第五单元 比（解决问题讲义）数学青岛版五四制五年级上册（新教材）

该小学数学“比”单元复习讲义以通用解题核心步骤为框架构建知识体系，通过梳理总量与份数关系、统一份数标准等四步流程搭建解题逻辑，并用对比表格清晰呈现比、分数、除法的联系与区别，突出按比分配等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，涵盖基础按比分配、三个量连比等必考题型，典型例题与变式训练结合，通过“量份对应”“验算”等技巧培养数学思维。如已知部分量求总量题型强调找准对应份数，助力学生掌握推理方法，教师可据此实施精准复习教学。

第五单元 比 一、通用解题核心步骤 1. 梳理总量与份数关系：比的解决问题核心是按比分配。读题先找准题目中的总数量、分配对象和对应比例，确认是把总量按照几比几进行平均分。 2. 统一份数标准：确保比的前后项对应同一套分配总量，若题目给出多个条件，先化简比、统一最简整数比，避免份数不对应导致列式错误。 3. 灵活选用解题方法：熟练掌握“份数法”和“分数法”两种主流解法，基础题用份数法更直观，复杂题型用分数法解题更快捷。 4.验算作答：算出各部分数量后，验算各部分之和是否等于总量、数量之比是否符合题目已知比，保证答案准确无误。 二、必考题型解题技巧 1. 基础按比分配问题：已知总量和两个量的比，求各部分数量。份数法步骤：先求总份数，再求每份数量，最后分别求出各部分对应数量，是本单元所有题型的基础。 2. 已知部分量求总量、另一部分量：题目不给出总量，只给出其中一份的具体数量。解题关键：找准已知量对应的份数，先求出一份的量，再推导整体和其他部分，禁止随意套用总份数。 3. 三个量连比分配问题：已知三个量的比与总量，求各自数量。解题思路与两量分配一致，先求出三者总份数，再求单份量，依次求出三个对应数量，注意份数不重复、不遗漏。 4. 比的变式应用题：结合周长、长方体棱长、路程等综合题型。先根据公式求出需要分配的总数量，再按比分配，切忌直接用原始数据分配，避免概念混淆。 5.比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示： 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除数 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 三、高频易错点拨 1. 总量找错：长方形周长、长方体棱长总和题型，必须先除以2或除以4，得到一组分配量再按比分配，直接用周长、棱长总和分配是高频错误。 2. 份数对应混乱：已知部分量求总量时，学生常找错对应份数，导致整题数据偏差。教学需强调“量份一一对应”原则。 3. 比未化简直接计算：复杂条件下未化成最简整数比就计算，份数不标准，容易出现计算繁琐、结果出错的问题。 4. 验算缺失：学生做完不核对总和与比例，容易出现各部分数量相加不等于总量的低级错误。 类型1 比的意义解决问题 典型例题1：夏至日是北半球白昼时间最长的一天。某年夏至日这一天北京白昼时长约占全天的，这一天北京白昼与黑夜的时长比是多少？ 【分析】把全天的时长看作单位“1”，白昼时长约占全天的，则黑夜时长约占全天的（1－），再根据比的意义写出白昼与黑夜的时长比，然后根据比的基本性质化简成最简整数比即可解答。 变式训练：一位数学名师指出：教师用在备课、上课、课后辅导的时间比应为，上课时间是30分钟，备课应该花多长时间？ 类型2   求比值解决问题 典型例题2：根据下面的描述，分别写出骆驼与蚂蚁能搬运的货物质量与它们自身体重的比，并算出比值。相对于自身的体重，你觉得它们谁的力气更大？为什么？ 体重是280千克的骆驼，能搬运质量为320千克的货物；体重是0.04克的蚂蚁，能搬运质量为2克的绿豆。 【分析】根据题意分析，骆驼的体重是280千克，能搬运货物的质量为320千克；蚂蚁的体重是0.04克，能搬运的绿豆的质量是2克，根据比的意义分别写出它们的体重和能搬运货物质量的比并求出比值。再比较比值大小。据此解答即可。 变式训练：一架飞机5小时飞行4000千米。写出这架客机飞行路程与时间的比，求出比值，并说说比值的意义。 类型3   比与分数、除法的关系解决问题 典型例题3：工程队修一段铁路，第一天修完后，已修的与未修的比是3∶7，第二天修了160米，这时还剩下50米没有修。这段铁路一共长多少米？ 【分析】把这段铁路的全长看作单位“1”，已知第一天修完后，已修的与未修的比是3∶7，即此时未修的占全长的；第二天修了160米，这时还剩下50米没有修，那么（160＋50）米相当于第一天修完后未修的长度，占全长的，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答，即可求出这段铁路的全长。 变式训练：甲车从A地开往B地，乙车同时从B地开往A地，当甲车行到全程的时，乙车已行路程与剩下路程的比是2∶3，这时两车相距105千米。A、B两地的路程长多少千米？ 类型4  比的化简解决问题 典型例题4：从A城到B城的公路长160千米，一辆客车从A城到B城需4小时，这辆客车行驶的路程与时间的比是多少？化成最简整数比是多少？ 【分析】根据比的意义，先用A城到B城的距离∶从A城到B城的时间；即160∶4；化成最简整数比，比的前项和比的后项同时除以4，即可求化成最简整数比。 变式训练：10克糖溶解在100克水中，糖和糖水重量的比是多少？ 类型5  按比分配问题解决问题 典型例题5：育才小学共有 120 人参加朗读比赛，所有报名选手都能获奖。按 1︰2︰3 的比例设立一、二、三等奖。获一等奖的有多少人？ 【分析】用总人数除以总份数，算出每一份的人数。再乘一等奖的份数即可。 变式训练：为丰富学生的文化生活，今年学校共购进图书1500册，其中科技类图书占总数的，其余的是故事类图书与文学类图书，故事类图书和文学类图书的数量比是3∶17，这三种图书各购进多少册？ 【分析】把图书总数看作单位“1”。求科技类图书的册数，属于“已知整体求部分”，用乘法计算； 用总数减去科技类册数，得到故事类和文学类的总册数，求出故事类图书和文学类图书的份数之和，用按比分配的方法解决。 类型6  比的应用解决问题 典型例题6：乐乐看一本故事书，第一天看的页数与第二天看的页数之比为3∶4，第三天看了全书的，正好看完了这本书。已知乐乐第一天看了60页，这本故事书共有多少页？ 【分析】因为第一天看的页数已知，且第一天与第二天看的页数比为3∶4，用60除以3再乘4即可求出第二天看的页数；因为第三天看了全书的，那么第一天和第二天看的页数之和占全书的比为，所以可先计算出第一天和第二天看的总页数，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题可以用除法解决”，再结合该占比即可求出全书总页数。 变式训练：春节是我国民间传统节日。在除夕夜期间全家人会聚在一起包饺子，饺子取“更岁饺子”之意，象征着“团圆福禄”、“招财进宝”。除夕夜，淘气一家三口围坐一起包饺子，一共包了100个，妈妈包的占，淘气和爸爸包饺子的个数比是2∶3，淘气包了多少个饺子？ 【分析】根据“求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决”，将饺子的总数看作单位“1”，用100乘分率即可求出淘气和爸爸包饺子的总个数，再用淘气和爸爸包饺子的总个数乘分率即可求出淘气包了多少个饺子。 1．在100克的水中加糖，要使糖与水的质量比是1∶20。那么应加多少克糖？ 2．实验小学合唱队一共有224人，男生与女生的人数比是3∶5，女生比男生多多少人？ 3．在学校开展的“共读一本书”的活动中，丁丁第一天读了18页。第一天读的页数与剩下的页数比是2∶9，这本书一共多少页？ 4．妈妈喜欢自己和面做面条，通过尝试妈妈觉得面粉和水的比是20∶9时，做出的面条口感最佳。现在有面粉500克，应加水多少克？ 5．营养师配制一份学生午餐，蛋白质、脂肪、碳水化合物的质量比是4∶2∶9，如果一份午餐中蛋白质含量80克，脂肪、碳水化合物需要多少克？ 6．骆驼体重250千克，能搬运质量为300千克的货物；蚂蚁体重0.05克，能搬运质量为2克的虫子。写出它们各自搬运的质量与体重的比，并求出比值．相对于自身体重，你觉得谁的力气大？为什么？ 7．一款3D打印机，通过扫描实物，生成的3D模型与实物的比是，一种物体的高是160厘米，这款打印机生成该物体的3D模型的高度是多少厘米？ 8．图书室买来540本新书，其中是连环画，其余的是文艺书和科技书，文艺书和科技书的比是3：2。文艺书有多少本？科技书有多少本？ 9．学校在经典诵读活动中购回一批新书，共480本，现打算按年级人数分给四、五、六年级，其中四年级有38人，五年级有40人，六年级有42人，六年级分得新书多少本？ 10．育才小学四年级和三年级学生人数的比是，其中三年级人数占全校总人数的，已知四年级有学生400人，全校有学生多少人？ 11．甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时相遇。已知两地相距180千米，甲、乙的速度比是3∶2，甲、乙两车的速度各是多少？ 12．在“黄金比”之美设计大赛中，李阳设计了一个周长是50厘米的长方形贺卡，长与宽的比是3∶2。制作这样一张贺卡需要多少平方厘米的卡纸？ 13．人体每天需要的水分约为2500毫升，从食物中摄取与直接饮入的水的比约为12∶13。人体每天需要从食物中摄取与直接饮入的水分别为多少毫升？ 14．一个长方体形状的蓄水池长12米，深9米，宽与深的比是2∶3。 （1）在这个蓄水池的四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个蓄水池的蓄水量是多少立方米？ 15．有一辆客车和一辆小轿车同时从甲、乙两地出发，相向而行，2小时后相遇。相遇时客车和小轿车所行路程的比为4∶5，甲、乙两地相距360千米，则客车和小轿车的速度分别是多少千米/时？ 16．修整校园用的混凝土是按2份水泥、3份石子和5份沙子的标准混合成的。现在要用90吨混凝土，需要沙子多少吨？ 17．一种甜品由巧克力、花生、奶粉按4∶2∶1的比加工而成。如果三种原料各有20千克，当花生用完时，巧克力还要购进多少千克？奶粉还剩多少千克？ 18．加工一批零件，第一天完成的个数与总个数的比是2∶5，如果再加工18个，就正好完成了一半，这批零件共多少个？ 19．货车4小时行驶280千米，轿车5小时行驶550千米，货车和轿车的时间比、路程比和速度比分别是多少？ 20．工地上有一批水泥，第一天运走41吨，第二天运走43吨，剩下的水泥与运走的水泥的质量比是4∶3，剩下的水泥是多少吨？ 21．果园里有杏树、梨树、桃树共540棵，其中杏树占总数的，梨树和桃树棵树的比是4∶5，梨树和桃树各有多少棵？ 22．一个三角形的三条边，长度比是，已知最长边的长度是25厘米，这个三角形周长是多少厘米？ 23．一种铜锌合金中铜、锌、锡按8∶5∶1的比熔炼。现有这种合金的总质量是84千克，其中铜、锌各有多少千克？ 24．丫丫读一本书，已读的和未读的页数之比是5:4，如果再读18页，这时已读的和未读的页数比是2:1,这本书有多少页？ 25．铁人三项比赛包括游泳、骑自行车和长跑3个项目，在一次比赛中，冠军约用110分钟完成了全部比赛，游泳、骑自行车、长跑所用时间的比是2∶6∶3，三项比赛所用时间分别约是多少分钟？ 26．超市配制什锦糖，所用的巧克力糖、水果糖、奶糖的比是，三种糖都准备了20千克，当奶糖用完时，水果糖和巧克力糖分别还剩多少千克？ 27．让基础教育不断扩优提质，是每一位教育工作者不断追求的目标。为扩充图书覆盖面，为学生提供更优质的阅读条件，实验小学新购买了三类图书，共600本，其中文学类图书与科普类图书的数量之比是7∶6，科普类图书与艺术类图书的数量之比是3∶1，这三类图书各购买了多少本？ 28．小红、小刚、小华三人收集邮票,小红收集的邮票数和小刚收集的邮票数的比是2∶3,小刚收集的邮票数和小华收集的邮票数的比是4∶7 ,三人共收集82枚,三人各收集多少枚? 29．早在《周礼·考工记》中就有关于青铜器中铜与锡质量比的记载，一把戟（一种古代兵器）中的铜与锡的质量比是4∶1，其中铜的质量比锡多了1080克，这把戟的质量是多少克？（假设这把戟只含有铜和锡） 30．四位乘客合租一辆汽车回家过春节，由于下车地点不同，每人承担的车费各不同，乘客A付的车费与其他三位的比是1：2，乘客B付的车费与其他三位的比是1：3，乘客C付的车费与其他三位的比是1：4，乘客D付的车费是26元，这四位乘客一共付车费多少元？ 31．小强家房子出租给小李、小张、小王三个年青人，每月房租是1800元，9月份，小李只住到10日就搬走了，小张只住到20日也搬家了，小李和小张离开时都留给小王600元交房租．到月底小强的妈妈要去收房租了，如果你是小强，你会建议妈妈怎样收这三个年青人的房租比较合理？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 比 一、通用解题核心步骤 1. 梳理总量与份数关系：比的解决问题核心是按比分配。读题先找准题目中的总数量、分配对象和对应比例，确认是把总量按照几比几进行平均分。 2. 统一份数标准：确保比的前后项对应同一套分配总量，若题目给出多个条件，先化简比、统一最简整数比，避免份数不对应导致列式错误。 3. 灵活选用解题方法：熟练掌握“份数法”和“分数法”两种主流解法，基础题用份数法更直观，复杂题型用分数法解题更快捷。 4.验算作答：算出各部分数量后，验算各部分之和是否等于总量、数量之比是否符合题目已知比，保证答案准确无误。 二、必考题型解题技巧 1. 基础按比分配问题：已知总量和两个量的比，求各部分数量。份数法步骤：先求总份数，再求每份数量，最后分别求出各部分对应数量，是本单元所有题型的基础。 2. 已知部分量求总量、另一部分量：题目不给出总量，只给出其中一份的具体数量。解题关键：找准已知量对应的份数，先求出一份的量，再推导整体和其他部分，禁止随意套用总份数。 3. 三个量连比分配问题：已知三个量的比与总量，求各自数量。解题思路与两量分配一致，先求出三者总份数，再求单份量，依次求出三个对应数量，注意份数不重复、不遗漏。 4. 比的变式应用题：结合周长、长方体棱长、路程等综合题型。先根据公式求出需要分配的总数量，再按比分配，切忌直接用原始数据分配，避免概念混淆。 5.比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示： 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除数 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 三、高频易错点拨 1. 总量找错：长方形周长、长方体棱长总和题型，必须先除以2或除以4，得到一组分配量再按比分配，直接用周长、棱长总和分配是高频错误。 2. 份数对应混乱：已知部分量求总量时，学生常找错对应份数，导致整题数据偏差。教学需强调“量份一一对应”原则。 3. 比未化简直接计算：复杂条件下未化成最简整数比就计算，份数不标准，容易出现计算繁琐、结果出错的问题。 4. 验算缺失：学生做完不核对总和与比例，容易出现各部分数量相加不等于总量的低级错误。 类型1 比的意义解决问题 典型例题1：夏至日是北半球白昼时间最长的一天。某年夏至日这一天北京白昼时长约占全天的，这一天北京白昼与黑夜的时长比是多少？ 【答案】5∶3 【分析】把全天的时长看作单位“1”，白昼时长约占全天的，则黑夜时长约占全天的（1－），再根据比的意义写出白昼与黑夜的时长比，然后根据比的基本性质化简成最简整数比即可解答。 【详解】∶（1－） ＝∶ ＝（×8）∶（×8） ＝5∶3 答：这一天北京白昼与黑夜的时长比是5∶3。 变式训练：一位数学名师指出：教师用在备课、上课、课后辅导的时间比应为，上课时间是30分钟，备课应该花多长时间？ 【答案】60 【分析】用上课时间除以对应的份数求出1份对应的时长，再用1份对应的时长乘备课的份数即可。 【详解】30÷3＝10（分钟） 10×6＝60（分钟） 答：备课应该花60分钟。 类型2   求比值解决问题 典型例题2：根据下面的描述，分别写出骆驼与蚂蚁能搬运的货物质量与它们自身体重的比，并算出比值。相对于自身的体重，你觉得它们谁的力气更大？为什么？ 体重是280千克的骆驼，能搬运质量为320千克的货物；体重是0.04克的蚂蚁，能搬运质量为2克的绿豆。 【答案】蚂蚁的力气更大。见详解 【分析】根据题意分析，骆驼的体重是280千克，能搬运货物的质量为320千克；蚂蚁的体重是0.04克，能搬运的绿豆的质量是2克，根据比的意义分别写出它们的体重和能搬运货物质量的比并求出比值。再比较比值大小。据此解答即可。 【详解】320∶280； 320∶280＝320÷280＝ 2∶0.04； 2∶0.04＝2÷0.04＝50   答：骆驼能搬运的货物质量与自身体重的比是320∶280，比值是；蚂蚁能搬运的货物质量与自身体重的比是2∶0.04，比值是50；蚂蚁的力气更大。因为相对于自身的体重，蚂蚁能搬动更重的物体，所以蚂蚁的力气更大。 变式训练：一架飞机5小时飞行4000千米。写出这架客机飞行路程与时间的比，求出比值，并说说比值的意义。 【答案】800∶1 800 比值表示飞机每小时飞行的路程，即飞机的飞行速度 【详解】4000∶5＝800∶1 类型3   比与分数、除法的关系解决问题 典型例题3：工程队修一段铁路，第一天修完后，已修的与未修的比是3∶7，第二天修了160米，这时还剩下50米没有修。这段铁路一共长多少米？ 【答案】300米 【分析】把这段铁路的全长看作单位“1”，已知第一天修完后，已修的与未修的比是3∶7，即此时未修的占全长的；第二天修了160米，这时还剩下50米没有修，那么（160＋50）米相当于第一天修完后未修的长度，占全长的，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答，即可求出这段铁路的全长。 【详解】（160＋50）÷ ＝210÷ ＝210× ＝300（米） 答：这段铁路一共长300米。 变式训练：甲车从A地开往B地，乙车同时从B地开往A地，当甲车行到全程的时，乙车已行路程与剩下路程的比是2∶3，这时两车相距105千米。A、B两地的路程长多少千米？ 【答案】300千米 【分析】根据题意，甲、乙两车相向而行，由乙车已行路程与剩下路程的比是2∶3可知：乙车已行路程占全程的；把全部路程看作单位“1”，甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＋105千米＝全程的路程；根据：单位“1”＝对应量÷对应量的分率，105千米对应的分率是（1－－），用105除以（1－－）即可求出全程的长度；据此解答。 【详解】105÷（1－－） ＝105÷（－） ＝105÷ ＝300（千米） 答：A、B两地的路程长300千米。 类型4  比的化简解决问题 典型例题4：从A城到B城的公路长160千米，一辆客车从A城到B城需4小时，这辆客车行驶的路程与时间的比是多少？化成最简整数比是多少？ 【答案】160∶4；40∶1 【分析】根据比的意义，先用A城到B城的距离∶从A城到B城的时间；即160∶4；化成最简整数比，比的前项和比的后项同时除以4，即可求化成最简整数比。 【详解】160∶4 ＝160÷4∶4÷4 ＝40∶1 答：这辆客车行驶的路程与时间的比是160∶4；化成最简整数比是40∶1。 变式训练：10克糖溶解在100克水中，糖和糖水重量的比是多少？ 【答案】1∶11 【分析】本题由比的意义和比的应用解答。 【详解】由题意，10克糖溶解在100克水中，糖水是克，所以糖和糖水的重量比是1∶11。 类型5  按比分配问题解决问题 典型例题5：育才小学共有 120 人参加朗读比赛，所有报名选手都能获奖。按 1︰2︰3 的比例设立一、二、三等奖。获一等奖的有多少人？ 【答案】20人 【分析】用总人数除以总份数，算出每一份的人数。再乘一等奖的份数即可。 【详解】120÷（1＋2＋3） ＝120÷6 ＝20（人） 答：获一等奖的有20人。 变式训练：为丰富学生的文化生活，今年学校共购进图书1500册，其中科技类图书占总数的，其余的是故事类图书与文学类图书，故事类图书和文学类图书的数量比是3∶17，这三种图书各购进多少册？ 【答案】科技类图书300册；故事类图书180册；文学类图书1020册 【分析】把图书总数看作单位“1”。求科技类图书的册数，属于“已知整体求部分”，用乘法计算； 用总数减去科技类册数，得到故事类和文学类的总册数，求出故事类图书和文学类图书的份数之和，用按比分配的方法解决。 【详解】科技类：（册） 剩余：（册） 故事类：（册） 文学类：（册） 答：科技类图书购进300册，故事类图书购进180册，文学类图书购进1020册。 类型6  比的应用解决问题 典型例题6：乐乐看一本故事书，第一天看的页数与第二天看的页数之比为3∶4，第三天看了全书的，正好看完了这本书。已知乐乐第一天看了60页，这本故事书共有多少页？ 【答案】180页 【分析】因为第一天看的页数已知，且第一天与第二天看的页数比为3∶4，用60除以3再乘4即可求出第二天看的页数；因为第三天看了全书的，那么第一天和第二天看的页数之和占全书的比为，所以可先计算出第一天和第二天看的总页数，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题可以用除法解决”，再结合该占比即可求出全书总页数。 【详解】60÷3×4＋60 ＝80＋60 ＝140（页） ＝180（页） 答：这本故事书共有180页。 变式训练：春节是我国民间传统节日。在除夕夜期间全家人会聚在一起包饺子，饺子取“更岁饺子”之意，象征着“团圆福禄”、“招财进宝”。除夕夜，淘气一家三口围坐一起包饺子，一共包了100个，妈妈包的占，淘气和爸爸包饺子的个数比是2∶3，淘气包了多少个饺子？ 【答案】16个 【分析】根据“求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决”，将饺子的总数看作单位“1”，用100乘分率即可求出淘气和爸爸包饺子的总个数，再用淘气和爸爸包饺子的总个数乘分率即可求出淘气包了多少个饺子。 【详解】 ＝16（个） 答：淘气包了16个。 1．在100克的水中加糖，要使糖与水的质量比是1∶20。那么应加多少克糖？ 【答案】5克 【分析】糖与水的质量比是1∶20，把糖的质量看作1份，水的质量就是20份，用水的质量除以它的份数，求出1份的质量，再乘糖的份数，即等于应加糖的质量。 【详解】100÷20×1 ＝5×1 ＝5（克） 答：应加5克糖。 2．实验小学合唱队一共有224人，男生与女生的人数比是3∶5，女生比男生多多少人？ 【答案】56人 【分析】男生与女生的人数比是3∶5，所以男生占合唱队总人数的，女生占合唱队总人数的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用合唱队总人数分别乘男、女生所占的分率，即可求出男、女生的人数，再用女生人数减去男生人数即可解答。 【详解】224× ＝224× ＝84（人） 224× ＝224× ＝140（人） 140－84＝56（人） 答：女生比男生多56人。 3．在学校开展的“共读一本书”的活动中，丁丁第一天读了18页。第一天读的页数与剩下的页数比是2∶9，这本书一共多少页？ 【答案】99页 【分析】第一天读的页数与剩下的页数比是2∶9，把第一天读的页数看作2份，剩下的页数看作9份，则这本书的总页数占（2＋9）份，已知丁丁第一天读了18页，用18除以2，求出一份量是多少页，再乘这本书总页数所对应的份数，即可求出这本书一共有多少页。 【详解】18÷2×（2＋9） ＝9×11 ＝99（页） 答：这本书一共99页。 【点睛】此题主要考查比的应用，关键是求出一份量是多少页。 4．妈妈喜欢自己和面做面条，通过尝试妈妈觉得面粉和水的比是20∶9时，做出的面条口感最佳。现在有面粉500克，应加水多少克？ 【答案】 225克 【分析】用面粉的质量除以对应份数（20份）求出1份的质量，再用1份的质量乘水的份数（9份）即可求出应加水的质量。 【详解】500÷20×9 ＝25×9 ＝225（克） 答：应加水225克。 5．营养师配制一份学生午餐，蛋白质、脂肪、碳水化合物的质量比是4∶2∶9，如果一份午餐中蛋白质含量80克，脂肪、碳水化合物需要多少克？ 【答案】 40克；180克 【分析】由题可知蛋白质、脂肪、碳水化合物的质量比为4：2：9，且蛋白质含量为80克。根据比例关系，蛋白质对应4份，可先求出每份的质量；脂肪对应2份，碳水化合物对应9份，再分别计算脂肪和碳水化合物的质量。 【详解】（克） （克） （克） 答：脂肪需要40克，碳水化合物需要180克。 6．骆驼体重250千克，能搬运质量为300千克的货物；蚂蚁体重0.05克，能搬运质量为2克的虫子。写出它们各自搬运的质量与体重的比，并求出比值．相对于自身体重，你觉得谁的力气大？为什么？ 【答案】相对于自身体重，蚂蚁的力气大，因为它每千克的体重承受的重量大。 【分析】本题考查的知识点是比和求比值的方法，解答时需要明确的是：比值越大，力气就越大。依据比的意义，用它们各自搬运的质量比体重；再用比的前项除以后项，就可求比值，最后根据比较比值的大小，从而得出结论。 【详解】300：250＝6：5＝1.2     2：0.05＝40：1＝40     40＞1.2 答：相对于自身体重，蚂蚁的力气大，因为它每千克的体重承受的重量大。 7．一款3D打印机，通过扫描实物，生成的3D模型与实物的比是，一种物体的高是160厘米，这款打印机生成该物体的3D模型的高度是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】模型高与实物的比是1∶20，即模型占实物的，已知实物高，求模型高，用实物高×即可。 【详解】1∶20＝ 160×＝8（厘米） 答：这款打印机生成该物体的3D模型的高度是8厘米。 8．图书室买来540本新书，其中是连环画，其余的是文艺书和科技书，文艺书和科技书的比是3：2。文艺书有多少本？科技书有多少本？ 【答案】文艺书216本；科技书144本。 【详解】540×＝180（本） 文艺书：（540－180）×＝216（本） 科技书：（540－180）×＝144（本） 答：文艺书有216本，科技书有144本。 9．学校在经典诵读活动中购回一批新书，共480本，现打算按年级人数分给四、五、六年级，其中四年级有38人，五年级有40人，六年级有42人，六年级分得新书多少本？ 【答案】168本 【分析】根据题意，三个年级的人数比就是三个年级分得新书的本书比，已知新书总本书按比例分配即可得出六年级分得新书的本书。 【详解】480× ＝480× ＝168（本） 答：六年级分得新书168本。 【点睛】理解题目条件，按年级人数分书，即三个年级的人数比就是三个年级分得新书的本书比是解题关键。 10．育才小学四年级和三年级学生人数的比是，其中三年级人数占全校总人数的，已知四年级有学生400人，全校有学生多少人？ 【答案】2500人 【分析】四年级和三年级学生人数的比是，则四年级占三年级人数的，又因为已知四年级有学生400人，所以先求出三年级人数，列式是400÷；因为三年级人数占全校总人数的，所以要求全校人数可列式为：。 【详解】 （人） 答：全校有2500人。 【点睛】本题需要将比转化为分数，表示四年级人数占三年级人数的几分之几；同时也要熟悉分数除法的意义，用具体的量除以相对应的分率就是单位“1”。 11．甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时相遇。已知两地相距180千米，甲、乙的速度比是3∶2，甲、乙两车的速度各是多少？ 【答案】甲车54千米/时，乙车36千米/时 【分析】根据甲乙的速度比，将甲乙的速度用未知数x分别表示出来。甲乙两车相遇时，两车的路程和恰好等于两地的距离180千米。据此列方程解方程，从而利用乘法求出甲乙的速度。 【详解】解：设甲车的速度为3x千米/时，那么乙车的速度为2x千米/时。 2×（3x＋2x）＝180 10x＝180 x＝180÷10 x＝18 甲车：3×18＝54（千米/时） 乙车：2×18＝36（千米/时） 答：甲车的速度为54千米/时，乙车的速度为36千米/时。 【点睛】本题考查了相遇问题，相遇时，两车的路程和恰好等于两地的距离。 12．在“黄金比”之美设计大赛中，李阳设计了一个周长是50厘米的长方形贺卡，长与宽的比是3∶2。制作这样一张贺卡需要多少平方厘米的卡纸？ 【答案】150平方厘米 【分析】先根据长方形的周长计算出长与宽的和，再利用按比例分配计算出长方形的长和宽，最后根据“长方形的面积＝长×宽”即可求得。 【详解】50÷2＝25（厘米） 长：（厘米）    宽：（厘米）    面积：15×10＝150（平方厘米） 答：制作这样一张贺卡需要150平方厘米的卡纸。 【点睛】分析题意计算出长方形贺卡的长和宽是解答题目的关键。 13．人体每天需要的水分约为2500毫升，从食物中摄取与直接饮入的水的比约为12∶13。人体每天需要从食物中摄取与直接饮入的水分别为多少毫升？ 【答案】1200毫升；1300毫升 【分析】两数相除又叫两个数的比，将比的前后项看成份数，人体每天需要水分÷总份数，求出一份数，一份数分别乘从食物中摄取与直接饮入的水的对应份数，即可求出从食物中摄取与直接饮入的水的体积。 【详解】2500÷（12＋13） ＝2500÷25 ＝100（毫升） 100×12＝1200（毫升） 100×13＝1300（毫升） 答：人体每天需要从食物中摄取与直接饮入的水分别为1200毫升，1300毫升。 14．一个长方体形状的蓄水池长12米，深9米，宽与深的比是2∶3。 （1）在这个蓄水池的四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个蓄水池的蓄水量是多少立方米？ 【答案】（1）324平方米 （2）648立方米 【分析】根据宽与深的比计算出蓄水池的宽，抹水泥部分的面积等于长方体的4个侧面积之和；利用长方体的体积计算出蓄水池的蓄水量。 【详解】宽：9÷3×2 ＝3×2 ＝6（米） （1）（6×9＋12×9）×2 ＝（54＋108）×2 ＝162×2 ＝324（平方米） 答：抹水泥的面积是324平方米。 （2）12×9×6 ＝108×6 ＝648（立方米） 答：这个蓄水池的蓄水量是648立方米。 【点睛】掌握长方体的表面积和体积计算公式是解答题目的关键。 15．有一辆客车和一辆小轿车同时从甲、乙两地出发，相向而行，2小时后相遇。相遇时客车和小轿车所行路程的比为4∶5，甲、乙两地相距360千米，则客车和小轿车的速度分别是多少千米/时？ 【答案】客车：80千米/时；小轿车：100千米/时 【分析】由于相遇时客车和小轿车所行路程的比为4∶5，则客车走了4份，小轿车走了5份，根据比的应用公式：总数÷总份数＝1份量，即360÷（4＋5），求出1份量，用1份量×4求出客车2小时走的路程；用1份量乘5求出小轿车2小时走的路程，再把两车2小时走的路程各自除以时间2小时即可求出速度。 【详解】360÷（4＋5） ＝360÷9 ＝40（千米） 40×4÷2＝80（千米/时） 40×5÷2＝100（千米/时） 答：客车的速度是80千米/时；小轿车的速度是100千米/时。 16．修整校园用的混凝土是按2份水泥、3份石子和5份沙子的标准混合成的。现在要用90吨混凝土，需要沙子多少吨？ 【答案】45吨 【分析】把水泥的重量看作2份，石子的重量看作3份，沙子的重量看作5份，所以混凝土的总重量看作（2＋3＋5）份，沙子的重量占混凝土的总重量的，最后按照求一个数的几分之几是多少的方法，分别求出需要沙子的重量即可。 【详解】90×＝45（吨） 答：需要沙子45吨。 17．一种甜品由巧克力、花生、奶粉按4∶2∶1的比加工而成。如果三种原料各有20千克，当花生用完时，巧克力还要购进多少千克？奶粉还剩多少千克？ 【答案】20千克；10千克。 【分析】已知巧克力、花生、奶粉按4∶2∶1加工成甜品，即巧克力的质量占4份，花生的质量占2份，奶粉的质量占1份，一共是（4＋2＋1）份；三种原料各有20千克，当花生用完时，用花生的质量除以花生的份数，求出一份数，再用一份数乘巧克力的占比求出甜品总共需要多少巧克力，再用总共需要巧克力的质量减去原有的20千克巧克力质量即为还要购进的巧克力质量；用一份数乘奶粉的占比求出甜品总共需要多少奶粉，再用原有的20千克减去总共需要奶粉的质量，即是奶粉还剩下的质量。 【详解】20÷2＝10（千克） 巧克力：4×10－20 ＝20（千克） 奶粉：20－1×10 ＝10（千克） 答：当花生用完时，巧克力还要购进20千克，奶粉还剩10千克。 18．加工一批零件，第一天完成的个数与总个数的比是2∶5，如果再加工18个，就正好完成了一半，这批零件共多少个？ 【答案】180个 【分析】由题意可知，第一天完成的个数与总个数的比是2∶5，即第一天完成的个数占总个数的，再加工18个，此时完成的个数占总个数的，也就是18个零件占总个数的，然后根据部分的量÷占单位“1”的分率＝单位“1”的量，据此解答即可。 【详解】18÷（－） ＝18÷ ＝180（个） 答：这批零件共180个。 19．货车4小时行驶280千米，轿车5小时行驶550千米，货车和轿车的时间比、路程比和速度比分别是多少？ 【答案】4∶5；28∶55；7∶11 【分析】速度＝路程÷时间，据此分别计算出货车和轿车的速度。两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，分别写出货车和轿车的时间比、路程比和速度比，能化简的根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，化简即可。 【详解】时间比：4∶5   路程比：280∶550＝（280÷10）∶（550÷10）＝28∶55 速度比：（280÷4）∶（550÷5）＝70∶110＝（70÷10）∶（110÷10）＝7∶11 答：货车和轿车的时间比、路程比和速度比分别是4∶5、28∶55、7∶11。 20．工地上有一批水泥，第一天运走41吨，第二天运走43吨，剩下的水泥与运走的水泥的质量比是4∶3，剩下的水泥是多少吨？ 【答案】112吨 【分析】第一天运走的吨数＋第二天运走的吨数＝运走的吨数，将比的前后项看成份数，运走的吨数÷对应份数＝一份数，一份数×剩下的对应份数＝剩下的吨数。 【详解】（41＋43）÷3×4 ＝84÷3×4 ＝112（吨） 答：剩下的水泥是112吨。 21．果园里有杏树、梨树、桃树共540棵，其中杏树占总数的，梨树和桃树棵树的比是4∶5，梨树和桃树各有多少棵？ 【答案】梨树160棵；桃树200棵 【分析】果园里有杏树、梨树、桃树共540棵，其中杏树占总数的，求一个数的几分之几是多少用乘法，据此求出杏树的数量；用540减去杏树的数量可以求出梨树和桃树一共的数量，梨树和桃树棵树的比是4∶5，也就是把梨树的数量看作4份，桃树的数量就是5份，桃树和梨树一共是9份，其中梨树占，桃树占，求一个数的几分之几是多少用乘法，据此求出梨树和桃树的数量。 【详解】杏树：（棵） （棵） 梨树：（棵） 桃树：（棵） 答：梨树有160棵，桃树有200棵。 22．一个三角形的三条边，长度比是，已知最长边的长度是25厘米，这个三角形周长是多少厘米？ 【答案】60厘米 【分析】已知三角形的三条边，长度比是5∶4∶3，最长边对应5份，用最长边25厘米除以对应的份数5份，求出每份长度。再计算三条边的总份数为5＋4＋3＝12份；最后用每份长度乘总份数，即可求出三角形的周长。 【详解】25÷5×（5＋4＋3） ＝25÷5×12 ＝5×12 ＝60（厘米） 答：这个三角形周长是60厘米。 23．一种铜锌合金中铜、锌、锡按8∶5∶1的比熔炼。现有这种合金的总质量是84千克，其中铜、锌各有多少千克？ 【答案】铜有48千克；锌有30千克 【分析】将铜看作8份，锌看作5份，锡看作1份，然后求出总份数；再用总质量除以总份数求出每一份的质量；然后用每一份的质量分别乘铜、锌的份数即可。 【详解】84÷（8＋5＋1） ＝84÷14 ＝6（千克） 6×8＝48（千克） 6×5＝30（千克） 答：铜有48千克，锌有30千克。 24．丫丫读一本书，已读的和未读的页数之比是5:4，如果再读18页，这时已读的和未读的页数比是2:1,这本书有多少页？ 【答案】162页 【分析】本题考查的知识点是利用转化法来解答比的问题．解答时，把整本书的页数看成单位“1”，先根据给出的两次已读的页数和未读的页数比转化为分数：第一次已读的页数占全书的，第二次已读的页数占全书的，这充分说明，两次读的分率差是-，页数差是18，这样根据“数量差÷该数量差对应的分率差=单位“1””求出这本书的页数，列式为18÷（-），计算结果是18÷（-）=18÷=162(页)． 要点提示：找准单位“1”是关键． 【详解】18÷（-）=18÷=162(页) 答：这本书有162页． 25．铁人三项比赛包括游泳、骑自行车和长跑3个项目，在一次比赛中，冠军约用110分钟完成了全部比赛，游泳、骑自行车、长跑所用时间的比是2∶6∶3，三项比赛所用时间分别约是多少分钟？ 【答案】20分钟；60分钟；30分钟 【分析】将比的各项看成份数，总时间÷总份数＝一份数，一份数分别乘三项比赛的对应份数，即可求出三项比赛的时间。 【详解】110÷（2＋6＋3） ＝110÷11 ＝10（分钟） 游泳：10×2＝20（分钟） 骑自行车：10×6＝60（分钟） 长跑：10×3＝30（分钟） 答：三项比赛所用时间分别约是20分钟、60分钟和30分钟。 26．超市配制什锦糖，所用的巧克力糖、水果糖、奶糖的比是，三种糖都准备了20千克，当奶糖用完时，水果糖和巧克力糖分别还剩多少千克？ 【答案】水果糖：8千克；巧克力糖：16千克 【分析】根据比的关系，奶糖用完时，使用的巧克力糖和水果糖的比分别为1份和3份。通过奶糖的使用量计算出每份的重量，进而求出巧克力糖和水果糖的使用量，再用准备量减去使用量得到剩余量。 【详解】20÷5＝4（千克） 20－4×1 ＝20－4 ＝16（千克） 20－4×3 ＝20－12 ＝8（千克） 答：水果糖还剩8千克，巧克力糖还剩16千克。 27．让基础教育不断扩优提质，是每一位教育工作者不断追求的目标。为扩充图书覆盖面，为学生提供更优质的阅读条件，实验小学新购买了三类图书，共600本，其中文学类图书与科普类图书的数量之比是7∶6，科普类图书与艺术类图书的数量之比是3∶1，这三类图书各购买了多少本？ 【答案】 文学类图书280本，科普类图书240本，艺术类图书80本。 【分析】b根据题意，文学类与科普类的数量比是7∶6，科普类与艺术类的数量比是3∶1，由于科普类图书在两个比例中均出现，可通过统一科普类的份数，将两个比例合并为文学类、科普类、艺术类的连比；6和3的最小公倍数是6，需将第二个比例中的科普类份数统一为6份，进而求出总份数；总图书数量为600本，根据总份数求出每份数量，再计算各类图书的本数。 【详解】根据分析可得： 文学类图书与科普类图书的数量比是7∶6，科普类图书与艺术类图书的数量比是3∶1 为统一比例，将科普类图书的份数调整为相同值，6和3的最小公倍数是6，将科普类∶艺术类＝3∶1的比转化为6∶2（即前项和后项同乘2） 因此，文学类：科普类：艺术类＝7∶6∶2 总份数为：7＋6＋2＝15（份） 每份图书数量为：600÷15＝40（本） 文学类图书数量：7×40＝280（本） 科普类图书数量：6×40＝240（本） 艺术类图书数量：2×40＝80（本） 答：文学类图书购买了280本，科普类图书购买了240本，艺术类图书购买了80本。 28．小红、小刚、小华三人收集邮票,小红收集的邮票数和小刚收集的邮票数的比是2∶3,小刚收集的邮票数和小华收集的邮票数的比是4∶7 ,三人共收集82枚,三人各收集多少枚? 【答案】小红16枚；   小刚24枚；   小华42枚 【详解】2∶3=8∶12　4∶7=12∶21　所以小红、小刚、小华三人收集的邮票数的比是8∶12∶21． 8+12+21=41　小红:82×=16(枚) 小刚:82× =24(枚)　小华:82×=42(枚) 答：小红收集了16枚，小刚收集了24枚，小华收集了42枚． 29．早在《周礼·考工记》中就有关于青铜器中铜与锡质量比的记载，一把戟（一种古代兵器）中的铜与锡的质量比是4∶1，其中铜的质量比锡多了1080克，这把戟的质量是多少克？（假设这把戟只含有铜和锡） 【答案】 1800 克 【分析】将铜的质量看作 4 份，锡的质量看作 1 份。总份数＝铜的份数＋锡的份数；铜比锡多的份数＝铜的份数－锡的份数；每一份的质量＝铜比锡多的质量÷铜比锡多的份数；总质量＝每一份的质量×总份数。 【详解】1080÷（4－1） ＝1080÷3 ＝360（克） 360×（4＋1） ＝360×5 ＝1800（克） 答：这把戟的质量是1800克。 30．四位乘客合租一辆汽车回家过春节，由于下车地点不同，每人承担的车费各不同，乘客A付的车费与其他三位的比是1：2，乘客B付的车费与其他三位的比是1：3，乘客C付的车费与其他三位的比是1：4，乘客D付的车费是26元，这四位乘客一共付车费多少元？ 【答案】120元 【分析】本题考查的知识点是利用转化法来解答按比例分配问题．解答此题的关键是题目中出现了3个不同的单位“1”，要抓住不变量，统一单位“1”． 由“乘客A付的车费与其他三位的比是1：2”可知乘客A付的车费占总数的，由“乘客B付的车费与其他三位的比是1：3”可知乘客B付的车费占总数的，由“乘客C付的车费与其他三位的比是1：4”可知乘客C付的车费占总数的，可求出可知乘客D付的车费占总数的几分之几，再由“乘客D付的车费是26元”，根据“部分数量÷部分数量对应的分率=单位“1””列式计算得出总费用为26÷（1---）=26÷=120（元）． 【详解】26÷（1---）=26÷=120（元）． 答：四位乘客一共付费120元． 31．小强家房子出租给小李、小张、小王三个年青人，每月房租是1800元，9月份，小李只住到10日就搬走了，小张只住到20日也搬家了，小李和小张离开时都留给小王600元交房租．到月底小强的妈妈要去收房租了，如果你是小强，你会建议妈妈怎样收这三个年青人的房租比较合理？ 【答案】小强妈妈收房租时，如果按所住天数的比收，小李300元，小张600元，小王900元；如果分段收取，小李200元，小张500元，小王1100元 【分析】由题意可知，小强家房子出租给小李、小张、小王三个年青人，每月房租是1800元，小李只住到10日就搬走了，小张只住到20日也搬家了，只有小王住满30天（9月份一共30天），因此让三人平均分摊1800元不太合理，可以按他们所住的天数的比分摊，或分段分摊都比较合理，因此小强的妈妈收房租时可以考虑上面的两种分摊方式． 【详解】方案一：按所住天数的比分摊 三人所住的时间比是10:20:30=1:2:3． 小李应付的房租：1800×＝300(元) 小张应付的房租：1800×＝600(元) 小王应付的房租：1800×＝900(元) 方案二： 分段计费 每10天为一段，每段：1800÷3＝600（元） 小李只住了前面10天：600÷3＝200(元) 小张：600÷3＋600÷2＝500(元) 小王：600÷3＋600÷2＋600＝1100(元) 答：小强妈妈收房租时，如果按所住天数的比收，小李300元，小张600元，小王900元；如果分段收取，小李200元，小张500元，小王1100元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $