精品解析：浙江省诸暨市海亮初级中学2025-2026学年下学期八年级数学期末试题（八下+九上+九下第一章）

2025—2026学年第二学期 云峰书院八年级数学期末检测卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求) 1. “在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 2. 在中，，，，则的值为( ) A. B. C. D. 3. 已知的半径为4．若点P在外，则的长可能是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 4. 设的小数部分是，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点，则a的值是（ ） A. B. 2023 C. 2026 D. 2029 7. 如图，将直角三角板的角顶点A放在上，边，分别交于点E，D，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（ ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（ ） A. B，E，F，D四点共线 B. E为的重心 C. D. 10. 如图1，在中，，点I为内心．动点D以的速度从点C出发，沿折线运动．线段的长y（单位：cm）与点D的运动时间x（单位：s）的关系如图2所示．其中，点是两段曲线的连接点，则下列说法正确的是（ ） A. 图象最低点的纵坐标为3或5 B. 图象上纵坐标为5的点有3个 C. 图象最高点的横坐标为25 D. 的面积为 二、填空题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 13. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留） 14. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米． 15. 如图在正方形中，点P是上一点，过点P作于点，于点F，连结，若，则的最小值为______． 16. 已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的取值范围为______． 17. 如图1，将矩形分割为三块，拼成如图2所示的矩形．若点M在图2矩形的一条对角线上，则的值为______． 18. 如图，中，，，点、分别为边、上一点，且，四边形为平行四边形（点M在延长线上、点B在边上），若，则______． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．根据要求写出必要的解答过程） 19. 用合适的方法解下列方程． （1） （2） 20. 解答 （1）已知，，求的值． （2）若，求的值． 21. 为统计某校八年级学生参与社区环境整治、图书馆整理、交通文明劝导这三类志愿活动的总次数，随机抽取该年级部分学生开展问卷调查，得到如下频数分布表： 志愿活动次数 1次 2次 3次 4次 5次 频数（人数） 4 a 7 b 已知下列信息： ①参与志愿活动次数为1次的学生，占本次抽取总人数的； ②参与志愿活动次数为3次的学生，占本次抽取总人数的． 请根据以上信息解答下列问题： （1）表格中的 ， ，学生参与志愿活动次数的众数为 次； （2）求本次抽查里，学生参与志愿活动次数的平均数； （3）该校八年级有名学生，根据本次抽样结果，估计八年级志愿活动次数不低于4次的学生总人数． 22. “弦图”被誉为数学界的图腾（如图1），该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形，可以巧妙地证明勾股定理．依据“弦图”的结构特点，可联想、迁移解决一些“直角”相关问题． （1）【问题发现】如图1，“弦图”中，若，正方形的边长为2，则的长为___________； （2）【知识迁移】如图2，在正方形中，为边上一点，作于点，的延长线于点，连结，若，求的长． 23. 在中，，，分别是，上的点，，相交于点，，连接． （1）如图1，若，． ①求证：． ②若，求的度数． （2）如图2，若，，求的长． 24. 【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，称这样的抛物线为平衡抛物线，如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线．抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 （1）求抛物线的解析式； （2）若． ①判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； ②当时，求d的取值范围； 【拓展思考】 （3）在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期 云峰书院八年级数学期末检测卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求) 1. “在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．根据确定事件和随机事件的定义来判断即可． 【详解】“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是随机事件 故选：C． 2. 在中，，，，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，在中，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求． 【详解】解：，，， ， ． 故选：A． 3. 已知的半径为4．若点P在外，则的长可能是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是关键．当点在圆外时，点到圆心的距离大于圆的半径，据此判断选项即可． 【详解】解：的半径为4，点P在外， ． 故选：D． 4. 设的小数部分是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先估算的取值范围，得到的整数部分，进而求出小数部分，再代入化简计算即可． 【详解】，， ， 的整数部分为，小数部分， 将代入得：． 5. 下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，特殊角三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值是关键．根据锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值，先判断，再判断，再结合， 即可判断答案． 【详解】解：锐角的余弦值随角度增大而减小，且， ， 锐角的正弦值随角度增大而增大， ， 锐角的正切值随角度增大而增大，且， ， 综上所述，的值最大． 故选：B． 6. 抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点，则a的值是（ ） A. B. 2023 C. 2026 D. 2029 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移规律，熟练掌握抛物线的平移规律是关键．利用“左加右减，上加下减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将已知点代入求解a的值即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的解析式为， 平移后的抛物线经过点， ， 解得． 故选：D． 7. 如图，将直角三角板的角顶点A放在上，边，分别交于点E，D，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、弧长公式． 利用圆周角定理得到，，再利用弧长公式（n为圆心角的度数）求解即可． 【详解】解：连接，，作于点，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴点是的中点， ∴， ∴点在半径上， ∵，， ∴，， ∴的长为， 故选：B． 8. 对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（ ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断③；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断④． 【详解】解：①若方程的两个根为和1，则， ∴， ∴，即，故①正确； ② ， ∴将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数解， ∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③正确； ④若，则都是关于的一元二次方程的实数根， ∵关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴是可以存在这种情况的，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个． 9. 如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（ ） A. B，E，F，D四点共线 B. E为的重心 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵四边形与为菱形， ∴对角线互相垂直平分， 即垂直平分线段，垂直平分线段， ∴B，E，F，D四点共线， 故该选项正确，不符合题意； B.如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形，且相似比为2， ∴， ∴， 不满足三角形重心的性质， ∴点E不是的重心， 故该选项错误，符合题意； C. 如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， 假设，由选项B可得，，， 由勾股定理得，， ∴， 故该选项正确，不符合题意； D. 如图所示，连接交于点，连接，延长交于点， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图1，在中，，点I为内心．动点D以的速度从点C出发，沿折线运动．线段的长y（单位：cm）与点D的运动时间x（单位：s）的关系如图2所示．其中，点是两段曲线的连接点，则下列说法正确的是（ ） A. 图象最低点的纵坐标为3或5 B. 图象上纵坐标为5的点有3个 C. 图象最高点的横坐标为25 D. 的面积为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心的性质，勾股定理，函数的图象等知识，过点I作于M，于N，于Q，连接，，，根据内心的性质可证明四边形是正方形，得出，由函数图象可知，点P表示点D和点B重合，则可求出，设，则，在中，根据勾股定理得出，解得，，当时，在中，根据勾股定理得出，解得；当时，在中，根据勾股定理得出在中，，解得，不符合题意，舍去；则，然后逐项分析即可． 【详解】解：过点I作于M，于N，于Q，连接，，， 则四边形是矩形， ∵I是内心， ∴，，， ∴矩形是正方形， ∴， 由图2知，当点D运动时，点D和点B重合，此时， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， 当时，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得； 当时，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ∴， ∴，， ∴，故选项D错误； 当点D和M或N或Q重合时，最小，最小值为，故选项A错误； ∵，，，，， ∴在上存在一个位置，使；在上存在两个位置，使；在上存在一个位置，使； ∴一共存在四个位置使， ∴图象上纵坐标为5的点有4个，故选项B错误； 当点D和A重合时，最大，此时，故选项C正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 12. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角相等，通过外角和除以单个外角度数即可求得边数。 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形的一个外角为，且正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的边数为， 13. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米． 【答案】3 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． 又∵AC+BD=24厘米， ∴OA+OB=12厘米． ∵△OAB的周长是18厘米， ∴AB=6厘米． ∵点E，F分别是线段AO，BO的中点， ∴EF是△OAB的中位线． ∴EF=AB=3厘米． 故答案为：3 15. 如图在正方形中，点P是上一点，过点P作于点，于点F，连结，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明四边形是矩形，得，根据“垂线段最短”可求出的最小值为,从而可得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵于点，于点F， ∴四边形是矩形， ∴， 根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，即取得最小值． 当时，是斜边上的高， ∴ ∴的最小值为． 16. 已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是对函数最值的讨论；由二次函数解析式可知开口向上，且当 时函数值为，根据图象及性质求解． 【详解】解：∵ 开口向上， ∴对称轴为：直线， ∵当 时，， ∴当时，， 即：是抛物线上的一对对称点， ∵当时，函数的最大值为， ∴， 即： 故答案为： ． 17. 如图1，将矩形分割为三块，拼成如图2所示的矩形．若点M在图2矩形的一条对角线上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的拼接问题，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键．连接对角线，则点M在上，设，，，先证明，列方程求得，然后证明，求得，再结合列方程求解即可． 【详解】解：如图②，连接对角线， 则点M在上， 设，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 方程可整理为， 解得或（舍去）， 即． 故答案为：． 18. 如图，中，，，点、分别为边、上一点，且，四边形为平行四边形（点M在延长线上、点B在边上），若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题目所给条件可得出平分，作点关于直线的对称点，则点在的延长线上，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则垂直平分，由是的中位线可得，故，利用直角三角形中所对的边是斜边的一半和勾股定理可得到，设，则，，利用勾股定理在和中，分别用表示出，列出等式即可解出的值，设点到的高为，利用可得出． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平分， 如图，作点关于直线的对称点，则点在的延长线上，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则垂直平分， ，， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ，， 设，则，， ， 在中，， 在中，，， ，， ， 在中，， ，化简得，解得， ，，， 设点到的高为， ，， ． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．根据要求写出必要的解答过程） 19. 用合适的方法解下列方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， 化简得， 因式分解得， 解得，． 20. 解答 （1）已知，，求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平方差公式对、进行分母有理化，再借助的性质，求出和；接着运用完全平方公式将分子配成，由于、均大于，从而约分，最后将已经求得的的值代入计算即可得到最终结果． （2）先对进行分母有理化，通过移项再两边平方，推导出，随后对四次多项式分组、提取公因式进行降次，把整体替换为，再利用推论进一步降低代数式次数，逐步化简多项式，最后代入化简后的值计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 移项得， 两边平方得， ， ， ． 21. 为统计某校八年级学生参与社区环境整治、图书馆整理、交通文明劝导这三类志愿活动的总次数，随机抽取该年级部分学生开展问卷调查，得到如下频数分布表： 志愿活动次数 1次 2次 3次 4次 5次 频数（人数） 4 a 7 b 已知下列信息： ①参与志愿活动次数为1次的学生，占本次抽取总人数的； ②参与志愿活动次数为3次的学生，占本次抽取总人数的． 请根据以上信息解答下列问题： （1）表格中的 ， ，学生参与志愿活动次数的众数为 次； （2）求本次抽查里，学生参与志愿活动次数的平均数； （3）该校八年级有名学生，根据本次抽样结果，估计八年级志愿活动次数不低于4次的学生总人数． 【答案】（1）；6；3 （2）3次 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的条件可以算出本次抽取该年级的学生总人数，进而可以得出，的值，找出频数（人数）最多的次数即为学生参与志愿活动次数的众数； （2）计算出抽取学生参与志愿活动总次数再与本次抽取该年级的学生总人数作比即可得到本次抽查里，学生参与志愿活动次数的平均数； （3）用样本估计总体，计算出样本中八年级志愿活动次数不低于4次的学生所占的比例，再乘以该校八年级学生总人数即可得到估计值． 【小问1详解】 解：参与志愿活动次数为1次的学生，占本次抽取总人数的， 本次抽取该年级的学生共有人， 参与志愿活动次数为3次的学生，占本次抽取总人数的， ， ， 学生参与志愿活动次数的众数为3次； 【小问2详解】 解：本次抽查里，学生参与志愿活动次数的平均数为次； 【小问3详解】 解：估计八年级志愿活动次数不低于4次的学生总人数为人． 22. “弦图”被誉为数学界的图腾（如图1），该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形，可以巧妙地证明勾股定理．依据“弦图”的结构特点，可联想、迁移解决一些“直角”相关问题． （1）【问题发现】如图1，“弦图”中，若，正方形的边长为2，则的长为___________； （2）【知识迁移】如图2，在正方形中，为边上一点，作于点，的延长线于点，连结，若，求的长． 【答案】（1）3 （2）3 【解析】 【分析】（1）由弦图的构成可得出和的长，从而可得出的长； （2）将原图以与全等的三个直角三角形补成一个弦图，易得四边形为正方形，四边形为矩形，设，在中利用勾股定理可解出的值即可解答． 【小问1详解】 解：∵正方形的边长为2， ∴， ，图1由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形， ， ； 【小问2详解】 解：如图，将原图以与全等的三个直角三角形补成一个弦图，则四边形为正方形，， ， 四边形为矩形， 设，则 ∵在中，，即， 解得，（不合题意，舍去） ∴． 23. 在中，，，分别是，上的点，，相交于点，，连接． （1）如图1，若，． ①求证：． ②若，求的度数． （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1）①证明：∵，，， ∴， ∴； ②； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据证明，即可得到； ②根据得到，进而证明，得到，根据矩形的判定和性质得到，，证明，得到，，即可求出的度数； （2）连接，作交于点P，作交于点，由图可知，则，证明，得到，进而得到，根据30度角的性质及勾股得到，，则，根据计算即可． 【小问1详解】 ①略； ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，作交于点P，作交于点， 由图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 24. 【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，称这样的抛物线为平衡抛物线，如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线．抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 （1）求抛物线的解析式； （2）若． ①判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； ②当时，求d的取值范围； 【拓展思考】 （3）在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围． 【答案】（1）； （2）①线段的中点M落在直线上，理由见解析；②； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由平衡抛物线的定义，结合已知可得的顶点坐标，即可得抛物线的解析式； （2）①由已知可得点，点的坐标，由点C与点B关于直线对称，可得点的坐标，从而可得中点坐标，即可求解；由①可得的表达式，由二次函数的图象和性质，即可得当时，的取值范围； （3）根据题意可得的表达式，由二次函数的图象和性质可得当时，，利用图象法，即可得的取值范围． 【小问1详解】 解：由已知可得过点， ∴． 【小问2详解】 解：若，则． ①线段的中点落在直线上． 点，点， ∴，， ∵点C与点B关于直线对称， ∴点． ∴中点为． ∴线段的中点落在直线上． ②， 当时，， ∴． ∴的范围是． 【小问3详解】 解：， ∴当时，， 利用图象法可得，当时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $