专题五 平面向量-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训试卷

最新真题 专题五平面向量 分类特训 考点一平面向量的概念与运算 一、选择题 整 1.(2026·全国I卷，2)已知平面向量a,b不共线，且2a十yb=xa一3b,则 A.x=2,y=-3 B.x=-2,y=3 斯 C.x=2,y=3 D.x=-2,y=-3 2.(2026·全国Ⅱ卷，3)已知向量a,b满足|a十b=1,a-b=3,则a·b= A c.-3 D.-3 3.(2026·北京卷，6)已知向量a,b满足|a一b=2,a=(2,0),则b的最大值为 杯 A.0 B.2 C.4 D.6 4.(2025·全国一卷，6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在 航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量 如 之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力 阳 等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与 船速对应的向量如图2（线段长度代表速度大小，单位：/s),则该时刻的真风为 等级 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.63.3 视风风速 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.57.9 船速 3% 5 劲风 8.0≈10.7 图1 图2 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 45 5.(2024·新课标I卷，3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b一4a),则x= A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.(2023·新课标I卷，3)已知向量a=(1,1),b=(1,一1)，若(a+b)⊥(a十b),则 A.λ+以=1 B.λ+=-1 C.λ=1 D.=-1 7.(2023·全国甲卷（文），3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则c0s(a+b,a-b》= B.17 17 e. D.26 5 8.(2023·全国乙卷（文），6)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED=() A.√5 B.3 C.2√5 D.5 9.(2022·新高考I卷，3)在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA,记CA=m,CD=n,则CB= ( A.3m-2n B.-2m+3n C.3m++2n D.2m++3n 10.(2022·新高考Ⅱ卷，4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a十tb,若a,c〉=b,c〉，则t= ( A.-6 B.-5 C.5 D.6 11.(2022·全国乙卷，3)已知向量a,b满足|a=1,|b=√3，|a-2b=3,则a·b= A.-2 B.-1 C.1 D.2 二、填空题 12.(2026·上海卷，10)已知k∈R,向量a,b,c是两两不平行的向量，a+3b∥b+c,2a+c∥b+c,则k 的值为 13.(2025·全国二卷，12)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若aL(a-b),则a= 46 14.(2025·天津卷，14)△ABC中，D为AB边中点，CE=号CD,AB=a,AC=6,则AE= (用a,b表示)；若|AE=5,AE⊥CB,则AE·CD= 15.(2024·上海卷，5)已知a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k的值为 16.(2023·新课标Ⅱ卷，13)已知向量a,b满足|a-b=√3，|a十b|=|2a-b|,则|b|= 17.(2023·上海卷，2)已知向量a=(-2,3),b=（1,2),求a·b= 18.(2022·全国甲卷，13)设向量a,b的夹角的余弦值为3，且a=1,b=3,则(2a+b)·b= 考点二平面向量的应用 一、选择题 1.(2025·北京卷，10)已知平面直角坐标系xOy中，OA=|OB=2,AB=2,若C(3,4),则 |2CA十AB的取值范围是 () A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 2.(2024·上海卷，15)定义一个集合2，其元素是空间内的点，任取P1,P2,P∈2，存在不全为0 的实数入1，λ2，入3，使得入1OP1十入2OP2+入3OP3=0.（其中O为坐标原点)已知(1,0,0)∈2，则 (0,0,1)2的充分条件是 () A.(0,0,0)∈2 B.（-1,0,0)∈2 C.(0,1,0)∈2 D.(0,0,-1)∈2 3.(2023·全国甲卷（理），4)向量|a=|b=1,c|=√2，且a+b十c=0,则cos(a一c,b-c)=() c 0. 47 4.(2023·全国乙卷（理），12)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A,直线PB与⊙O 交于B,C两点，D为BC的中点，若|PO川=√2，则PA·PD的最大值为 A.1+② B.1+2② C.1+2 D.2+√2 2 2 5.(2022·北京卷，10)在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°，P为△ABC所在平面内的动点， 且PC=1,则PA·PB的取值范围是 ( A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 二、填空题 E的 6.(2026·天津卷，14)已知|a=a·b=1,|b>1.记c=a十b.当a十b-c=0时，入十μ= ;当|a十b一c=1时，入十4的取值范围为 1,x>0 7.(2025·上海卷，12)已知函数f(x)=0,x=0,a、b、c是平面内三个不同的单位向量.若 -1,x0 f(a·b)+f(b·c)十f(c·a)=0,则|a+b+c的取值范围是 8.(2024·天津卷，14)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE=DE,BE =入BA+BC,则入十= ;F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF·DG的最小 值为 9.(2023·天津卷，14)在△ABC中，∠A=5,BC-1,点D为线段AB的中点，点E为线段CD 的中点，若设AB=a,AC=b,则AE可用a,b表示为 ;若BF=BC,则A正.AF的最大 3 值为 485.解：(1)由已知条件得：sin2B+sin Asin2B =cosA十cos Acos2B, 所以sin2B=cosA+cos Acos2B-sin Asin2B =cos A+cos(A+2B) =cos[-(B+C)]+cos[-(B+C)+2B] =-cos(B+C)+cos+(B-C) =-2cos Bcos C, 所以2 sin Bcos B=-2 cos Bcos C, 即(sinB+cosC)cosB=0, 由已知条件：1十c0s2B≠0，则B≠受，可得c0sB≠0， 所以sinB=-c0sC=子，B=吾 (2)由(1)知sinB=-cosC>0, 则受<C<x,0<B<吾， snB=sin(C-受）-cosC, sin A=sin(B+C)=sin(2c)=-cos 2C, 由正孩定理+6=simA十sinBcos22C+cosC c2 sin'C sin2C =1-2sinC)2+(1-sin2C) sin'C -2+4sin'C-5sin'C sin'C sinC+4sin'C-5 2 ≥2√需c4ac-5=4E-5 当且仅当simC=号时等号成立，所以心产的最小值 2 为4√2-5. 6.解：(1)sin2C=√3sinC,2 sin Ccos C=√3sinC,cosC= 又0<c<受“∠C=晋 2 6 (2:Saw=65∴asin C=6,C=音， sinC=方a=4,由余孩定理得d2=a+6 2aosC=48+36-2X45×6x9=12. c=2√3，所以△ABC的周长为6√3+6. 7.解：1)：边长为a的正三角形的面积为。， (a uc cox B-1. 4 由mR-吉特ms月-29过6g 4 1 4 a (2)由正弦定理得：sin B sinA‘sin C sin Asin C C ac 3√2 4 9 √2 一4 3 3 ·snB2 故=nB 专题五平面向量 考点一 1.A因为a,b不共线，即a≠nb,且a,b不为0，所以2a十 b=xa-3b可化为(2-x)a=-(y+3)b,所以 2-x=0解得x=2y=-3,选A. (3+y=0, 2.D将已知条件的两边分别平方得：a十b =a|2+2a·b+|b2=1, |a-b2=|a2-2a·b+|b|2=3, 两式相减得：4ab=1-3=-2,即a·6=- 3.C设b=(x,y),则a-b=(2-x,-y).由|a-b=2, 得(2-x)2+(-y)=4,即(x-2)2十y2=4,所以点(x, y)的轨迹是圆心为(2,0)，半径r=2的圆.又|b|= √x2+y=√(x-0)+(y-0),点(0,0)在点(x,y)的 轨迹圆上，所以|bmx=2r=4. 4.A由题图知真风对应向量为（一2,2），模长为2√2≈ 2.828,等级上属于轻风，选A. 5.D因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4十x2 4x=0,解得x=2.故选择：D. 6.D(a+b)·(a+b)=a+(a+u)(a·b)+λb =2(1十入)=0，所以入=-1.故选D. 7.B因为a=(3,1),b=(2,2), 所以a十b=(5,3),a-b=(1,-1), 则|a+b1=√52+3=√34，|a-b1=√个+I=√2， (a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2, 所以cos(a+b,a-b)=a+b),(a-b) 2 a+b1a-b√34×√2 =区故选B 17 8.B以{AB,AD}为基底向量，可知AB|=|AD=2, AB·AD=0, 则武店+成=+花.成=E+店 =-合AB+AD, 所以EC.E成=（合A店+A可）·（专AB+AD） A店+市=-1+4=3.故选B 9.B 如图，因为CB=CA+AB, D BD=2DA,所以AD=AC+CD =n-m.AB=3 AD.CB=CA+B 3AD=m十3(n一m)=3n-2m,故选B. 10.C由已知有c=(3十t,4),cos(a,c〉=cos〈b,c〉，故 c·5=c,7,解得1=5，故选C. 9+3t+163+t 11.C由题设，a-2b=3,得a2-4a·b+4b2=9,代 入a=1,|b=3,有4a·b=4,故a·b=1,选择C. 12.解析：由题意，不妨设a十3b=入(b十c)=(2a十c), ,a=(A-3)b+c 则 53 [入-3=1一2平，解得k=一6. -3 故 入=1-24 答案：一6 13.解析：因为a-b=(x,1)-(x-1,2x)=(1,1-2x), 又a⊥(a-b), 所以a·(a一b)=x十1一2x=1一x=0,解得x=1, 所以|a=√+1严=√2 答案：√瓦 1.解桥：A正=AD+号D心=A +号花-0)-专西+ 号-+号花-石+4 号C成=A店-AC-a-b: 市-花-AC-吉5-Ac=06 从而A正=日(a+4b)=名[6a-b)-5a-2b] -CB-5 CD. 故A正.CD=号AE.CB-AD=-是1AE =-15. 答案：日a+子b -15 15.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. 答案：15 16.解析：由|a+bl=|2a-b,得a=2a·b; 由a-b=5,得a-2a·b+b=3,即b=3, 1b=√5. 答案√3 17.解析：a·b=-2×1+3×2=4. 答案：4 18.解析：(2a+b)·b=2a·b+b=2×1×3× =11. 答案：11 考点二 1.D先根据AB=OB-OA,求出OA,OB,进而可以用向 量OA,OB表示出2CA十AB,即可解出， 因为1OA=|OB1=√2，|AB1=2, 由AB=OB-OA平方，可得OA·OB=0, 所以o1,0)=受 2 CA+AB=2(OA-OC)+OB-OA =OA+OB-2OC,1OC1=3+4=5, 所以，|2CA+AB1=OA+OB+4OC-4(OA+OB) ·0C =2+2+4×25-4(OA+OB)·00 =104-4(0A+OB)·OC, 15 又10A+OB).OC1≤104+OB110元1=5×√2+2= 10,即-10≤(OA+OB)·OC≤10， 所以|2CA+AB1∈[64,144]，即|2CA+AB|∈[8， 12],故选：D. 2.C因为入1A2,入不全为0，入1OP1+入OP2+入3OP= 0,所以三个向量无法构成三雏空间坐标系的一组基， 又因为(1,0,0)∈2，所以对于A,三者不可以构成一组基，故 不能推出(0,0,1)￠2，故A错误； 对于B,若(1,0,0)，（一1,0,0）均属于2，且(1,0,0)， (-1,0,0)共线，所以(0,0,1)可以属于2，此时三者共 面，故B错误； 对于C,显然，三者可以构成一组基，与条件不符合，故可 以推出(0,0,1)庄2，故C正确； 对于D,三者无法构成一组基，故不能推出(0,0,1)庄2， 故D错误，故答案选C. 3.D由a+b+c=0得a+b=-c,所以(a十b)=(-c), 即a+2a·b+b=c2,又a=|bl=1,lc=√2， 所以a·b=0,所以a⊥b. 如图所示：a一c=CA,b-c=CB, 由余弦定理得|CA=|CB=√5， 所以cos∠ACB= 5+5-2 0 2√5×5 a CA 即cosa-c,b-e)=青故选D 4.A如图所示，|OA|=1, |OP川=√2，则由题意可知： D C ∠AP0=至， 由勾股定理可得PA= √OP-OA'=1 4 当点A,D位于直线PO异侧 时，设∠0PC=a,0≤a≤至， 则，Pi.pi=pA·PDIcos(a+) =1 s（e+) =√2cosa √2. a 2cos a-2 sin a -cos'a-sin acos a ss2sin e 2 0<≤则-≤-≤ 4 4当2a-天=-天时，PA. 4 4 PD有最大值1. P 0 当点A,D位于直线PO同侧 时，设∠OPC=a,0<a≤平， D 则：PA.PD=PA1.PD co(a-子) =1(e-）】 cos av2 2 cosa+9in。 2 =cos'a+sin acos a =1+c0s2a+2 2 2 sin 2a +(a+ 0≤，则≤2a+≤2， 当2公+受=受时，PA.PD有最大值中 2 综上可得，PA·PD的最大值为士区 2. 故选A. 5.D建立如图所示坐标系，由题 易知，设C(0,0),A(3,0), B0,4) B(0,4),,PC=1,∴.设P(cos0, sin 0),0E [0,2x), PA·PB=(3-cos9,-sin) ·(-cos9,4-sin9)= P(x,y) -3cos9-4sin日+cos20+ /1 sin9=1-5sin(0+p)(其中 血9gmsg=专)[-46： 3 所以选D 6.解析：第一空：由c=a十b且a十b-c=0, y 0.b ∴c=a+b=a+b, .入=以=1， .入十以=2， 第二空：设a与b夹角为日. a|=ab=1, .la=la·|bcos0=1, .bl cos 0=1, 不妨设a=(1,0),b=(1,m),m∈R,c=(x,y), a+b-c=(2-x,m-y), la+b-cl=1, .(x-2)2+(m-y)=1, 设c=OC, O为坐标原点， C点轨迹为以(2，m)为圆心，1为半径的圆， 设C(2+cosa,m+sina),x∈R, 由c=OC=a十b得入十u=2十cosa, 所以1≤x十≤3. 答案：2[1,3] 7.解析：本题考查了平面向量的数量积，模的最值. 由题意可知，f(a,b),f(b,c),f(a,c)三者全为0或一个 为1，一个为-1，一个为0. 当全为0时，可知a,b,c,两两垂直，不符合题意，所以必 为后者，不妨设f(a·b)=0,f(b·c)=-1, f(a,c)=1, 可知b·c<0,a·c>0,a·b=0, 设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos0,sin), a=cos0>0,bc=sin0K00e(-受.0） ∴.|a+b+c=√1+cos)+(1+sin) 3+2sin(+): 可知0+∈（至受）2sn(+受）(-2.2 ∴.|a+b+cl∈(1W5). 答案：(1W5) 8,解析：因为CB=之DE,即C正=}B式， 则B应=C+C花=子A+B心. 可得及=弓=1，所以+=营： 由题意可知：BC=1BA=1,BA·BC=0, 因为F为线段BE上的动点， 设B产=kB正=子B+kBCk∈[0,1门， 则A萨=A+B萨=A+B=(仔-1)BA+kB元， 又因为G为AF中点，则DG=DA+AG=-BC+2A =是（付-）+（合-）成 可得AF.D心 [(学-)+]· [2(合-)BA+(合-)] =(兮-）+（合-号(-号）-高 又因为k∈[0,1]，可知：当k=1时，AF·DG取到最小 值一 5 答案：号 9解析：如图，因为E为CD的中 点，则ED十EC=0, (AE+ED=AD 可得 AE+EC=AC 两式相加，可得到2AE=AD +AC, 即2AE= 2a+b,则AE=La 4a+2b: 因为B萨=子BC,则2F店+F心=0，可 得 (AF+FC=AC AF+FB=AB 155 得到AF+F元+2(AF+FB)=AC+2AB, 即3A正=2a+b,即AF=号a+子b, 于是A正.AF=-（a+2）:(台a+号) =22a+5a·b叶26). 记AB=x,AC=y,则AE.AF=是(2a+5ab+26) =立2x+5aos60+2y =(2x+受+2y） 在△ABC中，根据余弦定理： BC=z+y-2zycos 60=x+y-zy=1, 子是A正.A=2(2w+受+2）（受+2） 由x+y一xy=1和基本不等式，x2+y一xy=1≥ 2zy-xy=xy. 故xy≤1，当且仅当x=y=1取得等号， 则2=y=1时，A正·亦有最大值是 答案：a+0是 专题六数列 考点一 实战集训1 1.Ba1=1,a=ag=3,a:=a=5,n≥6时，am=7+（n- 6)×2=2n-5, 设新数列为(6.，{6，}为等差数列，66，+6X5d=108, 2 ∴.2b+5d=36,b∈N,d∈N,由已知数列{a}的项都是 奇数，所以{b}的所有项都是正偶数，可知d,b1都是正 偶数，故b1=8,d=4,选B. 2.B因为S3=3a2=6,所以a2=2,因为S=5a3=一5， 所以ag=一1，所以{an}的公差d=a3一a2=一3，所以a1 =5,所以S,=6a1+15d=6×5-15×3=-15. 3.C本题考查了等差数列的通项公式，求和公差， ∴.Sn=-n2+8n.a=S。-S。-1 =-n+8m-[-(n-1)2+8(n-1]=-2n+9. n=1时，S,=7=a1, ∴.am=-2n十9，n∈N", :等差数列{an}中d=-2<0. .{an}为递减数列，可知a1>ae>a>a:>0>a>a… >a11>a12, la1+|a2|+…+|a1e|=(a1+…+a)-(a;+a6+… +ar)=8-(5:-s)=2s,-3a=2x16-75×12 =32+48=80. 4.C由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可 求解. 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为aaa6成等比数列，且a1=一2， 所以a=a3a6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d), 解得d=2或d=0(舍去)， 所以a1o=a1十9d=一2+9×2=16.故选：C. 5.B因为S=S1o,所以a6十a,十ag十ag十a1o=0, 即5a,=0.a。=0,又因为a=1,所以公差d=-子 a,=4,-7d=子 16 6.D由S.=a,m+nm2Dd,得S=9a,+36d=1,a 2 十4d=号a,十a=2a,=2a,+4d=号，故选D 7.C因为{an}为等差数列，设其首项为a1,公差为d,则 s=+2D,=a+“号d=号+a-号 2 2 S.S.=4, n+1n2 故{倍}为等差数列，则甲是乙的充分条件： 反之， {}为等差数列，即 S.+1 n+1 n nS+(n+1)S. n(n+1) na一S为常数，设为t, n(n+1) 即a+1-S n(n+1) =t,故Sn=nam+1-t·n(n+1),故S,-1= (n-1)am-t·n(n-1),n≥2， 两式相减有：an=na+1一(n一1)a,一2tn→a+1一a,= 2t,且为常数，对n=1也成立，故{an}为等差数列，则甲 是乙的必要条件，故甲是乙的充要条件，故选C 8.C由题意知，a2十a6=2a:=10,a:ag=45, 所以a:=5,ag=9, 从而d=二4=1，于是4，=41-d=5-1=4, 8-4 所以S,=5a,=20.故选C. 9.B依题意，等差数列a,中a.=a1十(m-1D… +(，) 显然函数y=co经+(a,-号)门的网期为3 而n∈N",即cos a,最多3个不同取值，又{cosa,|n∈N"} ={a,b, 则在cosa1,cosa2,cos as中，cosa1=cosa2≠cosa?或 cosa1≠c0sa2=cosa3, 于是有os9=c0s(+）即有9+(+）=2x。 ∈Z,解得0=领-子，k∈乙 所以k∈Z, abo(x-吾)[(x-吾)+] =-co(kx-吾)oskx=一cs0s哥 =一 2,故选B 10.D OD=DC =CB =BA =1, 则CC=k1,BB,=2,AA1=k, 由题意得k=k1十0.2，k=k2十0,1， DD+CC.+BB+AA-0.725. 且OD+DC,+CB+BA 解得k,=0.9,故选D. 11.解析：根据等差数列通项公式：a:=a1+3d,得5=一1 +3d,解得d=2, 前6项和5，=号(2a+5d)=32×(-1D+10)=24. 答案：24 12.解析：由S=6a6+30,得6a1+15d=6a+30, 即15d=6(a6-a1)+30=30d+30, 得d=-2. 6