精品解析：浙江台州市天台县2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

天台县2025学年第二学期八年级期末质量评估 数学 试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加本次考试！请认真审题，仔细解答，发挥最佳水平．考试时请注意： 1．试卷共6页，答题纸4页，满分120分，考试时间120分钟； 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试卷、草稿纸上无效； 3．不得使用计算器． 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分．） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某地一星期的日最高气温分别为（单位：）：25，26，26，28，29，30，32．下列说法错误的是（ ） A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是 5. 将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（ ） A. B. C. D. 6. 下图是八年级某位同学最近次米跑步测试成绩的箱线图（其中每一次测试成绩均不相同），下列说法错误的是（ ）． A. 最好成绩是秒 B. 平均数是秒 C. 中位数是秒 D. 有次成绩小于秒 7. 南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（ ） A. 有两个锐角都不大于 B. 只有一个锐角不大于 C. 有两个锐角都大于 D. 只有一个锐角大于 9. 若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，是对角线上的点，延长交于点，连结，．若，则图中与面积相等的图形是（ ） A. B. 四边形 C. D. 四边形 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 13. 某同学对篮球、排球两种体育中考项目分别进行次测试，发现成绩的平均分相同，方差分别为：，．若考虑成绩的稳定性，该同学选择参加______项目更合适．（填“篮球”或“排球”）． 14. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为___________． 15. 如图，在中，是的中点，于点，连结．若，，则_________°． 16. 一次函数（，是常数，且）的图象经过和，且．若，，则的取值范围为_________． 三．解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分．） 17. 计算：． 18. 某同学解一元二次方程的步骤如下： （1）小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） （2）请写出你认为正确的解答过程． 19. 如图，在矩形中，垂直平分，垂足为点，连结，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20. 某校开展“数学说题”活动，有位学生参加说题活动．为了解学生的说题水平并评选出相应的奖次，现将位学生的说题成绩进行统计，并绘制成如下统计表和箱线图（成绩为百分制，用表示）． 位学生说题成绩统计表 组别 具体成绩 位学生说题成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息解决下列问题： （1）这位学生说题成绩的中位数是 ； （2）箱线图中的上四分位数是 ； （3）目前有两种设奖方案，方案一：一等奖人，二等奖人，三等奖人；方案二：一等奖人，二等奖人，三等奖人．如果要使相同奖次学生的成绩尽可能接近，应选择哪种方案进行设奖，并说明理由． 21. 如图，在中，点在边上，连结，点在上，连结．已知，． （1）设，求的大小；（用含的式子表示） （2）求证：． 22. 材料阅读：海伦—秦九韶公式 我国南宋时期数学家秦九韶（）著有《数书九章》十八卷，书中记载了秦九韶独立发明的“三斜求积术”．如果三角形的三边分别记为，，，则三角形的面积为．古希腊几何学家海伦著作《度量论》中也给出利用三角形三边求面积的海伦公式：，其中． 下面我们对海伦公式进行变形： …（此处省略了部分推导过程） 我们发现，这个公式和秦九韶的“三斜求积术”是等价的，这个公式也称为海伦—秦九韶公式． （1）请把上述省略部分的推导过程补充完整； （2）在中，，，，求的面积． 23. 如图，在正方形中，，点是延长线上的一点（点不与点重合），连结，将绕点按逆时针方向旋转得到，连结，． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）的最小值为 ． 24. 综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． （1）任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； （2）任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； （3）任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天台县2025学年第二学期八年级期末质量评估 数学 试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加本次考试！请认真审题，仔细解答，发挥最佳水平．考试时请注意： 1．试卷共6页，答题纸4页，满分120分，考试时间120分钟； 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试卷、草稿纸上无效； 3．不得使用计算器． 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分．） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵是整数，是分数，是整数，都属于有理数， 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数． 2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转之后的图形能够和原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形；据此定义逐一判断选项． 【详解】解：选项A：将图形绕圆心旋转后，图形不能与原图重合，不是中心对称图形； 选项B：将图形绕圆心旋转后，图形不能与原图重合，不是中心对称图形； 选项C：五角星图案绕圆心旋转后和原图不重合，不是中心对称图形； 选项D：该图形绕圆心旋转，旋转后的图形与原来图形完全重合，符合中心对称图形的定义． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，无法合并，，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，符合题意； 选项D：，不符合题意． 4. 某地一星期的日最高气温分别为（单位：）：25，26，26，28，29，30，32．下列说法错误的是（ ） A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是 【答案】B 【解析】 【分析】按照平均数、中位数、众数、方差的计算，找出错误结论即可． 【详解】解：原数据已按从小到大排序：，，，，，，，共个数据； A，计算平均数： ，不符合题意； B，计算中位数： 个数据的中位数为排序后第个数据，第个数据为，因此中位数是，符合题意； C，计算众数： 数据中出现次数最多，共次，因此众数是， 不符合题意； D，计算方差： ，方差是，不符合题意． 5. 将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据展开后的图形即可作出判断． 【详解】解：把③向上展开，再向左展开后如下图： 6. 下图是八年级某位同学最近次米跑步测试成绩的箱线图（其中每一次测试成绩均不相同），下列说法错误的是（ ）． A. 最好成绩是秒 B. 平均数是秒 C. 中位数是秒 D. 有次成绩小于秒 【答案】B 【解析】 【分析】箱线图结构包括最小值、下四分位数（）、中位数（）、上四分位数（）、最大值，平均数和中位数没有必然相等的关系． 【详解】解：选项A：箱线图最下端代表最小值（跑步用时越少成绩越好），最小值为秒，即最好成绩是秒，A正确． 选项B：中位数是，但平均数受每一个数据的大小影响，箱线图只能给出五个关键值，无法推出平均数等于，平均数不一定是，故B错误． 选项C：一共个数据，中位数是第个数据，箱线图中间的横线对应的值为秒，因此中位数是秒，C正确． 选项D：箱线图中，，故下四分位数（秒）为第个数据，因此有次成绩小于秒，D正确． 7. 南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据所设的长表示出宽，再结合长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 8. 用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（ ） A. 有两个锐角都不大于 B. 只有一个锐角不大于 C. 有两个锐角都大于 D. 只有一个锐角大于 【答案】C 【解析】 【详解】∵用反证法证明命题，需要先假设结论的反面成立． 原结论为“直角三角形中至少有一个锐角不大于”， “至少有一个不大于”的否定为“全部都大于”， 又∵直角三角形有且仅有两个锐角， ∴应假设两个锐角都大于． 9. 若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 10. 如图，在菱形中，，是对角线上的点，延长交于点，连结，．若，则图中与面积相等的图形是（ ） A. B. 四边形 C. D. 四边形 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质证明，得到，，进而得出，，由等边对等角得到，从而，因此，即可证明，进而得到． 【详解】解：菱形中，对角线是菱形的对称轴，点与点关于对称， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设平行线，的距离为h， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 13. 某同学对篮球、排球两种体育中考项目分别进行次测试，发现成绩的平均分相同，方差分别为：，．若考虑成绩的稳定性，该同学选择参加______项目更合适．（填“篮球”或“排球”）． 【答案】排球 【解析】 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴排球成绩的波动更小，更稳定， 因此考虑成绩的稳定性，选择排球更合适． 14. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为___________． 【答案】 5 【解析】 【详解】解：设该多边形的边数为. 根据多边形内角和公式，得 解得． 15. 如图，在中，是的中点，于点，连结．若，，则_________°． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出，利用直角三角形斜边中线定理得到，算出后推导出，再结合已知判定为等腰三角形，最后借助三角形内角和求出的度数． 【详解】解：连接， ∵，， ∴在中，， ∵是中点， ∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， 在中，根据三角形内角和：． 16. 一次函数（，是常数，且）的图象经过和，且．若，，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将两点坐标代入一次函数解析式，推导得到与的关系，再结合的条件求解的取值范围． 【详解】解：将和代入， 得， 两式作差得：， 对右侧通分得：， ∵， ∴，等式两边同时除以， 得，即， 对移项，得， 将代入， 得， 将代入得：， 再将代入得：， ∵， ∴，解得． 三．解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先进行绝对值、算术平方根的运算，再计算有理数的加减法即可. 【详解】解： ． 18. 某同学解一元二次方程的步骤如下： （1）小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） （2）请写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）第②步 （2）或 【解析】 【分析】不能在不确定的前提下，等式两边同时除以，否则会漏掉这个解，正确做法是移项后因式分解求解方程． 【小问1详解】 第②步 【小问2详解】 解：， ， 或． 19. 如图，在矩形中，垂直平分，垂足为点，连结，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】（）先利用线段垂直平分线和矩形的性质得到相等的边与内错角，证明和全等，推出对角线互相平分判定四边形是平行四边形，再结合垂直平分线得出的一组邻边相等，最终证明该四边形为菱形； （）先利用线段垂直平分线的性质得到，再设，用含的式子表示出，接着根据矩形的性质得到，在中应用勾股定理列方程求解，最终算出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵垂直平分，，， ∴可设，则， ∵四边形为矩形，， ∴在中，由勾股定理得 即， 解得， ∴． 20. 某校开展“数学说题”活动，有位学生参加说题活动．为了解学生的说题水平并评选出相应的奖次，现将位学生的说题成绩进行统计，并绘制成如下统计表和箱线图（成绩为百分制，用表示）． 位学生说题成绩统计表 组别 具体成绩 位学生说题成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息解决下列问题： （1）这位学生说题成绩的中位数是 ； （2）箱线图中的上四分位数是 ； （3）目前有两种设奖方案，方案一：一等奖人，二等奖人，三等奖人；方案二：一等奖人，二等奖人，三等奖人．如果要使相同奖次学生的成绩尽可能接近，应选择哪种方案进行设奖，并说明理由． 【答案】（1）中位数为 （2） （3）方案一： ， 方案二： ， ∵， ∴应选择方案一 【解析】 【分析】（）先排序所有成绩，奇数个数据取中间第个数得到中位数； （）把位学生的成绩从小到大排列，根据下四分位数、中位数、上四分位数的定义解答即可； （）分别计算两种获奖方案下高分段成绩与本组平均分的偏差平方和，通过对比数值大小，平方和更小的方案组内成绩差距更小，因此选取对应方案一． 【小问1详解】 解： 先把位学生的成绩从小到大排列：， 个数据的中位数是第个数据，第个数据为， 因此中位数是； 【小问2详解】 解：先把位学生的成绩从小到大排列，结果为：， 情况一：∵中位数是从小到大数第个数据， ∴中位数， ∴后半部分的数据， 后半部分数据的中位数即上四分位数为； 情况二：∵共有个数据，， ∴上四分位数是从小到大第个数据， ∴上四分位数； 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，点在边上，连结，点在上，连结．已知，． （1）设，求的大小；（用含的式子表示） （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）利用平行四边形对边平行、同旁内角互补的性质，结合已知角的度数，直接推导出的大小为； （）先根据平行四边形性质得到边平行相等、内错角相等、同旁内角互补，结合题目给出的等角等边条件推出两组对应角与一组对应边相等，通过证明与全等，最终得出． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 22. 材料阅读：海伦—秦九韶公式 我国南宋时期数学家秦九韶（）著有《数书九章》十八卷，书中记载了秦九韶独立发明的“三斜求积术”．如果三角形的三边分别记为，，，则三角形的面积为．古希腊几何学家海伦著作《度量论》中也给出利用三角形三边求面积的海伦公式：，其中． 下面我们对海伦公式进行变形： …（此处省略了部分推导过程） 我们发现，这个公式和秦九韶的“三斜求积术”是等价的，这个公式也称为海伦—秦九韶公式． （1）请把上述省略部分的推导过程补充完整； （2）在中，，，，求的面积． 【答案】（1） ； （2）． 【解析】 【分析】通过整式的运算即可； 把，，，代入求出，，然后代入即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 23. 如图，在正方形中，，点是延长线上的一点（点不与点重合），连结，将绕点按逆时针方向旋转得到，连结，． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）的最小值为 ． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， 又∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴，即， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质以及旋转角度，即可证明结论． （2）过点作于点，根据正方形的性质以及勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的判定和性质得到，继而根据勾股定理即可得到答案． （3）过点作于点，设的长为，根据勾股定理得到，根据完全平方式的非负性，得到的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， 由（1）可知， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， 由（1）可知， ∴，， ∵， ∴， 设的长为，则，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，达到最小值，即最小值， ∴的最小值为． 24. 综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． （1）任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； （2）任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； （3）任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）能， 【解析】 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）设，用x分别表示的长，根据收纳盒的底面积可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）设，则，，根据长、宽、高的要求分情况进行讨论，取符合题意的答案即可． 【小问1详解】 解：，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形， ． 根据折叠后正好重合可知． 【小问2详解】 解：设，则，， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） ． 【小问3详解】 解：能． 设，则，，由题意得 ①，解得， ②，解得，； ③，解得，不符合舍去； ④，解得，不符合舍去； ⑤，解得，不符合舍去； ⑥，解得，不符合舍去； 综上得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $