2.1.2 两条直线平行和垂直的判定课 前导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两条直线平行和垂直的判定，通过温故环节回顾倾斜角、斜率等旧知，结合预习提要引导学生自主探究新知，构建从基础概念到判定法则的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料亮点在于渗透解析几何“以数解形”思想，反思部分结合数学史与应用实例，课前自测通过多选题和分类讨论（如斜率存在性），培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）与数学语言表达能力，提升自主探究与知识应用意识。

2.1.2两条直线平行和垂直的判定 预习提要 1.回顾倾斜角与斜率； 2.阅读课本P55—P57内容，自主探究两条直线平行和垂直的判定，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．确定一条直线的两种常见方式：两点确定一条直线、确定一条直线. 2．直线倾斜角定义：直线与轴相交时，轴正向与直线方向所成的角；直线与轴平行或重合时，倾斜角规定为. 3．直线倾斜角的取值范围：. 4．直线斜率定义：直线倾斜角的，记作. 5．倾斜角为的直线不存在斜率. 6．过两点的直线斜率公式：. 7．直线平行／重合于轴时，斜率公式不适用，原因是. 8．若直线斜率为，一个方向向量坐标为，则. 9．倾斜角从增大到时，斜率逐渐；从增大到时，斜率逐渐. 二、知新 1．平面内两条不重合直线的位置关系有、两种. 2．两条不重合且斜率都存在的直线平行的充要条件是. 3．若两条直线倾斜角均为（斜率均不存在），则这两条直线位置关系为. 4．两条直线重合时，它们的斜率满足，该结论可用于证明. 5．两条斜率都存在的直线垂直的充要条件是. 6．若直线倾斜角为（斜率不存在），且，则的倾斜角为. 7．两条直线斜率不相等，可推出两条直线的位置关系是. 课前自测 1．若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值为( ) A. B. C. D. 2．“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的( )条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要 3．（多选）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有( ) A.若，斜率相等，则，平行 B.若，平行，则，的斜率相等 C.若，的斜率乘积等于，则，垂直 D.若，垂直，则，的斜率乘积等于 4．（多选）若，，，，下面结论中正确的是( ) A. B. C. D. 5．已知直线经过点，直线经过点，若，则a的值为________________. 反思 有了倾斜角与斜率的量化工具后，数学家沃利斯率先利用三角函数关系，推导出依靠斜率判断平面内两条直线平行、垂直的通用法则，让直线位置关系不再依赖图形直观观察，全部转化为代数计算.沃利斯特别提醒容易忽略的限制条件：使用斜率判断平行时，必须检验两直线不重合；使用判定垂直的前提是两条直线都存在斜率. 这套判定法则是解析几何的基础：测绘图纸中判断道路、管线平行垂直；建筑图纸校正墙体与横梁角度；函数图象中利用斜率快速判断直线位置.同时它也是后续求直线方程、三角形高与中线、切线方程的必备工具，完美体现解析几何＂以数解形＂的核心思想. 答案及解析 一、温故 1．一点和一个方向 2．向上的； 3． 4．正切值； 5．90 6． 7．，分母为0，式子无意义 8． 9．增大；增大 二、知新 1．平行；相交 2． 3．互相平行 4．；三点共线 5． 6． 7．相交 课前自测 1．答案：A 解析：由题意得时不符合题意，时直线l的斜率:，，解得:.本题正确选项:A 2．答案：D 解析：充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于x轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立； 必要性：若直线与的斜率相等，则直线与平行或重合，故必要性不成立； 综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的既非充分又非必要条件. 故选：D. 3．答案：AC 解析：根据两直线的位置关系可知，若，斜率相等，则，平行；若，平行，则当，与y轴平行或重合时，，的斜率不存在，即可得A正确，B错误. 易知若，的斜率乘积等于，则，垂直； 若，垂直，则当与x轴平行或重合，与y轴平行或重合时，的斜率为0，的斜率不存在，即可得C正确，D错误.故选AC. 4．答案：ABC 解析：，， 且C不在直线AB上，，故A正确； 又，，，故B正确； ，， ，，，故C正确； 又，， ，故D错误. 故选:ABC. 5．答案：0或5 解析：因为直线经过点，且，所以的斜率存在， 而经过点，则其斜率可能不存在， 当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意； 当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在， 由得，即，解得； 综上，a的值为0或5. 故答案为：0或5. 学科网（北京）股份有限公司 $