13.3.1三角形的内角同步练习2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，分层递进设计覆盖三角形内角和定理及应用，从基础辨析到综合推理，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固（单选10题）|内角和定理、直角三角形互余、角平分线性质|直接应用概念，如判断互余角、直角三角形条件，强化推理意识| |能力提升（填空5题）|动态图形、多性质综合（高与外角）|含动点构成直角三角形、延长线中角度计算，发展空间观念| |综合应用（解答4题）|新定义“友爱三角形”、证明推理|结合角平分线与高证明等量关系，创新意识与逻辑推理结合|

13.3.1 三角形的内角 同步练习 一、单选题 1．如图，中，， 于点 D，与相等的角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的高，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，垂足为点D，则下列说法错误的是（  ） A．与互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 4．如图，若，，，下列结论：①；②；③；④与互补；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，，交于点，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，中，是高，角平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，，于点，于点，则下列各角中，与一定相等的是（   ）    A． B． C． D． 10．如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置，与线绳（线绳垂直于地面）的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角∠的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知P是射线上一动点，．当的度数为_________时，为直角三角形． 12．如图，D是边的延长线上一点，过点D作于点E，交于点F，已知，，则的度数为__________． 13．如图，在中，，平分，，交的延长线于点，若，则______． 14．如图，中，，，平分，于点，，则________． 15．如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则__________． 三、解答题 16．如图，平分，点在的延长线上，于点，，，请用含、的代数式表示．    17．如图，在中，于点于点，求的度数． 18．在中，，于，是的平分线，交于，交于，求证：． 19．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． (1)求的度数． (2)若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《13.3.1 三角形的内角 同步练习》参考答案 1．B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角的余角相等，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等解答． 【详解】解：，， ，， ． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，由，得到，由高得到，再根据直角三角形两个锐角互余即可求出，掌握直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，准确识图是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余，判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故与互为余角，与互为余角，故A、B正确，不符合题意； ∵， ∴，， 故与互为余角，与互为余角，故C正确，不符合题意，D不正确，符合题意； 故选：D． 4．B 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知垂直的定义及平行线的判定定理是解答此题的关键． 根据得出，故③正确；再由可得出，故，，故①正确；由可知，，故可得出②正确；由可知与互余，故④错误；根据，而，故⑤错误． 【详解】∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴与互余，故④错误； ∵，而， ∴，故⑤错误． 故选B． 5．D 【分析】本题考查对顶角相等，直角三角形两锐角互余，根据对顶角相等，直角三角形两锐角互余得到，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线和高，由三角形内角和定理可得，即可由三角形角平分线的定义得，再根据三角形的高可得，最后根据三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质等知识点，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析判定即可得解，熟练掌握三角形的内角和定理，直角三角形的性质是解决此题的关键． 【详解】解：①∵，则，，∴是直角三角形，符合题意； ②∵，设，则，，，∴是直角三角形，符合题意； ③∵，∴，则，∴是直角三角形，符合题意； ④∵，则，∴为钝角三角形，不符合题意； ∴能确定为是直角三角形的有①②③， 故选：C． 9．B 【分析】本题主要考查垂直的定义，角的和差，熟练掌握垂直的定义是解题的关键．根据，即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选B． 10．B 【分析】构造直角三角形，利用三角形的内角和及角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，由题意知：垂直于．    在中， 在中， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的内角和定理及角的和差关系，构造直角三角形是解决本题的关键． 11．或 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键． 先分类讨论，根据直角三角形的两锐角互余即可求解． 【详解】解：依题意，为直角三角形时， 当为直角三角形时，； 当时，， 故答案为：或． 12． 【分析】本题主要考查了三角形内角和、直角三角形的性质、对顶角相等等知识点，灵活运用三角形内角和定理成为解题的关键． 在中运用勾股定理可得，再根据对顶角相等可得，最后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键． 根据等角的余角相等求出，再根据角平分线的定义可得的度数，可得答案． 【详解】解：，， ，， 对顶角相等， ， 平分， ． 故答案为：． 14．/74度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．先求出，结合角平分线的定义，得出，根据直角三角形两锐角互余，得到，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 15． 【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，延长交于点M，可得在中，三边所在的高交于一点，即，由此即可解答． 【详解】解：延长交于点M，如图， 在中，三边所在的高交于一点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理可得，再根据，即可求解． 【详解】解：因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以 ． 因为， 所以， 所以． 17． 【分析】本题考查了垂直的意义，邻补角求角度，三角形内角和的应用，直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．根据邻补角互补先求出，再根据互余关系求出，结合，根据三角形内角和定理求出，最后再根据互余关系求解． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以． 因为，即， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 18． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了三角形的角平分线，余角性质，直角三角形的两锐角互余，由，可得，，进而由角平分线的定义和余角性质可得，再根据对顶角相等即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】略 19．(1)，； (2)、都是“友爱三角形”，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可； （2）由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； （2）解：、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ，， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， ， 为“友爱三角形”． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $