精品解析：浙江省义乌市稠州中学教育集团2021-2022学年九年级下学期寒假检测数学试题

2022年稠州中学教育集团九年级寒假作业检查数学试题 2022.2.16 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 实数，，2，中，为负整数的是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 5. 关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ） A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 6. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　） A. B. C. D. 8. 如图，将长、宽分别为，的长方形纸片分别沿，折叠，点M，N恰好重合于点P．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（　 　） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，正方形 的边长为a，点E在边 上运动（不与点A，B重合）， ，点F在射线 上，且 与 相交于点G，连接 ．则下列结论：① ，② 的周长为 ，③ ；④当 时，G是线段 的中点，其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超人．数字用科学记数法表示为______． 12. 已知圆锥的底面半径为5，母线长为13，则这个圆锥的侧面积是________． 13. 将二次函数y＝x2+2x-3的图象绕原点旋转180°，若得到的新的函数图象上总有两个点在直线y＝x-m上，则m的取值范围是____． 14. 如图，点是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点在双曲线上运动时，点在双曲线上移动，则的值为______． 15. 如图，在中，、E分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点F、G，连接、．若，且直线与直线互相垂直，则的长为__． 16. 图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆，，，O，P两点间距离与长度相等．当绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变． （1）点P、Q之间距离的最大值为 _____； （2）在转动过程中，则 _____． 三、解答题 (本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程) 17. 计算与化简求值 （1） （2）已知，求的值． 18. 如图，在和中，，，点依次在同一直线上，且． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 19. 如图，在的方格中，的顶点均在格点上．试按要求画出线段（E，F均为格点），各画出一条即可．（要求：图1：平分；图2：，图3：垂直平分） 20. 新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 参与度 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1 录播（人数） 4 16 12 8 直播（人数） 2 10 12 16 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？ （3）该校共有1000名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为，估计参与度在0.4以下的共有多少人？ 21. 如图，在平行四边形中，是对角线，，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的面积． 22. 某经销商月份用元购进一批恤衫售完后，月份用元购进一批相同的恤衫，数量是月份的倍，但每件进价涨了元． （1）月份进了这批恤衫多少件？ （2）月份，经销商将这批恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价元甲店按标价卖出件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出件，然后将件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． 用含的代数式表示． 已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值． 23. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax-5a（a0）． （1）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求点A 和点B 的坐标； （2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，在a>0的条件下，当 m≥0时，n 的取值范围是n≥-9，求抛物线的解析式； （3）当a=1时，把抛物线y=ax2-4ax-5a向上平移m（m>0）个单位长度得到新抛物线G，设新抛物线G与x 轴的一个交点的横坐标为t，且t满足<t<，请直接写出m 的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线l：上，过点B作的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C． （1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，与相交于点D，若． ①求证：． ②求四边形的面积． （2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年稠州中学教育集团九年级寒假作业检查数学试题 2022.2.16 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 实数，，2，中，为负整数的是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照负整数的概念即可选取答案． 【详解】解：是负数不是整数；是负数不是整数；2是正数；是负数且是整数 故选D． 【点睛】本题考查了实数的分类，比较简单． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、多项式乘多项式直接计算判断即可． 【详解】解：A. ，选项错误； B. ，选项错误； C. ，选项正确； D. ，选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从该组合体的俯视图看从左至右共有三列，从左到右第一列有一个正方形，第二列有一个正方形，第三列有两个正方形，据此找到答案即可． 【详解】解：从该组合体的俯视图看从左至右共有三列，从左到右第一列有一个正方形，第二列有一个正方形，第三列有两个正方形，可得只有选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三视图的识别，注意：俯视图是从上往下看到的图形． 4. 在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可判断． 【详解】∵小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩， 由此可得所用的统计量是中位数； 故选A． 【点睛】此题主要考查中位数的意义，解题的关键是熟知中位数的定义． 5. 关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ） A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可． 【详解】解：， 整理得：， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， 设方程两个根为、， ∵， ∴两个异号，而且负根的绝对值大． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：， 6. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和三角函数求解． 【详解】∵在中，， ∴ 在中，， 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 7. 如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先连接，再根据切线的性质得，然后根据等边三角形的性质得，接下来根据四边形内角和定理求出，最后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，将长、宽分别为，的长方形纸片分别沿，折叠，点M，N恰好重合于点P．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质，过点A作于点Q，根据平行线间的距离处处相等，得，，，，结合题意阴影面积等于求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质，得， 故， ， ，， ， 过点A作于点Q， 根据平行线间的距离处处相等，得，， ，, ∴, ， ， 根据题意，得阴影部分的面积为：． 9. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子的符号，熟知二次函数图象与对应的项的符号关系以及对称轴公式是解题的关键．由图象可判断，，，得出，故①错误；根据对称轴位置可得出，即得出，故②正确；由图可知当时，，即，故③正确；由图可知当时，，结合，即得出，故④正确． 【详解】解：由图可知抛物线开口向上，且与y轴的交点位于x轴下方，对称轴在y轴右侧， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线对称轴在直线左侧， ∴． ∵， ∴，故②正确； 由图可知当时，， ∴，故③正确； 由图可知当时，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上可知，有个3结论正确． 故选C． 10. 如图，正方形 的边长为a，点E在边 上运动（不与点A，B重合）， ，点F在射线 上，且 与 相交于点G，连接 ．则下列结论：① ，② 的周长为 ，③ ；④当 时，G是线段 的中点，其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①如图1，在BC上截取BH=BE，连接EH，之后证明△FAE≌△EHC即可求解； ②③如图2，延长AD到H，使DH=BE，则△CBE≌△CDH ，之后再证明△GCE≌△GCH即可求解； ④当 时 ，设DG=x，则EG= ，之后运用勾股定理EG2=AG2+AE2建立等式解出x，即可求解． 【详解】解：①如图1，在BC上截取BH=BE，连接EH， ∵BH=BE，∠EBH=90°， ∴EH=BE， ∵AF=BE， ∴AF=EH， ∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90° ∴∠FAE=∠EHC=135° ∵BA=BC，BE=BH， ∴AH=HC， ∴， ∴EF=EC，∠AEF=∠ECB， ∵∠ECH+∠CEB=90°， ∴∠AEF+∠CEB=90°， ∴∠CEF=90°， ∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确； ②、③如图2，延长AD到H，使DH=BE，则 ∴∠ECB=∠DCH， ∴∠ECH=∠BCD=90°， ∴∠ECG=∠GCH=45°， ∵CG=CG，CE=CH， ∴， ∴EG=GH， ∵GH=DG+DH，DH=BE， ∴EG=BE+DG，故③错误； ∵ △AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a ∴②错误； ④∵当 时 ，设DG=x ， ∴EG= ∵在Rt中，EG2=AG2+AE2 ∴ 解得x= a， ∴AG=GD，即G是线段AD的中点，故④正确， 综上所述，正确的有①④． 故答案为：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理和全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超人．数字用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知圆锥的底面半径为5，母线长为13，则这个圆锥的侧面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为5， ∴底面圆周长为：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，牢记扇形的面积公式是解决此类问题的关键． 13. 将二次函数y＝x2+2x-3的图象绕原点旋转180°，若得到的新的函数图象上总有两个点在直线y＝x-m上，则m的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】求得新函数的解析式，令，整理得，根据题意得到，即，解不等式即可求得m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为， ∴所得到的图象的解析式为， 即， 令，整理得， ∵得到的新的函数图象上总有两个点在直线上， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，二次函数与一次函数交点问题，利用判别式求联立后的式子的根的情况即交点的情况，求得新函数的解析式是解题的关键． 14. 如图，点是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点在双曲线上运动时，点在双曲线上移动，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点，作轴于点，则，由题意可得，再求出，然后证明，则，从而求得，最后结合函数图像位于第四象限即可求出的值． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，则， ∵， ∴， ∵当点在双曲线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵函数图像位于第四象限， ∴． 15. 如图，在中，、E分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点F、G，连接、．若，且直线与直线互相垂直，则的长为__． 【答案】4.5或1.5 【解析】 【分析】本题考查三角函数定义，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 如图，过点作交的延长线于，过点作于，证明四边形是平行四边形，求出即可解决问题． 【详解】如图，过点作交的延长线于，过点作于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当点在的延长线上时， 同法可得． 故答案为：4.5或1.5． 16. 图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆，，，O，P两点间距离与长度相等．当绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变． （1）点P、Q之间距离的最大值为 _____； （2）在转动过程中，则 _____． 【答案】 ①. 10 ②. 160 【解析】 【分析】（1）由得到点Q的轨迹为以点O为圆心，半径长为5的圆上，然后由点到圆上点的距离求得的最大值； （2）利用特殊位置求得的值，选择点P、O、Q在同一条直线上时，连接，交于点H，再利用勾股定理求得的长度，最后求得的值． 【详解】解：（1）由题意可得，点Q在点O为圆心，半径长为5的圆上， ∴当点Q为的延长线与圆O的交点时，P、Q两点间的距离最大，为10． 故答案为：10． （2）以特殊位置法求的值， 如图，点P、O、Q在同一条直线上时，， 连接、交于点H， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 解法二：连接，． ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴P，Q，B共线， 设，，则，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：160． 【点睛】本题考查与圆有关的位置关系，勾股定理、菱形的性质，解题的关键是通过题意得到点Q的运动轨迹和利用特殊位置法求的值． 三、解答题 (本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程) 17. 计算与化简求值 （1） （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 当时， 原式 ． 18. 如图，在和中，，，点依次在同一直线上，且． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ， ∴； （2）25 【解析】 【分析】（1）由可知； （2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， 在中，， ， ∴， ∴的长为25． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 19. 如图，在的方格中，的顶点均在格点上．试按要求画出线段（E，F均为格点），各画出一条即可．（要求：图1：平分；图2：，图3：垂直平分） 【答案】见解析 【解析】 【分析】图1，取格点E，F，连接，根据矩形的性质可知即为所求；图2，取格点E，F，连接，根据菱形的判定与性质可知即为所求；图3，取格点E，F，连接，根据正方形的判定与性质可知即为所求． 【详解】解：如图1所示：线段即为所求， ∵四边形是矩形， ∴平分； 如图2所示：线段即为所求， 如图，连接， ∵， ∴四边形是菱形， ∴； 如图3所示：线段即为所求， 连接， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， ∴垂直平分． 20. 新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 参与度 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1 录播（人数） 4 16 12 8 直播（人数） 2 10 12 16 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？ （3）该校共有1000名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为，估计参与度在0.4以下的共有多少人？ 【答案】（1）直播，理由见解析 （2） （3）60人 【解析】 【分析】（1）求出选择录播、选择直播的平均参与度即可； （2）根据样本中参与度在0.8及以上的频率，估计总体中参与度再0.8及以上的概率即可； （3）分别计算选择直播、选择录播的学生人数，再求出选择录播、选择直播参与度在0.4以下的学生人数即可． 【小问1详解】 录播平均参与度为0.62， 直播平均参与度为0.71， 所以选择直播学生的参与度较高； 【小问2详解】 ， 答：该学生的参与度在0.8及以上的概率是； 【小问3详解】 选择录播的人数为1000200（人），选择直播的人数为1000800（人）， 20080060（人）， 答：该校共有1000名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为，参与度在0.4以下的大约有60人． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，理解频率估计概率的方法是正确解答的前提． 21. 如图，在平行四边形中，是对角线，，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，只需要证明得到，即可得到结论； （2）先证明是等边三角形，得到，从而推出，，从而可以证明，得到，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和， ， ∴， ∴∠， 又∵是圆A的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 22. 某经销商月份用元购进一批恤衫售完后，月份用元购进一批相同的恤衫，数量是月份的倍，但每件进价涨了元． （1）月份进了这批恤衫多少件？ （2）月份，经销商将这批恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价元甲店按标价卖出件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出件，然后将件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． 用含的代数式表示． 已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值． 【答案】（1）月份进了这批恤衫件 （2）①；②乙店利润的最大值是元 【解析】 【分析】（1）根据“月份用元购进一批相同的恤衫，数量是月份的倍”列出分式方程求解即可； （2）①根据“甲乙两店的利润相同”，可列出关于、的方程，然后化简，即可用含的代数式表示；②根据题意，可以得到利润与的函数关系式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，可以得到的取值范围，从而可以求得乙店利润的最大值． 【小问1详解】 解：设月份购进件恤衫， ，解得，， 经检验，是原分式方程的解，则， 答：月份进了这批恤衫件； 【小问2详解】 解：①每件恤衫的进价为：元， 化简，得； 设乙店的利润为元， ， ， ， ， ， 乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量， ，即，解得，， 当时，取得最大值，此时 答：乙店利润的最大值是元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用等知识点，解答本题的关键明确题意、正确列出分式方程是解答本题的关键． 23. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax-5a（a0）． （1）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求点A 和点B 的坐标； （2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，在a>0的条件下，当 m≥0时，n 的取值范围是n≥-9，求抛物线的解析式； （3）当a=1时，把抛物线y=ax2-4ax-5a向上平移m（m>0）个单位长度得到新抛物线G，设新抛物线G与x 轴的一个交点的横坐标为t，且t满足<t<，请直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）A（-1,0），B（5,0）；（2）；（3）<m9 【解析】 【分析】（1）令y=0时，求解即可得出答案； （2），当m≥0时，n 的取值范围是n≥-9，即顶点的纵坐标为-9，即，即可求解； （3）当抛物线向上平移9个单位长度时，此时抛物线G与x轴只有一个交点为，当t满足<t<，则t为左侧交点坐标即可求解． 【详解】解：（1）由题意可令y=0时，则有： ，解得：， ∴点A、B的坐标分别为、； （2）由题意得：， ∵当m≥0时，n 的取值范围是n≥-9， ∴顶点的纵坐标为-9，即， ∴， ∴抛物线的解析式为； （3）当a=1时，则有：， 设抛物线向上平移m（m>0）个单位长度得到新抛物线G的解析式为， 由（2）可知抛物线的顶点坐标为， ∴当抛物线向上平移9个单位长度时，此时抛物线G与x轴只有一个交点为， 当抛物线G上的一个点为时，即， 解得：， ∴m 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线l：上，过点B作的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C． （1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，与相交于点D，若． ①求证：． ②求四边形的面积． （2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；② （2）存在；的长为 【解析】 【分析】（1）①根据等角对等边进行证明即可； ②分别过点A、B、C作于点H，于点M，于点N，过点H作轴于点E，先求出，在中，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，再求出 ，，最后求出结果即可； （2）分三种情况：当点C在第二象限内，时，当点C在第二象限内， 时，当点C在第四象限内，时，分别画出图形进行求解即可． 【小问1详解】 ①证明：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴ 而 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图2，分别过点A、B、C作于点H，于点M，于点N，过点H作轴于点E， ∵点H在直线上， 设 ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ∵，， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：存在点，使得以为顶点的三角形与相似； 过点A作于点H，则有，． ①如图3，当点C在第二象限内，时，设， ， 又 ， ； ， ∴， 整理得， 解得：； ②如图4，当点C在第二象限内， 时， 延长，交于点G， ∵，，， ∴， ， 又， ， 而， ， ； ③当点C在第四象限内，时，与相交于点E，则有， （a）如图5，点B在第三象限内． 在中，， ； 又， ， 而， ， ， ， ； （b）如图6，点B在第一象限内． 在中，； ， ， 又， ， 而， ， ， ， ； 综上所述，OB的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $