13.3.1三角形的内角 随堂练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形内角和定理及应用，通过基础辨析（如直角三角形判定）、动态情境（三角板摆放、光反射）和新定义问题（“准直角三角形”“灵动三角形”），分层考查抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|角平分线、高、外角、平行线性质|结合生活情境（光反射）考查几何直观| |填空题|5|内角和计算、新定义（准直角三角形）|设置开放结论（多解问题）培养创新意识| |解答题|5|证明推理、新定义应用（灵动三角形）|分层设计综合题（如18题三问）发展推理能力|

13.3.1 三角形的内角 随堂练习 一、单选题 1．如图，中，平分，．，．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，中，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，平分，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．将直角三角板（）按下图的方式摆放在一条直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 6．在下列条件：①；②；③；④中，不能确定为直角三角形的条件有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，根据光的反射原理，，，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，中，，于，，，则 _______°． 10．如图，中，，点，分别在边，上，若，则____． 11．如图，在中，是边上的高，则的度数为___________． 12．如图，中，为的高，，，那么______． 13．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为________． 三、解答题 14．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 15．如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求． 16．如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 17．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”； 三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线AD、交线段于点 C规定 (1)_____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (2)若 则____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (3)当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 18．如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证： (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值； ②四边形的面积是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《13.3.1 三角形的内角 随堂练习》参考答案 1．D 【分析】本题考查了与角平分线的三角形内角和性质，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平分，得，根据，则，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得， 故选：D 2．B 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高的定义，由设，则，，进而利用直角三角形的两锐角互余求得，从而即可得解． 【详解】解：由设，则， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，由可得，即得，再根据角平分线的定义得，进而根据三角形的内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∴， 故选：． 4．C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，平角定义，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，得，，再通过角平分线定义得，然后由直角三角形的性质，最后由角度和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．B 【分析】本题考查对顶角相等，直角三角形两锐角互余．根据对顶角相等得到，再由直角三角形两锐角互余求出，进而即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①当时，不能判定是直角三角形， 故本小题不符合题意； ②， ，，， 是直角三角形，故本小题符合题意； ③设，则， ，解得， ，故本小题不符合题意； ④设，，， 则， 解得，故， 是直角三角形，故本小题符合题意； 综上所述，是直角三角形的是②④共2个． 故选：C 7．A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．利用三角形内角和以及角平分线的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 两锐角的角平分线、交于点F， ，， ， ， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，先得出，结合，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．16 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质．先根据得出，再由可得出，由可得出的的度数，进而得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 10． 【分析】本题考查直角三角形的性质，关键是由直角三角形的性质推出，得到，由三角形内角和定理即可得到，熟记三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 11．54 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．由三角形的内角和定理及得．进而利用直角三角形的性质即可得解． 【详解】解∶ ． 又是边上的高， ， ∴， 故答案为：54． 12． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高的定义，由，设，则，，进而利用直角三角形的两锐角互余求得，从而即可得解． 【详解】解：由 ，设，则， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．或或 【分析】本题主要考查了“准直角三角形”的定义、直角三角形的性质等知识，理解新定义“准直角三角形”是解题关键．根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 分三种情况讨论， 如图，当点P在延长线上，，则， 此时， 即， ∴①， ∵②， 由，可得， ∴； 如图，当点P在延长线上，时，则， 此时，即， ∴③， ∵④， 由，可得， ∴； 如图，当点P在线段上时，，， ∴， ∴此时； 综上所述，的所有可能的度数为或或． 故答案为：或或． 14．见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 15． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据三角形高的定义得出，由进而得出，根据平分，得出，根据三角形内角和进而求得，即可求解． 【详解】解：是边上的高， ， ， ， 平分， ， ， ． 16．(1)； (2)证明：， ， ， ， ， 平分交于， ， ， ， ． 【分析】（1）根据三角形内角和可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可知． 【详解】（1）解：，， ， 平分交于， ， ； （2）略． 17．(1)是 (2)是 (3)或或 【分析】（1）根据，得到，结合定义判定是灵动三角形； （2）根据，得到，结合结合定义判定是 灵动三角形； （3）根据，得到，分类计算解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，互余性质，分类思想，正确理解新定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴是灵动三角形， 故答案为：是． （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵ 且， ∴是灵动三角形， 故答案为：是． （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵是灵动三角形，， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去， 当时，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①3；②21 【分析】本题属于四边形的综合题，考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的面积计算、三角形的外角性质，得到是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理即可解决问题； （2）根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角性质计算，即可解决问题； （3）①根据，，，可以求出、，结合图形计算即可； ②连接，设，根据三角形的面积公式列出方程，求出，把代入计算得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， （2）证明：平分， ， ，， 而， ； （3）①，，， ，， ； ②如图，连接， 设， 则， ， ， ， ， ， ， 解得， 四边形的面积， 故答案为：21． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $