专题2.1.1 有理数的加法（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦有理数的加法这一核心知识点，系统梳理同号、异号两数相加及与0相加的法则，结合加法交换律和结合律，前承有理数概念，为后续减法等运算奠定基础，构建完整的运算学习支架。 该资料通过数轴探究推导法则，培养几何直观（数学眼光）和归纳推理能力（数学思维），生活应用题型（如温度变化、续航里程）体现应用意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后变式练习帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

专题2.1.1 有理数的加法 教学目标 1.理解有理数加法的意义，熟练掌握有理数加法法则，能够准确进行两个有理数的加法运算。 2.通过数轴探究、实例分析的过程，经历有理数加法法则的推导过程，提升观察、归纳和运算推理能力。 3.体会数形结合和分类讨论的数学思想，感受数学知识的连贯性，增强学习数学的兴趣和自信心。 教学重难点 1.重点 掌握并熟练运用有理数加法法则进行有理数的加法运算。 2.难点 理解异号两数相加的法则原理，准确判断运算结果的符号与绝对值。 知识点01 有理数的加法法则 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 2绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3.互为相反数的两个数相加得 0． 4.一个数与0相加，仍得这个数． 【注意】在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 【即学即练】计算：． 知识点02 有理数的加法运算律 1、有理数的加法交换律： 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变． 即a + b = b + a. 2、有理数的加法结合律： 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 用字母表示为：(a + b) + c = a + (b + c). 【即学即练】小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 题型01 有理数加法运算 【典例1】将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 有理数加法运算的步骤： 1. 先判断类型（同号、异号等）； 2. 再确定和的符号； 3. 最后进行绝对值的加减运算. 【变式1】计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【变式2】下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 【变式4】 _____． 题型02 运用加法运算律进行简便计算 【典例1】嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（    ） A． B． C． D． 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加； 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 3. 有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合. 【变式1】下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【变式3】当时，（1）______；（2）_____． 【变式4】在计算时，中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为_________． 题型03 有理数加法中的符号问题 【典例1】已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【变式3】若且a，b异号，，则a_______0． 【变式4】若a+b+c＝0且a＞b＞c，则下列几个数中：①a+b；②ab；③ab2；④b2﹣ac；⑤﹣（b+c），一定是正数的有 _______（填序号）． 题型04 有理数加法在生活中的应用 【典例1】某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【变式1】电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【变式2】一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为_________百元． 【变式3】某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 【变式4】某物流公司有一批货车，计划分配给甲、乙、丙、丁四个配送点使用．每个配送点分配到m辆货车时，公司获得的日收益（单位：万元）如下表： … 甲 25 45 / / / / / 乙 20 38 52 62 68 70 / 丙 15 30 45 55 63 69 … 丁 10 26 42 58 74 90 … （1）若将5辆货车分配给四个配送点，且每个配送点至少分配1辆，为使日总收益最大，应向______分配2辆货车（填“甲”，“乙”，“丙”或“丁”）； （2）若将6辆货车分配给这四个配送点中的一家或多家，日总收益的最大值为______万元． 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 2．嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 3．某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 4．某校举办的创新能力大赛共有5个环节．九年级代表队有A，B，C，D，E五名选手，每个人完成一个环节后获得的积分如下表所示： 选手 积分（单位：分） 环节1 环节2 环节3 环节4 环节5 A 16 17 17 19 19 B 23 24 22 25 22 C 16 11 12 15 14 D 13 9 13 11 11 E 16 15 13 17 17 现要求每个人只完成一个环节． （1）若A，B，C，D，E五名选手分别完成环节1，环节2，环节3，环节4，环节5，则九年级代表队共获得________分； （2）若九年级代表队要获得最多积分，则选手B应完成环节________． 5．从这12个数中取若干个数，使得任意两个数之和既不等于也不等于，则这若干数字和的绝对值最大值为______． 6．计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 7．若 是最大的负整数， 的绝对值是3，且 ，求 的值． 8．已知 ，求 的值． 1．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 2．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 3．若，且，则等于（   ） A．5或 B．或1 C．5或1 D．或 4．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． 5．若，且，那么的值是________． 6．小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 7．已知 ，且 ，求 的值． 8．计算： (1)； (2) (3)； 9．按要求解答下列各题： (1)比较大小（用“ ”“ ”或“＝”填空） ①_________ ②_________ ③__________ (2)在（1）的基础上，嘉淇又举出若干个例子，并归纳得出以下结论，请你补充完整 ①当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ②当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ③当 ， 中至少有一个为0时，_______ (3)根据上述结论，请你直接写出当时， 的取值范围 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1.1 有理数的加法 教学目标 1.理解有理数加法的意义，熟练掌握有理数加法法则，能够准确进行两个有理数的加法运算。 2.通过数轴探究、实例分析的过程，经历有理数加法法则的推导过程，提升观察、归纳和运算推理能力。 3.体会数形结合和分类讨论的数学思想，感受数学知识的连贯性，增强学习数学的兴趣和自信心。 教学重难点 1.重点 掌握并熟练运用有理数加法法则进行有理数的加法运算。 2.难点 理解异号两数相加的法则原理，准确判断运算结果的符号与绝对值。 知识点01 有理数的加法法则 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 2绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3.互为相反数的两个数相加得 0． 4.一个数与0相加，仍得这个数． 【注意】在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 【即学即练】计算：． 【答案】10 【详解】． 知识点02 有理数的加法运算律 1、有理数的加法交换律： 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变． 即a + b = b + a. 2、有理数的加法结合律： 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 用字母表示为：(a + b) + c = a + (b + c). 【即学即练】小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 题型01 有理数加法运算 【典例1】将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 有理数加法运算的步骤： 1. 先判断类型（同号、异号等）； 2. 再确定和的符号； 3. 最后进行绝对值的加减运算. 【变式1】计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 【变式2】下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：， A错误； 选项B：， B错误； 选项C：， C正确； 选项D：， D错误． 【变式3】数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可得， ∴． 【变式4】 _____． 【答案】4 【分析】根据相反数的意义化简多重符号，根据绝对值的性质化简绝对值，再进行有理数加法运算． 【详解】解：． 题型02 运用加法运算律进行简便计算 【典例1】嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的加法运算律，熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键；要使计算简便，应选择分母与已知分数相同的选项，从而利用结合律先计算同分母分数之和，然后问题可求解． 【详解】解：∵原式为， 若，则先计算， 再计算，过程简便； 其他选项分母均不同，无法直接简化计算； ∴■中应填； 故选D． 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加； 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 3. 有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合. 【变式1】下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查加法交换律的应用，即加数的顺序改变，和不变． 根据交换加数的位置时连同加数的符号一起交换分析即可． 【详解】解：选项A中，正确； 选项B、C、D中均改变了加数的符号，故不正确． 故选A． 【变式2】小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】小明通过重新排列和分组项，简化了计算过程，运用了加法交换律改变项的顺序，并运用加法结合律改变分组． 【详解】解： ， 通过加法交换律，将 与 交换位置， 可得：原式， 再通过加法结合律，分组为 ， 该同学运用了加法交换律和结合律． 故选：C． 【变式3】当时，（1）______；（2）_____． 【答案】 0 14 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，根据加减运算法则直接计算即可． 【详解】解：； ； 故答案为：0；14． 【变式4】在计算时，中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数加减中的简便运算应遵循的基本原则是解题的关键．根据同分母分数可以利用凑整法，解答即可． 【详解】观察分母，在计算时， 中可以填， 得 ． 故答案为：（答案不唯一）． 题型03 有理数加法中的符号问题 【典例1】已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比较大小，有理数加法，根据题意得到，进而根据有理数的大小比较法则分析得出结论即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 【变式1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，掌握相反数的定义，化简绝对值，由数轴可知，，，由b与c互为相反数，得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵b与c互为相反数， ∴，故选项A正确； 由数轴图可知，，，，故选项C正确； ∴，， 故选项B错误；选项D正确； 故选：B． 【变式2】如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 【变式3】若且a，b异号，，则a_______0． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法法则，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行判断即可． 【详解】解：∵且a，b异号，， ∴； 故答案为：． 【变式4】若a+b+c＝0且a＞b＞c，则下列几个数中：①a+b；②ab；③ab2；④b2﹣ac；⑤﹣（b+c），一定是正数的有 _______（填序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】由a+b+c＝0且a＞b＞c，得出a＞0，c<0，b可以是正数，负数或0，由此进一步分析探讨得出答案即可． 【详解】解：∵a+b+c＝0且a＞b＞c， ∴a＞0，c<0，b可以是正数，负数或0， ∴①a+b=-c＞0， ②b=0时，ab=0， ③b=0时，=0， ④ac<0，b2﹣ac＞0， ⑤-（b+c）=a＞0． 故答案为：①④⑤． 题型04 有理数加法在生活中的应用 【典例1】某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】温度上升是在原气温基础上做加法运算，直接计算即可得到结果． 【详解】因为早上气温为，中午温度上升 ， 所以中午温度为． 【变式1】电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【答案】C 【分析】根据正负数的意义与相反数的概念，先根据题意得到消耗续航的计数，再计算得到最终结果． 【详解】解：∵充电后获得的续航记为公里， ∴消耗的续航里程记为公里， ∴变化后对应的数值为公里． 【变式2】一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为_________百元． 【答案】 【分析】根据题意列举出所有可能的旅游路线，分别利用有理数加法法则计算各条路线的交通费用，通过比较大小得出最小值． 【详解】解：根据题意，从地出发到，，三地旅游，然后回到地，且每个地方只到1次，共有以下不同的路线方案： 方案一：路线为，交通费用为：（百元）； 方案二：路线为，交通费用为：（百元）； 方案三：路线为，交通费用为：（百元）； 方案四：路线为，交通费用为：（百元）； 方案五：路线为，交通费用为：（百元）； 方案六：路线为，交通费用为：（百元）； 因为， 所以此次旅游的交通费用最少为21百元． 【变式3】某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 【答案】 22 C，E，G 【分析】本题考查统筹优化问题，解题思路是根据题目给出的前置限制，分别对多人合作和两人合作的情况安排工作顺序，计算最短总时间，确定甲需要完成的工作。 【详解】（1）多名学生合作时，满足前置工作要求，前置工作可并行完成，因此： 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为B：分钟，G还要7分钟，则G这路需要（分钟）， 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为D：分钟，H还要2分钟，则H这路需要（分钟）， 且工作的时间为1分钟，可以任意安排， 则至少需要分钟； （2）所有工作总时间为（分钟），甲乙两名学生，最短总时间不低于（分钟），可尝试分配得到刚好总时间为的方案： 甲先做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长分钟，满足要求， 乙做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长，满足所有前置限制， 因此甲除以外，还需完成C，E，G． 【变式4】某物流公司有一批货车，计划分配给甲、乙、丙、丁四个配送点使用．每个配送点分配到m辆货车时，公司获得的日收益（单位：万元）如下表： … 甲 25 45 / / / / / 乙 20 38 52 62 68 70 / 丙 15 30 45 55 63 69 … 丁 10 26 42 58 74 90 … （1）若将5辆货车分配给四个配送点，且每个配送点至少分配1辆，为使日总收益最大，应向______分配2辆货车（填“甲”，“乙”，“丙”或“丁”）； （2）若将6辆货车分配给这四个配送点中的一家或多家，日总收益的最大值为______万元． 【答案】 甲 113 【分析】（1）根据5辆货车分给4个配送点，每个至少1辆，因此恰好有1个配送点分2辆，其余3个各分1辆，计算所有情况的总收益即可求解． （2）要得到6辆货车的最大总收益，分四种情况，选择收益最高的分配组合，列举所有可能的高收益组合解答即可． 【详解】解：（1）5辆货车分给4个配送点，每个至少1辆，因此恰好有1个配送点分2辆，其余3个各分1辆， 计算所有情况的总收益： 甲分2辆：万元， 乙分2辆：万元， 丙分2辆：万元， 丁分2辆：万元， 总收益最大时，应给甲分配2辆货车． （2）要得到6辆货车的最大总收益，我们选择收益最高的分配组合， 列举所有可能的高收益组合： ①全部分配给其中一个配送点时，最高收益为90万元； ②分配给两个配送点时，分配方式：；分配方式：；分配方式：； 其中甲2辆、乙4辆收益最高，最高收益为万元； ③分配给三个配送点时，分配方式：最高为；分配方式：最高的三种或或； 故甲2辆、乙2辆、丙2辆收益最高，最高收益为万元； ④分配给四个配送点时，分配方式：最高的两种或；分配方式：最高的两种或； 故甲2辆、乙2辆、丙1辆、丁1辆收益最高，最高收益为万元； 综上，日总收益的最大值为113万元． 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵题目规定支出记作负数，收入记作正数， ∴支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 3．某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ：． 4．某校举办的创新能力大赛共有5个环节．九年级代表队有A，B，C，D，E五名选手，每个人完成一个环节后获得的积分如下表所示： 选手 积分（单位：分） 环节1 环节2 环节3 环节4 环节5 A 16 17 17 19 19 B 23 24 22 25 22 C 16 11 12 15 14 D 13 9 13 11 11 E 16 15 13 17 17 现要求每个人只完成一个环节． （1）若A，B，C，D，E五名选手分别完成环节1，环节2，环节3，环节4，环节5，则九年级代表队共获得________分； （2）若九年级代表队要获得最多积分，则选手B应完成环节________． 【答案】 2 【分析】①根据对应分配关系提取对应积分，利用有理数加法计算即可； ②计算B分配到每个环节时的最大总积分，比较得到结果． 【详解】解：①根据题意，提取对应选手对应环节的积分计算得： ； ②由题意，五名选手各对应一个不同环节，总积分为各选手积分之和， 依次计算B分配到各环节时的最大总积分： B分配到环节1（积分23分）：剩余环节为2、3、4、5，最优分配为A(环节5)分、E(环节2)分、C(环节4)分、D(环节3)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； B分配到环节2（积分24分）：剩余环节为1、3、4、5，最优分配为A(环节4)分、E(环节5)分、C(环节1)分、D(环节3)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； B分配到环节3（积分22分）：剩余环节为1、2、4、5，最优分配为A(环节5)分、E(环节2)分、C(环节4)分、D(环节1)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； B分配到环节4（积分25分）：剩余环节为1、2、3、5，最优分配为A(环节5)分、E(环节2)分、C(环节1)分、D(环节3)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； B分配到环节5（积分22分）：剩余环节为1、2、3、4，最优分配为A(环节4)分、E(环节2)分、C(环节1)分、D(环节3)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； 比较得最大总积分为分，此时选手B应完成环节． 5．从这12个数中取若干个数，使得任意两个数之和既不等于也不等于，则这若干数字和的绝对值最大值为______． 【答案】 【分析】因为所有数均为负数，若干个数和的绝对值等于取出各数的绝对值之和，要使和的绝对值最大，需使取出各数的绝对值之和最大，同时满足任意两个数之和既不为也不为，将数按和为分组，每组最多选取一个数，因此最多选取个数，再选择每组中绝对值更大的数计算即可． 【详解】解：将这个数按两数和为分为组： 由题意，任意两个数之和不能为，因此每组最多只能选取个数，即最多选取个数． 因为所有数都是负数，要使取出数和的绝对值最大，只需每组中选取绝对值更大的数，即选取． 验证：任意两个选中数的和最小为，不存在和为或的两个数，符合条件． ∴这若干数字和的绝对值最大值为． 6．计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 7．若 是最大的负整数， 的绝对值是3，且 ，求 的值． 【答案】2 【分析】根据是最大的负整数计算即可． 【详解】最大的负整数， ，则或， 因为，即，所以必须是， 此时． 8．已知 ，求 的值． 【答案】 【详解】因为 ，，且它们的和为 ， 所以 且 ， 解得 ，， 所以 ． 1．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 【分析】通过定义判断、举反例、分类讨论验证每个说法的正误即可． 【详解】解：①若，则与互为相反数，故①正确； ②若，举反例：取，，满足，但、同为负，是同号，故②错误； ③若且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于0，因此两数只能同为正，即，故③正确； ④若且两数异号，举反例：取，，满足且两数异号，，不符合结论，故④错误； ⑤若，因为， 因此可得， 分类讨论：若，则，可得； 若，则，整理得， 因此无论取何值，都有，故⑤正确． 综上，正确的说法共3个． 2．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 3．若，且，则等于（   ） A．5或 B．或1 C．5或1 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和有理数的加法运算，先根据绝对值的性质求出a，b的值，再根据，得出所有符合条件的a，b的值，再列出算式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，可取或，均满足；当时，可取或，均不满足， ∴或， ∴或， 故选：C． 4．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与数轴上的距离问题，关键是理解表示数轴上点到和的距离之和，通过计算两点间距离确定的取值范围，再找出整数解求和． 【详解】解：表示数轴上点到和的距离之和． ∵与的距离为， ∴当且仅当在到之间(包括端点)时，距离之和为． 符合条件的整数为． 计算这些整数的和：． 故选：B． 5．若，且，那么的值是________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义确定x和y的所有可能取值，再结合的条件筛选出符合的取值，最后计算的值即可. 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴或． 当时， ； 当时， ． 故答案为或． 6．小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知， ，满足题意． 7．已知 ，且 ，求 的值． 【答案】 或 【分析】根据绝对值的定义得到，由，得到，据此代值计算即可． 【详解】因为 ，所以 ； 因为 ，所以 ， 又因为 ， 所以： ① 当 时， 必须为 ，此时 ； ② 当 时， 可以为 ，此时 ，（若 ，则 ，舍去） 综上， 的值为 或 ． 8．计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 9．按要求解答下列各题： (1)比较大小（用“ ”“ ”或“＝”填空） ①_________ ②_________ ③__________ (2)在（1）的基础上，嘉淇又举出若干个例子，并归纳得出以下结论，请你补充完整 ①当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ②当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ③当 ， 中至少有一个为0时，_______ (3)根据上述结论，请你直接写出当时， 的取值范围 【答案】(1)① ，②，③ (2)①异号， ；②同号， ；③ (3) 【详解】（1）解：①，， ； ②，， ； ③ ， ， ． （2）解：根据小问（1）的结果可得出： ①当 ， 异号时，有， ②当 ， 同号时，有， ③当 ， 中至少有一个为0时，； （3）解：可整理成， 由小问2结论可得到，等式成立时，与同号或者， 即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $