1.3 勾股定理的应用-课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，核心是将实际问题、立体图形及折叠问题转化为直角三角形模型。课堂导入通过回顾勾股定理及逆定理，衔接旧知，为新知学习搭建支架。 其亮点在于结合梯子滑动、航海测距等生活实例，圆柱展开最短路径等立体问题，以及《九章算术》古算题，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理求解（如方程思想）、用数学语言表达模型的核心素养。学生能提升应用与创新意识，教师可借助丰富题型及详细解析优化教学。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 北师大版八年级上册1.3 勾股定理的应用 练习题 本节核心考点：勾股定理的应用是本章重难点，核心是将生活实际问题、立体图形问题、折叠最短路径问题转化为平面直角三角形模型。常见题型：梯子滑动问题、航海测距问题、立体图形最短路径、折叠求边长、不规则图形边长与面积计算。解题核心思想：化曲为直、化繁为简、构造Rt△。 解题步骤：1. 根据题意构造直角三角形；2. 确定已知边长、未知边长；3. 利用$$a^2+b^2=c^2$$列算式求解；4. 结合实际情况取舍结果。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 直角三角形两直角边为9、12，则斜边长为________。 2. 一架梯子长13m，底端距墙5m，则梯子顶端距离地面________m。 3. 长方体立体最短路径问题，解题方法是将立体侧面________，转化为平面直角三角形求解。 4. 池塘边两点A、B，在岸边取一点C，∠C=90°，AC=6m，BC=8m，则AB=________m。 5. 折叠问题中，折叠前后对应线段________，常结合勾股定理列方程求未知边长。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 一棵大树在离地面6m处折断，树顶落在离树根8m处，则大树折断前高度为（） A. 10m B. 14m C. 16m D. 18m 2. 一艘船从港口出发，向正东航行9km，再向正北航行12km，此时距离港口直线距离为（） A. 15km B. 21km C. 13km D. 16km 3. 无盖长方体盒子长8cm、宽6cm、高4cm，蚂蚁从底面一角到顶面对角最短路径长为（） A. 10cm B. 12cm C. 14cm D. 16cm 4. 梯子斜靠墙上，梯子长度不变，底端向外滑动，顶端会（） A. 上升 B. 下降 C. 不变 D. 无法确定 5. 长方形纸片长12、宽5，沿对角线折叠，折叠后重合部分边长计算主要依靠（） A. 等式性质 B. 勾股定理 C. 平移性质 D. 对称性质 三、应用题与解答题（共60分） 1.（15分）墙面竖直，一架长10m的梯子斜靠在墙上，此时梯子底端离墙6m。若梯子顶端下滑2m，请问梯子底端向外滑动多少米？ 2.（15分）有一个池塘，水面为水平平面，池塘两端为A、B。在岸边取一点C，使∠ACB=90°，测得AC=15m，BC=8m，求池塘两端A、B的直线距离。 3.（15分）一个圆柱高12cm，底面周长18cm，蚂蚁从圆柱底面一点绕侧面爬到顶端对应点，求蚂蚁爬行的最短路径长度。 4.（15分）长方形ABCD中，AB=8，BC=6，将长方形沿对角线BD折叠，求折叠后重合部分三角形的边长。 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. 15 2. 12 3. 展开铺平 4. 10 5. 相等 选择题答案 1.B 2.A 3.A 4.B 5.B 解答题详细解析 1. 解：初始状态：梯子长10m，底端距墙6m，由勾股定理得顶端高：$$\sqrt{10^2-6^2}=8\mathrm{m}$$。顶端下滑2m，新高度为$$8-2=6\mathrm{m}$$。此时底端距墙：$$\sqrt{10^2-6^2}=8\mathrm{m}$$。滑动距离：$$8-6=2\mathrm{m}$$。答：底端向外滑动2米。 2. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15m，BC=8m。由勾股定理：$$AB=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17\mathrm{m}$$。答：池塘两端直线距离为17米。 3. 解：将圆柱侧面展开为长方形，长方形长为底面周长18cm，高为圆柱高12cm。最短路径为展开图对角线长：$$\sqrt{(\frac{18}{2})^2+12^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\mathrm{cm}$$。答：最短路径长15cm。 4. 解：长方形边长AB=8，AD=BC=6，BD为对角线，$$BD=\sqrt{8^2+6^2}=10$$。由折叠性质得对应角相等，可证重合部分为等腰三角形，设未知边长结合勾股定理列方程，可求出重合三角形三边长为6、6.25、7.55（过程略），核心方法为利用折叠等线段+勾股定理方程思想解题。 五、解题技巧与易错总结 1. 立体图形最短路径：先展开、再找直角、最后算斜边，展开方式不唯一时需对比最短距离； 2. 梯子滑动、航海问题：始终锁定直角三角形，梯子长度、直线距离永远是斜边； 3. 折叠问题必用方程思想：设未知边长为x，用含x的式子表示三边，列勾股定理方程求解； 4. 实际问题结果必须为正数，需要结合生活实际舍去负数解。 回顾前面学过的内容，回答问题： 1.勾股定理的内容是什么？ 直角三角形 → a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2 → 直角三角形 2.勾股定理的逆定理是什么？ A C B a b c 思考 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗? (1)能.若卷尺足够长，则只要量得AD，BC，AB，BD，AC 的长， 然后验证 AD2+AB2是否等于BD2及BC2+AB2是否等于AC2即可. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 3 (2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm.边 AD垂直于边AB吗? (2)边AD垂直于边AB. 因为AD2+AB2=302+402=2 500，BD2=502=2 500， 所以AD2+AB2= BD2， 所以△ABD 为直角三角形，且∠A=90°， 所以AD⊥AB. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 4 (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗? (3)他能检验边AD是否垂直于边AB. 如在边AB，AD上各量出一段较短的线段AB′，AD′的长度，连接B′D′，再量出线段B′D′的长度， 若B′D′2=AB′2+AD′2，则边AD垂直于边AB； 否则，边AD不垂直于边 AB. 同样的方法可检验边BC是否垂直于边AB. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 B′ D′ 5 跟踪训练 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？ 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 解：图(2)正确.因为7 2 +24 2 =25 2，15 2 +20 2 =25 2 ， 所以只有图(2)中摆成的两个三角形是直角三角形. 6 思考 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗? 知识点2 勾股定理的应用 A E D F G B C 解：设DF=x cm，则EF=FC=DC-DF=(8-x)cm. 因为点E是AD的中点，所以DE=AD=4 cm. 在Rt△DEF中，由勾股定理，得 DE 2 +DF 2 =EF 2 ，即4 2 +x 2 =(8-x) 2，解得x=3， 所以DF的长为3 cm. 7 例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺。 知识点2 勾股定理的应用 8 解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x+1)尺. 由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺. 在Rt△OAC中，由勾股定理，得 AC²+OA²=OC²， 即 5²+x²=(x+1)². 解得 x=12. 12+1=13. 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 知识点2 勾股定理的应用 9 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： (1)读懂题意，分析已知、未知间的关系； (2)构造直角三角形； (3)利用勾股定理等列方程； (4)解决实际问题. 知识点2 勾股定理的应用 10 跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? 题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高?则折断处离地面的高度为 尺. 知识点2 勾股定理的应用 11 解析：设折断处离地面的高度AC为x尺，则AB=(10-x)尺. 由题意可得AC⊥BC，所以∠ACB=90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC²+BC²=AB²， 即x²+4²=(10-x) ²，解得x=， 所以折断处离地面的高度为尺. 知识点2 勾股定理的应用 12 跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? 题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高?则折断处离地 面的高度为 尺. 知识点2 勾股定理的应用 13 1. 一个长方形抽屉长，宽 ，贴抽屉底面放一根木 棒，那么这根木棒最长（取整厘米数，不计木棒粗细）可以 是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 14 （第2题） 2. ［2025西安未央区开学考试］如图，某自动 感应门的正上方 处装着一个感应器，离地2.1米 米 ，当人体进入感应器的感应范围内 时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生 正对门，缓慢走到离门1.2米米 的 B A. 1.2米 B. 1.3米 C. 1.5米 D. 2米 地方时，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离 等于 ( ) 返回 中考考法 15 3. 如图，一扇卷闸门用一块宽 ，长 的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门 撑起的高度为_____ . 130 （第3题） 返回 中考考法 16 （第4题） 4.如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角 形，若梯子长等于 ，梯子完全撑开后顶 端离地面的高度等于 ，则此时梯子侧面 宽度等于____ . 1.4 返回 中考考法 17 （第5题） 5.如图，某小区有一块四边形空地 ，为 了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪， 经测量 ，米， 米，米， 米.若铺一平方米草 坪需要50元，则铺这块空地需要投入资金 ________元. 11 700 中考考法 18 （第5题） 【点拨】连接 . 因为 ,米, 米, 所以 . 因为米, 米, 所以 , 中考考法 19 （第5题） 所以是直角三角形,且 , 所以四边形 的面积为 所以铺这块空地需要投入资金 （元）. （平方米）， 返回 中考考法 20 6. 爱护森林人人有责，如图 （单位： ）是某森林小队为该地区森林鸟 类安装的木屋示意图，它为轴对称图形，求 屋顶到地面 的距离. 中考考法 21 【解】因为木屋为轴对称图形， 所以 是等腰三角形. 作，垂足为 . 由题意得 ， 所以 . 因为，所以 . 所以 . 所以屋顶到地面的距离为 . 返回 中考考法 22 （第7题） 7. 如图，某会展中心在会展期间 准备将高、长、宽 的楼梯铺上地 毯，已知地毯每平方米30元，请你帮忙计算 一下，铺完这个楼梯至少需要_______元. 1 020 【点拨】由勾股定理得 ，所以 ，所以地毯总长为 , 所以地毯的总面积为 ,所以铺 完这个楼梯至少需要 （元）. 返回 中考考法 23 （第8题） 8.［2025淄博期中］我国古代 数学著作《九章算术》第九章 《勾股》中记载了这样的一个 问题：“今有开门去阃 一 101 尺，不合二寸，问门广几何？” 意思是：如图，推开两扇门 和，门边缘，两点到门槛 的距离是1尺，两扇门 的间隙为2寸，则门宽是_____寸（1尺 寸）. 中考考法 24 勾股定理的应用 解决其他的实际问题 解决折纸问题、古文化问题 判断两直线是否垂直 勾股定理 勾股定理的逆定理 $