精品解析：浙江省温州市南浦实验中学2025-2026学年九年级下学期数学收心练习

2025-2026学年浙江省温州市南浦实验中学九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知的相反数是a，则a的值为（　　） A. 3 B. C. D. 2. 下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，拥有庞大参数量，知识储备深厚，当前最新版本参数规模为685000000000，则数据685000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 给出下列等式，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形周长之比是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 7. 榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，体现出中国古老的文化和智慧．小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，所列的方程为（　　） A. B. C. D. 8. 已知，由尺规作图痕迹可知，全等的理由为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，当，、三点共线时，则(　　) A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，，点E，F同时从点D出发，点E以的速度沿匀速运动，当点E运动到终点B时，两点同时停止运动．的面积为，当点F出发t秒时．已知y与t的函数关系的图象如图2曲线和均为抛物线的一部分），则下列选项中说法错误的是（　　） A. B. 曲线的函数表达式为 C. 点F的运动速度为 D. 若秒，则 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式=____________． 12. 不等式组：的解集为____． 13. 衣中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是________． 14. 反比例函数经过点，部分图象如图所示．当时，y的取值范围为___． 15. 【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开的系数规律如图所示，其中“五乘”对应的展开式： 【应用体验】已知，则m的值为___． 16. 如图，在四边形中，，连结与关于直线对称．当经过点A时，则的长度为____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组． 19. 如图，在中，∠，点、点分别是、的中点，连接、，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，求线段的长． 20. 为迎接温州市“小数学家”评比，某校举办了校内说题比赛．参与比赛的学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级（优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分）．现分别从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行分析统计． 八、九年级学生得分情况综合统计表 年级 平均数 中位数 众数 八 a b 12 九 14.4 16 c 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空： ______， _____， ______． （2）若该校九年级参与比赛的学生共有140人，请你估计该校九年级学生的说题成绩为良好及以上的共多少人． 21. 对实数a、b，定义的含义为：． 例如：，． 根据以上材料，回答下列问题： （1）若，求x的值； （2）已知，且，求的值． 22. 如图1，在正方形中，对角线、交于点，点F在线段上，以为斜边向下作等腰直角三角形，连接． （1）求证：． （2）连接，若，求线段的长．连接 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数图象的对称轴． （2）若的最大值为10，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到新的二次函数，当时，求的取值范围． （3）若存在直线l与抛物线交于点，点，当时，m有最大值8，求a的值及m的最小值． 24. 如图，在矩形中，，，点P在边上，连接，的外接圆分别交，于点E，F，连接，． （1）求证：． （2）当时，求的面积． （3）连接，令，，求y关于x的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省温州市南浦实验中学九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知的相反数是a，则a的值为（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：的相反数是3， ∴． 2. 下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解∶A．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．原图既轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．原图不轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，拥有庞大参数量，知识储备深厚，当前最新版本参数规模为685000000000，则数据685000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据685000000000用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 下图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看可得第一列有2个正方形，第二列有1个正方形，第三列有2个正方形，如图所示： 故选：A． 5. 给出下列等式，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形周长之比是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据图形位似的性质可得，则可得，同理可得两个四边形其余三条对应边的比值，即可解题． 【详解】解：∵四边形与四边形位似， ∴四边形四边形，， ∴， ∴， ∴四边形与四边形的周长之比为． 7. 榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，体现出中国古老的文化和智慧．小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，所列的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，先理解题意，根据设制作1个榫需要的木材为x千克，则制作1个卯需要的木材为千克，再结合用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设制作1个榫需要的木材为x千克， 则制作1个卯需要的木材为千克， 由题意得： 8. 已知，由尺规作图痕迹可知，全等理由为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，作一个角等于已知角；根据作图可得，结合，即可根据证明． 【详解】解：根据作图可得， 又∵， ∴． 故选：D． 9. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，当，、三点共线时，则(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，交于点，根据旋转的性质以及全等三角形的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理得出，解直角三角形得出，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：如图，设，交于点， ∵，， ∴ ∴， 由旋转可知， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 10. 如图1，在矩形中，，点E，F同时从点D出发，点E以的速度沿匀速运动，当点E运动到终点B时，两点同时停止运动．的面积为，当点F出发t秒时．已知y与t的函数关系的图象如图2曲线和均为抛物线的一部分），则下列选项中说法错误的是（　　） A. B. 曲线的函数表达式为 C. 点F的运动速度为 D. 若秒，则 【答案】D 【解析】 【分析】求出的长，再由勾股定理可得的长；当点E与点A重合时，过点A作于点Q，此时，，根据，可得，再由，可得，从而得到点F的运动速度；当E在上时，如图3，过E作于P，此时，根据，可得，再由，可得曲线的函数表达式；当秒时，， ，可得，从而得到，再由，可得与不相似，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点E在边上运动， ∴， ∵，， ∴，故A选项正确，不符合题意； 当点E与点A重合时，过点A作于点Q，此时，， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，解得：， ∴点F的运动速度为，故C选项正确，不符合题意； 当E在上时，如图3，过E作于P，此时， 由题意得：，， ， ∵， ， ， ， 即曲线的函数表达式为，故B选项正确，不符合题意； 如图，当秒时，， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与不相似，故D选项错误，符合题意； 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式=____________． 【答案】． 【解析】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解： 故答案：． 【点睛】本题考查提公因式法因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 12. 不等式组：的解集为____． 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个不等式，取解集的公共部分即可得到解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为：． 故答案为：． 13. 衣中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有9种等可能结果，其中它们取自同一套的有3种可能，再由概率公式求解即可． 【详解】解：令3件上衣分别为A、B、C，对应的裤子分别为a、b、c，画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能， ∴它们取自同一套的概率为， 故答案为：． 14. 反比例函数经过点，部分图象如图所示．当时，y的取值范围为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象得出结论即可． 【详解】解：由图可知，当时，y的取值范围为． 15. 【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开的系数规律如图所示，其中“五乘”对应的展开式： 【应用体验】已知，则m的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据公式，令，代入公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 令， 得 ， ， ， ∴m的值是． 16. 如图，在四边形中，，连结与关于直线对称．当经过点A时，则的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】过B作交的延长线于F，根据题意可得，从而得到，，过点C作于点G，根据等腰三角形的性质可得，，从而得到，进而得到再求出，再求出．可得，从而得到，可得，结合，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：过B作交的延长线于F， ∵与关于直线对称，， ∴， ∴，， 过点C作于点G， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂、零指数幂和化简绝对值的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组． 【答案】原方程组的解为 【解析】 【分析】用加减消元法进行计算即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 故原方程组的解为． 19. 如图，在中，∠，点、点分别是、的中点，连接、，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：点、点分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）线段的长为 【解析】 【分析】（1）先证明是的中位线，再由三角形中位线定理得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由三角形中位线定理得，再由平行四边形的性质得，进而由锐角三角函数定义求出，则，然后由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，是的中位线， ，， ， ， ， 点是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 答：线段的长为． 20. 为迎接温州市“小数学家”评比，某校举办了校内说题比赛．参与比赛的学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级（优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分）．现分别从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行分析统计． 八、九年级学生得分情况综合统计表 年级 平均数 中位数 众数 八 a b 12 九 14.4 16 c 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空： ______， _____， ______． （2）若该校九年级参与比赛的学生共有140人，请你估计该校九年级学生的说题成绩为良好及以上的共多少人． 【答案】（1）14.4；14；16 （2）估计该校九年级学生的说题成绩为良好及以上的共有77人 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的意义，分别求出八年级的平均数、中位数和九年级的众数； （2）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：八年级学生得分的平均数； 八年级学生得分的中位数为：（分），即； 九年级学生得分频数最多的是16分，故九年级学生得分的众数． 【小问2详解】 解：（人）． 答：估计该校九年级学生的说题成绩为良好及以上的共有77人． 21. 对实数a、b，定义的含义为：． 例如：，． 根据以上材料，回答下列问题： （1）若，求x的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）先判断，再根据新定义可得 ，再解方程可得答案； （2）由，且，可得，，再根据新定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据新定义运算： ∵，， ∴ ， 解得； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴，， ∴根据新定义运算：． 22. 如图1，在正方形中，对角线、交于点，点F在线段上，以为斜边向下作等腰直角三角形，连接． （1）求证：． （2）连接，若，求线段的长．连接 【答案】（1）见解析 （2）线段的长为 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得，然后说明，最后根据“两边成比例且夹角相等两个三角形相似”得，则此题可证； （2）延长交于点H，根据正方形的性质得，再说明为的中垂线，然后结合已知得，接下来根据勾股定理得，可得，最后根据，可得，此题可解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即． ∵， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长交于点H， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴为的中垂线， ∵， ∴． ∵E在上，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数图象的对称轴． （2）若的最大值为10，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到新的二次函数，当时，求的取值范围． （3）若存在直线l与抛物线交于点，点，当时，m有最大值8，求a的值及m的最小值． 【答案】（1）对称轴为直线 （2） （3），m的最小值为0 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入解析式，整理解析式即可得出，即可求出抛物线的对称轴； （2）根据对称轴和给出点的坐标即可求出抛物线的解析式为，然后再利用函数图象平移的性质即可求出新的抛物线的解析式，进一步求得当时的取值范围； （3）根据对称轴得出，从而可求出的取值范围，根据在抛物线上，m有最大值8，可得出a的值，确定二次函数的解析式，进而即可得出结果． 【小问1详解】 解：将点代入， ∴， ∴， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值10， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平移后的函数解析式为， ∴当时，； 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∵， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 当时，m的最小值为0． 24. 如图，在矩形中，，，点P在边上，连接，的外接圆分别交，于点E，F，连接，． （1）求证：． （2）当时，求的面积． （3）连接，令，，求y关于x的函数表达式． 【答案】（1）见解析 （2）的面积为 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用圆内接四边形的性质求得，即可证明； （2）勾股定理求得各相关线段的长，利用，得到，据此计算即可求解； （3）先求得，，再求得，，证明，求得，根据即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴为直径， ∴， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $