精品解析：黑龙江省七台河市勃利县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025—2026学年第二学期期末考试 八年级数学试卷 考生注意：考试时间120分钟，总分120分． 一．选择题（每小题3分，本题满分30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，表示是的函数的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，不是勾股数的一组是（ ） A. 7，24，25 B. 4，5，6 C. 5，12，13 D. 8，15，17 5. 某校九年级（1）班全体学生在2026年初中毕业模拟体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 40 48 52 54 55 58 60 人数（人） 2 5 6 6 8 6 7 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） A. 该班一共有40名同学 B. 该班学生这次考试成绩的众数是55分 C. 该班学生这次考试成绩的中位数是55分 D. 该班学生这次考试成绩的平均数是55分 6. 对于一次函数，下列结论错误的是（      ） A. 直线与直线平行 B. 当时， C. y随x的增大而增大 D. 函数的图象不经过第三象限 7. 如图，图形与图形可以无缝拼接成一个平行四边形，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 将一次函数与（、均不为0）的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，、分别是边、的中点，延长到点，使，连接、、．连接交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若为的中点，则四边形是正方形； ②若为上任意一点，则； ③点在运动过程中，的值为定值4； ④点在运动过程中，线段的最小值为． 正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二．填空题（每小题3分，本题满分30分） 11. 代数式有意义时，应满足的条件为________． 12. 一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为__________． 13. 已知与成正比例，且时，则与的函数关系式为________． 14. 甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示．设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）． 15. 已知，，是三边的长，则的值为________． 16. 如图是的中位线，平分交于点，若，，则_____ ． 17. 如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，若，则___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 19. 如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是______． 20. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是________． 三．解答题（本题满分60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 先化简，再求值：，其中 23. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级名学生活动成绩统计表 成绩/分 人数 已知八年级名学生活动成绩的中位数为分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分； （2）______________，______________； （3）若认定活动成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 24. 如图，C是线段的中点，． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）点的坐标是________，点的坐标是________； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当时，自变量的取值范围是________； （4）一次函数的图象平移后经过点，则平移后的一次函数解析式为________． 26. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 27. 科技赋能乡村振兴，中国迎来智慧农田时代，在农田里使用太阳能风吸式杀虫灯来诱杀害虫，可以大幅减少农药使用，实现绿色种植．某种植户计划购入一批太阳能风吸式杀虫灯，有两家专卖店的同一款太阳能风吸式杀虫灯的报价均为600元／台，并分别给出以下优惠方案： 专卖店 优惠方案 A专卖店 每台杀虫灯打八折出售 B专卖店 第一台按原价出售，其余每台打七折出售 该种植户计划购买杀虫灯（）台，设去A专卖店购买应付元，去B专卖店购买应付元．根据以上信息，解答下列问题： （1）分别求出、与x之间的函数关系式； （2）若该种植户只在一个专卖店购买，请通过计算说明在哪个专卖店购买更便宜？ 28. 四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． （1）如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； （2）如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末考试 八年级数学试卷 考生注意：考试时间120分钟，总分120分． 一．选择题（每小题3分，本题满分30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 对于A选项，满足上述两个条件，是最简二次根式； 对于B选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于C选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于D选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 下列图象中，表示是的函数的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：前两个图象，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数， 后两个图，对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数， 所以，以上图象中，表示y是x的函数的个数有2个． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘的运算法则，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A：∵ 和不是同类二次根式，无法直接合并， ∴，A错误，该选项不符合题意； B：∵， ∴B错误，该选项不符合题意； C：∵， ∴C错误，该选项不符合题意； D：∵，计算正确， ∴D正确，该选项符合题意． 4. 下列各组数中，不是勾股数的一组是（ ） A. 7，24，25 B. 4，5，6 C. 5，12，13 D. 8，15，17 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股数的定义，满足两较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数是勾股数，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，是勾股数，不符合要求； B、，，，不满足条件，不是勾股数，符合要求； C、，是勾股数，不符合要求； D、，是勾股数，不符合要求． 5. 某校九年级（1）班全体学生在2026年初中毕业模拟体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 40 48 52 54 55 58 60 人数（人） 2 5 6 6 8 6 7 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） A. 该班一共有40名同学 B. 该班学生这次考试成绩的众数是55分 C. 该班学生这次考试成绩的中位数是55分 D. 该班学生这次考试成绩的平均数是55分 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格信息，结合总人数、众数、中位数、平均数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A．该班总人数为 ，故A选项结论正确，不符合题意； B．成绩为55分的人数最多，为8人，即该班成绩的众数是55分，故B选项结论正确，不符合题意； C．40个数据从小到大排列后，中位数是第20和第21个数据的平均数，前四个成绩的总人数为 ，可得第20和第21个数据都是55分，∴ 中位数为 分，故C选项结论正确，不符合题意； D．计算平均数得：，即平均数不是55分，故D选项结论错误，符合题意． 6. 对于一次函数，下列结论错误的是（      ） A. 直线与直线平行 B. 当时， C. y随x的增大而增大 D. 函数的图象不经过第三象限 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项：直线与直线的相等，因此两直线平行，原结论正确，不符合题意； B选项：若，即，解得，原结论正确，不符合题意； C选项：，则随的增大而减小，原结论错误，符合题意； D选项：，，则一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，原结论正确，不符合题意． 7. 如图，图形与图形可以无缝拼接成一个平行四边形，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形邻角互补求出的度数，再利用五边形内角和公式求出图形左下角的度数，最后根据平角的定义求出的值． 【详解】解：图形与图形可以无缝拼接成一个平行四边形， ， ， ， ， 图形是五边形， 图形的内角和为， ， ， 8. 将一次函数与（、均不为0）的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数，当时，图象经过第一、二、三象限；当时，图象经过第一、三、四象限；当时，图象经过第一、二、四象限；当时，图象经过第二、三、四象限． 分情况判断是否有图象符合要求即可． 【详解】解：当时，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、三象限，A，B，C，D选项均不符合； 当时，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第二、四象限，A，B，C选项均不符合，D选项符合； 当时，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第二、四象限，A，B，C，D选项均不符合； 当时，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，的图象经过第一、三象限，A，B，C，D选项均不符合； 综上所述，它们的图象可能是D． 故选：D． 9. 在中，，、分别是边、的中点，延长到点，使，连接、、．连接交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形，求出，，进而利用勾股定理分别求出，，即可求解． 【详解】解：、分别是边、的中点， 是的中位线， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在中，， ． 10. 如图，正方形的边长为4，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若为的中点，则四边形是正方形； ②若为上任意一点，则； ③点在运动过程中，的值为定值4； ④点在运动过程中，线段的最小值为． 正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全矩形的性质与判定、正方形的性质与判定、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用相关性质与判定定理是解题的关键． 由题意易得，则有四边形是矩形，然后可得，再结合为的中点可判定①；如图，连接．根据垂线段最短可知当时，最小，即取最小值；再根据等腰三角形的性质可得，进而判定②；根据等角对等边以及矩形的性质可判定③；先根据勾股定理求得，再运用垂线段最短以及等面积法即可判定④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵，， ， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵为的中点， ， ， ∴四边形是正方形，故①正确； 如图，连接． ∵四边形是矩形， ， 当时，最小，即取最小值， ∵， ∴，即，即②错误； ， ． ∵四边形是矩形， ， ，即的值为定值4，故③正确； ， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，． ， ，解得：， ∴线段的最小值为，故④正确． ∴正确的有①③④． 故选：D． 二．填空题（每小题3分，本题满分30分） 11. 代数式有意义时，应满足的条件为________． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式有意义的条件可得： ， 移项得 ， 则应满足的条件为． 12. 一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查二次根式的除法的应用，根据题意，用长方形的面积除以长即可得到宽． 【详解】解：一个长方形的面积为，长为， 则该长方形的宽为， 故答案为． 13. 已知与成正比例，且时，则与的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义设函数关系式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：与成正比例， 设， 时， ， 解得：， ． 14. 甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示．设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】由扇形图得出甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上个数的具体分布情况，再判断出“引体向上”个数分布较为稳定的班级即可解答． 【详解】解：由扇形图知，甲班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有5人，6个的有5人，7个的有5人，8个的有5人； 乙班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有6人，6个的有4人，7个的有4人，8个的有6人， ∴甲班男生“引体向上”个数分布较为均匀、稳定， ∴． 15. 已知，，是三边的长，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形的三边关系得到，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简，然后再进行加减运算即可． 【详解】解：∵a，b，c分别是的三边， ∴， ∴ ． 16. 如图是的中位线，平分交于点，若，，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得，，；再结合角平分线的定义与平行线的内错角相等，可推出，进而得到，最后通过线段差求出的长度． 【详解】解：是的中位线， ，，， ， 又平分， ， ， ， ． 17. 如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，若，则___________． 【答案】63 【解析】 【分析】根据菱形的性质推出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：菱形， ，， ， ， ， ， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知当点在线段与直线的交点处时，取得最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，再求交点坐标即可． 【详解】解：由题可知，当点在线段与直线的交点处时，取得最小值， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得， ． 19. 如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 根据交点作答即可． 【详解】解：一次函数为常数且与正比例函数（为常数且的图象交于点， 关于的方程的解是， 即关于的方程的解是． 故答案为：． 20. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①根据正方形性质得，进而得，由此可对结论①进行判断； ②连接交于点P，的延长线交的延长线于点H，先求出，进而得，证明四边形是矩形得，则，再由勾股定理进行求解，由此可对结论②进行判断； ③根据得，由此可对结论③进行判断； ④设与交于点M，于交于点N，证明得，再由三角形内角和定理得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①在正方形中，，， ∵点A，O，E在同一直线上， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴平分，故结论①正确； ②连接交于点P，的延长线交的延长线于点H，如图1所示： 在正方形中，，，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，故结论②不正确； ③∵， ∴，故结论③正确； ④设与交于点M，于交于点N，如图2所示： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 又∵， ∴， ∴，故结论④正确； 综上所述：正确的结论是①③④． 三．解答题（本题满分60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 先化简，再求值：，其中 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 23. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级名学生活动成绩统计表 成绩/分 人数 已知八年级名学生活动成绩的中位数为分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分； （2）______________，______________； （3）若认定活动成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下， 七年级优秀率为，平均成绩为：， 八年级优秀率为，平均成绩为：， ∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高， ∴优秀率高的年级不是平均成绩也高 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为分的学生数的占比为，即可得出七年级活动成绩为分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解； （2）根据中位数的定义，得出第名学生为分，第名学生为分，进而求得，的值，即可求解； （3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为分的学生数的占比为 ∴样本中，七年级活动成绩为分的学生数是， 根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为 故答案为：． 【小问2详解】 ∵八年级名学生活动成绩的中位数为分， 第名学生为分，第名学生为分， ∴， ， 故答案为：． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键． 24. 如图，C是线段的中点，． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2）8 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 25. 在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）点的坐标是________，点的坐标是________； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当时，自变量的取值范围是________； （4）一次函数的图象平移后经过点，则平移后的一次函数解析式为________． 【答案】（1）， （2）函数图象如图所示： （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分别把，代入直线中，求出对应的值，即可得到结果； （2）根据（1）中，两点的坐标画直线即可； （3）令，解不等式即可； （4）根据直线平移后值不变，可设平移后解析式为，将点代入求解出即可． 【小问1详解】 令，解得， 所以点的坐标是． 将代入直线中，则， 所以点的坐标是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，解得， 即当时，自变量的取值范围是． 【小问4详解】 设平移后解析式为， 将点代入中， 可得，解得， 故平移后解析式为． 26. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由对角线互相平分可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）先得到是等边三角形，再由含有的直角三角形设出未知数，结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：是的中点， ， 四边形是平行四边形． ， ． ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ． 是等边三角形，即， 在中，． 设，则， ，即， 解得，即， ． 27. 科技赋能乡村振兴，中国迎来智慧农田时代，在农田里使用太阳能风吸式杀虫灯来诱杀害虫，可以大幅减少农药使用，实现绿色种植．某种植户计划购入一批太阳能风吸式杀虫灯，有两家专卖店的同一款太阳能风吸式杀虫灯的报价均为600元／台，并分别给出以下优惠方案： 专卖店 优惠方案 A专卖店 每台杀虫灯打八折出售 B专卖店 第一台按原价出售，其余每台打七折出售 该种植户计划购买杀虫灯（）台，设去A专卖店购买应付元，去B专卖店购买应付元．根据以上信息，解答下列问题： （1）分别求出、与x之间的函数关系式； （2）若该种植户只在一个专卖店购买，请通过计算说明在哪个专卖店购买更便宜？ 【答案】（1）， （2）当购买台时，在A专卖店购买更便宜；当购买台时，两家专卖店费用相同；当购买台数大于台时，在B专卖店购买更便宜． 【解析】 【分析】（1）根据两家专卖店的优惠方案，分别计算总费用得到函数关系式； （2）通过比较两个函数值的大小，结合一元一次方程、一元一次不等式求解，分情况得到不同购买数量下更优惠的方案． 【小问1详解】 解：根据题意，A专卖店每台打八折，每台价格为元 购买台的总费用为； B专卖店第一台按原价出售，剩余台打七折，每台折后价格为元 因此总费用； 【小问2详解】 解：分三种情况讨论： 当时，可得 解得 且为正整数 ，此时在A专卖店购买更便宜； 当时，可得 解得， 此时两家专卖店费用相同； 当时，可得 解得， 此时在B专卖店购买更便宜． 答：当购买2台时，在A专卖店购买更便宜；当购买3台时，两家费用相同；当购买台数大于3台时，在B专卖店购买更便宜． 28. 四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． （1）如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； （2）如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是，证明见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形即可得到四边形是正方形； （2）当点在边上时，作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； 当点在的延长线上时，过点分别作于点，于点，同样根据正方形的判定即可得证； （3）结合正方形的性质可证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出结论. 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形，点为对角线中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 证明：当点在边上时， 过点作于，于，如图1，     ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴，． ∴四边形为正方形， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 当点在的延长线上时， 如图，过点分别作于点，于点，     ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； 【小问3详解】 解： 理由如下： 由（2）可知，矩形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $