26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第1课时 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过复习顶点式优势，对比一般式无法直接判断性质的认知冲突，搭建从特殊到一般的知识支架，引导学生探究一般式转化与性质。 以“转化—推导—归纳—应用”为主线，学生亲历配方转化、公式推导过程，培养推理意识与运算能力，结合图象分析增减性渗透几何直观，中考真题练习强化应用意识。助力学生理解知识生成，帮助教师高效突破重难点。

26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第一课时 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质） （教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第26章《二次函数》，26.2二次函数图像与性质，26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质第一课时探究二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质.核心教学内容为二次函数一般式y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质.主要包括：通过配方法将一般式二次函数转化为顶点式，推导二次函数一般式的对称轴公式、顶点坐标公式；掌握一般式二次函数图象的开口方向、增减性、最值等核心性质；学会利用公式快速确定抛物线关键特征、绘制简单函数图象，并能运用性质解决基础求值、比较函数值大小等问题. 2. 内容解析 本节课是二次函数图象与性质学习的收官基础课。此前学生已系统学习y=ax²、y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k四类顶点式二次函数的图象与性质，掌握了配方法、图象平移规律、数形结合分析函数的基本方法.本节课将零散的特殊形式整合为通用一般形式，实现二次函数图象性质的系统化、通用化，是后续学习二次函数与方程、不等式、实际应用及综合压轴题的核心基础，在整章知识体系中起到承上启下的关键作用.本节课遵循“转化—推导—归纳—应用”的数学逻辑，将陌生的一般式通过配方法转化为熟悉的顶点式，依托已有知识推导通用公式，归纳通用性质，最终实现知识迁移应用，完美契合初中数学“化未知为已知”的转化思想，是培养学生推理归纳、数形结合核心素养的重要载体. 基于以上分析，本节课的教学重点为:用配方法将二次函数一般式化为顶点式； 掌握二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；能利用公式和性质解决基础计算、图象分析问题. 教学目标 （1）掌握用配方法将y=ax²+bx+c(a≠0)化为顶点式的方法；熟记二次函数一般式的对称轴、顶点坐标公式；熟练掌握一般式二次函数的开口方向、增减性、最值性质，能利用公式和性质解决基础题型. (2)经历“配方转化—公式推导—性质归纳—例题应用”的完整探究过程，提升代数变形、逻辑推理、数形结合分析问题的能力，体会转化、归纳的数学思想. （3）通过自主推导公式、归纳性质，感受数学知识的连贯性和统一性，增强自主探究意识和学习自信心；在数形结合分析问题中体会数学的严谨性和逻辑性，提升数学核心素养. 2.目标解析 目标1是基础性目标，面向全体学生.学生需突破“一般式转顶点式”的代数变形难点，精准记忆并灵活运用对称轴、顶点坐标两大核心公式，能根据a的符号、对称轴位置判断函数图象特征与增减变化规律. 目标2是能力性目标，聚焦思维提升.引导学生主动关联旧知，自主完成知识转化与推导，摆脱机械记忆公式的学习模式，学会用“数形结合、转化归纳”的方法研究函数问题，形成通用的函数探究思路. 目标3是发展性目标，立足长效提升.通过层层递进的探究活动，让学生体验知识生成过程，打破对复杂二次函数的畏难心理，培养严谨的数学思维和主动探究的学习习惯。 学生已掌握整式加减、完全平方公式、配方法等代数运算技能；熟练掌握顶点式二次函数的图象平移规律、开口、增减性、最值等性质，具备数形结合分析简单二次函数的基础能力，能够快速关联旧知开展新知探究.存在如下短板:（1）配方法处理含一次项、常数项的二次三项式时，代数变形不熟练，容易出现漏乘、符号错误；（2）对公式只记结论、不懂推导，缺乏逻辑思维支撑，容易混淆公式符号；（3）数形结合能力薄弱，无法快速将解析式、对称轴、图象增减变化对应起来，判断区间增减性易出错；（4）知识迁移能力不足，难以自主完成“特殊形式到一般形式”的知识整合.学生易机械记忆公式，忽视推导过程，导致公式遗忘、误用；混淆a、b、c对函数的影响，无法精准分析函数性质. 基于以上分析，本节课的教学难点确定为：一般式二次函数顶点坐标、对称轴公式的推导过程（配方的代数变形逻辑）；结合对称轴准确判断二次函数在任意区间内的增减性，区分最值与函数增减变化的关联. 创设情景，引入新课 复习回顾:（1）我们之前学习的二次函数顶点式是什么？它的优势是什么？（2）说出y=2(x-1)²+3的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。（3）实际问题中，二次函数常以y=2x²-4x+1这种形式出现，它不是顶点式，如何快速判断它的图象和性质？ 师生互动：学生回顾顶点式优势（可直接看出顶点、对称轴、最值），发现普通一般式无法直接判断性质，产生探究需求. (设计意图：通过旧知回顾搭建知识桥梁，利用认知冲突激发学生探究欲望，明确本节课学习核心——探究一般式二次函数的通用性质，自然引入新课) 探究点1 画出二次函数，的图象,并讨论它的性质 活动1.通过图象的平移,得到函数图象. 对于二次函数配方，可得.根据前面的学习，可以先画出二次函数的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数的图象. 追问:还可以怎样平移? 活动2.直接画出函数图象. 如果直接画二次函数的图象，可按如下步骤进行. 由配方的结果可知，抛物线的顶点是(6，3)，对称轴是x=6. 先利用图象的对称性列表: … 3 4 5 6 7 8 9 … … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … 然后描点画图，得到的图象,如下图. 活动3.观察二次函数的图象讨论它的性质. 从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当x<6时，随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大；当x=6时，y取最小值，最小值是3. 探究点2 利用上面的方法研究二次函数的图象,并讨论它的性质. 活动4.分别用平移、直接画图象的方法，画出二次函数的图象，观察二次函数的图象讨论它的性质. 从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降.也就是说，当x<-2时，随x的增大而减小；当x>-2时，y随x的增大而增大；当x=-2时，y取最小值，最小值是2. 探究点3 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 活动5.将一般式转化为顶点式. 尝试用配方法将y=ax²+bx+c(a≠0)转化为顶点式， 教师分步引导：第一步：提取二次项系数：， 第二步：配方（加、减一次项系数一半的平方）： 第三步：整理化为顶点式： 总结归纳：结合顶点式y=a(x-h)²+k，对比得出： 对称轴：直线； 顶点坐标： 易错强调：配方时仅对含x的项变形，提取系数后括号内配方，常数项需整体整理，注意符号和通分计算. 活动6.归纳一般式二次函数图象与性质 结合推导的顶点式和已有知识，师生共同归纳y=ax²+bx+c(a≠0)的性质： 1. 开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下；|a|越大，开口越小。 2. 对称轴：直线 3. 顶点坐标： 4. 增减性： a>0：对称轴左侧（），y随x增大而减小；对称轴右侧（），y随x增大而增大； a<0：对称轴左侧（），y随x增大而增大；对称轴右侧（），y随x增大而减小. 5. 最值：a>0，当时，； a<0，当时，. （设计意图：让学生亲历顶点式推导全过程，理解公式由来，避免机械记忆，突破本节课公式推导难点，同时强化配方法的代数变形能力，渗透转化的数学思想.归纳整合，将零散的性质系统化，帮助学生构建完整的知识体系，强化数形结合思想，让学生掌握通用的二次函数性质分析方法.） 典型例题 例1：已知二次函数y=x²-2x-3，请完成下列问题： （1）用配方法将函数化为顶点式； （2）求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）求函数的最值； （4）判断函数的增减性. 【分析】本题完整覆盖一般式转顶点式、公式应用、性质分析四大核心考点。解题核心思路：先通过配方法完成形式转化，再结合顶点式或通用公式判断图象特征，最后依据a的符号和对称轴分析增减性与最值，层层递进、贴合课堂新知. 【详解】解：（1）配方转化顶点式：. （2）由顶点式y=(x-1)²-4可知： a=1>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=1；顶点坐标为(1,-4). （3）求函数最值：∵ a=1>0，抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值；∴ 当x=1时， （4）分析函数增减性：对称轴为直线x=1，开口向上：当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大. （设计意图：通过综合性例题，整合本节课所有核心知识点，帮助学生巩固性质和平移规律；规范解题步骤，培养学生严谨的答题习惯，同时让学生掌握利用对称性、增减性比较函数值的解题技巧，实现知识的学以致用.) 课本课堂练习（P43). （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x1． ∴可设二次函数为y＝a（x+1）²+k． 又∵图象过（0，﹣2），（1，1）， ∴﹣2＝a（0+1）²+k，且1＝a（1+1）²+k． ∴a＝1，k＝﹣3． ∴二次函数为y＝（x+1）²﹣3，即y＝x²+2x﹣2． （2）由题意，结合（1）y＝（x+1）²﹣3， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）． 作图如下． （3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为y＝（x+1﹣n）²﹣3． ∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上． ∴①当3≤n﹣1时，即n≥4， ∴当x＝0时，y取最大值为（1﹣n）²﹣3；当x＝3时，y取最小值为（4﹣n）²﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）²﹣3﹣（4﹣n）²+3＝5． ∴n4，不合题意． ②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4， ∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为（1﹣n）²﹣3或（4﹣n）²﹣3；当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）²﹣3+3＝5或（4﹣n）²﹣3+3＝5． ∴n＝1或n＝1（不合题意，舍去）或n＝4（不合题意，舍去）或n＝4． ③当n﹣1≤0时，即n≤1， ∴当x＝0时，y取最小值为（1﹣n）²﹣3；当x＝3时，y取最大值为（4﹣n）²﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（4﹣n）²﹣3﹣（1﹣n）²﹣3＝5． ∴n1，不合题意． 综上，n＝1或n＝4． 1．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 【解答】解：由题意可得， ∵方程ax²﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴， 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax²﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 2.（2025•福建）已知点A（﹣2，），B（1，）在抛物线y＝3x²+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜＜ B．＜1＜ C．1＜＜ D．＜1＜ 【解答】解：∵y＝3x²+bx+1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A（﹣2，）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，）到对称轴的距离， ∴1＜＜， 故选：A． 3.（2025•泸州）已知抛物线y＝ax²+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（　　） A．2a＝b B．b²﹣4ac＜0 C．a﹣2b+4c＜0 D．8a+c＞0 【解答】解：∵抛物线y＝ax²+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与y轴的交点位于x轴下方， ∴当x＝0时，y＜0， ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x＝﹣1和y轴之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相同的实数根， ∴b²﹣4ac＞0，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当x＝0时，y＜0，且当x＝﹣1时，y＞0， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0， ∴4a+2•2a+c＞0，即8a+c＞0，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， 当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1时，则原函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1， 当时，，故C选项中原结论不正确，不符合题意； 故选：D． 4．（2026·徐州统考）下表给出了变量x与、之间的部分对应关系（表格中的符号“▲”表示该项数据已经丢失）： x 0 1 ▲ ▲ 1 8 3 ▲ (1)求函数的表达式并画出它的图像； (2)结合图像回答问题：当x的取值范围是______时，？ (3)将函数的图像向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后函数的表达式为______． 【详解】（1）解：当时，， 当时，的值是8，当时，的值是3 ， ，，函数的表达式为 此函数的顶点坐标为，对称轴为经过且平行于y轴的直线． 列表： x … 0 2 3 4 5 … y … 8 3 0 0 3 8 … 描点、连线： （2）当时，由二次函数函数图像可知： 自变量取值范围是： （3）， 函数图像向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，即 ， ． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：（1）掌握二次函数一般式化顶点式的配方法步骤；（2）熟记通用公式：对称轴，顶点坐标；（3）熟练根据a、b、c判断二次函数的开口、对称轴、顶点、增减性、最值五大核心性质. 思想方法：（1）转化思想：将陌生的一般式二次函数转化为熟悉的顶点式，化未知为已知；（2）数形结合思想：由解析式（数）分析图象性质（形），以形助数、以数释形；（3）归纳推理思想：由特殊函数性质归纳出通用一般式函数性质. 易错提醒：（1）配方时易漏加、漏减常数项，符号计算容易出错；公式中符号易错，对称轴是，切勿遗漏负号；（3）增减性必须以对称轴为分界，不能笼统描述；（4）最值必须对应自变量取值（顶点横坐标），不可只写函数值. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题26.2第3、4题. 探究性作业：课本习题26.2第5题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 26.2.3 二次函数y=ax+bx+c的图象和性质（第一课时） 一、一般式转化为顶点式 二、核心公式 三、函数性质 四、易错点 副板书 典型例题 （预留区域，课堂书写化简、检验例题） 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $