精品解析：云南省保山市施甸县第三完全中学2022—2023学年上学期八年级数学竞赛试题（甲卷）

2022年施甸三中八年级上学期数学竞赛试题（甲卷） 满分：100分 考试时间：120分钟 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（ ） A. 6天 B. 5天 C. 8天 D. 9天 2. 计算得（ ） A. B. C. 2 D. －2 3. 将长为的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 4. 给出两列数：（1）1，3，5，7，…，2021；（2）1，6，11，16，…，2026，则同时出现在两列数中的数的个数为（ ） A. 201 B. 203 C. 200 D. 202 5. 如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　） A. 28个 B. 27个 C. 24个 D. 22个 6. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 7. 设，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，为的三边长，且满足，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 10. 已知，，那么的值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 二、填空题：（每题5分，共20分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点，点在坐标轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点的个数是________． 12. 计算：______. 13. 、和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个，3个，和4个连续奇数的和，也能按此规律进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中最大的数是 ________． 14. 计算：________． 三、解答题（每题10分，共40分） 15. 将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，求的值． 16. 探究与应用 （1）计算： ______． ______； ______． （2）由此，猜想：______． （3）请你利用上式的结论，求的值． 17. 已知：，求的值 18. 已知直线，直线与直线、分别相交于点、． （1）如图1，若，求，的度数； （2）若点是平面内的一个动点，连接、，探索、、之间的数量关系； ①当点在图2的位置时，请写出、、之间的数量关系并证明； ②当点在图3的位置时，请写出、、之间的数量关系并证明； ③当点在图4的位置时，请直接写出、、之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年施甸三中八年级上学期数学竞赛试题（甲卷） 满分：100分 考试时间：120分钟 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（ ） A. 6天 B. 5天 C. 8天 D. 9天 【答案】D 【解析】 【分析】水浮莲每天面积增加1倍，即后一天面积是前一天面积的2倍，可通过逆推直接得到长满一半池塘的天数． 【详解】解：∵水浮莲每天增加1倍， ∴后一天的水草面积为前一天水草面积的倍，即前一天水草面积是后一天水草面积的一半， ∵天刚好长满整个池塘， ∴长满池塘面积一半的时间为天． 2. 计算得（ ） A. B. C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴原式. 3. 将长为的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】C 【解析】 【分析】已知三角形的周长，分别假设三角形的最长边，从而利用三角形三边关系进行验证即可求得不同的截法． 【详解】解：∵长棒的长度为，即三角形的周长为， ∴①当三角形的最长边为7时，有4种截法，分别是：7，7，1；7，6，2；7，5，3；7，4，4； ②当三角形的最长边为6时，有2种截法，分别是：6，6，3；6，5，4； ③当三角形的最长边为5时，有1种截法，是：5，5，5； ④当三角形的最长边为4时，有1种截法，是4，3，8，因为，所以此截法不可行； ∴不同的截法有：种． 4. 给出两列数：（1）1，3，5，7，…，2021；（2）1，6，11，16，…，2026，则同时出现在两列数中的数的个数为（ ） A. 201 B. 203 C. 200 D. 202 【答案】B 【解析】 【分析】根据第一列数是从1开始每相邻的两个数相差2；第二列数是从1开始每相邻的两个数相差5．所以同时出现在两个数列中的数应是从1开始每相差为10的，即1，11，21，31，41，…，2011，2021，进一步即得答案． 【详解】解：同时出现在两个数列中的数应是从1开始相邻两项的差为10的数，即1，11，21，31，41，…，2011，2021， ∴同时出现在两列数中的数的个数为. 5. 如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　） A. 28个 B. 27个 C. 24个 D. 22个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 6. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂的乘方的逆运算，将三个数的指数统一为相同值，再通过比较底数大小得到三个数的大小关系． 【详解】∵ ，，， ，，， ∵ ，指数相同的正整数幂，底数越大幂越大， ∴ ，即． 7. 设，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将变形为1减分数的形式，再根据分子相同的正分数比较大小的规则，推导得到的大小关系． 【详解】解：，，， ∵，分子为1的正分数，分母越大分数越小， ∴， ，即． 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用积的乘方逆运算简化计算，先将小数化为分数，拆分高次幂后逐步计算即可 【详解】解： ． 9. 已知，，为的三边长，且满足，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】对已知等式变形配方，利用平方数的非负性推导三边关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵，，， ∴， 可得 ， ∴是等边三角形． 10. 已知，，那么的值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，再将变形为含已知量的式子，代入计算即可． 【详解】解：， 将，代入得：，即， 解得； 又， 将，代入得：． 二、填空题：（每题5分，共20分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点，点在坐标轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点的个数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，利用数形结合思想，分情况讨论等腰三角形的腰和底，确定点的位置即可求解． 【详解】解：是等腰三角形，分三种情况讨论： 如图，当为底边时，点在的垂直平分线上，的垂直平分线与轴、轴各有个交点，共得到个符合条件的点； 如图，当为腰时，顶点为原点时，以为圆心，长为半径画圆，，该圆与轴、轴各有个交点，共得到个符合条件的点； 如图，当为等腰三角形的腰，顶点为点时，以为圆心，长为半径画圆，该圆与轴、轴各有个交点，其中一个交点为原点，不能构成三角形，舍去，因此共得到个符合条件的点； 综上所述，满足条件的点共有个． 12. 计算：______. 【答案】 【解析】 【分析】将原式乘以（2-1）凑出平方差公式的形式，按照平方差公式进行计算即可得出答案. 【详解】 . 【点睛】本题考查的是平方差公式，能够将原式乘以（2-1）凑出平方差公式的形式是解题的关键. 13. 、和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个，3个，和4个连续奇数的和，也能按此规律进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中最大的数是 ________． 【答案】41 【解析】 【分析】通过观察易得63“分裂”出6个奇数，根据所给的分裂数即可推断出最大的奇数． 【详解】解：23有2个奇数相加，最大的为22+1， 33有3个奇数相加，最大的为32+2， 43有4个奇数相加，最大的为42+3， 那么63就有6个奇数相加，最大的为62+5=41． 故答案为：41． 【点睛】本题考查的是数字的变换类，发现数字与数字之间存在的关系，再用类比的方法可以得出答案． 14. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行简算即可. 【详解】解：原式 ． 三、解答题（每题10分，共40分） 15. 将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 16. 探究与应用 （1）计算： ______． ______； ______． （2）由此，猜想：______． （3）请你利用上式的结论，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则即可得； （2）根据（1）的结果，归纳即可得； （3），利用（2）的结论计算即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：由此，猜想：， 计算过程如下： ， 故答案为：． 【小问3详解】 解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 17. 已知：，求的值 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知方程，两边同除以得到的值，再利用完全平方公式变形所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：已知 当时，方程左边为，因此 方程两边同时除以得 整理得 代入 得原式 18. 已知直线，直线与直线、分别相交于点、． （1）如图1，若，求，的度数； （2）若点是平面内的一个动点，连接、，探索、、之间的数量关系； ①当点在图2的位置时，请写出、、之间的数量关系并证明； ②当点在图3的位置时，请写出、、之间的数量关系并证明； ③当点在图4的位置时，请直接写出、、之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②，证明见解析；③或． 【解析】 【分析】（1）根据对顶角相等求∠2，根据两直线平行，同位角相等求∠3； （2）①过点P作MN∥AB，根据平行线的性质得∠EPM=∠PEB，且有MN∥CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性质易得∠EPF=∠PEB+∠PFD． ②③的解题方法与①一样，分别过点P作MN∥AB，然后利用平行线的性质得到三个角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴ . （2）①. 过点作，则. ∵，， ∴， ∴， ∴， 即. ②， 过点作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴. 即. ③或.写对一种即可． 理由：如图4，过点P作PM∥AB， ∵AB∥CD，MP∥AB， ∴MP∥CD， ∴∠PEB=∠MPE，∠PFD=∠MPF， ∵∠EPF+∠FPM=∠MPE， ∴∠EPF+∠PFD=∠PEB． 【点睛】 本题主要考查了平行公理的推论和平行线的性质，结合图形作出辅助线构造出三线八角是解决此题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $