分，按九五折优惠 总标价超过200元的部分，按六折优惠 通过计算，小周的妈妈发现在乙超市购买这批厨房用品更加划算，设这批厨房用品的总标价为x元，则x的取值范围为_______． 16.整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 解不等式 （1）解不等式：，并在数轴上表示解集； （2）解不等式组：，并求它的最大整数解． 18.(6分) 已知关于的方程，请解决下面的问题： （1）若满足上面方程的不小于，求的取值范围； （2）求适合上面方程并满足的最小整数的值． 19.(6分) 已知． （1）判断不等式是否成立？并说明理由； （2）若成立，则应满足的条件是______． 20.(6分) 对于任意有理数a、b、c、d，规定，已知． （1）用含x的代数式表示y； （2）若的正整数解只有3个，求k的取值范围． 21.(8分) 已知关于x、y的方程组 （1）当时，求的值； （2）若，求a的取值范围． 22.(8分) 已知方程组的解满足为负数，为非正数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？ 23.(10分) 某工厂计划生产甲、乙两种零件，已知生产1个甲零件需要3个A原料、2个B原料；生产1个乙零件需要1个A原料、3个B原料．工厂现有A原料28个， B原料37个． （1）设生产甲零件x个，乙零件y个，列出满足原料限制的不等式组； （2）若每个甲零件利润8元，每个乙零件利润6元，在合理使用现有原料的前提下，求出总利润最大的生产方案及最大利润． 24.(11分) 阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，          又，，． 又， …………①． 同理可得…………②． 由①②得：． 的取值范围是． 按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是__________； （2）已知关于，的方程组的解都是正数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若，，求的取值范围． 25.(11分) 如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． （1）下列不等式（组）中与是“整数同解”的是_____（填写正确结论的序号）； ①，②，③ （2）已知关于的不等式组与是“整数同解”的，请求出的取值范围； （3）已知关于的不等式组与是“整数同解”的，直接写出的取值范围 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $