专题九 考点一 直线与圆&考点二 椭圃-【创新教程】2024-2026三年高考数学真题分类特训试卷

则由m·PA=0 可得一y一2x=0 m·PB=0 (x-y-2z=0' 取m=(0,-2,1), 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c), 则由n·PC= 可得a-2c=0 n·PD=0 年{200取n=2,1. 故cos〈m,n)= -1--30 √5×√6 30 故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为0. 301 14.解：(1)取CB1中点P,连接NP,MP, 由N是B,C1的中，点，故NP∥CC1,且NP= tce. 由M是DD,的中点，故D,M=DD,= 2CC,且D,M/cG, 则有DM∥NP且D,M=NP, 故四边形D,MPN是平行四边形， 故D1N∥MP, 又MPC平面CB,M,D1N￠平面CB,M, 故D,N∥平面CB,M; (2)以A为原点建立如图 所示空间直角坐标系，有 A(0,0,0)、B(2,0,0)、 B1(2,0,2)、M(0,1,1)、 C(1,1,0)、C1(1,1,2),则 有CB1=(1,-1,2)、CM= (-1,0,1),BB1=(0,0,2), 设平面CB,M与平面 B BB1CC1的法向量分别为 m=(x1y1,之1)、n=(x2y2,22）, 则有m·CB=x1一十2，=0 m·CM=-x1+之1=0 n·CB=2-y2十2x2=0 n·BB1=2z2=0 分别取x1=x2=1,则有y1=3、1=1、y2=1, 2=0, 即m=(1,3,1),n=(1,1,0), 对s《m,a)=贾温市 1+3 =222 11 故平面CB1M与平面BB1CC1的夹角的余弦 位为要 (3)由BB1=(0,0,2),平面CB,M的法向量为 m=(1,3,1), 11 则有 |BB1·m 2 =2W11 m √1+9+111' 即点B到平面CBM的距离为2匹 11 15.解：(1)连接PO,因为P-ABCD是正四棱锥，所以 底面ABCD是正方形，且PO⊥底面ABCD, 因为AD=3√2，所以AO=OD=OB=OC=3, 因为AP=5,所以PO=√AP2-AO=4, 所以△POA绕OP旅转一周形成的几何体是 以3为底面半径，4为高的圆锥， 所以Va=号56=3xX3X4=12x (2)如图建立空间直角坐 2 标系，因为AP=AD,由 题知P-ABCD是正四棱 锥，所以该四棱锥各棱长 相等，设AB=√2a,则AO =OD=OB=OC=a,PO =√JAP-AO=a, 可得O0,0,0),P(0,0,a), A(0,-a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(-a,0,0), (台0…》 则BD=(-2a,0,0),AC=(0,2a,0),AE (） 设n=(x1y1,之1)为平面AEC的法向量，则 n·AC=0 2a·y1=0 → n·AE=0 ta+号=0 (2 令x1=1,则y1=0,=-1,所以n=(1,0,-1), 则cosn,BD)= n·BD -2a=2 InBDI 12all21 2 设直线BD与平面AEC所成角为0，因为sin0 =10sm,BD1-9.0e0,引所以0=至 专题九解析几何 考点一 1.BCDA.△C1C2C3为边长 是2的正三角形，设C,C 的中点为D,连接CD,则 圆C2,C3与CD相切于点 D,且关于CD对称，显然当 l与CD平行时，l均不可能 与三圆都相交（如图1），即k 图1 上一战A错，且.酸条 件等价于山1=d2=d3,两点到一条直线距离相 等，要么是直线平行于两点连线，要么是直线过 两点的中点，连接C1Cg,C2Cg,由d1=d2得，直 线平行于C1C2或者过CC2中点，再由d2=d 得，直线平行于CC或者过C2C3中点，综合来 看，有且仅有如图2所示的三种可能. 3 C -10 图2 B项正确.D.当b=0时，由，点到直线距离公式， 得d1=d2= =,3= √+1' 5,则1= √k+1 2 ,3=2 √k+1 2(k1>②)，1十s+ Nk2十1 4+2k2-2 令√R-2=t,则十52十s= √+1 4+2√k2-24+2t -2 /1+ 4t+1 +3 ,令4t+1=p, k+1 √2+3 则十十号=2，/1+=2 1+ 16 ，则 2+3 p+9-2 少=7，即=号中=少时取策大位2 3 D项正确，C.根据D选项的分析，b=0,k=区 2 时如图3直线m所示，S1十s2十s3>3,当b=0,k =√2时，为临界情况，此时直线（即直线）与圆 C相切，此时51十，十，=45，比3小，那么直 3 线n绕原，点O逆时针旋转到直线m这一过程 中，必然存在满足51十52十53=3的1条直线，同 理，与该直线关于y轴对称的直线也满足S1十s? 十3=3.类似地，另外2个圆的相同位置也各有 2条直线满足51十52十53=3.故满足S1十52十53 =3的直线至少有6条，C正确. 31C 图3 2.BC将圆A的方程标准化：(x一3)2+(y-4)2 =25一k,A选项：圆心A的坐标为(3,4).A错 误；B选项：当⊙A与x轴相切时，半径Ra |yA=4→R=16→25-k=16→k=9.B正确； C选项：当k=-11时，R=36→RA=6.圆O 1 的半径Ro=1,圆心距d=|OA|=√3+4=5. 因为RA一Ro=6-1=5=d,故两圆内切.C 正确；D选项：两圆相交时，公共弦所在直线方程为 两圆方程直接相减：(x2十y2一1)一(x2十y2一6.x 8y十k)=0,即6x+8y-k-1=0,D错误. 3.B与直线y=√3x十2距离为1的直线为l1:y =√3.x+4和l2:y=3x,圆心M(0,-2)到l1的 距离为d1= -2-4L=3,到2的距离为4 √12+(3)2 一2=1.依题可知圆与41，山的交点 √12+(5)2 总个数为2，据草图可知圆应与2相交，与11相 离，故1<r<3,选B. 4.C因为a,b,c成等差数列，所以a-2b十c=0, 直线ax+by十c=0恒过P(1,-2),当PC⊥ AB时，AB|取得最小值，此时PC=1,AB =2√5-PC2=4. 5.D圆x2十y2-2x十6y=0的标准方程为(x一 1)2+(y十3)2=10，圆心坐标为(1，-3)，因此 圆心到直线x一y十2=0的距离d= |1+3+2=32. /112+(-1)2 6.解析：由题知圆心为(2,2)，半径为2，又直线与 圆相切，则圆心(2,2)到直线ax十y=0的距离 等于半径，即2a+2=2,解得u=0. √a+1 答案：0 考点二 实战集训1 1.A设P,点坐标为(x,y),中点M坐标为(x, y),则x'=x,y'=2y,代入圆的方程为x2十4y -15,化为指注方程为后+号-10y>0. 2.解析：由题意，|AB> y |BC>|CA|,故△ABC 不是等腰三角形，故上 下顶点不能同时取到， 左右顶点不能同时取 到，两焦点也不能同时 取到， 故只能取一个上下顶 ,点，一个左右顶，点，一个左右焦点，且a>c,a2 b2+c2,分类讨论； (1)a=3,a十c=5,a2+b2=14→a=3,c=2,b2 =5满足题意； (2)a=3,a+c=14,a2+b2=25→b=4>a显 然不成立； (3)a=√14，a十c=5,a2+b2=3→b2<0显然不 成立； 综上0=30=220=号 答案：号 20 3.解：(1)椭圆左焦点为F(一1,0)，故c=1. 离心率为=后=号所以a=2 又b2=a2-c2=4-1=3. 因+号1 (2)设直线l的斜率为t>0.直线过F(一1,0)， 故1：y=x+1.代入椭国得军+D 3 =1, 即(3+4t2)x2+8tx+4t2-12=0. 设上方交点为P,第三象限交点为Q, 则x=2-2+3+ 4t2+3 x0-2(-22-3P+1 4t2+3 由于椭圆关于原，点对称，直线PO与椭圆的另 一交点为R,OR=-OP. (1)P,Q,F共线，且 OR=-OP. 点O到直线1的距离 为一1，点R到直 0 √+1 线！的距离为其 2倍. 因此=2·f PQ S△PFO 由题高知m-3,器-号PF=2FQ. S△PFO 用横坐标差表示同一直线上的长度， 得xp十1=2(-1-xQ). 代入上式化简：2+1=3，故1= 2 所以1y=(x+1D. (i)由计算可得直线QR的斜率为s=一， 3 直线QP的斜率为t.两直线夹角的正切为 3 tan∠PQR 1+tkoR 41+3 由基本不等式， 4t+3≥2√12=45， 当1=时取等号。 因此tan∠PQRn=4W3. 12 4.解：(1)因为椭圆E的方程中b2=1,所以半焦距 c=√a-1.右焦点为F(c,0),过F垂直于x轴 的直线为x=c.其与椭圆交，点的纵坐标满足 后+=1P=1-学-固为我我段长 a 度为区，所以是=a= 所以c=2可=1.精圆的离心单为：e=台 2 (2(1)由(1)知摘圆E方程为号十y=1→ x2十2y2=2.已知A(xo,yo),因为B是A在y 轴上的垂足，所以B(0,yo).直线AO的方程为： y=2x→%x-xoy=0, 直线GB过G(1,0),B(0y)两点，方程为：千十 义=1→yox+ty=ty: y 设交点为P(x,y).由AO得x。=y.将其代入 y GB方程：，(1-x)=y→=义 t-x 从而仁 因为A(.xo,yo)在椭圆上，所以满足x十2y= 2代入可将（侣）°+2（兴）》 =2→t2x2+ 212y2=2(t-x)2, 展开整理，即得M的方程为：(t2一2)x2十4tx十 2t2y2-2t2=0(y≠0). (ⅱ)对M的方程进行配方： 若t一2=0→t=土√2，方程为抛物线（去掉与x 轴交点)，无中心，点；若t≠士√2时，M存在唯一 的中心点房老标为（产20 当t≠士√2时，将M平移至中心在原，点处的 M',其方程形式为：(-2)+2=2， 2t4 分析其几何形状：1.当t≠0且t≠士√2时，M有 对称中心，2.若t2-2>0→|t>√2：x2与y2项 的系数均大于0，且右端项大于0，此时M为椭 圆（去掉与x轴交点）；3.若t-2<0→0<t< √2：x2项系数小于0，y2项系数大于0，且右端 项小于0，此时方程变形为(2-t)x2-2ty2= 2,此时M为双曲线（去掉与工轴交点. 2t4 解：1=2c 2 又c2=a2-b, b---9- ① 4 2,y2 =6代入后+芳 =1, ② 由①@y=6, 33 。=5 解得a=2. a2=4. 6=是02=3， C的标准方程为气+苦=1 (2)由(1)知b2=3,.圆的方程：x2+y2=3, 设直线方程y=一√3.x十m,与圆相切， .圆心(0,0)到直线√3x十y一m=0距离等于 半径， - =√5， √(W3)2+1 解得m=±2√5， [y=-√3.x十m, 消去y整理得15.x2-8√3mx+4m2-12=0,① 当m=2时，①即5x-16x+12=0,=号， x2=2, 当1=号时=4 5,x=2时y2=0, <gp2.0.Qe,g A056=6e-点：==可 =3 会-(x〔)- 当m=-2√3时，①即5x2+16x+12=0. x1=-2,x2=-5 6 当x1=一2时，y1=0;x2= 5, 122 若A(0,N3), 4B-3 5 k=kip=- 33 6 &,=0= 2, =35× (2 k22 =3, 路上是8 6.解：(1)（圆锥曲线基本概念法）由题意可知a =2,离心率为C=1 a 2' 所以c=1,又a2=b2十c2,所以b=√5. 数E的方程为了+苦-1 (2)(面积同高法) 如图，设B(x1y1), C(x2y2), 由题意，得直线BC的方 程为y=k(x-1)+1, 由后+苦- ,消 (y=k(x-1)+1 去y得(4k2+3)x2十8k(1-k)x十4(1-k)2- 12=0, 则△=[8k(1-k)]2-4(4k2+3)[4(1-k)2- 12]>0, x1+x2=-8k(1- 4k2+3 2,x1x,=41-k)2-12 4k2+3 又B关于直线y=x的对称，点为D, 则D(y1x1), 设Q(t,t), 易知直线DC斜率存在，由D,C,Q三点共线， 可得二飞=2一4 t-y1x2一y1 解得1= -13k+11 y1+y2-(x1+x2) 8k+6, 所以(+书1+书) 设点Q到直线BC的距离为d,则d= 1(k-1)(t-1)1 51k2-1 √1+k2 √1+k|8k+6 由弦长公式可知AB|=√1十k2|x1-1, |AC1=√1+k1x2-1, 则|AB|-|AC||=√1十k21x1+x2-2|= √1+k· 74+.1Sw S△acQ|= IABId-IACld-dlABI-IACII 8· -8k-6 51k2-1 4k+3 √J1+k2|8k+6 5 8 化简得k21业1 4k2+3 4” 部得=士吗 7.解：1D由题意得A(a,0),F(-c,0),P(a,}a 十c)),根据已知条件列方程组 6 X(=2,解之得a=2,c=,7 所以b2=a2-c2=4-1=3, 所以精圈方程为看十苦-=1。 (2)设B(xo,y%),可知直线PB的方程为有 子+学影=1 又切线过P(2,1), 受+=1w= 3 3 2x0十3， :点B0o)满足空+兰-1， 4十3 + 3 1, x0-3x0十2=0， 解得x。=1或xo=2(舍)， y%=2 3 (1》 F(-1,0),P(2,1),A(2,0), 可知：BP1-2+(层-1-， F++(-0- ∴.1AP|=1,PF|=√(2+1)2+(1-0) =√10， eos/BFP-BFFP-BP 2|BF·FPI 80. os∠a-P-品. ∴.cos∠BFP=cos∠AFP∴∠BFP=∠AFP, .PF平分∠AFB 12 8.解：1)由已知得6=3，将点P(3,2)及b=3代 入C得号十3=1，则=12,所以= -b2=3, 所以C的离心率e=C=5=1 a232 (2)由已知得Sn=号PA·dBm=号 +(- XdB-m=9,则dB-m= 125 5 3 3 2 kAp=- -3 合ly=一之十3，设过点B 且与PA平行的直线为：y=一 x+m, 1 因为a所以3m-2则m + 1 =-3或9（含去），所以1：y=-21-3 联这1y=一合-3布和C方程6+号=1，得 1 x1=0,x2=-3,所以B（0,-3)或 (-3-) 当B坐标为0，-3)时，1：y=号-31 当B坐标为-3一）时y= 实战集训2 1.解：1)由题意知2a=4,a=2,由e=二-号得 a c=√2， -。--故+号1 (2)①L斜率不存在时舍去. ②设L方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2y2), y=kx-2 得(1+2k2)x2-8kx十4=0， 由4=64k-161十2)>0，得>号或k< 2 、② 8k 4 所以4+x:=1十26x1=1+2 所以|AB|=√1十2|x1一x2|= 2W8(k2+1)(4k2+2-4) 4k2十2 =4W(k+1)(262-1D 2k2+1 3 O到AB的距离d= 2 √1十k2 所以S△0B=2 1 2 4√/(k2+1)(2k2-1) √1+k 2k2+1 -4日-区，解得= 2k2十1 |AB|= +2x- =√5. 2×号+1 2.解：(1)依题有a+b-√10且公-b_2 a 3 解得a=3,b=1,故C的方程为号十y=1. (2)(i)易知A(0,-1),设AR=tAP(t>0),则 3 3 I-TAP+1) OR=OA+AR=(0,-1)+t(m,n+1) =(tm,t(n+1)-1) =(n++m+w+y-1 3m 3(n+1) 故点R的坐标为 3m 3(n+1) (m2+m+1)‘m+(n+1-1 （i)由kk=3km可知 3(n十1)-m2-(n+1)2_3n 3m 整理可得m2+(n十4)2=18，所以，点P在圆心 为N(0,-4),半径r=3√2的圆上运动. 设Q(y),则号十后=1，其中-1<<1 故|PQ≤|PN|+INQ =3V2+√6+(y十4) =3V2+√9(1-6)+(y+4)7 =3√2+√J-8y6+8+25 -3E+-8。-}+27≤3E+85, 1 取等条件为y,=2,且P在线段QN延长线 上，故|PQ的最大值为3√2+3√5 3.解：(1)依椭圆定义知2a=4,而离心率e=C 竖，所以a=2,c=2,b=a2-2=2,摘圆E的 方根为+苦-1 xox+2yoy-4=0 2)联立{2+号=1 ,消去x得， 42 +2y=4, 1 整理得，(2.x+4y)y2-16yoy十16-4x= 0①， 又至+艺=1，所以2x+4=8,16-4松 2 =8y, 故①式可化简为8y2-16yoy+8y=0,即(y- yo)2=0,所以y=y0, 所以直线xox十2yoy一4=0与椭圆相切，M为 切点. 设A(x1y1),B(x2y1),易知，当x1=x2时，由 对称性可知，S,一1OB SOAL S AM1-xo 设x,<x,<1,易知S,=BM=2-T =1-x0 x0一x2 联立十2y-4=0,解得1= 4一4业，y1 y=2 =2, 联立{十2)一4=0，解得，=4+40， y=-2 =-2, 所以 4一4少必一。4一4一马 S=-=x0 S2 xo-x2 4+4y0x0-4y-4 xo- 2yo-4yo 2-yo -2y-4y。2+yo 从6胎票 √+4 (4-4yo)2+4.x8 (2-2y)2+4-2y6 N(4+4yo)2+4x8 N(2+2y)2+4-2y8 y6-4y+4 AM √y6+4y+4 2一y0,又 2+yo MB =2-y yo+2' 故S=1O4 S2OBI 实战集训3 1.解：(1)设F(c,0),由题设有c=1且=3 Γa2 故。-名解得a=2,故0=5， a 故精国方程为气苦-1 (2)直线AB的斜率必 定存在，设AB:y= k(x-4), A(x1y1),B(x2y2) 由可 得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0, 故△=1024k4-4(3+4k2)(64k2-12)>0, 故一 << 2 又x1十x2 32k2 3+4k222 64k2-12 3+4k21 两N(停0）故意线BNy=方 x2一2 3 故ya= y -3y2 52.x2-5' x2一2 3y2 所以y1-ya=y1十2x2-5 =y1X(2x2-5)+3y 2x2-5 =k(x-4)X(2.x2-5)+3k(x2-4) 2x2-5 =k212-5(1十x2)+8 2x2-5 2X64k2-12 3+4k2 5X32k =k 3+4k+8 2x2-5 128k2-24-160k2+24+32k =k 3+4k2 2x2-5 =0, 故y1=yQ,即AQ⊥y 2.解：(1)由题意b=c= 2 =√2，从而a=√b十c =2, 所以精圆方程为置十号-1，高心率为= 2 (2)显然直线AB斜率存 在，否则B,D重合，直线 BD斜率不存在与题意不 符，同样直线AB斜率不 为0，否则直线AB与椭 圆无交点，矛盾 B 从而设AB:y=kx十t,(t>√2)，A(x1,y1), B(x2,y2）, ,化简并整理得(1十2k2)x2十 (y=kx+t 4ktx+2t2-4=0, 由题意△=16k2t2-8(2k2十1)(t2-2)=8(4k2 十2-t2)>0,即k,t应满足4k2十2-t>0,所 -Akt 2t2-4 以x1+=1+2次x1x=2k2+1 若直线BD斜率为O,由椭圆的对称性可设 D(-x2y2）, 所以AD:y=(x-x1)十y1,在直线AD x1+x2 方程中令x=0, 12 得y=2十x2y x1十x2 =,(kx2十)+x2(kx1十) x1十x2 2kx+1x十x)-4(f2》+1= x1+x2 -4kt 1 t 所以t=2, 此时k应满足6十2-=h2-2>0 1k≠0 即长应满足6<号我6>号 21 综上所迷，1=2满足题意，此时<一或 2 3.解：1)因为精圆的离心奉为e=号故a=2c,b =√5c,其中c为半焦距， 所以A(-2c,0,B(0,-c).C0,-},故 2】 ×2×=3 2 2 解得c=√5，所以a=2√5，b=3, 战指国方起为后+号1 (2)若过点〔0.-)的 动直线的斜率存在，则可 设直线方程为：y=kx 3 设P(x1y1),Q(x2y2）, T(0,t), 3.x2+4y2=36 y=kx-多，可得(3+46)x2-126x-27 由 2 =0, 故△=144k2+108(3+4k2)=324+576k2>0 12k 27 且x十=3十4食= 3十4k21 TP=(y1-t),TQ=(z2,y2-t), 故TP·TQ=x1x2+(y1-t)(y-t) =1+-(+小+，+(2+ 27 3+4k2 +(径+月 -2-2-18-1+3(）+8+2k 3+4 [3+20-12-45k+3(+-27 3+4k 因为TP·TQ≤0， ,(3+2t)2-12t-45≤0 故 3 +）- 2 ,解得-3≤≤2： 若连点〔0，一)的动直线的斜率不存在， 则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),Q(0,3), 此时需-3≤1≤3，两者结合可得-3≤1≤多 综上，存在T00且-3<1≤号，使得TP.7Q ≤0. 考点三 1.B将点(1,0)代入双曲线方程得：2一0=1→ a2=1→a=1, 将点7,3代入双曲线方程得： 、2 3一1 6 79 → 9=3→b2=12→b=25, 所以双曲线的渐近线方程为y=士b, a 即：y=±23x. 2.B令T 一头0得=土，所以是=子，扇 a 得a=3. 3.D△FPA中，|FA|=|FP|=a+c,∠FAP= 30°，设右焦，点为F, .∠APF=30°，∠PFA=120°，∠PAF'=150°， 由余弦定理： AP2=FA2+FP2-2FAFPIcos 120 =2(a+c)2+(a+c)2=3(a+c)2, .AP|=√3(a+c). 由双曲线定义： |PF'|=|PF|+2a=a+c+2a=3a+c, 在△PAF中，由余弦定理. PF2=PA+AF-2PAF'A c0s150°， (3a+c)2=[√3(a+c)]2+(c-a)2-2(c-a)· √3(a+c)· 3 2 整理得：3c2-ac-4a2=0, ∴.3e2-e-4=0, :e>1.e=3 4 4.D由题知b=√7a,则c=√7+1a=2√2a,所以 离心率e=C=22,故选D. a 5.B先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c, 即可求出离心来，由-=4得，苦-少=1， 所以a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5,即a=2,c= ,所以=后要故选：R 12 6.A如图所示，设|PF2M 3c-a =m,则|PF1=m+2a, PM=m. 由|PF,|+|PF2|= 3c+a 3|F1F2|可得m十(m+ 3c-a 2a)=6c,所以m=3c- a,过P作PM⊥MF1,交 点为M. F 0 F2 c-a 从而|PF1|=3c+a,|F2H|=|PM-|FF2 =c-a. 由|MFl1=|PH|得(3c+a)2-(3c-a)2 =(3c-a)2-(c-a)2, 所以12ac=8c2-4ac,整理即得c=2a,故离心 率e=￡=2. a 7.A本题考查了双曲线 的几何性质.如图，因为 双曲线的渐近线方程为 y=-名=1 .AB与渐近线平行，当 C点在无穷远处时无限 逼近渐近线， 10 ∴.AB边上的高无限逼 近渐近线， .AB的高没有最小值，△ABC的面积没有最 小值. 当C位于(1,0)时，AB边上的高最大，此时 △ABC的面积最大. 8.ACD根据双曲线的对称性可知A1A,与MN 互相平分，所以四边形A1MA2N是平行四边 形，因为∠NAM=,所以∠AMA:=否，A 正确.以FF2为直径的圆的方程为x2十y =c2, b 不妨设渐近线y=二x, a 1x2+y2=c2 由b ,设M(a,b),N(-a,-b), y= a 又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2, R△MA,A中，∠AMA,=否， 所以MA1|:MA2|=2:√3，所以B错误. 所以|A,M=√JTA1A2+MA2 =√J4a2+b2=√J3a2+c2, 由A1M=2|A1A2|得√J3a2+c2=4a, 即c2=13a2,即e2=13,所以e=√13，所以C正 确.因为当a=√2，c2=26,从而b2=24,即b= 25,回边形NA,MA,的面积为S=2X号X2 √2×2√6=8√3，所以D正确.最新真题 专题九解析儿何 分类特训 考点一直线与圆 一、选择题 1.(多选)(2026·全国I卷，11)已知圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=1,圆C:x2+(y 整 √)2=1，直线1：y=kx十b与C1,C2,C均有两个交点，记1被C1,C2,C截得的弦长分别为s1, 5253,则 ( 斯 A.k可以取任意实数 B.满足51=52=53的直线1共有3条 C.满足s1十s2十s3=3的直线l多于3条 D当6=0时，十，十5的最大值为2Y2I 杯 2.(多选)(2026·全国Ⅱ卷，9)已知⊙O:x2+y2=1,⊙A:x2+y2一6x一8y十k=0,则 ( A.点A的坐标为（一3，一4） B.当k=9时，⊙A与x轴相切 C.当k=一11时，⊙O与⊙A相切 如 D.当⊙O与⊙A相交时，两个交点所在直线的方程为6x十8y一k一2=0 阳 3.(2025·全国一卷，7)已知圆x2+(y十2)2=r2(r>0)上到直线y=3x十2的距离为1的点有 且仅有两个，则r的取值范围是 () A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) 4.(2024·全国甲卷（理），12)已知b是a,c的等差中项，直线a.x十by十c=0与圆x2+y2+4y-1 品 =0交于A,B两点，则|AB的最小值为 ( A.1 B.2 C.4 D.25 5.(2024·北京卷，3)圆x2+y2-2x十6y=0的圆心到x-y十2=0的距离为 A.2 B.2 C.3 D.32 二、填空题 6.(2026·北京卷，11)已知直线ax十y=0与圆(x-2)2+(y-2)2=4相切，则a= 45 考点二椭圆 [真题题组·实战集训l1] 一、选择题 1.(2024·新课标Ⅱ卷，5)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段 PP',P为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为 () &若+誉-1G>0 2 A.工+义=1(y>0) c荒+-1o n活+-1g>o 二、填空题 尼2026·上海卷，12D已知A,5B,C是椭圆+9 62 =1的四个顶点与两个焦点中的三个点，且 |AB=5,|BC=√/14，|AC=3,则该椭圆的离心率为 三、解答题 3(2026·全国1卷，18)17分)已知横圆C+号-1a>b>0)的左焦点为F(-1,0,商心车 为2 (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线1与C交于P,Q两点，其中Q在第三象限， 直线PO与C的另一个交点为R. (ⅰ)若△PQR的面积是△PFO的面积的3倍，求l的方程； (i)求tan∠PQR的最小值， 46 4(2025·金国T卷，18)17分)已知精图E:后+y=1a>1D,过E的右焦点且与：轴垂直的 直线被E截得的线段长为2. (1)求E的离心率； (2)设O为坐标原点，给定点G(t,0)(t≠0)，A(x,yo)(y≠0)为E上的点，过A作y轴的垂 线，垂足为B.直线OA与直线GB的交点为P.当A在E上运动时，点P的轨迹为M. (i)求M的方程； (ⅱ)当t为何值时，M有对称中心？当M有对称中心时，将M平移后得到曲线M',使得O为 M'的对称中心，说明M是什么曲线， 47 5.(2026·天津卷，18)15分)已知椭圆C:乙+ +芳=1(a>D>0)的离心率为号，椭圆被直线x=b 截得的线段长为√3. (1)求C的标准方程； T教程 (2)斜率为一√3的直线与圆x2+y2=b相切，且该直线交椭圆于P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1< y2)A是椭圆上顶点.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,2,求 48 6.(2026·北京卷，19)(15分)已知椭圆E: 2十1(a≥b≥0)的一个顶点是(2,0)，离心率为 过点A(1,1)且斜率为（≠士D的直线交椭圆E于B,C两点，B关于直线y=:的对称点 为D,直线DC交直线y=x于Q. (1)求E的方程； (2)若S6A8一S6m-号求， 7.(2025·天津卷，18)已知椭圆后+片=1(a>6>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为=a上一 点，且直线PF的斜率为号，△PFA的面积为，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A),求证：PF平分∠AFB. 49 8(20g·新限标1若，16)(15分)已如A0,3)和P3,是}为椭图C若+芳=1a>6≥0)上 两点 (1)求C的离心率； (2)若过P的直线1交C于另一点B,且△ABP的面积为9，求1的方程. 50 [真题题组·实战集训l2] 1.(2025·全国二卷，169已如椭侧C号+芳-1(a>6>0)的离心率为 ,长轴长为4， (1)求C的方程； (2)过点(0，一2)的直线1与C交于A、B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为√2，求|AB. 2.(2025·全国一卷，18)已知椭圆C, :2十1(a≥b≥0)的离心率为22，下顶点为A,右顶点 为B,|AB|=√10. (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AP·AR=3. (i)设P(m,n),求R的坐标（用m,n表示）； (ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ的 最大值 51 3.(2025·北京卷，19)已知椭圆E: 普+若-1a>6≥0)离心率为盟，箱圆上的点到两个袋点的 距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为原点，M(xy)(x0≠0)为椭圆上一点，直线xox十2yoy-4=0与y=2和y=一2 分别交于A,B两点。△0M1与△0M的面积分别为SS.猜知受与90的数量关系并求证 的 烯 52 [真题题组·实战集训3] 24:全国甲卷（理）.20)2分)设椭圆C =1a>b>0)的右焦点为F,点M1,} 在C上，且MF⊥x轴. (1)求C的方程； (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q. 证明：AQ⊥y轴. 整 斯 杯 如 阳 53 2.(2024·北京卷，19)(15分)已知椭圆方程C. 之14一b一O),惠点和豆瑞点均成力长 为2的正方形，过(0，t)(t>√2)的直线1与椭圆交于A,B,C(0,1),连接AC交椭圆于D. (1)求椭圆E的方程和离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t. 54 3.(2024·天津卷，18)（本小题15分）已知椭圆 =1(a>b>0)的离心率e=号，左顶点为A,下顶 2 点为B,C是线段0B的中点，其中S6-3,5 2 (1)求椭圆的方程 (2)过点0，一}的动直线与椭圆有两个交点P,Q.在y轴上是否存在点T使得T产，TQ≤0. 若存在，求出点T纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 55