专题04有理数的乘法与除法暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题04有理数的乘法与除法暑假预习讲义 1.牢记乘除运算法则、倒数定义，明确 0 无倒数、0 不可作除数的限制条件。 2.掌握多因数连乘符号判定方法，计算坚持先定符号、再算绝对值的标准步骤。 3.熟练运用 “化除为乘” 转化思想，完成整数、分数、小数的乘除基础运算。 4.灵活使用乘法三大运算律，掌握凑整、约分等简便计算技巧。 5.理清乘除混合运算顺序，规范化简多重符号，减少计算失误。 6.会结合生活实际建模，列有理数乘除算式，解读结果正负的实际含义。 7.辨析倒数与相反数易混概念，梳理典型错题，标记难点课堂重点突破。 预习必备知识梳理 1.倒数 2.有理数乘法 3.有理数除法 4.有理数乘除混合运算 5.实际应用题型 6.高频易错点汇总 常考题型精讲精练 1.两个有理数的乘法运算 2.多个有理数的乘法运算 3.有理数乘法的实际应用 4.倒数 5.有理数乘法运算律 6.有理数的除法运算 7.有理数除法的应用 8.有理数乘除混合运算 9.有理数乘除中的简便运算 10.有理数四则混合运算 11.有理数四则混合运算的实际应用 12.数轴位置判断代数式正负 13.数轴上的翻折 14.新定义运算 强化题型 解答题8题 知识点01:倒数（除法转化必备工具） 1. 倒数定义 乘积为 1 的两个有理数互为倒数。 2. 倒数的求法 3. 关键硬性规定 (1)0没有倒数（不存在一个数与 0 相乘得 1）； (2)正数倒数仍为正，负数倒数仍为负。 知识点02:有理数的乘法 （一）两数相乘法则（核心口诀：同号得正，异号得负，绝对值相乘） 同号两数相乘：积为正，两绝对值相乘 例：(-4)(-6)=+(46)=24 异号两数相乘：积为负，两绝对值相乘 例：(-4)6=(46)=24 任何数与 0 相乘，结果为 0 例：0(-12.5)=0 （二）多个有理数连乘符号规律（高频考点） 1.因数不含 0：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负； 2.因数中只要有一个 0，乘积直接等于 0，无需计算绝对值。 例：(-2)(-3)(-4)，3 个负因数（奇数），结果为负；(-1)20(-5)=0 （三）乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 简便计算 4 种分组技巧 ① 凑 1 分组：互为倒数优先相乘；② 凑整分组；③ 同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03:有理数的除法 (一）除法核心转化法则（本节灵魂） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 字母公式：ab = a(b≠0) (二）两数相除符号法则（和乘法完全统一） 同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0 除以任意非 0 数，结果为 0。 ⚠️ 禁忌：0 不能作为除数，50无意义。 (三)乘除符号规则对比表 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04:有理数乘除混合运算 标准解题步骤（阅卷规范） 1.化除为乘：全部除法改写为乘倒数； 2.确定符号：数负因数总个数，定最终正负； 3.约分计算：整数、分数统一约分，算出绝对值结果； 4.合并符号：结合符号写出最终答案。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部； 禁止跳步约分，移动数字必须连带自身符号。 知识点05:实际应用题型 通用解题流程 1.规定相反意义量的正负； 2.根据题意列乘除算式； 3.按乘除法则计算； 4.结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 知识点06:高频易错点汇总表（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0 有倒数 0 的倒数是 0 0 没有倒数 概念记忆模糊 .分配律漏乘 2(3-5)=6-5 23-25 括号内每一项都要乘外面因数 多因数符号数错 (-2)(-3)(-1)=6 -6 奇数个负因数结果为负 除法直接约分不变倒数 4(-)=4 4(-2) 忘记除法要乘倒数 0 作除数 80=0 0 不能做除数，式子无意义 忽略除法限制条件 题型1.两个有理数的乘法运算 【典例】计算 ______． 【答案】6 【详解】解：6． 【跟踪专练1】在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的简便运算，将带分数变形成凑整的形式，便于计算，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴，这样便于后面的运算， 故选：A 【跟踪专练2】已知，，且，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法，有理数的乘法，熟记运算法则是解题的关键．根据绝对值的意义，，，由可知x与y异号，分两种情况计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴时，，， 时，，， 综上所述，． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图中箭头所指的数，可能是算式（   ）的积 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、，不符合题意； 、，箭头所指的数可能是算式的积，符合题意； 、中里最小为，则，不符合题意； 、，若里为，则，不符合题意； 题型2.多个有理数的乘法运算 【典例】绝对值不大于的所有整数的积等于______． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，可得绝对值不大于的所有整数中包含，结合有理数乘法法则即可得到结果． 【详解】解：由绝对值的定义可知，绝对值不大于的所有整数中包含因数0， 根据有理数乘法法则，任何数与相乘的积都为， 因此绝对值不大于的所有整数的积等于． 【跟踪专练1】四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 【跟踪专练2】在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据题意可知将最小的负数和最大的两个正数相乘结果即为本题答案． 【详解】解：要使得积最小，则必为负数，则所取三个数中有一个或三个负数， ∵， ∴当所取三个数中有一个负数，可取最小的负数是，最大的两个正数是和， 此时积为． 当所取三个数中有三个负数，即取， 此时积为． ∵， ∴最小的积等于 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如果，，，那么这四个数中负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法与乘法的应用，关键是能根据已知和有理数的运算法则进行判断a、b、c、d的符号． 根据，，得出a、b异号，c、d中至少有1个负数，再由，负因数的个数是1个或3个，即可求解． 【详解】解：∵， ∴a、b互为相反数，即a、b异号， ∵， ∴c、d中至少有1个负数， ∴a、b、c、d中至少有2个负数， 又∵， ∴负因数的个数是1个或3个． ∴这四个数中负数有3个． 故选：C． 题型3.有理数乘法的实际应用 【典例】一件羊绒混纺大衣的标签上写着：“羊毛，羊绒．”这件羊绒大衣重克，制作这件羊绒大衣需要羊绒_____克． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法应用，理解题意列出算式是解决问题的关键． 羊绒占大衣总重的，根据百分比的意义，用总重乘以羊绒的百分比即可求出羊绒的重量． 【详解】解：（克）． 故答案为：． 【跟踪专练1】文博学校教学楼共5层，美术社团要在此教学楼召开会议．如果从1层到5层每层的参会人数分别为2，1，2，1，1，要使所有参会人员到会议地点的楼层距离之和最短，则会议地点应设在（    ） A．1层 B．2层 C．3层 D．4层 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算的应用，本题可通过分别计算会议地点设在每层时所有参会人员的距离之和，再比较大小得出距离之和最短的楼层． 【详解】解：分别计算各楼层作为会议地点的总距离： ∵ 设在1层时，总距离为 设在2层时，总距离为 设在3层时，总距离为 设在4层时，总距离为 设在5层时，总距离为 又∵ ∴ 会议地点设在3层时，所有参会人员到会议地点的距离之和最短． 故选：C． 【跟踪专练2】．某水果店有15箱苹果，以每箱为标准，超过或不足的千克数分别用正数、负数来表示，称重后记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 2 箱数 2 3 4 4 2 若苹果每千克售价为6元，出售这15箱苹果可卖______元． 【答案】918 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算的应用． 先计算与标准质量的总差值，再求实际总重量，最后根据单价计算总售价． 【详解】解：与标准质量的总差值为：， 故总超过， 实际总重量为：， 总售价为：元． 故答案为：918． 【跟踪专练3】甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买个足球，选择（   ）商店能让支付的金额最少． 商店 甲 乙 丙 优惠方式 买个送个 全场八折 每满元，返还现金元 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法和减法的应用，根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买个足球的实际支付金额，然后比较即可选择费用最低的商店，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：甲商店：优惠为“买个送个”，购买个需支付元，但实际得到个，因李老师只需个，需按原价支付元； 乙商店：全场八折，总金额为元，打八折后为（元）； 丙商店：每满元返元现金，总金额元中含个完整的元，返现（元），实际支付（元）； ∵， ∴乙商店实际支付金额最少，为元， 故选：． 题型4.倒数 【典例】若，则的倒数是___． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则求出x的值，再根据乘积为1的两个数互为倒数即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 【跟踪专练1】若的绝对值与的绝对值均为，则的倒数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据绝对值的非负性，求出的值，再计算，最后得到的倒数即可． 【详解】∵与均为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的倒数为． 【跟踪专练2】已知、互为相反数，、互为倒数，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，相反数和倒数的定义，绝对值的意义．根据相反数和倒数的定义，得，，代入表达式化简，再结合计算的值，最后求结果． 【详解】解：、互为相反数，； 、互为倒数，； ， ∴， 故答案为： 【跟踪专练3】已知，则的相反数的倒数为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查非负数的性质，代数式的值，相反数，倒数等概念，利用非负数的性质求出x，y的值是解题的关键； 根据几个非负数的和为零，则每个数都为零，求出x，y的值，进而可得的值，再得出的相反数的倒数即可． 【详解】，，， ，， 解得，， ， 的相反数是，的倒数是， 的相反数的倒数是． 故选：A． 题型5.有理数乘法运算律 【典例】计算：________． 【答案】58 【详解】解： ． 【跟踪专练1】下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义． 结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正确即可． 【详解】解：选项A运用乘法交换律，运算律运用正确； 选项B运用乘法结合律，运算律运用正确； 选项C中，除法无分配律，运算律运用错误； 选项D运用乘法分配律，运算律运用正确； 故选：C． 【跟踪专练2】的末尾共有零的个数是___________． 【答案】3986 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律．根据乘法分配律法则把原式变形为，进一步计算求解即可． 【详解】解： ． 即末尾共有零的个数是3986． 故答案为：3986． 【跟踪专练3】若，则的结果可用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律的基本应用，利用乘法分配律，将转化为，再结合已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 题型6.有理数的除法运算 【典例】_______ 【答案】 【分析】根据有理数除法法则将除法运算转化为乘法运算，再约分计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】通过字母表示数，我们可以借助符号描述有理数的除法法则：当有理数a、b同号时，；当有理数a、b异号时，；____（请借助符号把该法则补充完整）． 【答案】当，时， 【分析】本题考查有理数除法法则的概念，完整的有理数除法法则分为同号两数相除、异号两数相除、零除以非零有理数三种情况，题干给出前两种情况，只需补充剩余的零除以非零数的情况即可． 【详解】根据有理数除法法则，除数不能为零，零除以任何一个不为零的有理数结果都为零，因此用符号描述该法则为：当，时，． 【跟踪专练2】填空： （1）( )；             （2）( )； （3）( )；         （4）( )． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解题的关键． 根据除以一个数等于乘以这个数的倒数求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，3，． 【跟踪专练3】对于任意均不为0的有理数a，b，定义运算“*”；，如，则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算，属于中档题．根据新运算定义，先计算内层运算 ，再计算． 【详解】解：根据题意：， ∴， 故选：B． 题型7.有理数除法的应用 【典例】一款小排量轿车每千米耗油升，另一款大排量轿车每千米耗油升．如果两辆轿车同样行驶千米的路程，则小排量轿车比大排量轿车节省燃油( )升． 【答案】 【详解】解：根据题意得 （升）． 【跟踪专练1】某人以固定的速度骑车从A地到B地，骑行2小时后，他来到一个路牌前（如图所示）．此人如以同样的速度骑车，再有多长时间可以到达B地 （   ） A．2小时 B．小时 C．3小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查有理数除法的应用．首先根据已知条件求得骑车速度，然后根据速度和剩余距离计算所需时间． 【详解】解： (小时) 故选：C． 【跟踪专练2】有一项工程，有三个工程队竞标，已知甲、乙、丙三个工程队都是以工作时间长短来付费的，由甲、乙两队合作，10天可以全部完工，共需要支付18000元；由乙、丙两队合作，20天可以完工，共需要支付12000元；由甲、丙两队合作，12天可以完工，共需要支付15000元．如果该工程只需要一个工程队承建，即只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早完工_____天．需要支付速度最快的队伍_____元． 【答案】 45 18375 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解题意，先算出甲乙丙的工作效率和，再分别算出甲，乙，丙的工作效率，故从时间上考虑应该选择甲，会比丙早完工天，然后算出甲乙丙的每日费用之和，再算出甲，乙，丙的每日费用，再进行列式计算，需要支付最快的队伍为甲（元），即可作答． 【详解】解：依题意，甲乙丙的工作效率和为， 故甲的工作效率为， 乙的工作效率为 丙的工作效率为： ∴从时间上考虑应该选择甲，会比丙早完工：（天）， 同理得甲乙丙的每日费用之和是（元）， 故甲的每日费用为：（元）， 乙的每日费用为：（元）， 丙的每日费用为：（元）， ∴需要支付最快的队伍为甲：（元）， 答：最快的比最慢的会早完工45天，需要支付速度最快的队伍18375元， 故答案为：45，18375． 【跟踪专练3】如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的计算，通过观察发现日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数之间的内在联系，是完成本题的关键．通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可． 【详解】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数． A、，不能整除，不符合要求； B、，不能整除，不符合要求； C、，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点； D、，不能整除，不符合要求； 故选：C． 题型8.有理数乘除混合运算 【典例】_______． 【答案】 【分析】根据有理数除法法则将除法转化为乘法，再按照从左到右的同级运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． 【跟踪专练2】计算：______. 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘除法则． 先根据有理数的除法法则，把除法化成乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘除的应用． 根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴a，b，c中最小的数是b． 故选：B． 题型9.有理数乘除中的简便运算 【典例】用简便的方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了四则运算和简便运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键； （1）利用加法交换律和结合律进行计算即可得解； （2）利用除法的性质和乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【跟踪专练1】计算： 【答案】 【详解】解：原式 【跟踪专练2】计算 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，包括乘法、加法和除法．将除法转换成乘法，根据乘法分配律和逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 题型10.有理数四则混合运算 【典例】已知，则________． 【答案】 【分析】根据公式列出算式计算可得． 【详解】根据题意可得 ． 【跟踪专练1】定义新运算：，则的值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算的理解及有理数的混合运算，将对应数值代入给定的运算公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵定义新运算 ∴ 故选：A． 【跟踪专练2】计算＝_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据去括号法则去掉括号，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：. 【跟踪专练3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 【详解】选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 【典例】某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两班之间赛一场），预计全部赛完共需_________场比赛． 【答案】15 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，每个班级都要与其他5个班级比赛一场，且相同两个班级之间的比赛只算作一场，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，预计全部赛完共需场． 故答案为：15． 【跟踪专练1】如图，一把刻度尺放在数轴上，发现数轴上表示数和3的点分别与刻度尺上和的刻度线对应，则数轴上1个单位的长度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数的四则混合运算的应用． 根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 【跟踪专练2】甲、乙两地相距800千米，一辆汽车计划8小时由甲地到达乙地．汽车开出1小时后，由于情况紧急，速度提高，那么还要______小时才能到达． 【答案】 【分析】先求出原计划行驶速度，再求出行驶1小时后剩余的路程，接着计算提速后的速度，最后求出剩余路程所需的时间． 【详解】解：由题意得，原计划速度为（千米/时）， 汽车开出1小时后，剩余路程为 （千米）， 速度提高后，新速度为（千米/时）， 因此剩余路程所需时间为（小时）． 【跟踪专练3】如图所示，实验室里，水桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高）底面半径之比为，两个相同的管子在距离容器底部高处连通．现三个容器中，只有甲容器中有水，水位高，若每分钟同时向乙容器和丙容器中注入相同体积的水，注水分钟时，乙容器的水位上升了，则注水_____分钟时，甲容器的水位高度为． 【答案】 【分析】先算出三个容器的底面积之比，再结合乙的水位上升速度求出丙的水位上升速度，然后分丙的水位到连通器、乙的水位到连通器两个过程算出需要花费的时间，最后根据丙的水位上升速度算出甲的水位到达所需时间． 【详解】解：甲乙丙三个容器的底面半径之比为， 三个容器的底面积之比为， 注入体积相同的水且注水分钟时，乙容器的水位上升了， 注水分钟时，丙容器的水位上升了， 丙容器的水位每分钟上升， 连通管高为， 丙容器的水位到达连通管需要分钟， 当注水时间为分钟时，乙容器的水位为， 此时乙容器的水位距离连通管为， 分钟后，注入丙容器的水会通过连通管进入乙容器， 乙容器的水位每分钟上升， 分钟后，乙容器的水位继续上升到连通器的高度需要分钟， 当注水时间为分钟时，乙容器的水位到达连通器， 分钟后，注入乙和丙容器的水会通过连通管进入甲容器， 甲容器的水位每分钟上升， 目前甲容器的水位为，若要其水位达到，水位需上升， 需要的时间为分钟， 综上注水当分钟时，甲容器水位达到． 题型12.数轴位置判断代数式正负 【典例】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a____b．（填“>”，“=”或“<”） 【答案】> 【分析】本题考查了数轴大小的比较，由数轴的性质可知，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：>． 【跟踪专练1】如图，数轴上、两点分别对应有理数、，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了利用数轴比较有理数的大小，有理数的运算． 首先由数轴得到，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴得， ∴ ∴，故A正确； ∴，故B错误； ∴，故C错误； ∴， ∴，故D错误． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 【答案】①②④ 【详解】解：由数轴图可知，， 对于①：∵， ∴，故①正确； 对于②：∵， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴，， ∴，故③错误； 对于④：∵，， ∴，故④正确． 【跟踪专练3】若有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的意义以及有理数的加减运算、绝对值的性质．通过数轴确定，的符号以及和的绝对值大小关系是解题的关键． 先根据数轴得出，且，再结合有理数加减规则，绝对值的性质，逐一判断每个选项即可． 【详解】解：观察数轴上点的位置，在0左侧，所以， 在0右侧，所以，且， 选项A：，负数减正数结果为负，即，故该选项错误； 选项B：为正数，是负数，正数大于负数，即，故该选项错误； 选项C：，负数的绝对值更大，和为负，即，故该选项正确； 选项D：，因为为负，则其绝对值是它的相反数，则，而是正数正数，和左边不相等，故该选项错误； 故选C． 题型13.数轴上的翻折 【典例】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，折叠的性质， 先根据点的移动可得点A，B，C，D表示的数，再根据折叠的性质得出答案． 【详解】解；一个点从数轴上的原点开始，向左平移1个单位长度得到点A表示的数是，再向左平移3个单位长度得到点B表示的数是，然后向右平移9个单位长度得到点C表示的数是． 将数轴折叠，使得点A与点C重合，则折痕处的点为线段的中点，为， 所以折痕处的点到点B和点D的距离相等，点D表示的数是． 故答案为：8． 【跟踪专练1】如图，一条数轴上有点，其中点表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点上，则点表示的数是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间距离表示，涉及折叠性质，熟记折叠性质、数轴上两点之间距离表示是解决问题的关键 设点表示的数为，根据折叠性质得到，再由数轴上两点之间距离表示列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设点表示的数为， ∵点表示的数分别是，以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点上， ， 即， ， 则点表示的数是， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示的点与表示1的点重合，则数轴沿中点翻折，根据重合的数中点是即可解答． 【详解】解：由题意得数轴沿和1的中点翻折， 设与表示数字的点重合的是表示数字b的点， 则， 解得， 故答案为． 【跟踪专练3】数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在射线上，且与之间的距离是，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上表示的数，数轴上两点间的距离的计算，有理数的加减混合运算，然后分为点在点的左侧和点在点的右侧两种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质得，点到点的距离等于点到点的距离， 若点在点的左侧， ∵点表示数，与之间的距离是， ∴点表示数， ∵点表示数， ∴点到点的距离为， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是； 若点在点的右侧， ∵点表示数，与之间的距离是， ∴点表示数， ∵点表示数， ∴点到点的距离为， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是； 综上可得：点表示的数是或， 故选：． 题型14.新定义运算 【典例】对于有理数，，定义运算：，则______． 【答案】 【分析】根据，可以求得所求式子的值． 【详解】∵， ∴ ． 【跟踪专练1】对于整数x，规定，例如，，求：______． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是熟练掌握题目中的新规定，有理数混合运算的顺序和法则． 通过计算发现，然后将求和式中的项配对求和，最后加上单独的，即可解答． 【详解】解：由，得 ， 所以． ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练2】若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意可得： = ． 【跟踪专练3】规定一种新运算：，则的值是（   ） A．6 B． C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新运算定义，先计算括号内的运算，继而再利用新运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练4】定义新运算：．例如：，．下列说法： ①；②若，则； ③；④若，则． 正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查新定义的运算，需要根据定义逐一判断各说法的正确性．说法①通过反例验证不成立；说法②、③、④通过定义和逻辑推理验证成立． 【详解】解：说法①：取反例 ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴，故说法①错误． 说法②：若，则分两种情况： ∵当时，， ∴， ∴， ∴； ∵当时，， ∴， ∴， ∴； 故说法②正确． 说法③：∵当时，； 当时，； ∴，故说法③正确． 说法④：若，则分两种情况： 若， 假设， 则， ∴， 与矛盾， ∴， ； 若， 假设， 则， ∴， 与矛盾， ∴， ． 故说法④正确． 综上，说法②、③、④正确，共3个． 故选：C． 解答题 1．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】（1）先计算乘法，再计算除法即可得出结果； （2）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可得出结果； （3）根据有理数的乘法运算律计算即可得出结果； （4）将带分数化为假分数，再计算乘法即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．计算． 【答案】46 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算括号里的加法，将原式转化为分数的连乘形式，再通过约分进行化简计算即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．计算： 【答案】1 【详解】解： ． 5．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C． (1)在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为______；由此可得点A、B之间的距离为______． (2)化简： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴和绝对值、合并同类项等知识点，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解； （2）根据数轴得出，，去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为； A，B之间的距离为； 故答案为：；； （2）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， ∴ ． 6．某公司去年月平均每月亏损1.6万元，月平均每月盈利14.7万元，月平均每月盈利12.4万元，月平均每月亏损2.6万元（记盈利额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况． 【答案】 该公司去年总的盈利万元 【分析】根据亏损的为负数，盈利的为正数，列式计算即可． 【详解】解：由题得，， ， （万元）． 答：该公司去年总的盈利万元． 7．甲、乙、丙三个人同时开始沿公园中的人造湖慢跑，乙、丙按顺时针跑，甲按逆时针跑，甲第一次遇到丙后过1分钟遇到乙，再过3分钟第二次遇到丙，已知丙的速度是甲的速度的，人造湖的周长是800米，求乙的速度是每分钟多少米？ 【答案】米/分 【分析】先求出甲丙速度和，进而得出甲的速度，再根据甲乙速度和，求出乙的速度即可． 【详解】解：因为，甲丙第一次相遇后过分钟又相遇， 所以，甲丙速度和：（米/分） 因为，丙的速度是甲的速度的， 所以，甲的速度： （米/分）， 因为，甲、丙第一次相遇用时为（分钟）， 所以，甲、乙第一次相遇用时为（分钟）， 所以，甲乙速度和： （米/分）， 所以，乙的速度：（米/分）． 8．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】（1）7；（2）①，；②、 【分析】本题考查数轴上的折叠问题，解题的关键是确定对折中心点： （1）根据左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，得到对折中心点为原点，即可得出结果； （2）①根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，求出对折中心点，进而求出对折后与6表示的点重合的点表示的数即可；②根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， ∴对折中心点为原点， ∴表示的点与7表示的点重合； （2）①由题意，对折中心点为， ； 故对折后6表示的点与数表示的点重合； ②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为， 因为对折中心点所表示的数为2的点，，； 所以、两点表示的数分别为：、． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数的乘法与除法暑假预习讲义 1.牢记乘除运算法则、倒数定义，明确 0 无倒数、0 不可作除数的限制条件。 2.掌握多因数连乘符号判定方法，计算坚持先定符号、再算绝对值的标准步骤。 3.熟练运用 “化除为乘” 转化思想，完成整数、分数、小数的乘除基础运算。 4.灵活使用乘法三大运算律，掌握凑整、约分等简便计算技巧。 5.理清乘除混合运算顺序，规范化简多重符号，减少计算失误。 6.会结合生活实际建模，列有理数乘除算式，解读结果正负的实际含义。 7.辨析倒数与相反数易混概念，梳理典型错题，标记难点课堂重点突破。 预习必备知识梳理 1.倒数 2.有理数乘法 3.有理数除法 4.有理数乘除混合运算 5.实际应用题型 6.高频易错点汇总 常考题型精讲精练 1.两个有理数的乘法运算 2.多个有理数的乘法运算 3.有理数乘法的实际应用 4.倒数 5.有理数乘法运算律 6.有理数的除法运算 7.有理数除法的应用 8.有理数乘除混合运算 9.有理数乘除中的简便运算 10.有理数四则混合运算 11.有理数四则混合运算的实际应用 12.数轴位置判断代数式正负 13.数轴上的翻折 14.新定义运算 强化题型 解答题8题 知识点01:倒数（除法转化必备工具） 1. 倒数定义 乘积为 1 的两个有理数互为倒数。 2. 倒数的求法 3. 关键硬性规定 (1)0没有倒数（不存在一个数与 0 相乘得 1）； (2)正数倒数仍为正，负数倒数仍为负。 知识点02:有理数的乘法 （一）两数相乘法则（核心口诀：同号得正，异号得负，绝对值相乘） 同号两数相乘：积为正，两绝对值相乘 例：(-4)(-6)=+(46)=24 异号两数相乘：积为负，两绝对值相乘 例：(-4)6=(46)=24 任何数与 0 相乘，结果为 0 例：0(-12.5)=0 （二）多个有理数连乘符号规律（高频考点） 1.因数不含 0：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负； 2.因数中只要有一个 0，乘积直接等于 0，无需计算绝对值。 例：(-2)(-3)(-4)，3 个负因数（奇数），结果为负；(-1)20(-5)=0 （三）乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 简便计算 4 种分组技巧 ① 凑 1 分组：互为倒数优先相乘；② 凑整分组；③ 同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03:有理数的除法 (一）除法核心转化法则（本节灵魂） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 字母公式：ab = a(b≠0) (二）两数相除符号法则（和乘法完全统一） 同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0 除以任意非 0 数，结果为 0。 ⚠️ 禁忌：0 不能作为除数，50无意义。 (三)乘除符号规则对比表 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04:有理数乘除混合运算 标准解题步骤（阅卷规范） 1.化除为乘：全部除法改写为乘倒数； 2.确定符号：数负因数总个数，定最终正负； 3.约分计算：整数、分数统一约分，算出绝对值结果； 4.合并符号：结合符号写出最终答案。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部； 禁止跳步约分，移动数字必须连带自身符号。 知识点05:实际应用题型 通用解题流程 1.规定相反意义量的正负； 2.根据题意列乘除算式； 3.按乘除法则计算； 4.结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 知识点06:高频易错点汇总表（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0 有倒数 0 的倒数是 0 0 没有倒数 概念记忆模糊 .分配律漏乘 2(3-5)=6-5 23-25 括号内每一项都要乘外面因数 多因数符号数错 (-2)(-3)(-1)=6 -6 奇数个负因数结果为负 除法直接约分不变倒数 4(-)=4 4(-2) 忘记除法要乘倒数 0 作除数 80=0 0 不能做除数，式子无意义 忽略除法限制条件 题型1.两个有理数的乘法运算 【典例】计算 ______． 【跟踪专练1】在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，，且，则的值为________． 【跟踪专练3】如图中箭头所指的数，可能是算式（   ）的积 A． B． C． D． 题型2.多个有理数的乘法运算 【典例】绝对值不大于的所有整数的积等于______． 【跟踪专练1】四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【跟踪专练2】在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 【跟踪专练3】如果，，，那么这四个数中负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3.有理数乘法的实际应用 【典例】一件羊绒混纺大衣的标签上写着：“羊毛，羊绒．”这件羊绒大衣重克，制作这件羊绒大衣需要羊绒_____克． 【跟踪专练1】文博学校教学楼共5层，美术社团要在此教学楼召开会议．如果从1层到5层每层的参会人数分别为2，1，2，1，1，要使所有参会人员到会议地点的楼层距离之和最短，则会议地点应设在（    ） A．1层 B．2层 C．3层 D．4层 【跟踪专练2】．某水果店有15箱苹果，以每箱为标准，超过或不足的千克数分别用正数、负数来表示，称重后记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 2 箱数 2 3 4 4 2 若苹果每千克售价为6元，出售这15箱苹果可卖______元． 【跟踪专练3】甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买个足球，选择（   ）商店能让支付的金额最少． 商店 甲 乙 丙 优惠方式 买个送个 全场八折 每满元，返还现金元 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 题型4.倒数 【典例】若，则的倒数是___． 【跟踪专练1】若的绝对值与的绝对值均为，则的倒数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知、互为相反数，、互为倒数，，则的值为________． 【跟踪专练3】已知，则的相反数的倒数为（   ） A． B． C． D．3 题型5.有理数乘法运算律 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】的末尾共有零的个数是___________． 【跟踪专练3】若，则的结果可用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 题型6.有理数的除法运算 【典例】_______ 【跟踪专练1】通过字母表示数，我们可以借助符号描述有理数的除法法则：当有理数a、b同号时，；当有理数a、b异号时，；____（请借助符号把该法则补充完整）． 【跟踪专练2】填空： （1）( )；             （2）( )； （3）( )；         （4）( )． 【跟踪专练3】对于任意均不为0的有理数a，b，定义运算“*”；，如，则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 题型7.有理数除法的应用 【典例】一款小排量轿车每千米耗油升，另一款大排量轿车每千米耗油升．如果两辆轿车同样行驶千米的路程，则小排量轿车比大排量轿车节省燃油( )升． 【跟踪专练1】某人以固定的速度骑车从A地到B地，骑行2小时后，他来到一个路牌前（如图所示）．此人如以同样的速度骑车，再有多长时间可以到达B地 （   ） A．2小时 B．小时 C．3小时 D．小时 【跟踪专练2】有一项工程，有三个工程队竞标，已知甲、乙、丙三个工程队都是以工作时间长短来付费的，由甲、乙两队合作，10天可以全部完工，共需要支付18000元；由乙、丙两队合作，20天可以完工，共需要支付12000元；由甲、丙两队合作，12天可以完工，共需要支付15000元．如果该工程只需要一个工程队承建，即只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早完工_____天．需要支付速度最快的队伍_____元． 【跟踪专练3】如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 题型8.有理数乘除混合运算 【典例】_______． 【跟踪专练1】计算：________． 【跟踪专练2】计算：______. 【跟踪专练3】已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 题型9.有理数乘除中的简便运算 【典例】用简便的方法计算 (1) (2) 【跟踪专练1】计算： 【跟踪专练2】计算 题型10.有理数四则混合运算 【典例】已知，则________． 【跟踪专练1】定义新运算：，则的值为 （   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算＝_______ ． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 【典例】某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两班之间赛一场），预计全部赛完共需_________场比赛． 【跟踪专练1】如图，一把刻度尺放在数轴上，发现数轴上表示数和3的点分别与刻度尺上和的刻度线对应，则数轴上1个单位的长度是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】甲、乙两地相距800千米，一辆汽车计划8小时由甲地到达乙地．汽车开出1小时后，由于情况紧急，速度提高，那么还要______小时才能到达． 【跟踪专练3】如图所示，实验室里，水桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高）底面半径之比为，两个相同的管子在距离容器底部高处连通．现三个容器中，只有甲容器中有水，水位高，若每分钟同时向乙容器和丙容器中注入相同体积的水，注水分钟时，乙容器的水位上升了，则注水_____分钟时，甲容器的水位高度为． 题型12.数轴位置判断代数式正负 【典例】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a____b．（填“>”，“=”或“<”） 【跟踪专练1】如图，数轴上、两点分别对应有理数、，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 【跟踪专练3】若有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型13.数轴上的翻折 【典例】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为_______． 【跟踪专练1】如图，一条数轴上有点，其中点表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点上，则点表示的数是（    ） A．0 B．2 C． D． 【跟踪专练2】如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【跟踪专练3】数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在射线上，且与之间的距离是，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 题型14.新定义运算 【典例】对于有理数，，定义运算：，则______． 【跟踪专练1】对于整数x，规定，例如，，求：______． 【跟踪专练2】若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】规定一种新运算：，则的值是（   ） A．6 B． C． D．10 【跟踪专练4】定义新运算：．例如：，．下列说法： ①；②若，则； ③；④若，则． 正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解答题 1．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： 5．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C． (1)在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为______；由此可得点A、B之间的距离为______． (2)化简： 6．某公司去年月平均每月亏损1.6万元，月平均每月盈利14.7万元，月平均每月盈利12.4万元，月平均每月亏损2.6万元（记盈利额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况． 7．甲、乙、丙三个人同时开始沿公园中的人造湖慢跑，乙、丙按顺时针跑，甲按逆时针跑，甲第一次遇到丙后过1分钟遇到乙，再过3分钟第二次遇到丙，已知丙的速度是甲的速度的，人造湖的周长是800米，求乙的速度是每分钟多少米？ 8．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $