精品解析：2022年贵州省黔西南州兴义市义龙蓝天学校 中考数学七模试卷

贵州黔西南州兴义市义龙蓝天学校2022年中考数学七模试卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（　　） A. 2与 B. 与 C. 与1 D. 2与 2. 某种花粉的直径约为0.000036毫米，数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. 3.6×10﹣6 B. 0.36×10﹣5 C. 3.6×10﹣5 D. 0.36×10﹣6 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（　　） A. a3+a4＝a7 B. a3•a4＝a12 C. （a3）4＝a7 D. （﹣2a3）4＝16a12 7. 某中学七（1）班的6位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：122，176，134，164，176，162，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 162，164 B. 176，140 C. 176，149 D. 176，163 8. 如图，是的外接圆，连接，，，则的度数为（ ） A. 25° B. 40° C. 50° D. 80° 9. 某工厂接到一项制作12000朵假花的工作任务，由于采用了新工艺，每小时可以多加工500朵假花，完成这项工作的时间将缩短4小时，求采用新工艺前每小时可以加工多少朵假花?若设采用新工艺前每小时加工x朵假花，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 分解因式：=______． 12. 使式子有意义，则的取值范围是___________． 13. 《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________． 14. 不透明的布袋里有3个黄球、2个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 _____． 15. 不等式组的解集是 16. 如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为_________ m（结果精确到1m，）． 17. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 18. 已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是_____． 19. 如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________． 20. 在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．则点的坐标是_________． 三、解答题（6个小题，共80分） 21. 计算与化简题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 22. 如图Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，点E在AB上，以AE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：直线BC是⊙O的切线． （2）若AC=6，∠B=30°，求图中阴影部分的面积． 23. 2021年4月25日，教育部明确提出要减轻义务教育阶段学生的作业负担，学生的校外培训负担．依据政策要求，初中生书面作业平均完成时间不超过90分钟，学生每天完成作业总时长不超过2小时．在此通知发布一周年之际，为了了解学校对政策的落实情况，某地教育局对本地初中生作业完成时间进行抽样调查，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据如图所示的信息，解答下列问题： （1）教育局一共抽样调查了_________名学生，这些学生每天完成作业所需要时间的中位数是_______小时； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该市共有初中生28000人，请据此估计该市初中生完成作业时间超过2小时的学生人数； （4）通过本次调查，你认为该市初中学校的作业布置是否满足教育部的“双减”政策要求？请说明理由，并给出相应的建议． 24. 十堰市某景区在“51”期间：为配合防疫要求控制游客人数，并且保证经济收入，景区准备提高门票价格，已知每张门票价格为30元时，平均每天有游客4000人，经调研知，若每张门票价格每增加10元，平均每游客减少500人，物价部门规定，每张门票不低于30元，不高于100元．设每天游客人数为y（人），每张门票价格涨价x（元）（x为10的倍数）． （1）写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若某天的门票收入为15万元，此收入是否为每天的门票最大收入？请说明理由； （3）请分析并回答门票价格在什么范围内每天门票收入不低于12万元． 25. 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE． 猜想证明： （1）四边形BE'FE的形状是______； （2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明； （3）如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； （3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州黔西南州兴义市义龙蓝天学校2022年中考数学七模试卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（　　） A. 2与 B. 与 C. 与1 D. 2与 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相反数的概念，首先计算有理数的乘方，化简绝对值，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可，解题的关键是掌握相反数的概念. 【详解】解：∵2与不互为相反数，故选项A错误， ∵， ∴﹣1与互为相反数，故选项B正确， ∵， ∴与1不是互为相反数，故选项C错误， ∵， ∴2与不是互为相反数，故选项D错误． 故选：B． 2. 某种花粉的直径约为0.000036毫米，数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. 3.6×10﹣6 B. 0.36×10﹣5 C. 3.6×10﹣5 D. 0.36×10﹣6 【答案】C 【解析】 【详解】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000036＝3.6×10﹣5． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，解题的关键是确定n的值． 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图的定义进行判断，能看到的棱为实线，看不到的棱为虚线． 【详解】解：从左边看，是一个矩形，且矩形内部中上方有一条横向的虚线． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的作法是解题的关键． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质求解，找出图中，进而求出∠3，再根据平行线性质求出∠2即可． 【详解】解：如图，作， 三角尺是含角的三角尺， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】此题考查平行线的性质，利用平行线性质求角，涉及到直角三角形两个余角的关系． 6. 下列运算正确的是（　　） A. a3+a4＝a7 B. a3•a4＝a12 C. （a3）4＝a7 D. （﹣2a3）4＝16a12 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的法则计算即可． 【详解】解：A、a3与a4不是同类项不能合并，故错误，不符合题意； B、a3•a4=a7，故错误，不符合题意； C、（a3）4=a12，故错误，不符合题意； D、（-2a3）4=16a12，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，熟记法则是解题的关键． 7. 某中学七（1）班的6位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：122，176，134，164，176，162，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 162，164 B. 176，140 C. 176，149 D. 176，163 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵176出现了2次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是176个； 把这些数从小到大排列为：122，134，162，164，176，176， 则中位数是=163（个）． 故选：D． 【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，掌握各知识点的定义是解答本题的关键． 8. 如图，是的外接圆，连接，，，则的度数为（ ） A. 25° B. 40° C. 50° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】在圆中，利用半径相等得到，再利用三角形内角和定理得出圆心角，根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：在中，， ， 在中，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查圆背景下的求角度问题，涉及到等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理和圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决问题的关键． 9. 某工厂接到一项制作12000朵假花的工作任务，由于采用了新工艺，每小时可以多加工500朵假花，完成这项工作的时间将缩短4小时，求采用新工艺前每小时可以加工多少朵假花?若设采用新工艺前每小时加工x朵假花，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意直接列出方程即可选择． 【详解】设采用新工艺前每小时加工x朵假花， 根据题意有， 故选A． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键． 10. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过作，交于点N，可得，得到EM与 平行，再由为中点，得到，同时得到四边形 为矩形，再由角平分线定理得到，进而求出的长，得到的长． 【详解】解：过作，交于点， ， ， ， ， 为中点， ， ，即 ， ， 四边形为矩形， ， 平分，， ， ， ， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，角平分线定理，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 12. 使式子有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义的条件，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键，根据二次根式被开方数大于等于0，分式的分母不等于0，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且， 故答案为：且． 13. 《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设1头牛值金两，1只羊值金两，根据等量关系 “①5头牛，2只羊共值10两金；②2头牛，5只羊共价值8两金”，分别列出方程即可求解． 【详解】设1头牛值金两，1只羊值金两，由题意可得， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键． 14. 不透明的布袋里有3个黄球、2个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 _____． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】根据题意可得小球的总数和红球的个数，由概率公式计算可得答案； 【详解】解：∵10个球除颜色外都相同， ∴每个球被拿到的概率相等， 红球被摸到的概率是， 故答案为： 【点睛】本题考查古典概率模型的计算，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 不等式组的解集是 【答案】## 【解析】 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可． 【详解】解：解得， ； 解得，． ∴此不等式组的解集为：． 16. 如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为_________ m（结果精确到1m，）． 【答案】57 【解析】 【分析】根据题意画出下图：，，垂足分别为点、点， ，，，，垂足为点，可得四边形 是矩形，继而得到，在中，可求出 ，然后在中，求出 ，即可求解． 【详解】解：根据题意画出下图：，，垂足分别为点、点， ，，，，垂足为点， ∵，，， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， 在中， ， 在中， ， ∴ ， 即乙楼高度约为57 ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的应用中仰角俯角问题，解题的关键是明确题意构造直角三角形，并结合利用锐角三角函数解直角三角形． 17. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出a值，再根据图象得到直线在直线的上方部分的点的横坐标取值范围即可求解． 【详解】解：将点代入中，得，解得， ∴， 由图象知，当时，直线在直线的上方， ∴关于x的不等式的解集为 ． 18. 已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，再根据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积． 【详解】依照题意画出图形，如图所示． 在Rt△AOB中，AB=2，OB=， ∴OA==1， ∴AC=2OA=2， ∴S菱形ABCD=AC•BD=×2×2=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键． 19. 如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________． 【答案】（2，3） 【解析】 【分析】根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，），进而列出方程求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，）， ∴m-（）=，解得：m=±2（负值舍去）， 经检验，m=2是方程的解， ∴D点坐标为（2，3）， 故答案是：（2，3）． 【点睛】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．则点的坐标是_________． 【答案】（1011，1） 【解析】 【分析】观察图形，找到点的坐标变化规律，每移动4个点为一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：观察发现：每移动4个点为一个循环， 2022÷4=505……2， 由图可知（1，1），（3，1），（5，1），......， 根据规律可知A的下标为2、6、10、......， 即第n个数可以用4n+1表示， 点的横坐标依次为1、3、5、......， ∴点列......的第n个点为， 当4n+2=2022时，n=505， ∴， 故答案为（1011，1）． 【点睛】本题考查了规律型问题在点的坐标问题中的应用，数形结合并正确得出规律是解题的关键． 三、解答题（6个小题，共80分） 21. 计算与化简题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）10 （2）， 【解析】 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，再合并即可． （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式＝ ＝ ＝10． 【小问2详解】 解： ＝ ＝ ＝， 当时， 原式＝ ＝ ＝． 22. 如图Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，点E在AB上，以AE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：直线BC是⊙O的切线． （2）若AC=6，∠B=30°，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）阴影部分的面积为π-4． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由AD平分∠BAC，可知∠OAD=∠CAD，易证∠ODA=∠OAD，所以∠ODA=∠CAD，所以OD∥AD，由于∠C=90°，所以∠ODB=90°，从而可证直线BC是⊙O的切线； （2）根据含30度角的直角三角形性质可求出AB的长度，然后求出∠AOD的度数，然后根据扇形的面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODB=90°， ∴OD⊥BC， ∴直线BC是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：由∠B=30°，∠C=90°，∠ODB=90°， 得：AB=2AC=12，OB=2OD，∠AOD=120°， ∠DAC=30°， ∵OA=OD， ∴OB=2OA， ∴OA=OD=4， 由∠DAC=30°，得DC=2， ∴S阴影=S扇形OAD-S△OAD = =π-4． 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及角平分线的性质，平行线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形面积公式等，需要学生灵活运用所学知识． 23. 2021年4月25日，教育部明确提出要减轻义务教育阶段学生的作业负担，学生的校外培训负担．依据政策要求，初中生书面作业平均完成时间不超过90分钟，学生每天完成作业总时长不超过2小时．在此通知发布一周年之际，为了了解学校对政策的落实情况，某地教育局对本地初中生作业完成时间进行抽样调查，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据如图所示的信息，解答下列问题： （1）教育局一共抽样调查了_________名学生，这些学生每天完成作业所需要时间的中位数是_______小时； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该市共有初中生28000人，请据此估计该市初中生完成作业时间超过2小时的学生人数； （4）通过本次调查，你认为该市初中学校的作业布置是否满足教育部的“双减”政策要求？请说明理由，并给出相应的建议． 【答案】（1）400，1.5 （2） 补全的条形统计图如下： （3）4200人 （4）不满足；建议减少作业量，分层布置作业 【解析】 【分析】（1）根据2小时的人数及所占的百分比可求出抽样调查的总人数，可求得每天作业时间为1.5小时的人数，则可求得作业时间的中位数； （2）由（1）可补充完整条形统计图； （3）求出每天作业时间超过2小时的学生所占的百分比，即可估计该市初中生完成作业时间超过2小时的学生人数； （4）根据情况给出合理建议即可，答案不唯一． 【小问1详解】 本次共抽查的学生人数为：120÷30%=400（名）， 每天作业时间为1.5小时的人数为：（名）； 把400名学生的每天完成作业时间按从小到大排列，中间的第200、201个数均是1.5，则中位数为1.5小时； 故答案为：400，1.5 【小问2详解】 略 【小问3详解】 每天作业时间超过2小时所占的百分比为：， 估计该市初中生完成作业时间超过2小时的学生人数为：28000×15%=4200（名）； 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用，读懂统计图，从图中获得必要的信息是解题的关键． 24. 十堰市某景区在“51”期间：为配合防疫要求控制游客人数，并且保证经济收入，景区准备提高门票价格，已知每张门票价格为30元时，平均每天有游客4000人，经调研知，若每张门票价格每增加10元，平均每游客减少500人，物价部门规定，每张门票不低于30元，不高于100元．设每天游客人数为y（人），每张门票价格涨价x（元）（x为10的倍数）． （1）写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若某天的门票收入为15万元，此收入是否为每天的门票最大收入？请说明理由； （3）请分析并回答门票价格在什么范围内每天门票收入不低于12万元． 【答案】（1）y=-50x+4000（0≤x≤70）； （2）是，见解析 （3）门票价格在30≤a≤80时每天利润不低于12万． 【解析】 【分析】（1）利用每张门票价格为30元时，平均每天有游客4000人，每张门票价格每增加10元，平均每游客减少500人，即可得出y与x之间的关系式； （2）利用配方法求出顶点坐标即可； （3）结合二次函数图象即可得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：由题意得：y=-50x+4000（0≤x≤70）； 【小问2详解】 解：设每天利润为w， 则w=（-50x+4000）（x+30） =-50x2+2500x+120000 =-50（x-25）2+151250， 又x为10的整数倍， ∴当x=20或30时，w最大=-50×25+151250=150000，是每天的最大利润． 【小问3详解】 解：令w=-50x2+2500x+120000=120000， 解得：x1=0，x2=50； 画图象得： ∴0≤x≤50， ∴设票价为a时，则30≤a≤80时每天利润不低于12万． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，二次函数的应用是中考中考查重点题型，同学们应熟练掌握特别是配方法求最值问题． 25. 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE． 猜想证明： （1）四边形BE'FE的形状是______； （2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明； （3）如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长． 【答案】（1）正方形 （2）CF＝FE' （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的特征可得到∠E′＝∠AEB＝90°、∠EBE′＝90°、BE′＝BE，再由∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，可判定四边形BE′FE是正方形； （2）过点D作DG⊥AE于点G，由DA＝DE得AG＝AE，再证明△ADG≌△BAE，且由四边形BE′FE是正方形，得到FE′＝AG＝CE′，可证得结论； （3）过点D作DG⊥AE于点G，由旋转及四边形BE′FE是正方形可得如下关系：AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3，在Rt△BAE中根据勾股定理求出BE、AE的长，由（1）可知，△ADG≌△BAE，得到DG＝BE，AG＝BE，再由勾股定理求出DE的长． 【小问1详解】 四边形BE′FE是正方形． 理由如下：由旋转得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°， ∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°， ∴四边形BE′FE是矩形， 由旋转得，BE′＝BE， ∴四边形BE′FE是正方形． 【小问2详解】 CF＝FE'， 证明：如图2，过点D作DG⊥AE于点G，则∠DGA＝∠AEB＝90°， ∵DA＝DE， ∴AG＝AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠BAE+∠DAG＝90°， ∵∠ADG+∠DAG＝90°， ∴∠ADG＝∠BAE， 在△ADG和△BAE中 ， ∴△ADG≌△BAE（AAS）， ∴AG＝BE； ∵四边形BE′FE是正方形， ∴BE＝FE′， ∴AG＝FE′， 由旋转得，AE＝CE′， ∴AE＝CE′， ∴FE′＝AE＝CE′， ∴CF＝FE'． 【小问3详解】 如图3，过点D作DG⊥AE于点G， ∵BE＝FE′，CF＝3， ∴AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3， ∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝， ∴(BE+3)2+BE2＝()2， 解得，BE＝9或BE＝﹣12（不符合题意，舍去）， ∴AE＝9+3＝12， 由（2）得，△ADG≌△BAE， ∴DG＝AE＝12，AG＝BE＝9， ∴GE＝AE﹣AG＝12﹣9＝3， ∵∠DGE＝90°， ∴DE＝＝＝． 【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； （3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2＋4x＋5；（2）P（，）；（3）存在，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）． 【解析】 【分析】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c，即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5； （2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，由y＝﹣x2＋4x＋5可得B（5，0），故OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，可证明△PHQ是等腰直角三角形，即知PH＝，当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得直线BC解析式为y＝﹣x＋5，设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），PQ＝﹣（m﹣）2＋，故当m＝时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）； （3）抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，可列方程组，即可解得M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，同理可得，解得M（﹣3，﹣16），③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，则，解得M（7，﹣16）． 【详解】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c得： ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5； （2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图： 在y＝﹣x2＋4x＋5中，令y＝0得﹣x2＋4x＋5＝0， 解得x＝5或x＝﹣1， ∴B（5，0）， ∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形， ∴∠CBO＝45°， ∵PD⊥x轴， ∴∠BQD＝45°＝∠PQH， ∴△PHQ是等腰直角三角形， ∴PH＝， ∴当PQ最大时，PH最大， 设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得0＝5k＋5， ∴k＝﹣1， ∴直线BC解析式为y＝﹣x＋5， 设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5）， ∴PQ＝（﹣m2＋4m＋5）﹣（﹣m＋5）＝﹣m2＋5m＝﹣（m﹣）2＋， ∵a＝﹣1＜0， ∴当m＝时，PQ最大为， ∴m＝时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）； （3）存在，理由如下： 抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2， 设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5）， ①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图： ∴，解得， ∴M（3，8）， ②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图： ∴，解得， ∴M（﹣3，﹣16）， ③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图： ，解得， ∴M（7，﹣16）； 综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $