精品解析：黑龙江哈尔滨市六校联考2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学 ★满分150分，考试时间120分钟．★ 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2026年5月，某校举行了由三个校区（南校区、北校区、总校区）高三年级学生参加的2026届高三毕业典礼暨成人仪式.已知南校区、北校区、总校区的高三年级学生人数分别为400、600、1000.为了解学生对活动组织情况的满意度，现用分层随机抽样的方法按比例分配抽取一个100人的样本进行调查，则从北校区高三年级学生中抽取的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 50 D. 60 2. 已知，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，给出下面四个命题： ①若，，则；②若，，则；③若，，，与不平行，则，为异面直线；④若，，，，则.其中正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图，一个电路中有，，三个电器元件，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，则下列事件：①；②；③；④；⑤；⑥.表示事件“电路一定是断路”的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 袋中共有编号为0~9的完全相同的10个小球，甲、乙、丙、丁四名同学分别有放回地各抽取10次，记录抽出小球的编号.甲统计的数据为“平均数为3，中位数为4”，乙统计的数据为“中位数为3，众数为4”，丙统计的数据为“平均数为3，第25百分位数为1”，丁统计的数据为“平均数为2，方差为3”，根据统计数据估计，摸出的10个球的编号一定全部不大于7的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），记录向上的点数，则一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，，分别是，上的点，且，，连接，，交点为，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于复数的说法正确的是（ ） A. 当时，是纯虚数 B. 若复数，满足，则 C. 当时，复数在复平面内对应的点在第一象限 D. 若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，则 10. 如图，在正方体中，为上的动点，则（ ） A. 与是相交直线 B. 与互相垂直 C. 与所成的角为 D. 三棱锥的体积为定值 11. 已知，是夹角为的单位向量，，，，则（ ） A. 若，，三点共线，则或 B. 当时，点在线段上 C. 当时，与同向的单位向量是 D. 当时，在上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，与垂直，则实数______． 13. 某地高速服务区建有甲、乙两座新能源汽车充电桩，已知甲充电桩正常工作的概率为0.9，乙充电桩正常工作的概率为0.95，两台设备是否正常工作相互独立．某位新能源车主来该服务区充电，正好两充电桩空闲，则该车主能顺利充电的概率是______． 14. 在三棱锥中，，，，分别为所在棱的中点，如图，四边形把三棱锥分成两部分，则多面体与多面体的体积之比为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，点在上，且，连接，，试判断的形状． 16. 天气转暖，哈尔滨的夜间消费也跟着“热”了起来，越来越多的夜间消费场景点亮了哈尔滨夜间经济灯火．为助力夜间消费市场的发展，哈尔滨市某统计部门随机调查了100名市民每人每日夜间消费时长（单位：分钟），将统计数据分为五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求实数的值； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法按比例分配选取25人，用作下一期回访． ①从第一组和第五组这两组被选中的市民中选出2人作深度采访，求这2人来自不同组的概率； ②若第四组被选中市民的消费时长的平均数为72，方差为3，第五组被选中市民的消费时长的平均数是84，方差为7，据此估计第四组和第五组所有人消费时长的平均数和方差． 17. 如图，圆锥的母线长为，四边形为圆锥底面圆的内接正方形，边长为2，，分别为母线，的中点． （1）求证：平面； （2）求和平面所成角的正切值； （3）求几何体的体积． 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，从下面三个条件中选取一个解答问题：①；②；③． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 19. 图1是边长为2的正方形，，分别为，的中点，将正方形沿折成一个直二面角，如图2，连接，，交于点，为的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）设为线段上的动点，求到平面的距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 ★满分150分，考试时间120分钟．★ 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2026年5月，某校举行了由三个校区（南校区、北校区、总校区）高三年级学生参加的2026届高三毕业典礼暨成人仪式.已知南校区、北校区、总校区的高三年级学生人数分别为400、600、1000.为了解学生对活动组织情况的满意度，现用分层随机抽样的方法按比例分配抽取一个100人的样本进行调查，则从北校区高三年级学生中抽取的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 50 D. 60 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，三个校区人数之比为，则北校区高三学生中抽取的人数为30． 2. 已知，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得． 3. 已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，给出下面四个命题： ①若，，则；②若，，则；③若，，，与不平行，则，为异面直线；④若，，，，则.其中正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】①若，，则a与b相交、平行、异面均有可能，错误． ②若，，则，正确． ③若，，，a与b不平行，则a，b为异面直线，正确． ④若，，，，若a与b不相交，则α与β不一定平行，错误． 4. 如图，一个电路中有，，三个电器元件，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，则下列事件：①；②；③；④；⑤；⑥.表示事件“电路一定是断路”的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用事件的基本运算即可求解. 【详解】①表示元件A正常且元件B不正常；②表示元件A正常且元件C不正常； ③表示元件A不正常且元件B正常；④表示元件A不正常且元件C正常； ⑤表示元件A正常且元件B不正常或元件C不正常； ⑥表示元件A正常且元件B和C都不正常，故③④⑥表示电路一定是断路． 5. 袋中共有编号为0~9的完全相同的10个小球，甲、乙、丙、丁四名同学分别有放回地各抽取10次，记录抽出小球的编号.甲统计的数据为“平均数为3，中位数为4”，乙统计的数据为“中位数为3，众数为4”，丙统计的数据为“平均数为3，第25百分位数为1”，丁统计的数据为“平均数为2，方差为3”，根据统计数据估计，摸出的10个球的编号一定全部不大于7的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】举出反例可得ABC错误；D选项，假设若有个小球的编号大于7，不妨设为8（因为此时方差最小），推出矛盾，得到D正确. 【详解】“平均数为3，中位数为4”有可能有大于7的编号，例如0，0，1，1，4，4，4，4，4，8； “中位数为3，众数为4”有可能有大于7的编号，例如0，0，1，1，2，4，4，4，5，9； “平均数为3，第25百分位数为1”有可能有大于7的编号，例如0，0，1，1，4，4，4，4，4，8； “平均数为2，方差为3”，由方差公式，得． 若有一个小球的编号大于7，不妨设为8（因为此时方差最小）， 则，与统计数据有矛盾，故D正确． 6. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），记录向上的点数，则一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于骰子质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，因此抛掷两枚骰子共有36个样本点．一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍有，，，，，，共6个样本点，因此一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是． 7. 如图，在三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：几何法，由线面垂直、直角三角形性质，确定A1C中点是外接球球心，求出半径再算球体积; 方法二：补形法，三条棱两两垂直，补成长方体，长方体体对角线就是外接球直径，直接求半径. 【详解】法一：因为平面ABC，平面ABC，所以，取的中点为，连接，， 在中，．过作，交AC于，则为AC的中点且， 所以平面ABC，连接，因为平面ABC，所以， 在中，，因此，所以， 因此即三棱锥外接球的球心．由题意，，，因此， 则外接球的半径为，则外接球的体积． 法二：把三棱锥补成一个长方体，如图，易知外接球直径为，由题意，，， 则，因此外接球半径为，外接球的体积． 8. 如图，在中，，，，，分别是，上的点，且，，连接，，交点为，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：设，，以为基底，利用平面向量基本定理，以及向量的夹角公式即可求解； 方法二：建立平面直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】因为，，， 所以，所以． 法一：设，， 因为点C，D，E共线，故存在实数λ，使得，即， 所以．① 因为点B，D，F共线，故存在实数μ，使得，即， 所以．② 由①②和平面向量的基本定理可知，解得，， 所以，， 所以，，， 所以． 法二：以C为原点，AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 如图，由题意易得，，因为E为AB中点， 所以，，易知轴，故BF的方程为①， 设直线CE的方程为， 把E点坐标代入得直线CE的方程为②， 由①②得D的坐标为， ， ， 所以，，， ． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于复数的说法正确的是（ ） A. 当时，是纯虚数 B. 若复数，满足，则 C. 当时，复数在复平面内对应的点在第一象限 D. 若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，则 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，时，，故A错误； 取，，满足，但，故B错误； 复数在复平面内对应的点为，当时，，，故C正确； 设复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点为，则，，则，故D正确． 10. 如图，在正方体中，为上的动点，则（ ） A. 与是相交直线 B. 与互相垂直 C. 与所成的角为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A：因为平面，平面，不在直线上，所以与是异面直线，A不正确； 对于B：连接，在正方形中，，又因为平面，平面， 所以，因为，，平面， 因此平面，因为平面，所以与互相垂直，B正确； 对于C：连接，，则由正方体的性质得，因此就是与所成的角， 因为为等边三角形，所以，C正确； 对于D：因为，平面，不在平面内，所以平面， 故E点到平面的距离等于到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，D正确． 11. 已知，是夹角为的单位向量，，，，则（ ） A. 若，，三点共线，则或 B. 当时，点在线段上 C. 当时，与同向的单位向量是 D. 当时，在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【详解】若A，B，C三点共线，则存在实数λ，使得，即， 整理得，由于不共线，则， 解得或，A正确； 对于B，当时，，，显然， 又因为此时A，B，C三点共线，故C点在线段AB的延长线上，B错误； 当时，，，设与同向的单位向量为，则，C正确； 如图易知与的夹角为30°， 因此在上的投影向量为（另解：在如图所示的菱形中，在上的投影向量为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，与垂直，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数乘的坐标表示及数量积的坐标运算即可解决. 【详解】，， 因为与垂直，所以，解得． 13. 某地高速服务区建有甲、乙两座新能源汽车充电桩，已知甲充电桩正常工作的概率为0.9，乙充电桩正常工作的概率为0.95，两台设备是否正常工作相互独立．某位新能源车主来该服务区充电，正好两充电桩空闲，则该车主能顺利充电的概率是______． 【答案】0.995 【解析】 【详解】该车主能顺利充电，即甲、乙两座充电桩至少有一个正常工作，其对立事件是两充电桩都不能正常工作，此时概率为，因此该车主能顺利充电的概率为． 14. 在三棱锥中，，，，分别为所在棱的中点，如图，四边形把三棱锥分成两部分，则多面体与多面体的体积之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，将多面体SEHBGF分割为三棱柱与三棱锥，求出其体积，进而求出多面体AEFCGH的体积，相比即可 【详解】取SB的中点为M，连接EM，FM，则，，， 从而平面平面HBG，故几何体为三棱柱， 四边形EFGH把几何体分为两部分，其中一部分是三棱柱与三棱锥的组合体． 设三棱锥的底面积为4s，高为2h，则三棱柱的底面积为s，高为h， 三棱锥的底面积为s，高为h， 多面体SEHBGF的体积为， 又， 所以多面体AEFCGH的体积为， 故多面体SEHBGF与多面体AEFCGH的体积之比为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，点在上，且，连接，，试判断的形状． 【答案】为直角三角形． 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式转化，以及三角形的余弦定理，求解出，，，满足勾股定理，判断出三角形是直角三角形. 【详解】由得 ， 即，即，故， 又因为，所以，所以为等腰三角形，． 设，则，， 在中，， 即，解得． 故，，，故， 故为直角三角形． 16. 天气转暖，哈尔滨的夜间消费也跟着“热”了起来，越来越多的夜间消费场景点亮了哈尔滨夜间经济灯火．为助力夜间消费市场的发展，哈尔滨市某统计部门随机调查了100名市民每人每日夜间消费时长（单位：分钟），将统计数据分为五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求实数的值； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法按比例分配选取25人，用作下一期回访． ①从第一组和第五组这两组被选中的市民中选出2人作深度采访，求这2人来自不同组的概率； ②若第四组被选中市民的消费时长的平均数为72，方差为3，第五组被选中市民的消费时长的平均数是84，方差为7，据此估计第四组和第五组所有人消费时长的平均数和方差． 【答案】（1）； （2）①；②平均数为75，方差为31． 【解析】 【小问1详解】 由题意得，解得． 【小问2详解】 各组频率分别为，，，，， 由此，各组人数分别为8，20，40，24，8． 根据分层随机抽样，选取的25人在各组中的分布为：2，5，10，6，2． ①第一组的2人设为，第五组的2人设为， 从4人中选出2人，样本空间为，样本点有6个， 两人分别属于不同组的样本点有4个，分别为， 因此2人来自不同组的概率为． ②设第四组被选中样本记为（，…，6），消费时长的平均数记为； 第五组被选中样本记为（，2），消费时长的平均数记为； 第四组和第五组所有被选中人员的消费时长的平均数为，方差为． 则， ， 又因为， 所以 ， 故估计第四组和第五组所有人消费时长的平均数为75，方差为31． 17. 如图，圆锥的母线长为，四边形为圆锥底面圆的内接正方形，边长为2，，分别为母线，的中点． （1）求证：平面； （2）求和平面所成角的正切值； （3）求几何体的体积． 【答案】（1）证明：由题意，O为AC与BD的交点，且O为AC，BD的中点， 连接EO，则， 又因为平面AEC，平面AEC，所以平面AEC． （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据中位线得到线线平行，进而得到线面平行； （2）得到是AE和平面SBD所成的角，求出正切值； （3）在（2）基础上，求出，进而得到几何体的体积 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接SO，则平面ABCD，所以， 由题意，，所以平面SBD，垂足为O， 则是AE和平面SBD所成的角， 在中，，，则 【小问3详解】 几何体ABCDEF是棱锥与棱锥的组合体， 由（2）知，AO，CO分别为棱锥与棱锥的高，且． 在中，，，其中， 所以，所以梯形BDEF的高为2， 所以梯形的面积， 所以几何体ABCDEF的体积为． 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，从下面三个条件中选取一个解答问题：①；②；③． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①利用正弦定理和三角恒等变换即可求解；选②利用正弦定理和余弦定理即可求解；选③利用正弦定理和余弦定理即可求解； （2）利用三角形的面积公式得，结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 选①：由得， 由正弦定理得：． 即， 即， 因为，所以， 又因为C为三角形内角，所以； 选②：由和正弦定理，得， 由余弦定理，得， 又因为C为三角形内角，所以； 选③：由和正弦定理得， 整理得，则由余弦定理，， 又因为C为三角形内角，所以； 【小问2详解】 由，所以， 由余弦定理，，得，即， 则，所以， 故的周长为． 19. 图1是边长为2的正方形，，分别为，的中点，将正方形沿折成一个直二面角，如图2，连接，，交于点，为的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）设为线段上的动点，求到平面的距离的取值范围． 【答案】（1）证明：设EF的中点为M，连接GM，HM， 因为G为DF的中点，则， 因为，所以， 因为H为AB的中点，同理可得， 因为，GM，平面GMH，所以平面GMH， 所以． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）找EF中点构造两条垂直于 EF 的相交直线，证线面垂直，推出线线垂直; （2）利用直二面角的面面垂直作垂线找出二面角平面角，通过直角三角形边长计算余弦值; （3）用等体积法分别求出 A、D 两点到平面的距离，得到线段上动点距离的取值区间. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知二面角与二面角互补， 过M点作，垂足为N，连接HN， 因为，平面平面ABFE，平面平面， 所以平面CDEF， 所以，因为，MN，平面MNH，所以平面MNH， 所以，所以是二面角的平面角， 在中，，，所以，， 在中，，所以， 在中，，， 所以，结合二面角与二面角互补 所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 因为Q为线段AD上的动点， 所以Q到平面EGH的距离介于点A到平面EGH的距离和点D到平面EGH的距离之间， 连接DH，AG，设D到平面EGH的距离为，A到平面EGH的距离为， 由（1）得，，，所以，易知， 在中，， 取等腰三角形EGH底边中点为O，连接GO， 则，， 三棱锥的体积， 所以，所以， 三棱锥的体积， 所以，所以， 所以Q到平面EGH的距离的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $