第10讲等式与方程（5大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假七年级数学衔接讲义（苏科版）

第10讲等式与方程（5大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断各式是否是方程 典型例题二 等式的性质1 典型例题三 等式的性质2 典型例题四 列方程 典型例题五 判断是否是方程的解 典型例题六 已知方程的解，求参数 知识点一：方程 含有未知数的等式叫作方程． 例如：，，，，，等都是方程． 【即时训练】 1．（23-24七年级上·陕西西安·暑期衔接）下面是方程的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的识别，根据含未知数的等式是方程逐项判断即可． 【详解】解：A．不是等式，故不是方程，不符合题意； B．是含未知数的等式，是方程，符合题意； C．不是等式，故不是方程，不符合题意； D．不含未知数，故不是方程，不符合题意； 故选：B． 2．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 知识点二：方程的解与解方程 1. 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．例如：是方程的解． 2. 求方程的解的过程，叫作解方程． 【即时训练】 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）是（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分别代入下列方程，检验是否成立即可． 【详解】解：A.把代入方程，方程左边方程右边，所以是的解； B.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； C.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； D.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解． 2．（25-26七年级上·全国·单元复习）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有_______．（填序号） 【答案】②④⑤⑥ 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】解：当时，①的左边，右边，左边右边，所以不是①的解； 当时，②的左边，右边，左边右边，所以是②的解； 当时，③的左边，右边，左边右边，所以不是③的解； 当时，④的左边，右边，左边右边，所以是④的解； 当时，⑤的左边，右边，左边右边，所以是⑤的解； 当时，⑥的左边，左边右边，所以是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 知识点三： 一元一次方程的概念 1. 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程． 例如：，，等都是一元一次方程． 2. 一元一次方程的最简形式为． 3. 一元一次方程的标准形式为． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·北京·课后作业）下列式子（　　）是方程． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，据此可得答案． 【详解】A、 含未知数a，但不是等式，不符合题意； B、 含未知数n，但无等号，不符合题意； C、是等式且含未知数x，满足方程定义，符合题意； D、 是等式，但无未知数，不符合题意 故选：C． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是________．（填序号即可） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了方程的定义，解决本题的关键是对概念的理解．根据含有未知数的等式是方程求解即可． 【详解】在①；②；③；④中， 是方程的是②④． 故答案为：②④． 知识点四：列简单的一元一次方程 列方程就是把实际问题中的等量关系用方程的形式表示出来．列方程的一般步骤如下： （1）审：仔细审题，弄清题中的已知量、未知量和相等关系； （2）设：设出恰当的未知数，并把与相等关系有关的量用未知数表示出来； （3）列：根据题中等量关系列出一元一次方程． 【即时训练】 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 【详解】解：根据题意，得． 2．（25-26七年级上·四川眉山·期中）代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． 【答案】 【分析】根据题意找出等量关系，将题目中的文字描述转化为等式，代入对应代数式即可得到方程． 【详解】解：由题意可知，代数式比代数式的值小， 可得等量关系：等于减， 因此列方程得：． 知识点五：等式的性质 性质 内容 字母表示 示例 两个基本事实 对称性：如果 ，那么； 传递性：如果 ，那么 若 ，则，则 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果 ，那么 若 ，则 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果 ，那么；如果，那么 若 ，则， 【即时训练】 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）如图所示，因为，由此可以用推理说明图中，其划线的这一变化过程运用了（     ） A．加法的意义 B．加法交换律 C．加法结合律 D．等式的性质 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．直接判断即可． 【详解】∵， ∴， 利用了等式的性质，符合等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， 故答案为：D． 2．（25-26七年级上·浙江温州·暑期衔接）小州用烧杯装不同体积的某液体，测得烧杯和液体的总质量（单位：g）与液体体积（，单位：）的关系满足．若用与表示，则__________． 【答案】 【分析】利用等式的基本性质，将用含和的代数式表示出来即可． 【详解】解：已知， 移项得， 等式两边同除以（），得． 【典型例题一 判断各式是否是方程】 1．（25-26七年级上·山西太原·暑期衔接）下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程，由此逐项分析即可得解，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是方程，故不符合题意； B、，不是方程，故符合题意； C、是方程，故不符合题意； D、是方程，故不符合题意； 故选：B． 2．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有___________，是方程的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④⑤ ④⑤/⑤④ 【分析】本题考查等式和方程定义，熟记等式与方程定义是解决问题的关键． 根据等式：必须含有“”， 方程：既是等式，又含未知数逐项验证即可得到答案． 【详解】解：等式有①、③、④、⑤； 其中③不含未知数，是恒等式；在初中阶段，通常将⑤视为方程； 故答案为：①③④⑤；④⑤． 1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段检测）下列叙述中，正确的是（   ） A．方程是含有未知数的式子 B．方程是等式 C．只有含有字母x，y的等式才叫方程 D．带等号和字母的式子叫方程 【答案】B 【分析】根据方程的概念结合选项选出正确答案即可． 【详解】解：A、方程是含有未知数的等式，错误； B、方程是含有未知数的等式，故选项正确； C、并不是只有含有字母x，y的等式才叫方程，错误； D、含有未知数的等式叫做方程，错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的概念，掌握各知识点的定义是解答本题的关键． 2．（23-24七年级上·河北邢台·阶段检测）关于式子①和②，下列说法正确的是（    ） A．①、②均是方程 B．①是方程，②不是方程 C．①不是方程，②是方程 D．①、②均不是方程 【答案】B 【分析】根据“含有未知数的等式叫做方程”可直接进行排除选项． 【详解】解：关于式子①和②，可知：①是方程，②不是方程； 故选B． 【点睛】本题主要考查方程的定义，熟练掌握方程定义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式是方程的有_____ ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【答案】②③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断． 【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程； ②＋y＝5，是方程； ③x2﹣2x＝1，是方程； ④x2﹣2x＝x﹣y，是方程； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程； 故答案为：②③④． 【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 【典型例题二 等式的性质1】 1．（25-26七年级上·河南南阳·暑期衔接）如果，那么，其依据为（     ） A．方程两边可以交换 B．相等关系可以传递 C．方程两边都加上同一个整式，方程的解不变 D．方程两边都乘以同一个数，方程的解不变 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，观察题干中等式的变形过程，对应匹配变形依据即可得到答案． 【详解】解： 由变形得到，是给方程左右两边同时加上同一个整式， 该变形的依据是等式两边都加上同一个整式，等式仍成立， 对应选项C． 2．（24-25七年级上·北京·期中）已知方程，用含的代数式表示，则_________． 【答案】/ 【详解】解：， 两边同减去，得． 1．（2026·七年级上 四川宜宾·暑期衔接）如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量值即可． 【详解】解：设物体质量为，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则的值为砝码质量的代数和（取正值， 分三种情况讨论： 只使用一个砝码：，，，共种； 使用两个砝码： 两砝码放在异侧（做减法）： ，，； 两砝码放在同侧（做加法）：，，； 共种； 使用三个砝码： ； ； ； ； 共种 综上所述，能称出的整数克质量有：，共种． 2．（25-26七年级上·河南三门峡·暑期衔接）等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质． 【详解】解：观察图形，使等式的两边都加c，得到，利用等式性质1，所以成立． 故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，将一个大正方形分成两个长方形和一个小正方形．已知两个长方形的面积分别为10，6，则大正方形的面积为_________． 【答案】 25 【分析】先根据等式的性质说明，然后求出正方形的边长，再求长方形的长，进而求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴长方形的面积=长方形的面积， ∴正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴长方形的长， ∴正方形的边长， ∴正方形的面积． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡． (1)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ； (2)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等式的性质1．弄清天平两边正好达到平衡，每边的质量和为105克是解题的关键． （1）将砝码①，③，…，⑳放在天平一边，砝码②，④，…，19克放在天平另一边，根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码即可； （2）将砝码①，②，…，14克放在天平一边，砝码15克，16克，17克，18克，19克，⑳放在天平另一边，根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡． 【详解】（1）解：天平一边是砝码①，③，…，⑳，天平另一边是砝码②，④，…，19克，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码； （2）解：天平一边是砝码①，②，…，14克，天平另一边是砝码15克，16克，17克，18克，19克，20克，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡． 【典型例题三 等式的性质2】 1．（25-26七年级上·福建泉州·暑期衔接）下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：选项A：∵，等式两边同时减3，得，变形正确，符合题意； 选项B：∵，等式两边同时除以7，得，原式变形错误，不符合题意； 选项C：∵，等式两边同时乘2，得，原式变形错误，不符合题意； 选项D：∵，移项得，原式变形错误，不符合题意． 2．（24-25七年级上·上海·阶段检测）将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 【答案】 【分析】利用等式的基本性质求解． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时除以，得． 1．（25-26七年级上·山东威海·暑期衔接）若，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、若，则，故A错误； B、若，则，故B正确； C、若，则，故C错误； D、若，且，则，故D错误； 2．（2023·七年级上 湖南长沙·暑期衔接）下列方程的变形，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【详解】解：A、对于，等式两边同时减3，得，故本选项错误； B、对于，等式两边同时除以7，得 ，故本选项错误； C、对于，等式两边同时乘2，得，故本选项错误； D、对于，等式两边同时减3，得 ，故本选项正确． 3．（25-26七年级上·上海普陀·暑期衔接）把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 【答案】 【详解】解： ∴ 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． （1）方程两边同减去2，即可得出答案； （2）方程两边同乘2，即可得出答案； （3）方程两边同加上5，即可得出答案； （4）方程两边先同时减去1，变为，然后方程两边同除以2，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 方程两边都减2，得． （2）解：， 方程两边都乘2，得． （3）解：， 方程两边都加5，得． （4）解：， 方程两边都减1，得； 方程两边都除以2，得． 【典型例题四 列方程】 1．（25-26七年级上·广东广州·暑期衔接）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据题意找到等量关系并列出方程是解题的关键．先根据题目条件，用含未知数的代数式分别表示出金牌数和银牌数，再根据总奖牌数列出方程． 【详解】解：设铜牌数为枚，则金牌数为枚，银牌数为枚，由题意可得 ， 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）3月12日是植树节，阳光学校组织开展植树活动．已知八年级师生共植树棵，比七年级师生植树数量的倍还多棵．若七年级师生植树棵，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了方程，找到正确的等量关系是解题的关键. 【详解】解：由题意得八年级师生植树量可表示为， 则可列方程为：， 故答案为： ． 1．（25-26七年级上·全国·单元测试）下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 【答案】D 【分析】此题考查了列方程，逐一分析各选项的等量关系，判断是否与方程相符． 【详解】A．总费用为元，付30元找回6元，方程为，不符合题意； B．黑兔数量x是白兔的3倍多6只，方程为，不符合题意； C．科技书比故事书多6本，方程为，不符合题意； D．舞蹈小组人数是书法小组的3倍少6人，方程为，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东潍坊·暑期衔接）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮， 由题意得． 故选：． 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共列方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 【详解】解：设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，则碳水化合物含量为，依题意可列方程，， 故答案为：． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列一元一次方程，熟练掌握方程的列法是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）根据题意列出方程即可； （3）根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 【典型例题五 判断是否是方程的解】 1．（23-24七年级上·河北邢台·阶段检测）对于试题“已知，的三边长为，，，求的值”，甲乙两位同学的思考如下： 甲 根据“全等三角形的对应边相等”可知分为两种情况：或，解得：或或 乙 分类讨论有点麻烦，我根据“全等三角形的周长相等”，得出：，解得： 则下列说法正确的是（   ） A．甲乙均正确 B．甲乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【分析】分析甲乙思考过程，由方程组解法判断即可． 【详解】解：对于甲，当时，中两个方程同时成立，则是满足题意的解；当时，方程成立；当时，方程成立；从而不存在唯一一个值，使中两个方程同时成立，即无解，甲说法错误； 乙说法正确； 综上所述，甲错误、乙正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·北京·暑期衔接）已知方程，则在，，中，______是方程的解． 【答案】，， 【分析】本题考查了方程的解，将，，分别代入原方程的左边，验证是否等于右边，即可求解． 【详解】解：将代入方程，，等式成立，因此是方程的解． 将代入方程，得到，等式同样成立，故也是方程的解． 将代入方程，得到，等式成立，所以同样是方程的解． 故答案为：，，． 1．（24-25七年级上·山西临汾·暑期衔接）关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化简为关于的一元一次方程，代入各值计算对应的解，对比选项即可判断错误解． 【详解】原方程可化简为，解得（）． 当时，，与一致，正确． 当时，，但表中，矛盾，错误． 当时，，与一致，正确． 当时，，与一致，正确． 综上，错误的解为选项B． 故选B． 2．（25-26七年级上·北京·课后作业）已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 将代入各方程，验证左右两边是否相等，从而判断其是否满足该方程． 【详解】解：将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程， 综上，满足所有三个方程， 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海·阶段检测）___________（填“是”或“不是”）方程的解 【答案】不是 【分析】本题考查了方程的解的概念，熟练掌握方程的解的概念．把分别代入方程的左右两边计算，即可判断答案． 【详解】解：当时， 左边， 右边， 左边右边， 不是方程的解． 故答案为：不是． 4．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）判断和是不是方程的解． 【答案】不是方程的解，是方程的解，见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的解的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的概念． 将和分别代入方程，判断等号两边值是否相等即可解答． 【详解】解：将代入方程的左边，得左边， ∴左边右边， 因此不是方程的解； 将代入方程的左边，得左边， ∴左边=右边， 因此是方程的解． 【典型例题六 已知方程的解，求参数】 1．（25-26七年级上·福建漳州·暑期衔接）若是方程的解，则的值是（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可求出未知参数的值. 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ 将 代入方程得 ， 移项计算得 . 因此的值为. 2．（25-26七年级上·重庆·期中）若是方程的解，则的值为_____． 【答案】1 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得：. 1．（25-26七年级上·广西贺州·暑期衔接）某班一个学习小组分发新购数学作业本，若每人发本，剩余本；若每人发本，还缺本．设学习小组人数为，可列一元一次方程：，已知是该方程的解，则参数的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，理解题意是解题的关键． 已知是该方程的解，代入方程，即可求出参数的值． 【详解】解：将代入中，得：， 解得． 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江台州·暑期衔接）方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．把代入，得到关于的方程，然后解方程求出的值，再把代入各选项判断即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 当时，选项A的值为2，不符合题意，舍去； 选项B的值为，不符合题意，舍去； 选项C的值为，符合题意； 选项D的值为，不符合题意，舍去； 故选：C． 3．（25-26七年级上·山东潍坊·暑期衔接）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程  的解为_____________________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，使等式两边成立的未知数的值叫做方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键.由关于的方程解为 ，代入得，对比关于的方程形式，直接得． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， ∵关于的方程与关于的方程形式一致， 即：对应 ， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 【答案】C 【详解】解：A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，而解方程是求方程的解的过程，因此A错误； B．含有未知数的等式才叫做方程，仅仅是式子（比如）不是方程，因此B错误； C．表示两边相等关系的式子叫做等式，这是等式的定义，因此C正确； D． 因此不是该方程的解，D错误． 2．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 3．（2023·七年级上 四川绵阳·暑期衔接）对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则的值为（     ） A．2 B．－1 C．－2 D．3 【答案】C 【分析】先根据“相伴数对”的定义列出等式，化简得到，再化简所求代数式，整体代入求值即可． 【详解】∵是“相伴数对” ， ∴， 整理得， 去分母，得， 展开移项得． 化简所求代数式： 把代入得， 原式． 4．（24-25七年级上·河北邢台·暑期衔接）有三种不同质量的物体“★”“▲”“■”，其中，同一种物体的质量都相等．在研究等式的性质时，老师在天平的左边放了“★★★■”，甲、乙、丙、丁四位同学在天平的右边各放了下列物体，只有一名同学所放的物体不能使天平平衡，该同学是（   ） 甲：★★★★★★；乙：★▲■；丙：“■▲▲”；丁：▲▲▲ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质以及通过等量关系判断天平平衡的知识点． 设“★”“▲”“■”的质量分别为、、，根据天平左边物体“★★★■”的总质量列出等式，然后分别分析四位同学所放物体的质量，根据等式的性质，天平两边质量相等才能平衡，找出不能使天平平衡的同学． 【详解】解：设“★”“▲”“■”的质量分别为、、， 天平左边物体放了“★★★■”， 其质量为， 根据等式的性质，天平两边质量相等才能平衡， 甲同学放了“★★★★★★”，其质量为， 由， 可得； 丁同学放了“▲▲▲”，其质量为， 由， 可得， ； 乙同学放了“★▲■”，其质量为， 由， 可得， 与天平左边， 所以天平左右两边平衡； 丙同学放了“■▲▲”，其质量为， 由， 可得， 与左边不相等， 所以丙同学所放物体不能使天平平衡； 故选：． 5．（25-26七年级上·河南周口·暑期衔接）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【答案】C 【分析】根据等式的性质、去括号法则、合并同类项法则把方程变形，逐一判断各步骤的依据即可得到结果． 【详解】解：步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤是等式两边同时减去，依据等式的性质，故步骤符合题意； 步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤4是等式两边同时除以，依据等式的性质，故步骤符合题意； 依据“等式的性质”变形的是步骤和步骤. 6．（23-24七年级上·河南开封·暑期衔接）《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【答案】B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 7．（25-26七年级上·四川眉山·期中）解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解代入求参数即可． 【详解】 解：将代入原方程可得， 解得处的数为． 8．（2026·七年级上 山西太原）下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质与不等式的基本性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：根据等式性质，等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立，∵，两边同时加，得，∴ A变形正确； 根据等式性质，等式两边同时乘(或除以)同一个不为的数，等式仍然成立，∵，两边同时除以，得，∴B变形正确； ∵， ∴， 根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∵，两边同时除以正数，得，∴C变形正确； ∵无法确定的符号，当时，不等式两边同时除以，不等号方向改变，若，可得，因此D变形错误． 9．（25-26七年级上·北京·期中）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡的条件可得，再根据等式的性质得到即可． 【详解】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得， ， 即， ∴，， 即， ∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·暑期衔接）甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 【详解】解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 11．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 【答案】 【分析】将代入到错误方程中，求出正确的“”的值，再根据等式性质解方程． 【详解】解：当时，根据题意得， 则原方程为 ． 12．（24-25七年级上·四川自贡·暑期衔接）如果x与y互为倒数，且，那么______． 【答案】8 【分析】根据倒数的定义得到，再利用比例的基本性质将比例式转化为方程，求出n的值后代入计算的结果． 【详解】解：∵x与y互为倒数， ∴， ∵， ∴，即，解得：． ∴． 13．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据浓度定义，浓度等于溶质质量除以溶液质量，设加水质量为m克，溶质为果汁粉，溶液质量为，浓度为，由此列出方程. 【详解】解：根据题意方程为 故答案为：. 14．（24-25七年级上·山东烟台·期中）若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______ 【答案】 【分析】由方程的解可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若，则______． 【答案】或 【分析】本题考查的是等式性质的应用，通过设比值为，并利用等式性质，分和 两种情况讨论即可． 【详解】解：设，则 （1） （2） （3） 将（1）、（2）、（3） 相加得： ， 左边合并同类项：， 右边：， 所以， 若，则， 若，则从（1）式得，代入 ， 同理其他分式也等于，故， 因此，比值为或， 故答案为：或． 16．（25-26七年级上·四川达州·暑期衔接）求未知数x的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 17．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）根据下列条件，列出关于的方程： (1)与的差等于的倍； (2)的倍比的一半多． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列方程，准确将文字语言转化为数学表达式是解题的关键． （1）分别表示出与的差，的倍，即可列出方程； （2）分别表示出的倍，的一半，即可列出方程． 【详解】（1）解：与的差表示为：，的倍表示为：，故所列方程为：； （2）的倍表示为，的一半表示为，故所列方程为：． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，0，1，2，3，4中，哪些值是方程的解？ 【答案】0和3 【分析】本题考查了方程的解． 逐一代入检验即可． 【详解】解：当时，，，两边不相等，可知不是方程的解； 当时，，，两边相等，可知是方程的解； 当时，，，两边不相等，可知不是方程的解； 当时，，，两边不相等，可知不是方程的解； 当时，，，两边相等，可知是方程的解； 当时，，，两边不相等，可知不是方程的解； 因此，方程的解为0和3． 19．（25-26七年级上·广西玉林·暑期衔接）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 20．（2025七年级上·全国·专题练习）天平右边托盘有3个一样的小铁块，每个铁块重，左边托盘有5个一样的砝码，每个砝码重，天平平衡表示．请你编一道实际生活情境的应用问题，满足等量关系，并和同学交流． 【答案】某文具店零售钢笔、笔记本的单价分别为x元、y元，买3支钢笔与买5本笔记本的价钱恰好相同，用等量关系表示为（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据等量关系列方程，正确理解题意是解题的关键． 根据实际生活中的实例，只要满足等量关系即可，答案不唯一． 【详解】解：某文具店零售钢笔、笔记本的单价分别为x元、y元，买3支钢笔与买5本笔记本的价钱恰好相同，用等量关系表示为（答案不唯一）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲等式与方程（5大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断各式是否是方程 典型例题二 等式的性质1 典型例题三 等式的性质2 典型例题四 列方程 典型例题五 判断是否是方程的解 典型例题六 已知方程的解，求参数 知识点一：方程 含有未知数的等式叫作方程． 例如：，，，，，等都是方程． 【即时训练】 1．（23-24七年级上·陕西西安·暑期衔接）下面是方程的选项是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 知识点二：方程的解与解方程 1. 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．例如：是方程的解． 2. 求方程的解的过程，叫作解方程． 【即时训练】 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）是（     ）方程的解． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·单元复习）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有_______．（填序号） 知识点三： 一元一次方程的概念 1. 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程． 例如：，，等都是一元一次方程． 2. 一元一次方程的最简形式为． 3. 一元一次方程的标准形式为． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·北京·课后作业）下列式子（　　）是方程． A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是________．（填序号即可） 知识点四：列简单的一元一次方程 列方程就是把实际问题中的等量关系用方程的形式表示出来．列方程的一般步骤如下： （1）审：仔细审题，弄清题中的已知量、未知量和相等关系； （2）设：设出恰当的未知数，并把与相等关系有关的量用未知数表示出来； （3）列：根据题中等量关系列出一元一次方程． 【即时训练】 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川眉山·期中）代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． 知识点五：等式的性质 性质 内容 字母表示 示例 两个基本事实 对称性：如果 ，那么； 传递性：如果 ，那么 若 ，则，则 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果 ，那么 若 ，则 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果 ，那么；如果，那么 若 ，则， 【即时训练】 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）如图所示，因为，由此可以用推理说明图中，其划线的这一变化过程运用了（     ） A．加法的意义 B．加法交换律 C．加法结合律 D．等式的性质 2．（25-26七年级上·浙江温州·暑期衔接）小州用烧杯装不同体积的某液体，测得烧杯和液体的总质量（单位：g）与液体体积（，单位：）的关系满足．若用与表示，则__________． 【典型例题一 判断各式是否是方程】 1．（25-26七年级上·山西太原·暑期衔接）下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有___________，是方程的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段检测）下列叙述中，正确的是（   ） A．方程是含有未知数的式子 B．方程是等式 C．只有含有字母x，y的等式才叫方程 D．带等号和字母的式子叫方程 2．（23-24七年级上·河北邢台·阶段检测）关于式子①和②，下列说法正确的是（    ） A．①、②均是方程 B．①是方程，②不是方程 C．①不是方程，②是方程 D．①、②均不是方程 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式是方程的有_____ ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【典型例题二 等式的性质1】 1．（25-26七年级上·河南南阳·暑期衔接）如果，那么，其依据为（     ） A．方程两边可以交换 B．相等关系可以传递 C．方程两边都加上同一个整式，方程的解不变 D．方程两边都乘以同一个数，方程的解不变 2．（24-25七年级上·北京·期中）已知方程，用含的代数式表示，则_________． 1．（2026·七年级上 四川宜宾·暑期衔接）如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（25-26七年级上·河南三门峡·暑期衔接）等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，将一个大正方形分成两个长方形和一个小正方形．已知两个长方形的面积分别为10，6，则大正方形的面积为_________． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡． (1)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ； (2)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 ． 【典型例题三 等式的性质2】 1．（25-26七年级上·福建泉州·暑期衔接）下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．（24-25七年级上·上海·阶段检测）将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 1．（25-26七年级上·山东威海·暑期衔接）若，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（2023·七年级上 湖南长沙·暑期衔接）下列方程的变形，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．（25-26七年级上·上海普陀·暑期衔接）把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题四 列方程】 1．（25-26七年级上·广东广州·暑期衔接）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）3月12日是植树节，阳光学校组织开展植树活动．已知八年级师生共植树棵，比七年级师生植树数量的倍还多棵．若七年级师生植树棵，则可列方程为______． 1．（25-26七年级上·全国·单元测试）下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 2．（24-25七年级上·山东潍坊·暑期衔接）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为_____． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 【典型例题五 判断是否是方程的解】 1．（23-24七年级上·河北邢台·阶段检测）对于试题“已知，的三边长为，，，求的值”，甲乙两位同学的思考如下： 甲 根据“全等三角形的对应边相等”可知分为两种情况：或，解得：或或 乙 分类讨论有点麻烦，我根据“全等三角形的周长相等”，得出：，解得： 则下列说法正确的是（   ） A．甲乙均正确 B．甲乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 2．（24-25七年级上·北京·暑期衔接）已知方程，则在，，中，______是方程的解． 1．（24-25七年级上·山西临汾·暑期衔接）关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·北京·课后作业）已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 3．（24-25七年级上·上海·阶段检测）___________（填“是”或“不是”）方程的解 4．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）判断和是不是方程的解． 【典型例题六 已知方程的解，求参数】 1．（25-26七年级上·福建漳州·暑期衔接）若是方程的解，则的值是（     ） A．2 B．4 C． D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）若是方程的解，则的值为_____． 1．（25-26七年级上·广西贺州·暑期衔接）某班一个学习小组分发新购数学作业本，若每人发本，剩余本；若每人发本，还缺本．设学习小组人数为，可列一元一次方程：，已知是该方程的解，则参数的值为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江台州·暑期衔接）方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东潍坊·暑期衔接）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程  的解为_____________________． 4．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）已知关于的方程的解是，求的值． 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 2．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 3．（2023·七年级上 四川绵阳·暑期衔接）对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则的值为（     ） A．2 B．－1 C．－2 D．3 4．（24-25七年级上·河北邢台·暑期衔接）有三种不同质量的物体“★”“▲”“■”，其中，同一种物体的质量都相等．在研究等式的性质时，老师在天平的左边放了“★★★■”，甲、乙、丙、丁四位同学在天平的右边各放了下列物体，只有一名同学所放的物体不能使天平平衡，该同学是（   ） 甲：★★★★★★；乙：★▲■；丙：“■▲▲”；丁：▲▲▲ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（25-26七年级上·河南周口·暑期衔接）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 6．（23-24七年级上·河南开封·暑期衔接）《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 7．（25-26七年级上·四川眉山·期中）解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·七年级上 山西太原）下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26七年级上·北京·期中）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 10．（23-24七年级上·浙江杭州·暑期衔接）甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 11．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 12．（24-25七年级上·四川自贡·暑期衔接）如果x与y互为倒数，且，那么______． 13．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 14．（24-25七年级上·山东烟台·期中）若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______ 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若，则______． 16．（25-26七年级上·四川达州·暑期衔接）求未知数x的值． (1) (2) (3) 17．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）根据下列条件，列出关于的方程： (1)与的差等于的倍； (2)的倍比的一半多． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，0，1，2，3，4中，哪些值是方程的解？ 19．（25-26七年级上·广西玉林·暑期衔接）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 20．（2025七年级上·全国·专题练习）天平右边托盘有3个一样的小铁块，每个铁块重，左边托盘有5个一样的砝码，每个砝码重，天平平衡表示．请你编一道实际生活情境的应用问题，满足等量关系，并和同学交流． 学科网（北京）股份有限公司 $