精品解析：河北秦皇岛市青龙满族自治县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025—2026学年第二学期期末学业水平监测 八年级数学试题 本试卷分卷Ⅰ和卷II两部分；卷Ⅰ为选择题，卷II为非选择题 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 本试卷答案一律写在答卷纸上，考试结束后，只收答卷纸． 卷Ⅰ 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. “俭以养德”是中华民族的优秀传统．某中学为了对全校学生零花钱的使用进行正确引导，随机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行统计，关于这次调查，下列说法正确的是（ ） A. 本次调查属于普查 B. 50名学生的一周的零花钱数额是总体 C. 每一名学生是样本 D. 每一名学生一周的零花钱数额是个体 2. 如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（ ） A. 北偏东方向上的1200米处 B. 南偏西方向上的1200米处 C. 北偏东方向上的1200米处 D. 距离学校1200米处 3. 如图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱垂直于地面，点，分别是，的中点，，那么小朋友在游戏中，点离地面的最大高度是（ ） A. B. C. D. 4. 某校计划举办一场一次不间断踢毽子比赛（即毽子不落地），体育老师将丽丽连续5天一次不间断踢毽子的训练情况绘制成如图所示的趋势图，根据所绘制的趋势图估计丽丽第6天一次不间断可踢毽子（ ） A. 25个 B. 35个 C. 30个 D. 28个 5. 下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（ ） A. 正方形的面积与边长的关系 B. 按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C. 汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D. 读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 6. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 关于的一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 一次函数的图象过第一、三、四象限 B. 一次函数的图象过点 C. 随的增大而减小 D. 与轴交点的坐标为 8. 如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则菱形的面积等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，则的值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二．填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________． 14. 平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，则当线段取最小值时，点B的坐标为________． 15. 如图，一个小梯形的下底长为，上底和两腰长都为，用小梯形按图所示拼接，观察图形、表格，若小梯形的个数为，则拼接所成图形的周长是________． 梯形个数 … 图形周长 … 16. 如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接，若，，，则的长为________． 三．解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 中国象棋是我国传统文化中的一部分，体现了古人的智慧，象棋的一个规则是所有棋子最后都要落在网格的格点处．小明是象棋爱好者，在学习了平面直角坐标系后，在如图所示的一半棋盘上建立了一个直角坐标系，这样，“炮”的位置是． （1）请你在图中画出小明建立的直角坐标系，并写出棋子“相”的坐标； （2）棋子“马”走的规则是每步走“日”字形，例如：图中“马”走到“”处我们可以说成：“马”向上平移个单位，向右平移个单位．请问：“马”可以走到“”处吗？若可以，请写出平移的方法． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF． 19. 为了解某长跑俱乐部成员的跑步成绩情况，某学校的长跑社团收集了该俱乐部年和年半程马拉松“大师赛”的比赛成绩，分为两个研究小组进行调查研究． （1）第一个研究小组随机抽取了该俱乐部年一些成员的比赛成绩，部分统计结果如下： 成绩（分钟） 频数（人） 频率 合计 ①请把上面的频数分布直方图补充完整； ②在年，该俱乐部共有名成员，根据上面的统计结果，请估计该年俱乐部中成绩不超过分钟的人数； （2）第二个研究小组从该俱乐部年和年均参加了半程马拉松“大师赛”的选手中抽取了名选手的跑步成绩，绘制了统计图（如图所示）． 请根据以上信息解答下面的问题： ①小赵年的比赛用时比年的比赛用时 （填“多”或“少”）； ②将这名选手中年成绩优于年成绩的人数记为，其余选手人数记为，则（填“”或“”或“”）． 20. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始．如果把学习后的时间记为（时），记忆留存率记为（），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． （1）是关于的函数吗？为什么？ （2）根据图象，写出记忆留存率随学习后的时间的变化规律； （3）小明同学第一次记忆了个英语单词，请估算第一次学习后的小时，小明大约能回忆起多少个单词（结果精确到个位）； （4）根据艾宾浩斯遗忘曲线所揭示的规律，对于新事物学习，请你提出一条合理的建议． 21. 如图，在直角梯形中，∥，． （1）请用尺规作图法在上找一点，连接，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，取、、、的中点分别为、、、，顺次连接、、、．请判断四边形的形状，并说明理由． 22. 某快递公司招聘快递员，并提供了如下两种日工资方案： 方案一：每日无底薪，每一件快递提成元． 方案二：每日底薪元，提成按派送量分两档计算，当日派送量不超过件时，无提成；当日派送量超过件时，超出部分每件提成元． 设快递员每日完成的派送量为件（为正整数），方案一、方案二中快递员的日工资分别为元，元． （1）求出，关于的函数关系式； （2）小林是此快递公司的一名快递员，他想日工资达到元，从派送量的角度考虑，小林应该选择哪种方案？说明理由． 23. 数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． （1）如图，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边上，折痕为，此时折出的 度； （2）如图，小刚受到小明折叠过程的启发，发现如果将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点为上一点，再将沿折叠，使点落到上的点处，此时 度； （3）如图，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①求的度数； ②若，求的长度． 24. 直线经过和且与直线：交于点． （1）求直线的表达式； （2）求直线、直线与轴所围成的三角形面积； （3）设直线与轴，直线及直线分别交于三个不同的点，，，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末学业水平监测 八年级数学试题 本试卷分卷Ⅰ和卷II两部分；卷Ⅰ为选择题，卷II为非选择题 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 本试卷答案一律写在答卷纸上，考试结束后，只收答卷纸． 卷Ⅰ 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. “俭以养德”是中华民族的优秀传统．某中学为了对全校学生零花钱的使用进行正确引导，随机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行统计，关于这次调查，下列说法正确的是（ ） A. 本次调查属于普查 B. 50名学生的一周的零花钱数额是总体 C. 每一名学生是样本 D. 每一名学生一周的零花钱数额是个体 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵本次调查只抽取了50名学生，没有调查全部对象，∴不属于普查，A错误； ∵本次调查的总体是全校所有学生一周的零花钱数额，50名学生一周的零花钱数额是本次调查的样本，∴B错误； ∵样本是抽取的50名学生每人一周的零花钱数额，不是学生本身，∴C错误； ∵个体是每一名学生一周的零花钱数额，符合定义，∴D正确． 2. 如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（ ） A. 北偏东方向上的1200米处 B. 南偏西方向上的1200米处 C. 北偏东方向上的1200米处 D. 距离学校1200米处 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了方向角，结合图形得出小明家在学校的南偏西方向上的1200米处，即可作答． 【详解】解：， 由图形知，小明家在学校的南偏西方向上的1200米处． 3. 如图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱垂直于地面，点，分别是，的中点，，那么小朋友在游戏中，点离地面的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为垂直于地面，B点到地面的垂线也垂直于地面，所以，因为点，分别是，的中点，所以是的三角形中位线，即可建立与所求高度的数量关系． 【详解】解：由题意得，地面，地面，点A、C重合， ∴； 又点，分别是，的中点， ∴是的三角形中位线； ∴． 因此点离地面的最大高度是． 4. 某校计划举办一场一次不间断踢毽子比赛（即毽子不落地），体育老师将丽丽连续5天一次不间断踢毽子的训练情况绘制成如图所示的趋势图，根据所绘制的趋势图估计丽丽第6天一次不间断可踢毽子（ ） A. 25个 B. 35个 C. 30个 D. 28个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查趋势图，从趋势图中获取信息，进行估计即可． 【详解】解：由图，丽丽每天一次不间断踢毽子的个数呈现上升趋势，估计丽丽第6天一次不间断可踢毽子35个； 故选B． 5. 下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（ ） A. 正方形的面积与边长的关系 B. 按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C. 汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D. 读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 【答案】A 【解析】 【分析】均匀变化的本质是两个变量满足一次函数关系，即自变量每增加1个单位，因变量的变化量恒定，据此分析各选项的函数关系即可得出答案． 【详解】解：首先明确，均匀变化要求自变量每增加1个单位时，因变量的变化量始终相等，对应函数为一次函数， 对各选项分析如下： A：设正方形边长为，面积为，可得，当从1增加到2，增加，当从2增加到3，增加，变化量不相等，不是均匀变化； B：设作业本单价为（为常数），购买数量为，总花费为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量增加，变化量恒定，是均匀变化； C：设汽车速度为（为常数），行驶时间为，路程为，可得，是一次函数，变化量恒定，是均匀变化； D：设书总页数为，每天读页（为常数），读书天数为，剩余页数为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量减少，变化量恒定，是均匀变化； 因此选A． 6. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意； D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 7. 关于的一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 一次函数的图象过第一、三、四象限 B. 一次函数的图象过点 C. 随的增大而减小 D. 与轴交点的坐标为 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的系数判断增减性和经过的象限，再代入计算验证点坐标和与轴交点，逐一判断选项即可． 【详解】解：一次函数为，其中，， A.由，，可知一次函数图象经过第一、三、四象限，A正确； B.当时，，则图象不过点，B错误； C.由，可知随的增大而增大，C错误； D.当时，，与轴交点坐标为，不是，D错误． 8. 如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则菱形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作于点H，可求出，则可得到，，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴； ∴． 9. 如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，则的值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度， ， ． 10. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、的值，求出的值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ． 11. 如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，，进而，又根据，过点作于点，可得，则可求． 【详解】解：根据题意得：直线向右平移个单位长度时，直线经过点，此时直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当时，，当时，， 则， ∴， ∴， 当直线经过点，点时， 设过点的直线与的交点为，过点的直线与的交点为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 根据函数图象得， 设直线分别与轴交于点，点， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二．填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________． 【答案】 【解析】 【详解】解：五边形的内角和． 14. 平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，则当线段取最小值时，点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到坐标轴的距离即可求解． 【详解】解：∵点，点B在y轴上， ∴当线段取最小值时，轴，的纵坐标等于的纵坐标 ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，求点的坐标，理解轴时线段取最小值是解题的关键． 15. 如图，一个小梯形的下底长为，上底和两腰长都为，用小梯形按图所示拼接，观察图形、表格，若小梯形的个数为，则拼接所成图形的周长是________． 梯形个数 … 图形周长 … 【答案】6080 【解析】 【分析】每增加一个梯形，其周长就增加，据此求解即可得出n个梯形得到的图形的周长，从而可求解． 【详解】解：1个梯形时，其周长， 2个梯形时，其周长， 3个梯形时，其周长， ...， 个梯形时，其周长为， 当时，其周长为：． 16. 如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接，若，，，则的长为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查梯形里直角条件的平移辅助线构造、平行四边形性质、直角三角形斜边中线定理与勾股定理． 平移两腰构造平行四边形，把转化为直角三角形两条直角边；依据中点条件，判定是直角三角形斜边中线，算出斜边长度； 代入勾股定理求出直角边，的长度等于． 【详解】解：过作、，分别交于、． ，四边形、都是平行四边形， ． 是中点、是中点， ， 可得，即为中点． ， 已知， ，是直角三角形． 斜边中线． 三．解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 中国象棋是我国传统文化中的一部分，体现了古人的智慧，象棋的一个规则是所有棋子最后都要落在网格的格点处．小明是象棋爱好者，在学习了平面直角坐标系后，在如图所示的一半棋盘上建立了一个直角坐标系，这样，“炮”的位置是． （1）请你在图中画出小明建立的直角坐标系，并写出棋子“相”的坐标； （2）棋子“马”走的规则是每步走“日”字形，例如：图中“马”走到“”处我们可以说成：“马”向上平移个单位，向右平移个单位．请问：“马”可以走到“”处吗？若可以，请写出平移的方法． 【答案】（1）直角坐标系，如图所示： ，棋子“相”的坐标为； （2）①“马”可以走到“”处， “马”向上平移个单位，向右平移个单位． 【解析】 【分析】（1）根据“炮”的位置是，可以建立直角坐标系，由图中棋子“相”的位置写出“相”的坐标即可； （2）利用平移的性质求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 略 18. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得出AB=CD，∠ABE=∠CDF，OB=OD．根据题意又可求出∠AEB=∠CFD=90°，即利用“AAS”易证△ABE≌△CDF，得出BE=DF，从而即可求出OE=OF． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，，OB=OD， ∴∠ABE=∠CDF． ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90°， 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(AAS)， ∴BE=DF． ∴OB-BE=OD-DF， ∴OE=OF． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定条件是解题关键． 19. 为了解某长跑俱乐部成员的跑步成绩情况，某学校的长跑社团收集了该俱乐部年和年半程马拉松“大师赛”的比赛成绩，分为两个研究小组进行调查研究． （1）第一个研究小组随机抽取了该俱乐部年一些成员的比赛成绩，部分统计结果如下： 成绩（分钟） 频数（人） 频率 合计 ①请把上面的频数分布直方图补充完整； ②在年，该俱乐部共有名成员，根据上面的统计结果，请估计该年俱乐部中成绩不超过分钟的人数； （2）第二个研究小组从该俱乐部年和年均参加了半程马拉松“大师赛”的选手中抽取了名选手的跑步成绩，绘制了统计图（如图所示）． 请根据以上信息解答下面的问题： ①小赵年的比赛用时比年的比赛用时 （填“多”或“少”）； ②将这名选手中年成绩优于年成绩的人数记为，其余选手人数记为，则（填“”或“”或“”）． 【答案】（1）① ②估计该年俱乐部中成绩不超过分钟的人数为人； （2）①少；②． 【解析】 【分析】（1）①用成绩为的人数除以其人数占比求出参与调查的人数再乘以成绩在分钟的人数占比，求出成绩在分钟的人数，进而补全统计图即可；②用乘以样本中成绩成绩不超过分钟的人数占比即可得到答案； （2）①、②根据统计图即可得到答案． 【小问1详解】 解：①总人数：（人）， 成绩在分钟的人数：（人）， 频数分布直方图补充略； ②方法一：成绩不超过分钟的人数：（人）； 方法二：成绩不超过分钟的人数：（人）； 【小问2详解】 解：①∵由图可知，小赵用时大于分钟，接近分钟， ∴小赵年的比赛用时比年的比赛用时少； ②如图，由统计图可知在左上方的点少于右下方的点，即年成绩比年成绩好的人数多于不好的人数， ∴． 20. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始．如果把学习后的时间记为（时），记忆留存率记为（），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． （1）是关于的函数吗？为什么？ （2）根据图象，写出记忆留存率随学习后的时间的变化规律； （3）小明同学第一次记忆了个英语单词，请估算第一次学习后的小时，小明大约能回忆起多少个单词（结果精确到个位）； （4）根据艾宾浩斯遗忘曲线所揭示的规律，对于新事物学习，请你提出一条合理的建议． 【答案】（1）是关于的函数．理由如下：根据图象知，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应， 是关于的函数 （2）记忆留存率随学习后的时间的增大而减小；且刚开始下降得很快，后来下降速度逐渐变慢，最后趋于平稳 （3）小明大约能回忆起个单词 （4）答案不唯一，示例答案：学习新知识后应及时复习，多次重复，以减缓遗忘速度． 【解析】 【分析】（1）根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可解答； （2）根据函数图象即可求解． （3）根据点的坐标的意义即可解答； （4）提出一条合理的建议即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图象可知，学习后小时对应的记忆留存率约为， （个）， 答：小明大约能回忆起个单词． 【小问4详解】 略 21. 如图，在直角梯形中，∥，． （1）请用尺规作图法在上找一点，连接，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，取、、、的中点分别为、、、，顺次连接、、、．请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）解：尺规作图如下： （2）四边形是菱形，理由如下： 连接、． 、分别是、的中点， ， 同理：，，， ∵四边形是矩形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）作线段，结合，可得四边形是平行四边形，结合，可得四边形是矩形. （2）连接、，结合三角形的中位线证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某快递公司招聘快递员，并提供了如下两种日工资方案： 方案一：每日无底薪，每一件快递提成元． 方案二：每日底薪元，提成按派送量分两档计算，当日派送量不超过件时，无提成；当日派送量超过件时，超出部分每件提成元． 设快递员每日完成的派送量为件（为正整数），方案一、方案二中快递员的日工资分别为元，元． （1）求出，关于的函数关系式； （2）小林是此快递公司的一名快递员，他想日工资达到元，从派送量的角度考虑，小林应该选择哪种方案？说明理由． 【答案】（1）（为正整数），x为正整数， （2）选择方案二． 理由如下： 令，则方案一中，，解得， 方案二中，，解得． ∴从派送量的角度考虑，小林应该选择方案二． 【解析】 【分析】（1）根据题意求两种方案的解析式即可； （2）分别计算两种方案，再比较即可解答． 【小问1详解】 解：关于的函数关系式为（为正整数）， 当时，， 当时，． 关于的函数关系式为 【小问2详解】 略 23. 数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． （1）如图，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边上，折痕为，此时折出的 度； （2）如图，小刚受到小明折叠过程的启发，发现如果将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点为上一点，再将沿折叠，使点落到上的点处，此时 度； （3）如图，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①求的度数； ②若，求的长度． 【答案】（1） （2） （3）①② 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，再由求解即可； （2） 添加辅助线，连接，得到为的垂直平分线，结合折叠的性质可得，，进而得到为等边三角形，从而可求解，由此可解； （3）①根据折叠可知，，，再结合，求解即可； ②先由折叠的性质得到，，再由直角三角形中的勾股定理建立关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：根据折叠的性质可得， ， ，即， ； 【小问2详解】 解：连接，如图， 将长方形纸片对折，折痕为， 为的垂直平分线， ， 再由折叠的性质可得，， ， 为等边三角形， ， ， ； 【小问3详解】 解：①由折叠性质可知：，． 四边形是正方形， ， 即． ； ②四边形是正方形， ， 由折叠可得，， ， ，， ， ， 中，， ， 即，解得． 24. 直线经过和且与直线：交于点． （1）求直线的表达式； （2）求直线、直线与轴所围成的三角形面积； （3）设直线与轴，直线及直线分别交于三个不同的点，，，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值． 【答案】（1） （2）所围成的三角形的面积为 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记与轴交于点，与轴的交点为，求解，，，再进一步利用面积公式求解即可； （3）由直线与轴，直线及直线分别交于三个不同的点，，，表示,，，分三种情况：当是的中点，当是的中点时，当是的中点时，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为， 将点和代入该解析式，得， 解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：记与轴交于点，与轴的交点为， ∵直线的函数解析式为， ∴当，， ∴， ∵直线的函数解析式为， ∴当，， ∴， 联立解析式得：， 解得：，即， ∴直线、直线与轴所围成的三角形面积为. 【小问3详解】 解：直线与轴，直线及直线分别交于三个不同的点，，， ∴,，， 如图， 当两点关于点对称， ∴是的中点， ∴， 解得：， 同理：当是的中点时， ∴， 方程无解，舍去， 当是的中点时， ∴， 解得： 综上：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $