精品解析：河北张家口市桥东区2025-2026学年下学期八年级数学期末质量监测

八年级数学学科学业水平质量监测 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 答题要求及注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上；准考证号用2B铅笔涂在答题卡上． 2．选择题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净；非选择题部分，必须使用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写在答题区域内，超出答题区域书写无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 2. 如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，关于木框的面积，下列说法正确的是（ ）     A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 不能确定 3. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游，在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座，如图所示，若此时座和座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 5. 如图，四边形是平行四边形，若直线能将面积等分，这样的直线的条数有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，在梯形中，，，，，，则的长度为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8. 如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 9. 嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 10. 菱形的周长为，它的一条对角线长为，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，，动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13. 一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中红球的个数为______． 14. 已知：在▱ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是_____________． 15. 若是关于的方程的一个根，则的值为______． 16. 已知：在正方形中，边长为6个单位，连接，点M为上一个动点，连接，过点M作，交边所在的直线于点，连接，设的中点为点，当点从点向点C运动6个单位时，点Q运动的长为______个单位． 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 （1）你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； （2）请选择合适的方法解一元二次方程：． 18. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左转或右转．假设这三种可能性相同，现有嘉嘉和琪琪两人经过该路口． （1）嘉嘉从这三种情况中任选一个可能右转的概率是______； （2）利用树状图或列表法求两人之中至少有一人直行的概率． 19. 已知方程 （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的一个根为，求的值． 20. 如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点F，交于点G． （1）求证：； （2）若，求的周长． 21. 如图，在矩形中，，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合． （1）尺规作图：作出折痕，分别与、交于点E和点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求折痕的长． 22. 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． （1）若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ （2）该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 23. 综合与实践 【情境】工厂有一批形状和大小相同的三角形铁皮，现在需要将每块三角形铁皮都加工成一个与其面积相等的平行四边形． 【操作】在图1中，工人师傅先确定与的中点分别为、，连接，并沿剪开，将绕点E顺时针方向旋转到的位置（如图2），这样就得到了一个与面积相等的平行四边形． 【探究】 （1）在图2中，与的关系为______； 【运用】如图3 在四边形中，分别为的中点 （2）若，证明四边形是菱形； （3）若，且，连接，直接写出的长． 24. 如图1，在矩形中，，将绕点B顺时针旋转得到线段，过点作交直线于点． （1）在图1中， ①当时，连接，则的面积为______； ②证明：； （2）当时，点落在边上，如图2，证明：四边形是正方形； （3）当点三个点在一条直线上时，直接写出的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科学业水平质量监测 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 答题要求及注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上；准考证号用2B铅笔涂在答题卡上． 2．选择题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净；非选择题部分，必须使用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写在答题区域内，超出答题区域书写无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形与平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 平行四边形的通用性质为：对边平行，对角相等，对角线互相平分，通过对比性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A.对边平行，正方形和平行四边形都具有，不符合题意； B.对角相等，正方形和平行四边形都具有，不符合题意； C.对角线互相平分，正方形和平行四边形都具有，不符合题意； D.正方形的对角线互相垂直平分，而一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定垂直，则对角线互相垂直是正方形具有而平行四边形不一定具有的性质，符合题意． 2. 如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，关于木框的面积，下列说法正确的是（ ）     A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵矩形木框挤压变成平行四边形后，底边没变，但高变小了， ∴木框的面积变小了． 3. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游，在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座，如图所示，若此时座和座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该排座位共有五个座位， 已经售出，剩余座位为， 所有情况列表如下， C 共有6种等可能结果，其中符合题意的有，2种， 所以小亮和爸爸相邻而坐的概率是． 4. 将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 5. 如图，四边形是平行四边形，若直线能将面积等分，这样的直线的条数有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据中心对称的性质，过平行四边形中心的直线都可以把平行四边形分成面积相等的两个部分， 所以，这样的直线有无数条． 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 7. 如图，在梯形中，，，，，，则的长度为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，可得四边形为矩形，求出的长，再根据含角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，则， ，，  ∴， 四边形为矩形， ， ， 在中，， ， ． 8. 如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行逐项分析即可判断． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、在中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意． 9. 嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 10. 菱形的周长为，它的一条对角线长为，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，先求出菱形的边长，再求出另一条对角线的长度，然后根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：如图，四边形是菱形，两条对角线交于点，且它的周长为， 设对角线， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积为． 11. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：A． 12. 如图，在中，，，，动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质可知当点在上时，的面积最大，此时是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理可以求出，再利用等边三角形的性质求出的面积． 【详解】解：如下图所示， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 是的垂直平分线，平分， 当点在上时，的面积最大， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13. 一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中红球的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据用频率估计概率，得到摸到白球的概率约为，结合总球数计算白球个数，进而即可求解． 【详解】解：通过多次摸球试验后，摸到白球的频率约为， 由频率估计概率可得，估计摸到白球的概率为， 又袋中白球和红球共个， 估计袋中白球的个数为：， 估计袋中红球的个数为． 14. 已知：在▱ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是_____________． 【答案】100° 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质判断即可； 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°， ∵∠A+∠C＝160°， ∴∠A＝∠C＝80°， ∴∠B的度数是：100°． 故答案为：100°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形各角之间的关系是解题关键．． 15. 若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先得出，再作为一个整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 16. 已知：在正方形中，边长为6个单位，连接，点M为上一个动点，连接，过点M作，交边所在的直线于点，连接，设的中点为点，当点从点向点C运动6个单位时，点Q运动的长为______个单位． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，交于，过作于，交于，证明，可得，连接，结合为的中点，，可得是的中位线，即的运动轨迹，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，交于， ∵在正方形中，边长为6个单位， ∴，，，，， ∴，， 过作于，交于， ∴，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形，， ∴，， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵为的中点，， ∴是的中位线，即的运动轨迹； ∴. 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 （1）你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； （2）请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】（1）错误；错误． （2）． 【解析】 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； 【小问2详解】 解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 18. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左转或右转．假设这三种可能性相同，现有嘉嘉和琪琪两人经过该路口． （1）嘉嘉从这三种情况中任选一个可能右转的概率是______； （2）利用树状图或列表法求两人之中至少有一人直行的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，经过路口共有3种等可能的情况，其中右转只有1种情况，因此嘉嘉右转的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中至少有一人直行的结果有5种. 因此两人之中至少有一人直行的概率为． 19. 已知方程 （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的一个根为，求的值． 【答案】（1） （2）0或 【解析】 【分析】（1）根据方程根的判别式大于或等于0列出不等式，解不等式即可； （2）将代入方程可得一个关于的一元二次方程，解方程，结合（1）的取值范围即可得． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴方程根的判别式， 解得． 【小问2详解】 解：∵方程的一个根为， ∴，即， 解得或，均符合题意， 即的值为0或． 20. 如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点F，交于点G． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的平分线， ， ， ， 同理可得：， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解； （2）由，可得，从而得出的长，即可得出的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 的周长为． 21. 如图，在矩形中，，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合． （1）尺规作图：作出折痕，分别与、交于点E和点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求折痕的长． 【答案】（1）解：如图，线段即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）直接作线段的垂直平分线即可； （2）由矩形的性质可得，证明，可得，得出四边形是平行四边形．由折叠可知，，由勾股定理得出，则，设，则，再由勾股定理求出，，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 设与交于点， 由题意可得，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 由折叠可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴． ∵，， ∴， ∴． 22. 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． （1）若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ （2）该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 【答案】（1）每件应降价元； （2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程求解，结合降价幅度不超过元的条件舍去不符合题意的解得到结果； （2）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程，通过判断方程是否存在实数解即可得到结论． 【小问1详解】 解：设降价元，根据题意，降价元后，每件盈利为元，每天销售量为件，且． 可得方程 ， 整理得 ． 解得 ， ，  不符合题意，舍去. 因此每件应降价元． 【小问2详解】 解：假设能获得每天元的利润， 根据题意得 ， 整理得， 配方得， 任何实数的平方都不为负数，  该方程没有实数解，因此该服装店不能通过降价销售的方式保证每天获得元的利润. 23. 综合与实践 【情境】工厂有一批形状和大小相同的三角形铁皮，现在需要将每块三角形铁皮都加工成一个与其面积相等的平行四边形． 【操作】在图1中，工人师傅先确定与的中点分别为、，连接，并沿剪开，将绕点E顺时针方向旋转到的位置（如图2），这样就得到了一个与面积相等的平行四边形． 【探究】 （1）在图2中，与的关系为______； 【运用】如图3 在四边形中，分别为的中点 （2）若，证明四边形是菱形； （3）若，且，连接，直接写出的长． 【答案】（1）解：与的关系为，理由如下： 如图，延长至点F，使得，连接． ∴， ∵， 在和中， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． （2）证明：∵F，G分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵H，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理可证，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质求解即可； （2）根据三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，证明即可； （3）根据三角形中位线定理，平行线的性质，矩形的判定，勾股定理，解答即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵E、H分别是和的中点， ∴． 同理：． ∴ ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴． ， ∴． ∴， ∴四边形为矩形． ∵， ∴，． ∴． 24. 如图1，在矩形中，，将绕点B顺时针旋转得到线段，过点作交直线于点． （1）在图1中， ①当时，连接，则的面积为______； ②证明：； （2）当时，点落在边上，如图2，证明：四边形是正方形； （3）当点三个点在一条直线上时，直接写出的长 【答案】（1）①； ②如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. （2）证明：由旋转可得：，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形. （3）为或 【解析】 【分析】（1）①连接，过作于，利用旋转的性质结合矩形的性质求解，求解，进一步求解即可；②连接，证明，进一步即可得到答案； （2）由旋转可得：，，证明四边形是矩形，进一步可得答案； （3）如图，当点三个点在一条直线上且在线段上时，如图，当点三个点在一条直线上且在线段上时，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：①如图，连接，过作于， 由旋转可得：，， ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∴的面积为. ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点三个点在一条直线上且在线段上时， 由（1）得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，当点三个点在一条直线上且在线段上时， 同理可得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上：为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $