黑龙江哈尔滨市第七十三中学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

哈73中（哈田中)2025-2026学年度下学期 高一学年期末考试 数学 考试时间：120分钟卷面分值：150分 命题：张巍一审：杨永强二审：方璐三审：张力丰 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，只交试卷答题页。 第I卷选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z满足(2+)z=3+4i,则z=() A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i 2.已知一组数据3,4,5,6,7,8,9,10，则这组数据的35%分位数是（) A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 3.已知a=(1,1),万=(2,5)，元=(3，x),若(8a-·c=30,则x等于（) A.6 B.5 C.4 D.3 4.在足球比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红3种颜色的 球衣，乙队有蓝、白、黑3种颜色的球衣.若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则 他们的球衣颜色符合要求的概率为() A.月 B. c.子 D. 5.设m,n为两条直线，心，B为两个平面，若a1B,则() A.若m//a,n//B,则m1n B.若m⊥，n//B,则m⊥n 第1页共17页 C.若m1,n1B,则m⊥n D.若mca,ncB,则m⊥n 6.如果事件A,B互斥，记A,B分别为事件A,B的对立事件，那么() A.A+B是必然事件 B.A+B是必然事件 C.A与B一定互斥 D.A与B不可能互斥 7.在△ABC中，角A、B、C对的边分别为a、b、c.若a=4,b=5,c=61,则角C 等于() A.120 B.90° C.60° D.45 8.在三棱锥P-ABC中，AC1平面PAB,AB=6,AC=10,BP=2V2,∠ABP=45°， 则三棱锥P一ABC外接球的表面积为() A.76π B.128π C.140π D.148π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若z=-1+3i,则() A.z=-1-3i B.lz=√10 C.zi=-3-i D.z在复平面内对应的点在第四象限 10.某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行 了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则() 频率 组距 0002------- 0.0015 0.0005 O 200300400500600700800年利润（万元） A.样本数据落在区间[500,600)内的频率为0.004 B.如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微 企业能享受该政策 第2页共17页 C.样本的中位数为520 D.若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460 11.己知a=(t,-2),万=(-4，t),则（) A.若a/乃，则t=士22 B.若a1万，则t=0 c.a-的最小值为v2 D.若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为(O,+o) 第II卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.i+i记+3+…+2023=_一(i为虚数单位) 13.如图，A,B是两个独立的开关，设它们闭合的概率分别为则该线路是通路的概 率为 B 14.如图，圆锥的底面半径为3，母线长为4，P0是圆锥的高，点C是底面直径AB所对 弧的中点，点D是母线PA上的点，PD=2DA,则直线CD与平面PAB所成的角的正切 值为 B 第3页共17页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知复数z=m2-4+(m2+2m)i,根据以下条件分别求实数m的值或取值 范围。 (1)z是纯虚数； (2)z对应的点在复平面的第三象限. 16.(15分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整 数)分成六段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]后，画出如图所示部分频率 分布直方图.观察图形，回答下列问题： 个频率/组距 0.025 0.015 0.01 0.005 0405060708090100分数 (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图： (2)估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）： (3)估计这次考试的众数、平均分. 17.(15分)第十五届全国运动会在粤港澳三地举行，某大学有5名教师参与了此次运动 会的火炬传递活动，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去 参加活动： (1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间： (2)求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率. 第4页共17页 18.(15分)已知在△ABC中，A+C=5B,AB=V3,BC=4. (1)求sinC: (2)若D为BC边上一点且Cos-CAD=,求△ADC的面积. 19.(17分)已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形，且 AB=2V3,AD=2,PD=2,∠BAD=30°，E为PC中点，F为AB中点. E D (1)证明：EF/平面PAD: (2)求点B到平面DEF的距离. 第5页共17页 高一下学期期末数学参考答案 一.选择题 1.已知复数z满足(2+)z=3+4i,则z=() A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i 【解答过程】因为(2+0z=3+41所以z=-+00-=6-3+-=2+i 2+i(2+i0:(2-i) 5 故选：A 2.已知一组数据3,4,5,6,7,8,9,10，则这组数据的35%分位数是() A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 【解答过程】因为有8个数，且8×35%=2.8，所以35%分位数是第三个数5. 故选：D 3.已知a=(1,1),五=(2,5)，=(3，x),若(8a-·=30,则x等于() A.6 B.5 C.4 D.3 【解答过程】解：由题意可得，8-万=(6,3)，所以(8a-·c=30,=(3,x), 所以18+3x=30,解得x=4 故选：C. 4.在足球比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红3种颜色的 球衣，乙队有蓝、白、黑3种颜色的球衣.若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则 他们的球衣颜色符合要求的概率为() A.月 B. c.号 D. 【解答过程】双方随机挑选一套球衣进行比赛，则一共有9种不同的组合， 其中只有双方都选白色或都选黑色时不符合要求，故不符合要求的概率为号 符合要求的 概率为好 故选D 第6页共17页 5.设m,n为两条直线，%，B为两个平面，若a1B,则() A.若m//a,n/β，则m⊥n B.若m1a,n/B,则m⊥n C.若m1,n⊥B,则m1n D.若mca,ncB,则m1n 【解答过程】对于A中，若a1B且m/a,n//B,则m与n平行、相交或异面，所以A不 正确： 对于B中，若a1B且m1a,n/B,则m与n平行、相交或异面，所以B不正确： 对于C中，若a1B且m⊥a,n1B, 如图所示，取点A,过点A,作AB⊥a,AC1B,则AB/m,AC//m, 设a∩B=I,可得AB1L,AC1I,因为AB∩AC=A,且AB,ACC平面ABDC, 所以LI平面ABDC,又因为BD,CDc平面ABDC,所以l⊥BD,l⊥CD, 所以∠BDC为a与B所成角的平面角，由aIB,可得LBDC=90°，即BD 1 CD, 所以四边形ABDC为矩形，所以AB⊥AC,所以m⊥n,所以C正确： h2 对于D中，若a1B且mca,ncB,则m与n平行、相交或异面，所以D不正确 故选：C 6.如果事件A,B互斥，记A,B分别为事件A,B的对立事件，那么() A.A+B是必然事件 B.A+B是必然事件 C.A与B一定互斥 D.A与B不可能互斥 【解答过程】如图所示，集合E表示事件A,集合F表示事件B, 对于选项A,如图，因为E+F不是全集，所以选项A错误， 对于选项B,由图知CE UCF=I,即A+B是必然事件，所以选项B正确， 对于选项C,由图知CE∩CF不一定是空集，即A与B可以同时发生，所以选项C错误， 第7页共17页 对于选项D,由图知，若CEnCF=O,则A与B互斥，所以选项D错误， E 分 故选：B. 7.在△ABC中，角A、B、C对的边分别为a、b、c.若a=4,b=5,c=V61,则角C 等于() A.120° B.90° C.60° D.45 【解答过程】由余弦定理可得c0sC=242-2=-1 2ab -=-70°<C<180°，故C=120 故选：A 8.在三棱锥P-ABC中，AC1平面PAB,AB=6,AC=10,BP=2V2,∠ABP=45°， 则三棱锥P一ABC外接球的表面积为() A.76π B.128π C.140π D.148π 【解答过程】在△PAB中，AB=6,BP=2V2,∠ABP=45°，则AP= J6+(2V2)2-2×6×2V2c0s45°=2V5, 设△PAB外接圆半径为，则2=”=2N而，即r=V而，令△PAB外接圆圆心为01， D 三棱锥P-ABC外接球球心为O,半径为R,有OO11平面ABC, 由AC1平面ABC,得O01/AC,又OA=OC,取AC中点D,于是四边形AD001为矩形， 第8页共17页 则球心0到平面ABC的距离001=AD=S 因此R2=r2+(9?2=10+25=35,所以三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR2= 140元 故选：C 二.多选题 9.若z=一1+3i,则() A.z=-1-3i B.z=√10 C.zi=-3-i D.z在复平面内对应的点在第四象限 【解答过程】由复数z=-1+3i,则z=-1-3i,所以A正确： z=√-1)2+32=√0，所以B正确； 由zi=(-1+3)i=-3-i,所以C正确： 由z在复平面内对应的点为(-1,3)位于第二象限，所以D错误 故选：ABC 10.某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行 了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则() 频率 组距 0.002 0.0015 0.0005 200300400500600700800年利润（万元） A.样本数据落在区间[500,600)内的频率为0.004 B.如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微 企业能享受该政策 C.样本的中位数为520 第9页共17页 D.若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460 【解答过程】由(0.0005+0.0015+0.002+0.0015+0.0005+a)×100=1,得a= 0.004,故样本数据落在区间[500,600)内的频率为0.4，A错误： 样本数据低于600的频率为0.8，B正确： [200,500)对应的频率为0.4，[200,600)对应的频率为0.8，所以中位数在[500,600内，故 中位数为500+504×100=525，C错误： 0.4 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为200×0.05+300×0.15+ 400×0.2+500×0.4+600×0.15+700×0.05=460,D正确. 故选：BD 11.已知a=(t,-2),b=(-4,t),则() A.若a/6,则t=士22 B.若a1b,则t=0 c.a-的最小值为2 D.若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为(0，+∞) 【解答过程】对于A,若/乃，则t2-8=0,解得t=土2V2,故A正确： 对于B,若a1b,则a·b=-4t-2t=0,解得t=0,故B正确： 对于C,a-b=(t+4,-2-t), 则a-=√(t+4)2+(-2-t)2=V2t2+12t+20=√2(t+3)2+2, 当t=-3时，a-列ma=V2,故C正确： 对于D,因为向量a与向量b的夹角为钝角， 所以a·b<0且d,b不共线， 由d.b=-4t-2t<0,得t>0, 由a//b得t=±2v2, 所以t的取值范围为(0,2√2U(2√2，+∞)，故D错误 第10页共17页 故选：ABC 三.填空题 12.i+i2+3++i2023=-1(i为虚数单位) 【解答过程】 由题意，的周期为4， 所以原式=505(i-1-i+1)+i-1-i=505×0-1=-1. 故答案为：-1. 13.如图，A,B是两个独立的开关，设它们闭合的概率分别为好子则该线路是通路的概 率为是 【解答过程】由题意知，P(4)=P(B)=则P④=，P(⑧)= 所以线路为通路的概率为P=1-P④P(⑧)=1-×号= 故答案为： 14.如图，圆锥的底面半径为3，母线长为4，P0是圆锥的高，点C是底面直径AB所对 弧的中点，点D是母线PA上的点，PD=2DA,则直线CD与平面PAB所成的角的正切 值为y里 43 第11页共17页 【解答过程】连接OD,C0, B 因为P0是圆锥的高，故PO1平面ABC,OCc平面ABC, 故P01OC,又点C是底面直径AB所对弧的中点，则OC1AB, P0∩OC=O,P0,0Cc平面PAB,故OC1平面PAB, 则∠ODC即为直线CD与平面PAB所成的角， 因为圆锥的底面半径为3，母线长为4，故c0s∠PA0-是 PD=2DA,则AD= 故0D=VAD2+A02-2AD·A0·c0S∠PAO ③+9-2x×3x- 在Rt△DOC中，tanzODC= 0C3 9W43 0D=4 43 3 即直线CD与平面PAB所成的角的正切值为图， 43 故答案为： 943 43 四.解答题 15.(13分)已知复数z=m2-4+(m2+2m)i,根据以下条件分别求实数m的值或取值 范围. (1)z是纯虚数： (2)z对应的点在复平面的第三象限. 【解答过程】(1)因为z是纯虚数，所以 第12页共17页 m2-4=0。→m=2: (m2+2m≠0 6分 (2)因为z对应的点在复平面的第三象限，所以 m2-4<0→-2<m<0, m2+2m<0 因此实数的取值范围为 (-2,0） .13分 16.(15分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整 数)分成六段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]后，画出如图所示部分频率 分布直方图.观察图形，回答下列问题： 个频率/组距 0.025 0.015 0.01 0.005 O 405060708090100分数 (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图： (2)估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）： (3)估计这次考试的众数、平均分. 【解答过程】(1)因为各组的频率和等于1， 故第四组的频率：f4=1-(0.025+0.015×2+0.01+0.005)×10=0.3直方图如图所 示. 第13页共17页 个频率/组距 0.03 0.025 0.015 0.01 0.005 0405060708090100分数 ，… 5分 (2)成绩在[40,70)的频率为(0.01+0.015+0.015)×10=0.4， 成绩在[40,80)的频率为：0.4+0.03×10=0.7，中位数在[70,80)内. 设中位数为x,中位数要平分直方图的面积0.4+0.03×(x-70)=0.5, 解得x≈73.即中位数为 73. ..10分 (3)频率最大的是[70,80]组，则众数是 75: 。。。 11分 利用组中值估算抽样学生的平均分为： 45f1+55f2+65f3+75f4+85f5+95f6 =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71 估计这次考试的平均分是71 分. .15分 17.(15分)第十五届全国运动会在粤港澳三地举行，某大学有5名教师参与了此次运动 会的火炬传递活动，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去 参加活动 (1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师的样本空间； (2)求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率. 【解答过程】(1)将2位男教师记为a1,a2,3位女教师记为b1,b2,b3, 第14页共17页 则样本空间= {(a1,a2).(a1,b1),(a1,b2).(a1b3).(a2,b1.(a2,b2).(a2,b3).(b1,b2).(b1,b3),(b2,b3)} 共10个样本 点… ….7 分 (2)设事件A表示“选出的2名教师中至多有1名男教师”， 则A={(a1,b1).(a1,b2).(a1,b3),(a2,b1)(a2,b2).(a2,b3),(b1b2),(b1,b3),(b2,b3}, A中包含9个样本点，所以 P4=品 .15分 18.(17分)已知在△ABC中，A+C=5B,AB=V5,BC=4. (1)求sinC: (2)若D为BC边上一点且Cos-CAD=,求△ADC的面积. 【解管过程11)电(44化4B ,得B= 由余弦定理得b= Ψ+(-2×4×V3×cosg=V7, 所以cosC= 42+02-(32 2%>0, 2×4xV7 则C为锐角，且 sinc =V1-cos2C= 25-5=2 28 2V7 14 8 分 (2)由于cosLCAD=与>0，所以LCAD为锐角， 且sinzCAD=V1-cos2∠CAD --9 所以sinzADC=sin(LCAD+C)=sinCADcosC+cos∠CADsinC 9×品+×器-器-器 第15页共17页 在三角形ACD中，由正弦定理得，4C CD sin∠ADC sinLCAD'= 2y7 7 所以Sa0c=×AC×CD×sn=xV7×号×是= 3 2v7 3 D 17分 19.(17分)己知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形，且 AB=2V3,AD=2,PD=2,∠BAD=30°，E为PC中点，F为AB中点. E F B (I)证明：EF/平面PAD: (2)求点B到平面DEF的距离. 【解答过程】(1)证明：取PD中点G,连结AG,EG D D B ,E,G分别是PC,PD的中点， ∴.EG/DC且EG=DC. ,F是AB中点，AB/CD, ∴.EG/AF且EG=AF. 第16页共17页 ∴AFEG为平行四边形. ∴.EF/IAG 又，EFE平面PAD,AGC平面PAD, .EF/平面PAD.… 8 分 (2).E是PC中点，PDI平面ABCD ∴点E到平面ABCD的距离为d'=PD=1. 'AD=2,BAD=30,AF=AB=3. .DF=√AD2+AF2-2AD·AFcos∠BAD= 2+V3-2×2×V3x9=1, 且DF2+AF2=AD2=4,即∠DFA=90°. SaDe=吉BF:DF=9 ,AFEG为平行四边形， ..EF=AG=VAD2 +DG2=V5. DE=PC=PD2 +CD2=2, .DF2+DE2=EF2=5,即∠EDF=90°. 六SADEF=DE·DF=1. VB-DEF VE-BDF' SADEFd=SARDF·d ∴.点B到平面DEF的距离 d- 2■ 17分 第17页共17页