精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025—2026学年度下学期期末考试试题 数学学科（八年级） 考生须知： 1．本试卷共27道题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“准考证号码”在答题卡上填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一．选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各函数中表示是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列线段，，首尾相连不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各点一定在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图直线上摆放有三个正方形、、，若，的面积分别为和，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8. 如图，在中，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 将甲、乙两地在同一天中次的气温数据记录在同一幅图中画出箱线图，根据该图下列说法错误的是（ ） A. 甲地的气温波动比乙地的波动大 B. 甲地的最高气温比乙地的最高气温高 C. 甲地大约有时刻的气温低于乙地的最低气温 D. 甲、乙两地气温的中位数相同 10. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（　　） A. 5L B. 3.75L C. 2.5L D. 1.25L 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二．填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 计算的结果是________． 13. 将函数的图象向上平移个单位后，得到的函数图象对应的函数解析式为________． 14. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 15. 一个多边形的内角和等于外角和的倍，这个多边形是_____边形． 16. 如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点，；分别以，为圆心，（或）长为半径作弧，两弧相交于点（非点）；作射线，交前面弧于点，连接，若，则的度数为________． 17. 如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________． 18. 已知一次函数（）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为________． 19. 如图，在正方形中，点在边上，，点在上，点在上，，则的度数是________． 20. 如图，矩形中，对角线与相交于，，，延长到点，点在边上，连接交于，过作于点．则下列结论：①四边形为菱形；②；③若，，连接，则的最小值为；④当时，．所有一定正确的结论是________．（填序号） 三．解答题（其中21题8分，22、23每题7分，24题8分，每题10分，共计60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 如图是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成作图，并保留作图痕迹，体现作图过程．（画图过程用虚线，画图结果用实线） （1）作直角，使，点在格点上，并直接写出的面积． （2）在（1）的条件下，作出边上的中线，并直接写出的长． 23. 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，每人射击次的成绩（单位：环）如表所示． 甲 乙 其中甲运动员次射击成绩的众数是． （1）表格中的值为________；甲运动员射击成绩的方差，乙运动员射击成绩的方差，则发挥更稳定的运动员是________； （2）直接写出乙运动员射击成绩的第一四分位数________； （3）请你计算甲、乙两名运动员本次射击成绩的平均数，通过平均成绩来比较他们谁的成绩更优异． 24. 如图，四边形是矩形，与相交于点，点在边的延长线上，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，点在线段上，点在线段上，连接，若线段长为正整数，请直接写出的长． 25. 某体育用品商店购进A、B两种型号乒乓球拍进行销售，其进价与售价如下表所示． 型号 进价（元/副） 售价（元/副） A 40 52 B 30 45 （1）若第一季度该商店购进两种球拍共80副并全部售完，商店销售两种乒乓球拍的总利润为1050元，求第一季度该商店购进A、B型号球拍各多少副？ （2）若第二季度该商店购进A型号球拍的数量比第一季度购进A型号球拍减少副，而购进B型号球拍数量则比第一季度的B型号球拍多副，且A型号球拍的数量不少于B型号球拍的数量，第二季度采购的球拍全部售出，销售球拍总利润为元，求与的函数关系式，并求出的最大值． 26. 在菱形中，点在对角线上，点、分别在边和上，连接，，且． （1）如图，求证：． （2）如图，延长交延长线于点，连接交于点，若为中点．求证：． （3）如图，在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 27. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线的解析式为，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点． （1）求点和点的坐标； （2）如图，点在的延长线上，过作轴于点，点为中点，过作轴交于点，若点的横坐标为，长为，试求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（2）的条件下，点在线段上，作射线，点在线段上，连接并延长交于点，过作，交延长线于点，交轴于点，，连接，，过作交延长线于点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期末考试试题 数学学科（八年级） 考生须知： 1．本试卷共27道题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“准考证号码”在答题卡上填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一．选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各函数中表示是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，只需根据正比例函数的定义，逐一判断各选项函数的形式即可得到结果． 【详解】解：根据定义，形如（为常数，且）的函数叫做关于的正比例函数， ∵ 是一次函数，常数项不为，不符合正比例函数定义，排除A； ∵ 是二次函数，的次数为，不符合定义，排除B； ∵ 是反比例函数，不符合定义，排除C； ∵ 符合的形式，且，满足正比例函数定义； ∴ 选D． 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：，被开方数含能开得尽方的因数，∴ A不是最简二次根式； ，被开方数含能开得尽方的因数，∴ B不是最简二次根式； 的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，∴ C是最简二次根式； 的被开方数含分母，∴ D不是最简二次根式． 3. 下列线段，，首尾相连不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据勾股定理的逆定理判断，找出最长边后，计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方比较，不相等的即为不能构成直角三角形的选项． 【详解】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，否则不能构成直角三角形。 A选项，最长边为 ， ，能构成直角三角形； B选项，最长边为 ， ，能构成直角三角形； C选项，最长边为 ， ，能构成直角三角形； D选项，最长边为 ， ，不能构成直角三角形． 4. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，对角相等，因此与相等，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 下列各点一定在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，若计算得到的函数值与点的纵坐标相等，则该点在函数图象上，反之不在． 【详解】解：A、当时， ，符合题意； B、当时，分母，无意义，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意． 6. 如图直线上摆放有三个正方形、、，若，的面积分别为和，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵三个正方形、、，、的面积分别为和， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即正方形B的面积为9． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，需根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定规则逐一判断命题真假． 【详解】解：∵根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴A是真命题，符合题意； ∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形， ∴B是假命题，不符合题意； ∵一条对角线平分一组对角的四边形无法判定是菱形，菱形需要满足对角线互相垂直平分或四边相等等条件， ∴C是假命题，不符合题意； ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线垂直且相等无法判定为正方形， ∴D是假命题，不符合题意； 8. 如图，在中，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质、折叠的性质得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， 由折叠知， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 9. 将甲、乙两地在同一天中次的气温数据记录在同一幅图中画出箱线图，根据该图下列说法错误的是（ ） A. 甲地的气温波动比乙地的波动大 B. 甲地的最高气温比乙地的最高气温高 C. 甲地大约有时刻的气温低于乙地的最低气温 D. 甲、乙两地气温的中位数相同 【答案】C 【解析】 【分析】观察箱线图即可判断． 【详解】解：由箱线图知，甲地的最高气温高于乙地的最高气温，甲地的最低气温低于乙地的最低气温，即甲地的气温波动比乙地的波动大；甲、乙两地气温的中位数相同，均为，故选项A、B、D都正确； 由箱线图知，甲地大约有时刻的气温与乙地的最高气温持平，故选项C错误． 10. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（　　） A. 5L B. 3.75L C. 2.5L D. 1.25L 【答案】B 【解析】 【详解】每分钟的进水量为：20÷4=5（升）， 每分钟的出水量为：5-（30-20）÷（12-4）=3.75（升）， 故选B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二．填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 13. 将函数的图象向上平移个单位后，得到的函数图象对应的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，根据一次函数图象平移“上加下减”的原则，对原函数解析式变形即可求解． 【详解】解：根据函数图象向上平移的规则，向上平移个单位，需在原函数解析式整体上加，可得 ， 整理得， 故答案为． 14. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出的长度，进而得的长度，则可求得点表示的数． 【详解】解：由勾股定理得， 由作图知， 则点表示的数为． 15. 一个多边形的内角和等于外角和的倍，这个多边形是_____边形． 【答案】六 【解析】 【分析】任意多边形的外角和为，结合多边形内角和公式，根据题意列方程求解即可. 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据题意列方程得：， 解得：， 因此，这个多边形是六边形． 16. 如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点，；分别以，为圆心，（或）长为半径作弧，两弧相交于点（非点）；作射线，交前面弧于点，连接，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】易得所作四边形是菱形，是等腰三角形，利用菱形的性质、三角形内角和及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由作图知，， ∴四边形是菱形，且是菱形的对角线， ∴， 由作图知， ∴， ∴． 17. 如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________． 【答案】，， 【解析】 【分析】先观察已知四组勾股数组，分别归纳三个数的变化规律，再根据规律计算得到第⑤个勾股数组． 【详解】解：观察已知勾股数组第一个数的规律： 第①组第一个数： 第②组第一个数： 第③组第一个数： 第④组第一个数： 可得第组勾股数组的第一个数为，因此第⑤组第一个数为； 观察第二个数和第三个数的规律，可得：第二个数为，第三个数为， 验证规律： 第①组：，，符合； 第②组：，，符合； 第③组：，，符合； 第④组：，，符合； 将第⑤组第一个数代入得： 第二个数： 第三个数： 故答案为 ． 18. 已知一次函数（）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图象即可求解． 【详解】解：由图象知，当一次函数的函数值不小于3时，对应的自变量不大于， 即不等式的解集为． 19. 如图，在正方形中，点在边上，，点在上，点在上，，则的度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】过点E作于点H，分两种情况考虑，利用直角三角形全等的判定与性质即可求解． 【详解】解：过点E作于点H， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ 在图1中，， 在图2中，， 综上，的度数为或． 20. 如图，矩形中，对角线与相交于，，，延长到点，点在边上，连接交于，过作于点．则下列结论：①四边形为菱形；②；③若，，连接，则的最小值为；④当时，．所有一定正确的结论是________．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由平行四边形的判定及矩形的性质可判断①；由菱形对角线的性质及矩形的性质即可判断②；作点O关于直线的对称点H，连接并延长交于点G，易得点H在射线上，则，当三点共线时，取得最小值，分别求出的长，利用勾股定理即可求得最小值，从而判断③；连接，利用三角形中线的性质及面积关系可判断④． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故②正确； 如图，作点O关于直线的对称点H，连接并延长交于点G， ∵， ∴点H在射线上， ∵， ∴， 当三点共线时，取得最小值， ∵垂直平分，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点G是的中点， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， 在中，， 即的最小值为，故③正确； 连接，如图， ∵点O是的中点， ∴， 即， ∵， ∴， 即，故④正确， 综上，四个结论都正确． 三．解答题（其中21题8分，22、23每题7分，24题8分，每题10分，共计60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 如图是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成作图，并保留作图痕迹，体现作图过程．（画图过程用虚线，画图结果用实线） （1）作直角，使，点在格点上，并直接写出的面积． （2）在（1）的条件下，作出边上的中线，并直接写出的长． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）取格点C，连接即可；利用勾股定理计算出，即可计算面积； （2）取格点E、F，连接交于点D，连接，则为所求；由勾股定理求得，利用直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：画图略； ，则； 【小问2详解】 解：画图略； ∵，，为斜边上的中线， ∴． 23. 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，每人射击次的成绩（单位：环）如表所示． 甲 乙 其中甲运动员次射击成绩的众数是． （1）表格中的值为________；甲运动员射击成绩的方差，乙运动员射击成绩的方差，则发挥更稳定的运动员是________； （2）直接写出乙运动员射击成绩的第一四分位数________； （3）请你计算甲、乙两名运动员本次射击成绩的平均数，通过平均成绩来比较他们谁的成绩更优异． 【答案】（1），乙 （2） （3），，从平均成绩上来看甲更优异 【解析】 【分析】（1）根据甲的成绩中数据9与10均出现了3次，结合题意即可求得a的值；根据方差的特征即可判断； （2）把乙运动员的射击成绩按由小到大排列，按照第一四分位数的求法计算即可； （3）由平均数计算公式计算即可，再比较平均数． 【小问1详解】 解：甲的成绩中数据9与10均出现了3次， 由题意知，甲运动员次射击成绩的众数是，即10出现的次数最多， 所以； ，表明乙运动员发挥更稳定； 【小问2详解】 解：乙运动员的射击成绩按由低到高排列：7，7，8，8，9，9，9，9，10，10， 方法一：前半部分为7，7，8，8，9， 其中位数为第3个数8，即第一四分位数为8； 方法二：，取整数3， 第三个数是8，即第一四分位数为8； 【小问3详解】 解：， ， ，从平均成绩上来看甲更优异． 24. 如图，四边形是矩形，与相交于点，点在边的延长线上，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，点在线段上，点在线段上，连接，若线段长为正整数，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵矩形， ，，， ． 又， ， ， ∵点在边延长线上， ， ∴四边形是平行四边形； （2），，，， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，，，根据等腰三角形三线合一，得，最后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）过点D作于点H，连接，利用等面积法计算出，则的长最小值等于的长，最大值等于的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点H，连接， ，， ， 矩形，， ，，，， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点在线段上，点在线段上， ，即， 长为正整数， 的长可以为，，，，． 25. 某体育用品商店购进A、B两种型号乒乓球拍进行销售，其进价与售价如下表所示． 型号 进价（元/副） 售价（元/副） A 40 52 B 30 45 （1）若第一季度该商店购进两种球拍共80副并全部售完，商店销售两种乒乓球拍的总利润为1050元，求第一季度该商店购进A、B型号球拍各多少副？ （2）若第二季度该商店购进A型号球拍的数量比第一季度购进A型号球拍减少副，而购进B型号球拍数量则比第一季度的B型号球拍多副，且A型号球拍的数量不少于B型号球拍的数量，第二季度采购的球拍全部售出，销售球拍总利润为元，求与的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】（1）第一季度该商店购进A型号球拍副，B型号球拍副 （2），元 【解析】 【分析】（1）设第一季度该商店购进A型号球拍副，B型号球拍副，根据等量关系：购进两种球拍共80副；总利润为1050元；列出二元一次方程组并求解即可； （2）根据：A型号球拍的数量不少于B型号球拍的数量，列出不等式并求出m的取值范围；根据两种球拍所售利润的和写出与的一次函数关系式，利用一次函数的性质求出的最大值即可． 【小问1详解】 解：设第一季度该商店购进A型号球拍副，B型号球拍副， 根据题意得， 解得， 答：第一季度该商店购进A型号球拍副，B型号球拍副． 【小问2详解】 解：根据题意得， 解得， 由于m为正整数，则， ，其中, m为正整数， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，此时（元）． 26. 在菱形中，点在对角线上，点、分别在边和上，连接，，且． （1）如图，求证：． （2）如图，延长交延长线于点，连接交于点，若为中点．求证：． （3）如图，在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：在菱形中，，， ， ． ， ， ． （2）证明：在菱形中，，， 为中点， ． ， ． ， ， ． ， ，． ， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质证明即可； （2）利用菱形的性质证明即可； （3）取中点，连接，连接交于点，由及菱形的性质可得，和均为等腰直角三角形，；证明四边形为平行四边形，得E为中点；再证明，则得；在中，由勾股定理求得，即可求得四边形的面积． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：如图，取中点，连接，连接交于点， ，， ， 由（1）知， ∴， ， 由（1），， ，， ∴和均为等腰直角三角形，． ，， ∴四边形为平行四边形， ， 为中点， ，，， ，， ， ， 在中，，， ， ，，， ． 27. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线的解析式为，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点． （1）求点和点的坐标； （2）如图，点在的延长线上，过作轴于点，点为中点，过作轴交于点，若点的横坐标为，长为，试求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（2）的条件下，点在线段上，作射线，点在线段上，连接并延长交于点，过作，交延长线于点，交轴于点，，连接，，过作交延长线于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对于，分别令，，即可求解； （2）由题意得的长，由轴得，取的中点，连接，由三角形中位线定理及矩形的性质即可求解； （3）由d的值及（2）的结论可求得点E的坐标及的长；过点D作于点T，可证明，则有，，从而易得，，设，推得 ，再证明，，设，在中，由勾股定理求得m的值，进而得，由得，从而求得，继而得，分别用待定系数法求出直线的解析式，求得这两直线的交点M；过M作轴于点，求得的长，由，，得为等腰直角三角形，再过点P作轴于点，再证明，从而求得 ，由此可求得，从而求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：对于，当时，， ， 当时，，解得， ∴； 【小问2详解】 解：将代入得，， 轴， ， 为的中点，轴， ， 如图，取的中点，连接， 为的中位线， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， ； 【小问3详解】 解：，，， ，，， 如图，过点D作于点， 则， ，， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ， ，， ， ， ， 设， ，， 在中，， ， ， 解得， ，， ，， ， ， ， ， ， 设， 将，代入上式得，解得， ， 由，同理可求， 方程组的解为， ， 过点M作轴于点， ，， ∵，， ， ∵， ， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， 过点P作轴于点， 则， ∵， ， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $