精品解析：2022年山东省临沂市平邑县赛博中学 中考数学模拟试卷

山东省临沂市平邑县赛博中学2022年中考数学模拟试卷 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 实数2022的相反数是（ ） A. 2022 B. C. D. 2. 观察下列图形，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00519秒．数据0.00519用科学记数法可以表示为（　　） A. 5.19×10﹣3 B. 5.19×10﹣4 C. 5.19×10﹣5 D. 5.19×10﹣6 4. 下列计算正确的是（ ） A. （a3）2＝a6 B. a6÷a3＝a2 C. 3a＋2b＝5ab D. （a＋b）2＝a2＋b2 5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为(0，3)，，．将绕点顺时针旋转一定角度后得到，并且点恰好落到线段上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 将矩形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（　　） A. 100米 B. 50米 C. 米 D. 50米 8. 如图，在▱OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（　　） A. B. C. D. 9. 一次函数中，随的增大而减小，且，则该函数图象大致是（       ） A. B. C. D. 10. 快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论： ①快车途中停留了0.5h； ②快车速度比慢车速度多20km/h； ③图中a＝340； ④快车先到达目的地． 其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ） A. a2+b2＝5c2 B. a2+b2＝4c2 C. a2+b2＝3c2 D. a2+b2＝2c2 12. 如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题 13. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则化简________． 14. 新冠疫情期间，小李同学连续两周居家健康检测，如图是小李记录的体温情况折线统计图，记第一周体温的方差为，第二周体温的方差为，试判断两者之间的大小关系______．（用“”“”“”填空） 15. 图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm， CE=DF， CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动． (1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是_____ cm． (2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为_____cm． 16. 如图，函数(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则；④若，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是_______． 三、解答题 17. 计算与化简 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a为的小数部分. 18. 4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来． （1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______； （2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 19. 如图，已知是的直径，与相切于点C，过点B作，交延长线于点E． （1）求证：是的平分线； （2）若，的半径，求的长． 20. 戴口罩可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．某学校在本学期开学初为九年级学生购买A、B两种口罩，经过市场调查， A的单价比B的单价少2元，花费450元购买A口罩和花费750元购买B口罩的个数相等． （1）求A、B两种口罩的单价； （2）若学校需购买两种口罩共500个，总费不超过2100元，求该校本次购买A种口罩最少有多少个? 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点B． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）点P是反比例函数的图象上一点，连接PA，PB，若的面积为4，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接BC，点M是反比例函数的图象上一点，连接MB，若，求满足条件的点M的坐标． 22. 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）如图2，连接BC，过点A作BC的平行线交抛物线于点H，M为线段BC上一动点，连接AM交抛物线于点P，连接PH交BC于点N，连接AN，△PAN的面积S是否有最大值，若有，求出S最大值，若无，请说明理由． （3）如图3，以C为直角顶点，OC为直角边并向右作等腰直角△COD，将△COD沿射线OD平移得到△FEG，连接BE、BF，△BEF的周长l是否有最小值，若有，求△BEF的周长l的最小值，若无，请说明理由． 23. 如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市平邑县赛博中学2022年中考数学模拟试卷 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 实数2022的相反数是（ ） A. 2022 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：实数2022的相反数是． 2. 观察下列图形，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180度后与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此判断即可． 【详解】A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00519秒．数据0.00519用科学记数法可以表示为（　　） A. 5.19×10﹣3 B. 5.19×10﹣4 C. 5.19×10﹣5 D. 5.19×10﹣6 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义直接求解即可． 【详解】解：0.00519＝5.19×10﹣3 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法的内容，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 下列计算正确的是（ ） A. （a3）2＝a6 B. a6÷a3＝a2 C. 3a＋2b＝5ab D. （a＋b）2＝a2＋b2 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方法则、同底数幂的除法法则和完全平方公式计算后判断即可． 【详解】解：A．（a3）2＝a6，故此选项正确； B．a6÷a3＝a3，故此选项错误； C．3a和2b不是同类项，不能合并，故此选项错误； D．（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了幂的乘方法则、同底数幂的除法法则和完全平方公式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为(0，3)，，．将绕点顺时针旋转一定角度后得到，并且点恰好落到线段上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作⊥AO于C点，先通过解解直角三角形求出OA，再证△是等边三角形，再在Rt△中通过解解直角三角形求出、AC，则问题得解． 【详解】过作⊥AO于C点，如图， ∵B(0,3)， ∴OB=3， ∵∠AOB=90°，∠B=30°， ∴∠BAO=60°， ∴在Rt△AOB中，AO=BO×tan∠B=3×tan30°=， 根据旋转的性质可知， ∴△是等边三角形， ∴， ∴在Rt△中，，， ∴， ∵在第二次象限， ∴的坐标为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换-旋转，主要考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识，证明△是等边三角形是解答本题的关键． 6. 将矩形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠前后的两个图形能够完全重合，再结合平角等于180°求出∠AED的度数，然后求出∠AEC 的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：由题意可得△ ADE≌△AD E ， ∴∠AED = ∠AED， ∵∠CED =60°， ∴∠AED=(180°-60°)=60°， ∴∠AEC =∠AED+ ∠CED =60°+60°=120° ∵矩形 ABCD， ∴AB // CD， ∴∠EAB =180°- ∠AEC =180°-120°=60°． .故选： B ． 【点睛】本题考查了角度的计算，矩形的对边平行，以及折叠的性质，根据折叠前后的两个图形能够完全重合得到∠AED = ∠AED 是解决本题的关键． 7. 如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（　　） A. 100米 B. 50米 C. 米 D. 50米 【答案】D 【解析】 【分析】过B作BM⊥AD于M，先证∠BAD＝∠ABC，得BC＝AC＝100米，再在Rt△BCM中，由锐角三角函数定义求出BM即可． 【详解】解：过B作BM⊥AD于M，如图： 由题意得：∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°， ∴∠BAD＝∠ABC， ∴BC＝AC＝100米， ∵BM⊥AD， ∴∠BMC＝90°， 在Rt△BCM中，sin∠BCM＝， ∴BM＝BC×sin∠BCM＝100×＝50， 即B点到河岸AD的距离为50米， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 8. 如图，在▱OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接HC，过A点作AM⊥x轴于M，如图，录用解直角三角形得到OA＝2，∠AOM＝60°，再根据平行四边形的性质得到∠B＝∠AOM＝60°，BC＝OA＝2，利用基本作图得到HC＝HB，所以△HBC为等边三角形，则BH＝2，从而得到H点的坐标为（2，），然后根据两点间的距离公式计算OH． 【详解】解：连接HC，过A点作AM⊥x轴于M，如图， ∵OM＝1，，OC＝3， ∴， ∴， ∴∠AOM＝60°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠AOM＝60°，BC＝OA＝2， 由作法得EF垂直平分BC， ∴HC＝HB， ∴△HBC为等边三角形， ∴BH＝2， ∴AH＝1， ∴H点的坐标为（2，）， ∴． 故选：B． 【点睛】题目主要考查正切函数的定义，勾股定理解三角形，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质以及坐标系中点的坐标等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 9. 一次函数中，随的增大而减小，且，则该函数图象大致是（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小， ， 又， ，  ∴该函数图象经过第一、二、四象限． 10. 快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论： ①快车途中停留了0.5h； ②快车速度比慢车速度多20km/h； ③图中a＝340； ④快车先到达目的地． 其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知两车出发时相遇，此时可知他们的速度和，相遇后慢车停留了，快车停留了，此时两车的距离为，由此可得慢车的速度，进而可得快车的速度，根据：路程和=速度和时间，即可求得，则可判定结论． 【详解】解：根据题意得， 两车的速度和为：， 相遇后快车停留了，故 ①结论错误； 慢车的速度为：， 则快车的速度为：， 所以快车的速度比慢车多，故②结论正确； ，所以图中，故③结论正确； 快车到达终点的时间为：， 慢车到达终点的时间为：， 因为，所以慢车先到达目的地，故④结论错误， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、行程问题中的数量关系的运用，函数图象的意义，根据图象中获取信息解决问题是解题的关键． 11. 如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ） A. a2+b2＝5c2 B. a2+b2＝4c2 C. a2+b2＝3c2 D. a2+b2＝2c2 【答案】A 【解析】 【详解】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系． 【解答】解：设EF＝x，DF＝y， ∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线， ∴点F为△ABC的重心，AE＝AC＝b，BD＝a， ∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x， ∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°， 在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，① 在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，② 在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③ ②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④ ①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理． 12. 如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在中根据三边关系即可求解． 【详解】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3， ∵∠ACB=90°， 即在中，， ∵E是斜边AB上的中点， ∴， ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴， ∴在中，，即； 当C、M、E三点共线时有或者； 即， ∴CM最小值为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 二、填空题 13. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则化简________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据一次函数的位置确定a和b的值，然后化简二次根式求值． 【详解】解：∵若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴b-a＞0， ∴ ， 故答案为-b． 【点睛】本题主要考查一次函数和图象和性质，熟记一次函数的图象和性质是解题的关键． 14. 新冠疫情期间，小李同学连续两周居家健康检测，如图是小李记录的体温情况折线统计图，记第一周体温的方差为，第二周体温的方差为，试判断两者之间的大小关系______．（用“”“”“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】根据折线统计图很容易看出小丽第一周居家体温在36.6℃～36.8℃之间，第二周居家体温在36.4℃～37.2℃之间，从而推出s12＜s22． 【详解】解：根据折线统计图很容易看出小丽第一周居家体温在36.6℃～36.8℃之间，第二周居家体温在36.4℃～37.2℃之间， ∵小丽第一周居家体温数值波动小于其第二周居家体温数值波动， ∴s12＜s22． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查是折线统计图和方差的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，如图中虚线表示小丽第一周居家体温，在36.6℃～36.8℃之间，实线表示小丽第二周居家体温，在36.4℃～37.2℃之间． 15. 图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm， CE=DF， CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动． (1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是_____ cm． (2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为_____cm． 【答案】 ①. 16 ②. 【解析】 【分析】（1）当E、O、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，可得AB=CD=EF=2cm，根据矩形的性质求出周长即可． （2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H，可得，AH=BH，利用已知先求出，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的长，由，求出AH，从而求出AB=2AH的长． 【详解】（1）当E、O、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=EF=2cm， ∴以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm． （2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H， ∴，AH=BH， ∵AC=BD=6cm，CE∶AE=2∶3， ∴， 在Rt△OEF中，， ∵，， ∴AB=2AH=． 故答案为16，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解是解题的关键． 16. 如图，函数(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则；④若，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断． ②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立． ③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA=OM=AM，可得1+k2=m2+，推出m=k，根据OM=AM，构建方程求出k即可判断． ④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】①设点A（m，），M（n，）， 则直线AC的解析式为y=-x++， ∴C（m+n，0），D（0，）， ∴， ∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确； ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称， ∴O是AB的中点， ∵BM⊥AM， ∴OM=OA， ∴k=mn， ∴A（m，n），M（n，m）， ∴， ∴AM不一定等于OM， ∴∠BAM不一定是60°， ∴∠MBA不一定是30°．故②错误， ∵M点的横坐标为1， ∴可以假设M（1，k）， ∵△OAM为等边三角形， ∴OA=OM=AM， 1+k2=m2+， ∵m＞0，k＞0， ∴m=k， ∵OM=AM， ∴（1-m）2+(k−)2=1+k2， ∴k2-4k+1=0， ∴k=2±， ∵m＞1， ∴k=2+，故③正确， 如图，作MK∥OD交OA于K． ∵OF∥MK， ∴， ∴， ∵OA=OB， ∴， ∴， ∵KM∥OD， ∴， ∴DM=2AM，故④正确． 故答案为①③④． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题 三、解答题 17. 计算与化简 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a为的小数部分. 【答案】（1）5；（2）． 【解析】 【分析】（1）先算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简，再算加减法即可求解； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】（1） ＝2﹣1+4﹣4× ＝2﹣1+4﹣2+2 ＝5； （2）原式＝ ∵a为的小数部分， ∴a＝﹣1， ∴原式＝． 【点睛】考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．同时考查了实数的运算，涉及绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的知识点． 18. 4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来． （1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______； （2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【答案】（1）； （2）公平，用树状图或表格列出所有等可能的结果： ∵共有 12种等可能的结果，两个数的差为非负数的情况有6种， ∴（结果为非负数）， （结果为负数）． ∴游戏规则公平． 【解析】 【分析】（1）列举出所有可能，进而求出概率； （2）利用树状图法列举出所有可能，再利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案． 【详解】解：（1）共有4种等可能的结果，其中数字是负数情况占1种 P（数字是负数）=； （2）略 【点睛】本题考查的是概率以及游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，已知是的直径，与相切于点C，过点B作，交延长线于点E． （1）求证：是的平分线； （2）若，的半径，求的长． 【答案】（1）证明：∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的平分线； （2）4.8 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出，求出，求出，，求出，根据角平分线的定义得出即可； （2）过C作于M，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，根据角平分线的性质得出，再求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作于M， ∵是的平分线，， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵是的平分线，且， 即． 20. 戴口罩可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．某学校在本学期开学初为九年级学生购买A、B两种口罩，经过市场调查， A的单价比B的单价少2元，花费450元购买A口罩和花费750元购买B口罩的个数相等． （1）求A、B两种口罩的单价； （2）若学校需购买两种口罩共500个，总费不超过2100元，求该校本次购买A种口罩最少有多少个? 【答案】（1）A、B两种型号口罩的单价分别为3元、5元； （2）该校本次购买A种口罩最少有200个． 【解析】 【分析】（1）设A种口罩的单价为x元，则B种口罩的单价为（x+2）元，根据题意列出方程并解答即可； （2）设购买A种口罩m个，则购买B种口罩（500-m）个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A种口罩的单价为x元，则B种口罩的单价为（x+2）元， 依题意得：， 解得：x=3， 经检验：x=3是原方程的根，且符合题意， ∴x+2=5． 答：A、B两种型号口罩的单价分别为3元、5元； 【小问2详解】 解：设购买A种口罩m个，则购买B种口罩（500-m）个， 依题意得：3m+5（500-m）≤2100， 解得：m≥200． 答：该校本次购买A种口罩最少有200个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点B． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）点P是反比例函数的图象上一点，连接PA，PB，若的面积为4，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接BC，点M是反比例函数的图象上一点，连接MB，若，求满足条件的点M的坐标． 【答案】（1）（-1，6）， （2）或（-3，2） （3）（-2，3）或（-6，1） 【解析】 【分析】（1）将点代入，即可求出点A的坐标，再将点A的坐标代入即可求出反比例函数的表达式； （2）设点P的坐标为，分情况讨论：点P在点A的上方时，如图，过点A作PM//y轴交直线AB于点M，根据，列方程求解即可；点P在点A的下方时，如图，作的外接矩形PEFG，因为，的面积为4，即可求出点P的坐标； （3）如图，过点P作RS//x轴，过点C，点A作于R，于S，证明，求出点C的坐标，取BC的中点H，过点H作交PC于点N，求出点N的坐标，作直线BN交双曲线于点M，点M即为所求． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得，， 点的坐标为， 点A代入得， ； 反比例函数； 【小问2详解】 解：设点P的坐标为，分情况讨论： 当点P在点A的上方时，如图，过点A作PM//y轴交直线AB于点M，则， ， ， 解得，，（不合题意，舍去） 故点P的坐标为； 当点P在点A的上方时，如图，作的外接矩形PEFG， ， 点E的坐标为，点F的坐标为，点G的坐标为； ，BE＝，FB＝2，AF＝1，，PG＝， ， ， ， ，的面积为4， ， 解得，（不合题意，舍去）， 点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或（-3，2） 【小问3详解】 解：如图，过点P作RS//x轴，过点C，点A作于R，于S， 线段是由绕点逆时针旋转90°得到， ，， ， ， ， ， ， ， 点C到x轴的距离为4，点C到y轴的距离为7， 点C的坐标为（-7，4）， 取BC的中点H，过点H作交PC于点N，作直线BN交双曲线于点M，则点M即为所求． 点的坐标为（-3．5，2），NC＝NB， ， 设直线PC的解析式为： ， ，解得， 直线PC的解析式为：， 把代入直线PC得，， 点N的坐标为 设直线BN的解析式为：， ，解得 ， 直线BN的解析式为：， 解方程组，得， M点的坐标为（-2，3），（-6，1） 【点睛】本题考查了一次反比例函数与反比例函数的综合，全等三角形的判定和性质，用待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及方程组的解与交点坐标的关系，利用方程组求点的坐标是解题的关键． 22. 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）如图2，连接BC，过点A作BC的平行线交抛物线于点H，M为线段BC上一动点，连接AM交抛物线于点P，连接PH交BC于点N，连接AN，△PAN的面积S是否有最大值，若有，求出S最大值，若无，请说明理由． （3）如图3，以C为直角顶点，OC为直角边并向右作等腰直角△COD，将△COD沿射线OD平移得到△FEG，连接BE、BF，△BEF的周长l是否有最小值，若有，求△BEF的周长l的最小值，若无，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，对称轴为直线x＝1 （2）有， （3）存在，3+3 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，然后求出函数的对称轴即可； （2）如图2，过P作轴，交AH于点Q，由求出直线的表达式，然后联立方程组，求出点坐标，，求出；设，则，，根据求出，根据△PAN的面积，计算求解最值即可； （3）如图3，连接CE，过F作交y轴于T，由△COD沿射线OD平移得到△FEG，可说明四边形CEFT是平行四边形，T（0，6），证明，有，，周长，要使最小，则有TF+BF最小，此时T、F、B三点共线，TF+BF最小值即是TB的长度，计算求解TB的值，进而得到△BEF的周长l的最小值． 【小问1详解】 解：∵OB＝OC，C（0，3）， ∴B（3，0）， 将代入解析式得 解得： ∴抛物线的表达式为，函数的对称轴为直线x＝1． 【小问2详解】 解：有，理由如下： 如图2，过P作轴，交AH于点Q， ∵C（0，3），B（3，0）， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+3， ∵，设直线AH解析式为， 将A（﹣1，0）代入解得m＝﹣1， ∴直线AH解析式为， 联立方程 解得或， ∴H（4，﹣5）， ∵， ∴△AHB与△AHN同底（AH）等高， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∴△PAN的面积 ∴当x＝时，△PAN的面积有最大值是． 【小问3详解】 解：如图3，连接CE，过F作交y轴于T， ∵△COD沿射线OD平移得到△FEG， ∴，即轴， ∴四边形CEFT是平行四边形， ∴CT＝EF＝OC＝3，CE＝TF， ∴T（0，6）， 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 要使最小，则有TF+BF最小，此时T、F、B三点共线，TF+BF最小值即是TB的长度， ∵T（0，6），B（3，0）， ∴TB＝，即TF+BF最小值是， ∴△BEF的周长l的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与面积的综合，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 23. 如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【答案】（1）证明：， ； ， ，， ， ，， ，， ，， 四边形AFCD是平行四边形 在与中． ， （2）6； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得； （2）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值． 【详解】（1）略 （2）， ， 在中，， ， ， 又，， ， 在与中． ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G． 与均为等腰三角形，， ， ， 设，，， 则，， ， ， ； 在与中， ， ； ． ； ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $