2.1.1 倾斜角与斜率课前导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“倾斜角与斜率”，通过“温故”回顾空间向量解立体几何的步骤，建立与“知新”中直线倾斜程度量化的联系，形成从立体几何到解析几何的知识支架。 特色在于融合数学史帮助学生用数学眼光观察从直观描述到量化标准的过程，通过定义推导和公式应用培养数学思维，课前自测与方向向量结合强化数学语言表达，结构完整助力自主学习，提升核心素养。

2.1.1倾斜角与斜率 预习提要 1.回顾空间向量的综合应用； 2.阅读课本P51—P54内容，自主探究倾斜角与斜率，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．空间向量法解立体几何第一步：用空间向量表示立体图形中、、等元素. 2．第二步：进行的运算，研究点、直线、平面之间的关系. 3．第三步：把＂翻译＂成相应的意义. 4．综合法依靠解决立体几何问题. 5．求解立体几何题目时，需结合问题的与选择合适方法. 二、知新 1．确定一条直线的两种常见方式：两点确定一条直线、确定一条直线. 2．直线倾斜角定义：直线与轴相交时，轴正向与直线方向所成的角；直线与轴平行或重合时，倾斜角规定为. 3．直线倾斜角的取值范围：. 4．直线斜率定义：直线倾斜角的，记作. 5．倾斜角为的直线不存在斜率. 6．过两点的直线斜率公式：. 7．直线平行／重合于轴时，斜率公式不适用，原因是. 8．若直线斜率为，一个方向向量坐标为，则. 9．倾斜角从增大到时，斜率逐渐；从增大到时，斜率逐渐. 课前自测 1．若经过，两点的直线的倾斜角为，则( ) A. B. C. D.2 2．已知图中的直线，，的斜率分别为，，，则( ) A. B. C. D. 3．设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．已知为直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为____________________. 反思 笛卡尔创立平面直角坐标系，打通几何与代数的联系后，法国数学家拉格朗日为定量描述直线的倾斜程度，提出倾斜角概念，后经英国数学家沃利斯完善，引入斜率作为直线倾斜程度的数值表达，奠定直线方程的基础理论. 在这组概念出现之前，人们只能直观描述直线＂陡＂或＂平缓＂，没有统一量化标准.拉格朗日规定倾斜角定义：直线向上方向与轴正方向形成的最小正角，记作，取值范围.当直线水平时；直线竖直时，此时直线不存在斜率. 答案及解析 一、温故 1．点；直线；平面 2．空间向量 3．运算结果；几何 4．逻辑推理 5．条件；所求 二、知新 1．一点和一个方向 2．向上的； 3． 4．正切值； 5．90 6． 7．，分母为0，式子无意义 8． 9．增大；增大 课前自测 1．答案：D 解析：由题意可得直线AB的斜率，解得2，故选D. 2．答案：D 解析：设直线，，的倾斜角分别为，，，则，，，由题图可知，，所以.故选D. 3．答案：D 解析：举反例:取，，满足， 但，，此时， 举反例:取（对应），（对应）， 满足，但， 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 4．答案： 解析：设直线l的倾斜角为，因为为直线l的一个方向向量，所以直线l的斜率，所以.又，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $