第三章圆锥曲线的方程单元练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 一、单选题 1．若抛物线的焦点在直线上，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的右焦点为，半焦距为．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C．2或 D． 8．设双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，若，且焦点到渐近线的距离为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若双曲线的方程为，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的虚轴长为2 10．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 11．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线C上的两个动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是抛物线C所在平面内一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则点M到y轴距离为4 C．的最小值为3 D．若，则 三、填空题 12．中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为 . 13．已知双曲线的右焦点F与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为 ． 14．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则 ． 四、解答题 15．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)经过点，两点． 16．已知双曲线：的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线的方程； (2)若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 17．已过抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求抛物线的方程 (2)过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程． 18．已知抛物线的焦点F到准线的距离为4 (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与抛物线交于点两点，若，且，证明：直线过定点. 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为上一点，且． (1)求的标准方程； (2)若的面积为1，求点坐标； (3)直线与交于，两点，若，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章圆锥曲线的方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D C A C C AD ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数的值. 【详解】由题知，抛物线的焦点为，代入得，解得. 故选：B. 2．B 【分析】直接由离心率的定义可得a，b关系，进而可得渐近线方程. 【详解】由双曲线的离心率为，且. 所以，得，所以渐近线方程为. 故选：B 3．D 【分析】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，由条件，求出的值，即可得答案. 【详解】由题意，抛物线标准方程形如，焦点坐标为， 所以，解得，故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 4．D 【分析】将抛物线方程转换成标准方程即可求解. 【详解】抛物线的标准方程为， 所以，的焦点坐标为. 故选：D. 5．C 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合代入法进行求解即可. 【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：， 则，即， 则双曲线方程可化为：， 由双曲线过点，得， 解得：，， 所以双曲线方程为：． 故选：C 6．A 【分析】根据椭圆定义及焦点三角形为直角三角形求解即可. 【详解】设，，，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 可得，，，可得， 所以，所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 7．C 【分析】 利用点到直线距离可求出，再根据的面积为列出相应等式，即可求解. 【详解】由题可得双曲线的渐近线为，这里不妨取，即， 点到直线的距离， 在中， 所以，则， 又因，所以， 化简可得，等式两边同时除以，可得， 即，解得或， 因，所以或，结合选项可得C正确. 故选：C. 8．C 【分析】由题意可得是等边三角形.，根据已知可得，进而可得，可求得，进而可求双曲线的方程. 【详解】又因为以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为， 所以，又因为，所以，，所以是等边三角形. 又双曲线的渐近线方程为，即，焦点， 所以焦点到渐近线的距离为，所以， 所以可得，所以，所以，解得， 所以，所以双曲线的方程为.\ 故选：C. 9．AD 【分析】根据双曲线的性质对每个选项进行判断即可. 【详解】因为双曲线的方程为， 所以，所以， 所以的焦距为，所以A正确； 的渐近线方程为，所以B错误； 的离心率为，所以C错误； 的虚轴长为，所以D正确. 故选：AD. 10．ACD 【分析】根据椭圆的定义与性质对选项进行分析，从而确定各选项的正确性. 【详解】对于选项A，依题意，，所以的周长为，故A选项正确； 对于选项B，若为椭圆上任意点，则，即， 当为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，故B选项错误； 对于选项C，在中由余弦定理得 ， 所以，所以， 所以的面积为，故C选项正确； 对于D选项，椭圆的离心率为，故D选项正确. 故选：ACD 11．ACD 【分析】根据抛物线的定义，结合平面向量共线性质、两点间线段最短逐一判断即可. 【详解】设点，．该抛物线的准线为， 因为，所以的最小值为，所以，故A正确． 若，则，所以M到y轴的距离为，故B错误． 过点A作抛物线的准线l：的垂线，垂足为点E， 由抛物线的定义可得，所以，当且仅当P，A，E三点共线，即当时，取得最小值，故C正确． 由向量共线可得直线AB过点，设AB的方程为，与 联立可得，则． 由，， 由，所以，得， 所以，故D正确． 故选：ACD 12． 【分析】根据条件，列出等式，求出a，b，c的值，即可得答案. 【详解】设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c， 由题意得，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为： 13． 【分析】根据抛物线的焦点可得，即又由双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为，最后计算即可. 【详解】由抛物线的焦点为，因为双曲线与抛物线的焦点重合， 可得双曲线的右焦点为，即，可得， 又由双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为， 因为抛物线准线与一条渐近线交于点，可得， 即交点为，代入渐近线方程，可得，可得， 将代入，可得，所以，所以双曲线的方程为， 故答案为： 14．3 【分析】由椭圆方程得，由椭圆定义、焦点三角形中的余弦定理及求解. 【详解】由椭圆可得，所以， 所以， 设，， 则，， 在中，， 即， 所以，所以，所以， 即， 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质，由b，c求出a，结合焦点位置即可求解椭圆的标准方程． （2）根据与两条坐标轴的交点坐标，确定焦点位置及a，b，即可得解． 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，由得椭圆的焦点在x轴上， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据条件，写出关于的方程组，即可求解； （2）直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理表示弦长，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，所以，，， 所以双曲线的方程为； （2）联立，得， 设直线被双曲线交于点， 恒成立， ，， ， ， 解得： 17．(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线中的几何意义得解； （2）利用点差法求解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故， 所以． （2）设，，如下图： 则， 由，得， 若，则A、B关于x轴对称，为AB中点不符合题意； 若，则， 所以直线的方程为，即． 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意结合抛物线定义可得答案； （2）设，，将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理结合·＝0，可得，据此可得答案. 【详解】（1）抛物线的焦点F，准线方程为x＝－， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，∴抛物线的方程为. （2）证明：设， 联立，消去x，整理得，， 得，又，可知且 由韦达定理可知，＝· 由·＝0，即，. 即，直线，故直线l过定点. 19．(1) (2)，，， (3) 【分析】（1）根据条件求得，求得椭圆方程； （2）利用三角形面积公式求得点的纵坐标，代入椭圆方程求得点坐标； （3）联立椭圆方程和直线方程，得到根与系数关系，利用弦长公式列式求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，则，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设点，则，得， 又， ，解得， 所以点的坐标为，，，. （3）设，， 联立，消去整理得， ，，， ， 化简整理得，解得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $