单元集训卷16　复数-2027年高考数学一轮复习单元集训专题

**基本信息** 高中数学复数单元一轮复习试题汇编，120分钟150分，覆盖复数概念、运算、几何意义等核心知识，题型梯度合理，综合题注重数学思维与语言应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算（3题）、几何意义（4题）、共轭复数（5题）|基础题（1-3题）巩固概念，能力题（4题旋转、8题最值）体现数形结合| |填空题|3题/15分|复数模（13题）、方程根（14题）|简洁考查核心公式应用| |解答题|5题/77分|实系数方程（15题）、几何意义综合（18题）、最值证明（19题）|分层设问，如17题从共轭复数到参数范围再到最值，呼应高考命题趋势|

单元集训卷16　复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足条件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由共轭复数以及乘法运算求解即可. 【详解】设，所以，又因为， 所以， 所以，解得. 2．复数（其中i为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，即的幂次具有周期性，周期为4， 所以. 所以. 3．（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】 4．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将向量的顺时针旋转转化为复数乘法运算，通过复数除法的分母实数化求解原复数. 【详解】由复数乘法的几何意义，复数对应的向量绕原点顺时针旋转后， 所得向量对应的复数为，即. 因此，，分子分母同乘，得. 5．已知复数z的共轭复数为，且，则（     ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【详解】设，，，则，， 所以，， 因为，所以，， 则，解得，故，. 6．若复数（i为虚数单位），其中假命题为（    ） A． B．若，则 C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 【答案】D 【分析】A选项，根据即可判断；B选项，计算出，再计算；C选项，化简得到，根据虚数定义确定的范围即可判断，C正确；D选项，根据复数的几何意义得到的对应点的轨迹，从而求出的最大值． 【详解】A选项，，则，故，A正确； B选项，若，则，， ，B正确； C选项，， 由题意得，故也是虚数，C正确； D选项，的几何意义为复平面内，到的距离为1的圆， 故此圆上的点到原点的距离最大值为，D错误． 7．已知复数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将复数表示为代数形式 ，然后直接计算差的模平方，展开得到 ，再分别计算 和 的表达式，发现它们的和等于 ，于是将差的模平方写成 ，代入已知数值即可求得结果． 【详解】设 ，，其中 ， 则 ， 而 ， ， 所以． 因此，， 由已知 ，，且， 代入得， 因此 . 8．若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 所以，解得， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（为虚数单位），，为复数，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据复数的运算性质依次判断各选项即可. 【详解】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，则，所以， 又因为，所以，故C正确； 对于D，设，，则，， 所以，， 又因为，所以，得， 所以，表示的对应向量垂直.可取，，则，故D错误. 10．已知复数，，，，在复平面内对应的点分别为，其中为虚数单位，为坐标原点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据复数的几何意义与向量数量积的运算，结合三角恒等变换，即可判断. 【详解】对于A选项，，辐角为， 辐角为， 两向量的夹角余弦为， ，所以，故，正确； 对于B选项，， 所以， ， 所以, 因为和是任意角，所以，故B选项错误. 对于C选项，，，所以，， 因此，故C选项错误. 对于D 选项，，，因此，故D选项正确. 11．已知复数：，，则下列说法正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．复数对应的点不可能在第一、三象限的角平分线上 D．设，复数z满足，则的最大值为 【答案】AD 【详解】对于A，， 因为为纯虚数，所以，则，故A正确； 对于B，， 若为实数，则，此方程无解，故B错误； 对于C，， 若复数对应的点在第一、三象限的角平分线上， 则，解得，故C错误； 对于D，设，则，设， 则， 因为复数z满足，所以， 即， 则，则的最大值为点到原点的距离加上， 即的最大值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．计算__________． 【答案】 【分析】由复数的运算法则逐步化简，即可得解． 【详解】 ． 13．已知复数满足，，则__________． 【答案】 【分析】直接设（且），再根据复数的模的定义及复数相等的定义可得. 【详解】设（且），则，. 因为，由复数相等的定义得①. 又因为，所以，， 化简整理得②，将②代入①得，解得或. 当时，则，所以，不符合题意； 当时，则，所以，. 14．已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 【答案】或 【分析】根据一元二次方程是否有根，结合一元二次方程的判别式、根与系数的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】关于x的方程的两个根分别为，， 当时，即当时，方程有两个实数根分别为，， 有， 由 ，显然满足，因此. 当时，即当时，方程有两个虚数根分别为，， 根据一元二次方程虚数根的特点，设，则， 由， 由， 由，显然满足， 综上所述：实数，或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数（）． (1)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围； (2)若为正实数，是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对应点所在象限列不等式，由此求得的取值范围. （2）先求得，然后根据虚根成对以及根与系数关系求得，进而求得. 【详解】（1）若复数在复平面内对应的点在第四象限， 则，解得，即. （2）由于为正实数，所以，解得，所以， 而是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 所以，即， 所以. 16．已知复数，，其中． (1)若，求实数的值； (2)若的实部大于1，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的乘法及复数相等求解即可. （2）根据复数的除法结合已知条件求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 即，解得. （2）因为， 且的实部大于1，即，解得. 17．已知复数，（是虚数单位）． (1)求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据虚数单位的性质结合复数的除法运算求得，再利用共轭复数的定义求解； （2）根据复数的乘法运算化简，再利用复数的几何意义列式求解； （3）先化简，再根据复数模的公式结合二次函数求最值. 【详解】（1）因为，，，， 所以. 所以. （2）， 则复数在复平面内对应点的坐标为. 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得. 即实数的取值范围是. （3）由（1）得，则. 由复数模的公式，得. 所以当时，取得最小值， 即，所以的最小值为. 18．已知复数满足，且. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求； (2)在第（1）问条件下，若复数，且复数在复平面内对应点在第三象限，求实数的取值范围； (3)在（1）问条件下，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用复数的运算，即可求解； （2）根据条件，利用复数的运算得，即可求解； （3）根据条件，利用复数的运算及虚数单位的运算性质，即可求解. 【详解】（1）设， ，即， 由，得，则， 又，则，解得， 又复数在复平面内对应的点在第二象限，， 所以. （2）由（1）知， 所以， 因为复数在复平面内对应点在第三象限，所以，解得. （3）由（1）知， . 19．已知是虚数，，，且. (1)求的值和的实部的取值范围； (2)求证：为纯虚数； (3)求的最小值. 【答案】(1)，的实部. (2)证明见详解. (3)最小值为1. 【分析】(1)设出虚数的一般形式表示出，通过的范围推出属于实数，从而求出以及实部范围. (2)代入一般形式到中并利用第一小问的内容化简求证. (3)代入和后化简换元，并利用均值不等式求出其最小值. 【详解】（1）设，且，则 . 因，得出为实数，那么，. . ，因为，所以，. （2）证:，且(1)得. 因此为纯虚数. （3）由上题得，，，那么. 设，那么 . 其最小值在时取得，即，因为，所以， 因此时取得最小值且最小值为. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷16　复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足条件，则（   ） A． B． C． D． 2．复数（其中i为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 3．（    ） A．1 B． C． D． 4．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 5．已知复数z的共轭复数为，且，则（     ） A． B．5 C． D．6 6．若复数（i为虚数单位），其中假命题为（    ） A． B．若，则 C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 7．已知复数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 8．若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（为虚数单位），，为复数，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．已知复数，，，，在复平面内对应的点分别为，其中为虚数单位，为坐标原点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知复数：，，则下列说法正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．复数对应的点不可能在第一、三象限的角平分线上 D．设，复数z满足，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．计算__________． 13．已知复数满足，，则__________． 14．已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数（）． (1)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围； (2)若为正实数，是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值． 16．已知复数，，其中． (1)若，求实数的值； (2)若的实部大于1，求的取值范围． 17．已知复数，（是虚数单位）． (1)求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； (3)求的最小值. 18．已知复数满足，且. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求； (2)在第（1）问条件下，若复数，且复数在复平面内对应点在第三象限，求实数的取值范围； (3)在（1）问条件下，求的值. 19．已知是虚数，，，且. (1)求的值和的实部的取值范围； (2)求证：为纯虚数； (3)求的最小值. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $