精品解析：黑龙江省哈尔滨市南香坊区2024—2025学年八年级下学期期末测试数学试卷

香坊区2024-2025学年度下学期教育质量综合评价学业发展水平监测 数学学科（八年级） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷选择题（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】，被开方数2是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式条件，故A正确． ，可化简为整数，不是二次根式，故B错误． ，被开方数含分母10，需有理化为，故原式非最简，故C错误． ，被开方数含分母2，需有理化，原式非最简，故D错误． 故选A． 2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 1.5，2，3 B. 5，24，25 C. 6，8，10 D. 8，12，15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足较小两边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可． 【详解】最大边为3，计算得：，不满足条件，故A错误． 最大边为25，计算得：，不满足条件，故B错误． 最大边为10，计算得：，满足条件，能构成直角三角形，故C正确． 最大边为15，计算得：，不满足条件，故D错误． 故选C． 3. 若把直线向上平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图形的平移，根据一次函数平移的规律“上加下减”，将原直线的截距向上平移3个单位，直接调整常数项即可． 【详解】解：原直线为，向上平移3个单位长度，根据“上加下减”原则，只需在函数表达式末尾加上平移的单位数，即． 故选C． 4. 如图，在数轴上找到分别表示原点，数1的点和点，过点作，且，再以点为圆心，以的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理．先利用勾股定理求出，结合数轴即可求解． 【详解】解：∵，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点P表示的数为， 故选：D． 5. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A. x(x－1)＝2070 B. x(x＋1)＝2070 C. 2x(x＋1)＝2070 D. ＝2070 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人， ∴全班共送：（x﹣1）x=2070， 故选A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系是解决问题的关键． 6. 如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ） A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AD=BC 【答案】A 【解析】 【分析】由点E、F、G、H分别是四边形ABCD中AD、BC、BD、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得EG=FH=AB，EH=FG=CD，又由当EG=FH= EH=FG时，四边形EGFH是菱形，即可求得答案． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BC、BD、AC的中点，∴EG=FH=AB，EH=FG=CD， ∵当EG=FH= EH=FG时，四边形EGFH是菱形， ∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形． 故选：A． 【点睛】此题考查了菱形的判定以及三角形中位线的性质．此题难度适中，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． 7. 定义新运算：，例如：，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【详解】本题主要考查一元二次方程根的情况和新定义运算题型，根据新运算的定义，方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【分析】解：由新运算定义，方程可化为：． 整理为标准形式：． 计算判别式：． 因，方程有两个不相等的实数根； 故选D． 8. 如图，矩形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线交于点，则长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，尺规作图作角平分线，角平分线的性质． 先根据矩形的性质结合勾股定理求出，作，由作图知，证明，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， 作，由作图可知是的角平分线，即， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 故选：B． 9. 如图，正方形的边长为8，点在正方形内，是等边三角形，在对角线上有一动点，则的最小值为（　　） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质和轴对称一最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键． 设与交于点，连接，由于点B与D关于对称，此时最小，而是等边的边，，由正方形的边长为8，从而得出结果． 【详解】解∶设与交于点，连接， 四边形为正方形， ，且平分． 点B与D关于对称， ． 最小． 正方形的边长为8，是等边三角形， ． 故选∶B． 10. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿方向运动到对角线的中点，如图2是的面积随点运动的路程变化的图象，则的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的实际应用，找到函数图像上特殊点对应的点在菱形图形上运动过程中的特殊点，根据菱形的面积的两种表示方式即可得到答案； 【详解】解：由图1和图2可知，当时，点与点重合，相当于， ∴， 当时，点和点重合，相等于， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 第II卷 非选择题 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 已知是方程的一个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．直接把代入方程，即可求出的值． 【详解】解：把代入方程中， 则， ， ， 故答案为：． 13. 已知点都在直线上，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据一次函数的增减性进行判断即可。 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而增大， ∵点都在直线上，且， ∴； 故答案为： 14. 某科技馆“数学乐园”展厅的WiFi密码被设计成如图所示的数学问题，某同学在参观时经过认真思索，输入密码一次就顺利地连接到网络，他输入的密码是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理即可解答． 【详解】解：第一个三角形，，，∴，∴密码是； 第二个三角形，，，∴，∴密码是； 第三个三角形，，，∴，∴密码是； ∴他输入的密码是． 故答案为：． 15. 某新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至万元/辆，则月平均降价率为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用． 设月平均降价率为x，新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至万元/辆，据此列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设月平均降价率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 月平均降价率为． 故答案为： 16. 一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式．根据不等式表示的是直线位于直线的上方，结合函数图象即可得． 【详解】解：如图，一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线， ∵不等式表示的是直线位于直线的上方，且两条直线的交点为， ∴结合函数图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 17. 如图是由三角形组合而成的一组图案，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，第4个图案有13个三角形，…，按照此规律，第10个图案中三角形的个数为_____． 【答案】31 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，后一个图形比前一个图形多3个三角形，进而推出第个图案有个三角形，进行求解即可． 【详解】解：观察可知，后一个图形比前一个图形多3个三角形， ∴第个图案有个三角形， ∴第10个图案中三角形的个数为； 故答案为：31． 18. 如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与重合），折痕为，若，，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．作于H ，，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，设，则， 在中，，，则， 根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：作于H ， 由折叠的性质可知，， 由题意得，， 四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， 在中，，， ∴ 在中，， 即， 解得，， ∴， 故答案为： 19. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点从原点出发，沿轴正方向运动，当为等腰三角形时，点的坐标为_______． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：分情况讨论． 根据题意表示出，，，然后分情况分析求解即可． 【详解】解：解：∵点的坐标为，点的坐标为，点从原点出发，沿轴正方向运动， ∴设， ∴，，， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴； ∴点的坐标为，，， 故答案为：，， 20. 如图，在正方形中，点为上的一点，连接，点为的中点，的垂直平分线交于点，交于点，，交于点，连接交于点．则下列结论：①；②；③；④若，则．其中一定正确的有_____．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】中垂线的性质结合等边对等角，判断①，过点作，易得四边形为平行四边形，得到，证明，得到，进而得到，判断②，作，证明，进而得到，进而推出，得到为等腰直角三角形，得到，判断③；设，，得到，在中，利用勾股定理求出的长，判断④即可． 【详解】解：∵点为的中点，的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴；故①正确； 过点作，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故②正确； 作，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ， ∴为等腰直角三角形， ∴，故③正确； 当时，不妨设，则：，， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴；故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式去括号 再合并即可； （2）原式根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 22. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程移项后运用因式分解法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， 解得， 23. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点均在格点上． （1）以线段为边作一个平行四边形，使得平行四边形的面积为16； （2）在（1）的条件下，在线段上画点，使（仅用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．），并直接写出线段的长． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理与网格问题，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）作一个底边和高均为4的平行四边形即可； （2）取点右2的格点，连接点与该点形成的线段与的交点即为点（构造两个全等的直角三角形，根据对应角相等，同角的余角相等，推出），勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 由题意，如图点E即为所求， 由勾股定理，得：， ∵， ∴． 24. 如图1，中，点是的中点，点是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，四边形的面积为，点在线段上，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为11或13 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）由中点得到，，由平行线的性质得到，，从而证得，得到，进而得证结论； （2）由平行四边形的性质得到，由三角形中线的性质得到，进而根据面积公式求出，再有勾股定理得到．过点A作于点N，根据的面积求得，进而在中，求出，在中，求得．最后根据当点M在上，或点M在上，分别求解即可． 【小问1详解】 证明：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴在中，． 过点A作于点N， ∴， 即， ∴， ∴在中， ∵， ∴在中，． 当点M在上，如图中的点时，； 当点M在上，如图中的点时，． 综上所述，的长为11或13． 25. 某食品配送公司需将152箱食品运送到两个社区中心和．公司有大卡车和小卡车共15辆，恰好能一次性运完所有食品．已知每辆大卡车载货12箱，每辆小卡车载货8箱．大卡车运往中心的费用为800元/辆，运往中心的费用为900元/辆；小卡车运往中心的费用为400元/辆，运往中心的费用为600元/辆．根据上述信息，解答下列问题： （1）求这15辆车中，大卡车和小卡车各有多少辆； （2）现安排其中10辆卡车前往中心，其余卡车前往中心．设前往中心的大卡车为辆，前往两中心的总运费为元，求出与的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若运往中心的食品不少于100箱，如何调配卡车使总运费最少，并求出最少费用． 【答案】（1）大卡车8辆，小卡车7辆 （2）（，且x为整数） （3）5辆大卡车前往中心A，3辆大卡车前往中心B，5辆小卡车前往中心A，2辆小卡车前往中心B，这样调配卡车总运费最少，最少费用为9900元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数解决实际问题． （1）设大卡车有辆，小卡车有辆，根据“配送公司需将152箱食品运送到两个社区中心和，大卡车和小卡车共15辆”列出方程组，求解即可； （2）根据运费等于单辆车运费乘以卡车数量即可列出函数解析式； （3）根据题意求出x的取值范围，根据一次函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：设大卡车有辆，小卡车有辆，根据题意得 解得 答：大卡车有8辆，小卡车有7辆． 【小问2详解】 解： ， ∵x应满足， ∴， ∴与的函数解析式为（，x为整数） 【小问3详解】 解：由题意，得， ∴， ∵ ，且为整数 ∵在函数中，随减小而减小， ∴当时，y有最小值，为， 此时，，． 答：5辆大卡车前往中心A，3辆大卡车前往中心B，5辆小卡车前往中心A，2辆小卡车前往中心B，这样调配卡车总运费最少，最少费用为9900元． 26. 已知，如图1，在矩形中，连接交于点，过点作交延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，点为四边形外一点，连接，点为的中点，连接，若．求证：四边形为菱形； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，点在上，连接，以为边作等边，连接交于点，点为中点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质证明，再证明四边形为平行四边形，从而可得结论； （2）由（1）得，，证明，结合，证明，结合点为中点，证明，证明四边形为平行四边形，进一步求解即可； （3）证明为等边三角形，为等边三角形，可得，证明，在上取一点，使，连接，可得，证明，可得，求解，作于点，证明，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 证明：四边形为矩形 ∵， 四边形为平行四边形， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）得， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为平行四边形， ， ， 点为中点， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 由（1）得，， 四边形为菱形； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， 又， 为等边三角形， 点为中点， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，，，，， ， ，，， ， 作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴的正半轴，轴的正半轴于点，点，，且． （1）求直线的解析式； （2）如图，点为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，为直线上两点，且，，，点的横坐标为，设的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（）的条件下，点在线段的延长线上，连接，以为斜边在的下方作等腰直角，连接，，若，，求直线的解析式． 【答案】（1）直线解析式为； （2）； （3）直线解析式为． 【解析】 【分析】（）由，则，求出，得出，，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出直线解析式为，作于点，于点，设，则，，，，，，所以，则，最后由即可求解； （）由得，作交延长线于点，连接，证明，则有，，设，证明，所以，作于点，作于点，则有，作轴于点，则有四边形为矩形，所以，从而得出，然后利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设直线解析式为 ， 解得：， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 作于点，于点， ∴，， 设， ∴， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 解：由得， 当时，， ∴， 作交延长线于点，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作于点，作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作轴于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，因式分解，偶次幂的非负性等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 香坊区2024-2025学年度下学期教育质量综合评价学业发展水平监测 数学学科（八年级） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷选择题（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 1.5，2，3 B. 5，24，25 C. 6，8，10 D. 8，12，15 3. 若把直线向上平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在数轴上找到分别表示原点，数1的点和点，过点作，且，再以点为圆心，以的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（　　） A. 2 B. C. D. 5. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A. x(x－1)＝2070 B. x(x＋1)＝2070 C. 2x(x＋1)＝2070 D. ＝2070 6. 如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ） A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AD=BC 7. 定义新运算：，例如：，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有实数根 D. 有两个不相等的实数根 8. 如图，矩形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线交于点，则长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 9. 如图，正方形的边长为8，点在正方形内，是等边三角形，在对角线上有一动点，则的最小值为（　　） A. 6 B. 8 C. D. 10. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿方向运动到对角线的中点，如图2是的面积随点运动的路程变化的图象，则的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 第II卷 非选择题 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 已知是方程的一个根，则________． 13. 已知点都在直线上，则______．（填“”“”或“”） 14. 某科技馆“数学乐园”展厅的WiFi密码被设计成如图所示的数学问题，某同学在参观时经过认真思索，输入密码一次就顺利地连接到网络，他输入的密码是_______． 15. 某新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至万元/辆，则月平均降价率为____． 16. 一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集是_____． 17. 如图是由三角形组合而成的一组图案，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，第4个图案有13个三角形，…，按照此规律，第10个图案中三角形的个数为_____． 18. 如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与重合），折痕为，若，，则点到的距离为______． 19. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点从原点出发，沿轴正方向运动，当为等腰三角形时，点的坐标为_______． 20. 如图，在正方形中，点为上的一点，连接，点为的中点，的垂直平分线交于点，交于点，，交于点，连接交于点．则下列结论：①；②；③；④若，则．其中一定正确的有_____．（填序号） 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 解方程： （1）； （2）． 23. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点均在格点上． （1）以线段为边作一个平行四边形，使得平行四边形的面积为16； （2）在（1）的条件下，在线段上画点，使（仅用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．），并直接写出线段的长． 24. 如图1，中，点是的中点，点是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，四边形的面积为，点在线段上，，请直接写出的长． 25. 某食品配送公司需将152箱食品运送到两个社区中心和．公司有大卡车和小卡车共15辆，恰好能一次性运完所有食品．已知每辆大卡车载货12箱，每辆小卡车载货8箱．大卡车运往中心的费用为800元/辆，运往中心的费用为900元/辆；小卡车运往中心的费用为400元/辆，运往中心的费用为600元/辆．根据上述信息，解答下列问题： （1）求这15辆车中，大卡车和小卡车各有多少辆； （2）现安排其中10辆卡车前往中心，其余卡车前往中心．设前往中心的大卡车为辆，前往两中心的总运费为元，求出与的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若运往中心的食品不少于100箱，如何调配卡车使总运费最少，并求出最少费用． 26. 已知，如图1，在矩形中，连接交于点，过点作交延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，点为四边形外一点，连接，点为的中点，连接，若．求证：四边形为菱形； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，点在上，连接，以为边作等边，连接交于点，点为中点，若，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴的正半轴，轴的正半轴于点，点，，且． （1）求直线的解析式； （2）如图，点为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，为直线上两点，且，，，点的横坐标为，设的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（）的条件下，点在线段的延长线上，连接，以为斜边在的下方作等腰直角，连接，，若，，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $