专题2.2.2 有理数的除法（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学“有理数的除法”核心知识点，衔接有理数乘法，明确除法与乘法的互逆关系，通过两种法则（同号得正异号得负并把绝对值相除、除以一个数等于乘其倒数）构建运算体系，结合乘除混合及加减乘除混合运算顺序，形成从基础到综合的学习支架。 该资料亮点在于题型设计多元，典例与变式结合，融入生活情境（如世界杯赛事计算、水箱水位问题）和跨学科元素（低碳生活统计），培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。程序计算、新定义运算等题型提升运算能力与推理意识，规律探究题发展创新意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题2.2.2 有理数的除法 教学目标 1.理解有理数除法法则，明确除法与乘法的互逆关系。 2.能运用法则熟练进行有理数除法运算。 3.培养灵活运算能力，规范书写解题步骤。 教学重难点 1.重点 掌握有理数除法法则，正确进行除法计算。 2.难点 灵活选用两种除法法则简便运算。 知识点01 有理数的除法 1、有理数的除法法则： 有理数除法法则（一）： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)； 有理数除法法则（二）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 2、方法指引： （1）能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； （2）不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； 3、有理数的乘除混合运算： 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 【即学即练】计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 知识点02 有理数的加减乘除混合运算 先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的. 【注意】进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【即学即练】按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 题型01 有理数的除法 【典例1】计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【详解】解： 1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； 2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； 【变式1】已知，，那么（     ） A．4 B．6 C．18 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴． 【变式2】若，则□内的数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知一个因数与积，求另一个因数，用除法计算即可． 【详解】解：设内的数字为， ∵， ∴， 因此内的数字为． 【变式3】安安想将7个相同的正方体放入一个底面为，初始水位为的水箱中．水位最高可以达到（     ）厘米（注：根据图示，小正方体的边长为） A． B． C． D． E． 【答案】D 【分析】先计算得水箱底面积，水的体积；正方体棱长，水箱一层最多可放个正方体，底层6个恰好填满的高度空间，剩余1个放在第二层，此时水的有效底面积为，可得水位再次上升的高度，即可得总水位高度． 【详解】解：由题意得，水箱底面积为， 水的初始体积为， 单个正方体体积为，单个底面积， 由题意得，水箱内长方向可放个，宽方向可放个，一层最多可放个正方体， ∵6个正方体的总体积为，而水箱高度的总容积为， ∴底层6个正方体刚好填满的空间，此高度内没有水， ∵第7个正方体放在第二层， ∴水的底面积水箱底面积第7个正方体的底面积为， ∵水的体积仍为， ∴以上的水位高度为：， ∴总水位高度． 【变式4】2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 【答案】104 【分析】全程比赛分两阶段计算，第一阶段小组循环赛按单循环场次计算，第二阶段淘汰赛按淘汰球队数加额外三四名决赛场次算，最后求和． 【详解】解：第一阶段：总共48支球队，每4支一组， 组数为：（组）， 每组单循环比赛的场次：（场）， ∴第一阶段比赛的总场次为：（场）． 第二阶段：∵晋级球队32支，采用单场淘汰赛决出冠军， ∴决出冠军需要淘汰的球队数量为：（支）， ∴淘汰赛场次为31场， 又∵半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛， ∴第二阶段比赛的总场次为：（场）． 全程总场次为：（场）． 题型02 有理数的乘除混合运算 【典例1】（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：． 1.有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算； 2.乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果 (乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算). 【变式1】规定新运算阶乘：，，……则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目给出的阶乘新定义，展开分子分母后约分计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中阶乘的定义，得，， ∴． 【变式2】五个人聚会，如果每两人要握一次手，那么五个人共握_______次． 【答案】10 【分析】本题主要考查了握手问题．根据每个人需要与其他4个人握手，解答即可． 【详解】解：∵每个人需要与其他4个人握手， ∴总握手次数为次． 故答案为10 【变式3】的值为________． 【答案】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【详解】解： 【变式4】运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型03 有理数的加减乘除混合运算 【典例1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 【详解】选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 1.有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 2.进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【变式1】定义新运算“*”：，则的值为（） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】按照题目给出的运算规则，代入对应数值计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 【变式2】如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列判断正确的是（   ） ……第①步 ……第②步 ．……第③步 A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【答案】B 【详解】解：第①步是将带分数拆分为，没有运用乘法交换律，故A选项错误； 按照乘法对加法的分配律展开计算： ， ∴第②步运用了乘法对加法的分配律，但计算时符号错误，结果错误，故B选项正确，C选项错误； 第②步计算已经出错，∴第③步的结果错误，故D选项错误． 【变式3】某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 【答案】 【分析】根据“数量（成本利润）单价”列式求解即可． 【详解】解：， ∴他们绘制的秦腔脸谱的个数为26． 【变式4】社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如下表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为________元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为________元． 【答案】 0 284 【分析】（1）先算出商品总价值，目标是让两箱价值尽可能接近总价值的一半，同时满足单箱重量不超过，验证存在两箱价值相等的合规分装方案，即可得最小差值为； （2）属于限定件数的最值问题，优先选择单件价值高的商品，按价值从高到低枚举高价值商品的数量，结合重量不超过搭配剩余件数，对比计算即可得出最高总价值． 【详解】解：（1）所有商品的总重量为， 总价值为元， 要让两个纸箱的商品总价值之差最小，需尽量让两箱价值接近总价值的一半元，同时每箱重量不超过， 存在可行分装方案：第一箱装件洗衣液、件洗洁精和件香皂， 重量为， 价值为元； 第二箱装件洗衣液、件卷纸和件香皂， 重量为， 价值为元； 两箱价值相等，差值最小为元； （2）要求整箱总件数恰好件且不超重，求总价值最高值，优先选择单件价值更高的商品，按洗衣液、洗洁精、卷纸、香皂的价值从高到低枚举验证， 当选择件洗衣液时重量为，剩余件总重量需不超过，选择件洗洁精和件卷纸，总重量为，刚好符合不超过， 此时总价值为元； 若选择件洗衣液重量为，剩余件最高价值组合为件洗洁精加件香皂，总价值为元，低于元， 其余数量组合的总价值均更低，因此这箱商品总价值最高为元． 题型04 有理数乘除法与数轴的综合 【典例1】如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 有理数乘除法与数轴的综合主要是根据数轴的意义和有理数的乘除法法则即可解决问题. 【变式1】有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． 【变式2】如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 【答案】 【分析】根据数轴中点的定义，由是线段的中点，则点表示的数满足，再结合数轴上数的正负性判断与的大小关系． 【详解】解：， 点是线段的中点， 根据中点公式：， 等式两边同时乘以，得：， 由数轴可知：， ，即． 【变式3】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】④ 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及正负性，再结合有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， 对于①，∵在原点左侧，，故①错误 对于②，∵，，∴，根据有理数加法法则，∴，故②错误 对于③，∵，∴，故③错误 对于④，∵，，根据有理数乘法法则，∴，故④正确 综上所述，结论正确的是④ 【变式4】在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，折叠的性质，先求出折叠前，再结合折叠后得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可得，折叠前， ∵折叠后， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 题型05 有理数乘除法的程序计算题 【典例1】小星在学习“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序．若开始输入的值为，则最后输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是代数式求值，有理数的混合运算，解题关键是弄清题中的运算程序． 把代入运算程序中计算，如大于或等于则把其结果再代入运算程序中计算，如小于则直接输出结果． 【详解】解：当时，， 当时，， 输出的结果是． 故选：． 【变式1】如图所示的程序，若开始输入的数是2，则最后输出的结果为（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 由题意列式计算，直至结果大于0即可． 【详解】解：开始输入的数为2， 解：返回继续运算； 输出结果； 故选A． 【变式2】按图中的程序运算：当输入的数据为10时，则输出的数据是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得输入的数为， ， ， 故输出结果为4， 故选：D． 【变式3】若计算机按如图所示程序工作，若输入的数是4，则输出的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，程序流程图与有理数计算，解题关键是掌握运算的顺序． 根据程序列出算式计算，直接输出即可． 【详解】解：输入的数是4， 则，， 输入的数是， 则，， 则输出的数是， 故选：A． 【变式4】在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 【答案】7 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，掌握知识点的应用是解题的关键．根据程序框图列式计算，直至结果为1即可． 【详解】解：输入自然数， 第一次运算， 第二次运算， 第三次运算， 第四次运算， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 则自然数 3 的熵， 故答案为：7． 题型06 有理数乘除法的新定义运算问题 【典例1】定义一个新运算，例如，．则关于定义的新运算中，下列说法正确的是 （      ） A．新运算满足交换律，也满足结合律 B．新运算满足交换律，但不满足结合律 C．新运算不满足交换律，但满足结合律 D．新运算既不满足交换律，也不满足结合律 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，根据，可知满足交换律，根据，，可知不满足结合律，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴新运算满足交换律； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴新运算不满足结合律， 故选：B． 【变式1】新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据新运算可得，再根据，把代入，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 故选：A 【变式2】小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 【变式3】若定义新运算：，如，请利用此定义计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新运算．解决本题的关键是根据新运算规定的运算法则把新运算转化为一般的有理数运算，然后根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式4】学习情境·新定义  定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则________． 【答案】3 【分析】本题考查的新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据新定义进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 题型07 有理数乘除法规律探究题 【典例1】用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，依此规律，第7个图案中有_______个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查规律探索，有理数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，根据此规律计算第7个图形中的三角形个数即可； （2）把找到的规律用代数式表示出来即可． 【详解】解：第一个图案正三角形个数为； 第二个图案正三角形个数为； 第三个图案正三角形个数为； ； 第7个图案正三角形个数为； 第个图案正三角形个数为． 故答案为：，． 【变式1】观察下列等式：，，，，……这些等式反映出自然数间的某种规律，设表示自然数，试用关于的等式表示出你所发现的规律：_________． 【答案】 【分析】此题考查了数字的变化类，观察等式，发现：，即；，即；，即；…推而广之即可写出规律．解题的关键是分别找到等式的左边和右边的规律，进一步推而广之即可． 【详解】解：依题意， 因为， 即； 因为， 即； 因为， 即； … 所以设n表示自然数，试用关于n的等式表示出你所发现的规律：； 故答案为：． 【变式2】按一定规律排列的一列数依次为：．按此规律排列下去，这列数中的第20个数为_____． 【答案】 【分析】观察给出的一列数，计算并发现规律，即可得到第20个数． 【详解】解：第一个为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， 第五个数为， 第六个数为， ， ∴第20个数为， 故答案为：． 【变式3】填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是____． 【答案】158 【分析】根据表格分析规律：第一行第一个数是序数n，第二个数比前一个数大4即为n+4，第二行第一个数比n大2即为n+2，第二行第二个是（n+2）（n+4）-n的结果，根据规律计算即可． 【详解】由表格可知：第一行第一个数是序数n，第二个数比前一个数大4即为n+4，第二行第一个数比n大2即为n+2，第二行第二个是（n+2）（n+4）-n的结果， ∴当n=10时， m=（10+2）（10+4）-10=158， 故答案为：158． 【变式4】（周期问题）一串按规律排列的自然数：，，，，，，，，，，．第2022个数除以4的余数是______． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的除法，数字类规律探索，先求出所给数字除以的余数，得出规律这串数除以4的余数依次为1，2，3，1，0，1，每6个一循环，再结合，即可得解，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 观察发现，这串数除以4的余数依次为1，2，3，1，0，1，每6个一循环，， 所以第2022个数的余数与周期中第6个数（即最后一个数）的余数相同，余数是1， 故答案为：1． 1．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 【答案】A 【分析】先计算6枚月饼的标准总质量，再计算所有质量偏差的和，两者相加得到实际总质量． 【详解】解：∵由题意得，每枚月饼标准质量为70克，共6枚， ∴6枚月饼的标准总质量为克， 计算6枚月饼的质量偏差和： ， ∴这六枚月饼的实际总质量为克． 2．如图，数轴上的点A，B对应实数a，b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由数轴可知，，，，，故选项A，C，D错误，不符合题意． 选项B正确，故选B． 3．每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，倡导并践行“低碳”生活是我们每个人的社会责任．下表为王芳家某月部分生活消耗对应的“碳足迹”统计（耗碳量=消耗量×碳排放系数），下列结论正确的是（     ） 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量/ 1 家庭用电 2 水 3 天然气 4 鸡肉 5 牛肉 A．水的耗碳量为 B．牛肉的耗碳量比其余耗碳量总和多 C．天然气的碳排放系数约为 D．若用电量减少，可减少耗碳量 【答案】D 【分析】根据题目给出的公式`耗碳量=消耗量×碳排放系数`，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A．由表格可知水的耗碳量为，原结论不正确，故此选项不符合题意； B．∵其余耗碳量总和为， 又∵， ∴牛肉的耗碳量比其余耗碳量总和少，则原结论不正确，故此选项不符合题意； C．天然气的碳排放系数为，则原结论不正确，故此选项不符合题意； D．∵家庭用电的碳排放系数为， ∴减少的耗碳量为，则原结论正确，故此选项符合题意． 4．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号，即可选出正确选项. 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， 逐个分析选项： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C成立； 选项D：，D错误. 5．对于任意两个数、，规定，则________． 【答案】 【分析】根据题中已知运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 6．一本故事书，聪聪每天看20页，6天可以看完．如果他想5天看完，平均每天要看________页． 【答案】 【分析】首先确定书的总页数固定，因为每天看的页数和看的天数的乘积等于总页数，所以先根据已知的每天看20页、6天看完，用乘法计算总页数．因为总页数不变，如果要5天看完，那么用总页数除以5，即可得到平均每天需要看的页数． 【详解】解：总页数 = 每天看的页数 × 原天数， 即 （页）． 平均每天看的页数 = 总页数 ÷ 新天数， 即 （ 页）． 7．计算： ． 【答案】 【分析】先计算中括号内的加法，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 1．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断的符号及绝对值的大小． 【详解】解：由数轴可知， ， ，故选项A错误，不符合题意； ， ，故选项B错误，不符合题意； 由数轴观察可知，b到原点的距离大于c到原点的距离，即， 故选项D正确，符合题意； ，且， ∴， ∴，故选项C错误，不符合题意． 2．今年小升初考试增加了体育考试，其中体育项目有1分钟跳绳、50米、立定跳远、排球、乒乓球、羽毛球，要求从这6个项目中选两个项目参加考试，他将有（     ）种不同的选择． A．5 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】先计算所有两两组合的总数，再去掉重复计算的部分即可得到结果． 【详解】解：∵每个项目都可以和其余个项目组合，直接计算会把每组组合重复计算2次， ∴总的不同选择数为， 因此共有15种不同的选择． 3．表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的特点，数形结合确定代数式的符号，由此即可求解． 【详解】解：由数轴可知：，B选项正确，不符合题意； ∴，A选项正确，不符合题意； ，C选项错误，符合题意； ，D选项正确，不符合题意； 故选：C． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 5．简便计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)34 (2) (3)1 【分析】（1）把除法化为乘法运算，再结合乘法运算律进行简便运算即可； （2）括号内利用分配律进行简便运算，再进一步计算即可； （3）把带分数化为假分数，再结合分配律进行简便运算，进一步计算除法运算，最后计算加法运算即可. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 6．已知四川成都这周7天每天的最低气温，能否根据除法是乘法的逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算四川成都这周的最低气温的平均值？ 【答案】能，这周最低气温的平均值． 【分析】计算平均值的核心方法是所有数据的和除以数据总个数，根据除法是乘法逆运算的关系，可以推导得出平均值的计算式 【详解】解：计算多个数据的平均值，根据除法是乘法的逆运算， 可得最低气温的平均气温天数最低气温总和， 因此最低气温的平均气温最低气温总和天数． 一周共有7天， 因此这周最低气温的平均值． 7．焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道，工作人员定期对地道路线进行维护、甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；每人同一时间只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 （1）若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为________； （2）若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序________． 【答案】 【分析】（1）根据题目所给的顺序，计算总时长即可； （2）根据题意，列出所有的情况，分别计算总时长，再与比较大小即可得出结论． 【详解】解：（1）按照的顺序维护，总时长最少为． （2）由（1）得，按照的顺序维护，总时长最少为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 要求三条路线维护完成的总时长不超过，满足条件的维护顺序为或或（写出一种即可）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2.2 有理数的除法 教学目标 1.理解有理数除法法则，明确除法与乘法的互逆关系。 2.能运用法则熟练进行有理数除法运算。 3.培养灵活运算能力，规范书写解题步骤。 教学重难点 1.重点 掌握有理数除法法则，正确进行除法计算。 2.难点 灵活选用两种除法法则简便运算。 知识点01 有理数的除法 1、有理数的除法法则： 有理数除法法则（一）： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)； 有理数除法法则（二）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 2、方法指引： （1）能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； （2）不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； 3、有理数的乘除混合运算： 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 【即学即练】计算： __________． 知识点02 有理数的加减乘除混合运算 先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的. 【注意】进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【即学即练】按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 题型01 有理数的除法 【典例1】计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； 2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； 【变式1】已知，，那么（     ） A．4 B．6 C．18 【变式2】若，则□内的数字是（     ） A． B． C． D． 【变式3】安安想将7个相同的正方体放入一个底面为，初始水位为的水箱中．水位最高可以达到（     ）厘米（注：根据图示，小正方体的边长为） A． B． C． D． E． 【变式4】2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 题型02 有理数的乘除混合运算 【典例1】（     ） A．2 B． C．1 D．4 1.有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算； 2.乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果 (乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算). 【变式1】规定新运算阶乘：，，……则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】五个人聚会，如果每两人要握一次手，那么五个人共握_______次． 【变式3】的值为________． 【变式4】运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 题型03 有理数的加减乘除混合运算 【典例1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 1.有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 2.进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【变式1】定义新运算“*”：，则的值为（） A．5 B．1 C． D． 【变式2】如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列判断正确的是（   ） ……第①步 ……第②步 ．……第③步 A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【变式3】某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 【变式4】社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如下表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为________元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为________元． 题型04 有理数乘除法与数轴的综合 【典例1】如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 有理数乘除法与数轴的综合主要是根据数轴的意义和有理数的乘除法法则即可解决问题. 【变式1】有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 【变式3】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【变式4】在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是_______． 题型05 有理数乘除法的程序计算题 【典例1】小星在学习“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序．若开始输入的值为，则最后输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示的程序，若开始输入的数是2，则最后输出的结果为（   ） A．2 B． C． D．6 【变式2】按图中的程序运算：当输入的数据为10时，则输出的数据是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】若计算机按如图所示程序工作，若输入的数是4，则输出的数是（   ） A． B． C． D． 【变式4】在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 题型06 有理数乘除法的新定义运算问题 【典例1】定义一个新运算，例如，．则关于定义的新运算中，下列说法正确的是 （      ） A．新运算满足交换律，也满足结合律 B．新运算满足交换律，但不满足结合律 C．新运算不满足交换律，但满足结合律 D．新运算既不满足交换律，也不满足结合律 【变式1】新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若定义新运算：，如，请利用此定义计算：（    ） A． B． C． D． 【变式4】学习情境·新定义  定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则________． 题型07 有理数乘除法规律探究题 【典例1】用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，依此规律，第7个图案中有_______个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为_______（用含的代数式表示）． 【变式1】观察下列等式：，，，，……这些等式反映出自然数间的某种规律，设表示自然数，试用关于的等式表示出你所发现的规律：_________． 【变式2】按一定规律排列的一列数依次为：．按此规律排列下去，这列数中的第20个数为_____． 【变式3】填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是____． 【变式4】（周期问题）一串按规律排列的自然数：，，，，，，，，，，．第2022个数除以4的余数是______． 1．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 2．如图，数轴上的点A，B对应实数a，b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，倡导并践行“低碳”生活是我们每个人的社会责任．下表为王芳家某月部分生活消耗对应的“碳足迹”统计（耗碳量=消耗量×碳排放系数），下列结论正确的是（     ） 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量/ 1 家庭用电 2 水 3 天然气 4 鸡肉 5 牛肉 A．水的耗碳量为 B．牛肉的耗碳量比其余耗碳量总和多 C．天然气的碳排放系数约为 D．若用电量减少，可减少耗碳量 4．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 5．对于任意两个数、，规定，则________． 6．一本故事书，聪聪每天看20页，6天可以看完．如果他想5天看完，平均每天要看________页． 7．计算： ． 1．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 2．今年小升初考试增加了体育考试，其中体育项目有1分钟跳绳、50米、立定跳远、排球、乒乓球、羽毛球，要求从这6个项目中选两个项目参加考试，他将有（     ）种不同的选择． A．5 B．12 C．15 D．18 3．表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 5．简便计算 (1) (2) (3) 6．已知四川成都这周7天每天的最低气温，能否根据除法是乘法的逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算四川成都这周的最低气温的平均值？ 7．焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道，工作人员定期对地道路线进行维护、甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；每人同一时间只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 （1）若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为________； （2）若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $