专题五 平面向量-【创新教程】2024-2026三年高考数学真题分类特训试卷

最新真题 专题五平面向量 分类特训 考点一平面向量的概念与运算 一、选择题 1.(2026·全国I卷，2)已知平面向量a,b不共线，且2a+yb=xa一3b,则 整 A.x=2,y=-3 B.x=-2,y=3 C.x=2,y=3 D.x=-2,y=-3 斯 2.(2026·全国Ⅱ卷，3)已知向量a,b满足|a+b=1,a一b=√3，则a·b= A日 c D古 3.(2026·北京卷，6)已知向量a,b满足|a一b|=2,a=(2,0),则|b的最大值为 A.0 B.2 C.4 D.6 拓 4.(2025·全国一卷，6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在 航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量 之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力 等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与 如 船速对应的向量如图2（线段长度代表速度大小，单位：m/s),则该时刻的真风为 阳 等级 名称 风速大小（单位：m/s) y 2 轻风 1.63.3 视风风速 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.57.9 船速 3 5 劲风 8.0～10.7 图1 图2 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 5.(2024·新课标I卷，3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= A.-2 B.-1 C.1 D.2 25 二、填空题 6.(2026·上海卷，10)已知k∈R,向量a,b,c是两两不平行的向量，a十3b∥b+c,2a+c∥b+c,则k 的值为 7.(2025·全国二卷，12)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2.x),若a⊥(a-b),则|a= 8.(2025·天津卷，14)△ABC中，D为AB边中点，CE=CD,AB=a,AC=b,则AE (用a,b表示)；若|AE=5,AE⊥CB,则AE·CD= 9.(2024·上海卷，5)已知a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k的值为 考点二平面向量的应用 一、选择题 1.(2025·北京卷，10)已知平面直角坐标系xOy中，OA1=|OB1=√2，|AB1=2,若C(3,4),则 |2CA十AB的取值范围是 () A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 2.(2024·上海卷，15)定义一个集合2，其元素是空间内的点，任取P1,P2,P3∈2，存在不全为0 的实数入1，λ2，入3，使得入1OP1十入2OP2+入3OP。=0.(其中O为坐标原点)已知(1,0,0)∈2，则 (0,0,1)庄2的充分条件是 () A.(0,0,0)∈2 B.(-1,0,0)∈2 C.(0,1,0)∈2 D.(0,0,-1)∈2 二、填空题 3.(2026·天津卷，14)已知|a|=a·b=1,1b>1.记c=a+b.当a+b-c=0时，入+4= ;当a十b一c|=1时，入十的取值范围为 1,x>0 4.(2025·上海卷，12)已知函数f(x)= 0,x=0,a、b、c是平面内三个不同的单位向量.若 一1，x0 f(a·b)+f(b·c)+f(c·a)=0,则|a+b+c的取值范围是 5.(2024·天津卷，14)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE=2DE,B正 =ABA十uBC,则入十= ;F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF·DG的最小 值为 265.解：1)由题意得2snBc0sB=9cosB,周为 A为钝角， 则cosB≠0，则2sinB=3b, 则、b 2 sin B 3 sin A sin A,解得sinA=3 7 2, 7 国为A为税角，则A=于 ②)选择067，又a=1,别n8-骨-答×7 14 -夏周为A-经则B为饭角，别B=音 3 此时A十B=π，不合题意，舍弃； 选择②c0sB,因为B为三角形内角 =33 14 则代入2snB=停》得2X-停6，解 14 得b=3, sin C-sin(A+B)-sin =sin行eosB+cossin B 则S△Ax= 合mC=名×7X3X9 =155 4 选择@mA=号，时有c×9=名5，好 2 得c=5, 则由正弦定理得a sin,即2 5 sinc,解 2 得sinC-5 14 因为C为三角形内角，则cosC=1- 14 sin B-sin(A+C)-sinc =sincosC+eosimC -9×+()×- 则S△ABC= 合aesin B=3×7×5X3 14 -153 4 1 专题五平面向量 考点一 1.A因为a,b不共线，即a≠b,且a,b不为0， 所以2a十yb=xa-3b可化为(2-x)a=-（y+ 3)b,所以二T=0:解得x=2,y=-3,选A. {3+y=0, 2.D将已知条件的两边分别平方得：a十b|2 =a|2+2a·b+|b|2=1, |a-b12=a|2-2a·b+|b|2=3, 两式相减得：4a·b=1一3=一2， 购0：6-合 3.C设b=(x,y),则a-b=(2-x,-y).由 a-b=2,得(2-x)2+(-y)2=4,即(.x-2)2 十y2=4,所以点(x,y)的轨迹是圆心为(2,0)， 半径r=2的圆.又|b|=√x2十y2= √(x-0)2十(y-0)2,点(0,0)在点(x,y)的轨迹 圆上，所以|bmx=2r=4. 4.A由题图知真风对应向量为（一2,2），模长为 2√2≈2.828，等级上属于轻风，选A. 5.D因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则 4十x2-4x=0,解得x=2.故选择：D. 6.解析：由题意，不妨设a十3b=-入(b十c)=u(2a十c), a=(入-3)b+ac 则 3 入-3=1-—24，解得k=一6. 故 kg 入=1-20 答案：一6 7.解析：因为a-b=(x,1)-(x-1,2x)=(1,1-2x), 又a⊥(a-b), 所以a·(a-b)=x十1-2x=1-x=0,解 得x=1, 所以a=√1+1=√2. 答案：√2 8解折：A正=Ad+号D心 AD+名(AC-AD) 3 专A+号花=名A店+ 6 号C-a+号G店-店-AC=a-b. CD-AD-AC-2AB-AC-70-b. 从而AE-言a+4b)=吉[6a-b-5a一2b 6 -ci-号c, 故A正.C币=A花.（店-A店）=-子1A =-15. 答案：行a十号6-15 03 考点二 1.D先根据AB=OB-OA,求出OA,OB,进而可 以用向量OA,OB表示出2CA十AB,即可解出. 因为|OA|=|OB|=√2，|AB|=2, 由AB=OB-OA平方，可得OA·OB=0, 所以0A,0B)=受 2 CA+AB=2(OA-OC)+OB-OA =OA+OB-2OC,OC=√/32+4=5， 所以，|2CA+AB|2=OA+OB+4OC 4(OA+OB)·OC =2+2+4×25-4(OA+OB)·0C =104-4(OA+OB)·OC, 又|(OA+OB)·OC|≤|OA+OB|OC|=5X √2+2=10，即-10≤(OA+OB)·OC≤10， 所以|2CA+AB|2∈[64,144]，即|2CA+AB ∈[8,12]，故选：D. 2.C因为入12，入3不全为0，入1OP1十入2OP2+ 入3OP3=0,所以三个向量无法构成三维空间坐 标系的一组基. 又因为(1,0,0)∈2，所以对于A,三者不可以 成一组基，故不能推出(0,0,1)任2，故A错误； 对于B,若(1,0,0)，（一1,0,0）均属于2，且(1， 0,0),(一1,0,0)共线，所以(0,0,1)可以属于 2,此时三者共面，故B错误； 对于C,显然，三者可以构成一组基，与条件不 符合，故可以推出(0,0,1)任2，故C正确； 对于D,三者无法构成一组基，故不能推出(0， 0,1)任2，故D错误，故答案选C. 3.解析：第一空：由c=Aa十b且a十b-c=0, 0.6 A.- D.. B a 2 ∴.c=a+b=a+b, ∴.入==1， .入十=2， 第二空：设a与b夹角为0. |a=ab=1, ∴.|a=|a|·b|cos0=1, .|b1cos0=1, 104 不妨设a=(1,0),b=(1,m),m∈R,c=(x,y), a+b-c=(2-x,m-y), la+b-cl=1, ∴.(x-2)2+(m-y)2=1, 设c=OC O为坐标原点， C点轨迹为以(2，m)为圆心，1为半径的圆， 设C(2+cosa,m+sina),x∈R, 由c=OC=a十b得入十u=2+cosa, 所以1≤x十u≤3. 答案：2[1,3] 4.解析：本题考查了平面向量的数量积，模的 最值. 由题意可知，f(a,b),f(b,c),f(a,c)三者全为 0或一个为1，一个为-1，一个为0. 当全为0时，可知a,b,c,两两垂直，不符合题 意，所以必为后者，不妨设f(a·b)=0, f(b·c)=-1, f(a,c)=1, 可知b·c<0,a·c>0,a·b=0, 设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos0,sin0), .a·c=cos0>0,b·c=sin0<0, e(0: ∴.a+b+c|=√(1+cos0)2+(1+sin0) +2in(0+ 可知0+∈(-至，)2Ei血(0+) (-2,2), .a+b+c|∈(1，w5). 答案：(1√5) 5.解析：因为CE=DE,即C它=号BA, 则B正-BC+C龙=BA+BC, 可得入=号=1，所以入十=令， 由题意可知：|BC=|BA1=1,BA·BC=0, 因为F为线段BE上的动点， 设B=kB正=}kBA+kBC,k∈[0,1]， 则A庄=A店+B求=A店+kB龙=(3-1)BA +kBC. 又因为G为AF中点，则DG=DA+AG=-BC +2a=(3-1BA+(合-1)远， 可得AF.DG =【3-1a+]· [2(3-1)BA+(合-1) =合（行-+（合-）=号-)》 3 10' 又因为k∈[0,1]，可知：当k=1时，AF·DG取 到最小值一 5 答案： 5 一18 专题六数列 考点一 实战集训1 1.Ba1=1,a2=a3=3,a4=a5=5,n≥6时，am= 7+(n-6)×2=2n-5, 设前数列为6,6，}为等差数到，60十6d =108,.2b1+5d=36,b1∈N,d∈N,由已知数 列{an}的项都是奇数，所以{bn}的所有项都是正 偶数，可知d,b1都是正偶数，故b1=8,d=4, 选B. 2.B因为S3=3a2=6,所以a2=2,因为S5=5a3 =-5,所以a3=-1,所以{an}的公差d=a3一 a2=一3，所以a1=5,所以S6=6a1+15d=6×5 -15×3=-15. 3.C本题考查了等差数列的通项公式，求和 公差， .S=-n+8n.an=S-S-1 =-n2+8n-[-(n-1)2+8(n-1)] =-2n+9. n=1时，S1=7=a1, ∴.an=-2n+9,n∈N*, 等差数列{an}中d=-2<0. .{an}为递减数列，可知a1>a2>a3>a4>0> a5>a6…>a11>a12· a1+a2+…+|a12|=(a1+…+a4)-(as +a6+…+a12)=S4-(S12-S4)=2S4-S12 =2×16-7,15×12=32+48=80. 2 4.C由等比中项的性质结合等差数列的基本量 运算即可求解. 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为a3,a4,a6成等比数列，且a1=一2， 所以a=a3a6,即(-2+3dl)2=(-2+2d)(-2 +5d),解得d=2或d=0(舍去)， 所以a1o=a1十9d=-2+9X2=16.故选：C. 5.B因为S5=S1o,所以a6十a7十a8+a9+a1o =0, 即5a8=0,.ag=0,又因为a5=1,所以公差d 、1 a=a,-7u=子 1( 6.D由S.=a1n+nn21Dd,得S,=9a,十36d= 2 1 1…a1+4d=ga+a,=2a,=2(a1+4d)= 号故选D 7.解析：根据等差数列通项公式：a4=a1十3d,得 5=-1+3d,解得d=2, 前6项为5，-号(2a,十5d)=32X(-10+10) =24. 答案：24 8.解析：由S6=6a6+30,得6a1+15d=6a6十30， 即15d=6(a6-a1)+30=30d+30, 得d=-2. 由d=一2知{an}为单调递减数列，由Sn≤Ss 知当n=5时，Sn取得最大值，即a5≥0，a6≤0 (a5,a6不同时为0).当a6=0时，由a6=a1十5d =a1-10=0知a1=10. 答案：一210（答案不唯一） 9.解析：由题意，分类讨论， 若d≤0，显然an≤0则Sn≤0不满足题意； 若>0，只需S,=0+d<1 1S3=0+d+2d< 1解得d3 故de(0, 答案：0，) 10.解析：本题考查了等差数列的求和公式的 应用 a1==3,d=2,S,=6a1+2d 6×(=3)±°22×2=12. 答案：12 11.解析：设an=a1十(n-1)d,则由条件得2a1十 5d=7,4a1+7d=5,解得a1=-4,d=3, 则S1o=5(2a1+9d)=95. 答案：95 12.解：(1)首先，设数列a1,a2,…,a4m+2的公差为 d,则d≠0. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个 非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差 数列， 故可以对该数列进行适当的变形a:'=sa d +1(k=1,2,…,4m+2), 得到新数列a6′=k(k=1,2,…,4m十2)，然后 对a1',a2',…,am+2进行相应的讨论即可. 不妨设a6=k(k=1,2,…,4m十2)，此后的讨 论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中 取出两个数i和j(i<j),使得剩下四个数是等 差数列. 5