精品解析：黑龙江大庆实验中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

大庆实验中学2025级高一下学期期末考试 数学学科试题 说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内． 2．满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求． 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据2，8，14，16，20，24的中位数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 4. 在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）.某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“型”几何体（正方形与正方形在同一平面内，，，，四点在一条直线上），，，，，则图二所示的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，，且，向量与所成的角为，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得6分，部分选对得2分或3分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知随机事件与相互独立.若，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知正三棱锥的棱长均为6，点为点在底面上的射影，，分别为线段，的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（ ） A. B. 平面截三棱锥所得截面的面积为 C. 三棱锥的内切球的表面积为 D. 点的轨迹长度为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知样本的方差是2，样本的方差是______． 13. 已知在中，是线段上一点满足，连接，在线段上，若，则________． 14. 在正四棱柱中，底面边长为3，侧棱长为，为平面内一动点，且满足，则所有满足条件的点所围成平面区域的面积是__________． 四、解答题：本大题共5小题，其中15题满分13分，16、17题满分15分，18、19题满分17，共77分．把答案填在答题卡的相应位置． 15. 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量单位：kg），并绘制频率分布直方图如图7所示. （1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表； （2）一次进货太多，水果会变得不新鲜;进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求即在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求请问每天应该进多少千克苹果? 16. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若的周长为，且，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 19. 如图，在矩形 中，，， 是线段 上的一动点，将沿着折起，使点 到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影 落在线段 上． （1）当点 与点 重合时，证明：平面； （2）当点 与点 重合时，求二面角的余弦值； （3）设直线与平面所成的角为 ，二面角的平面角为 ，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2025级高一下学期期末考试 数学学科试题 说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内． 2．满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求． 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为1. 2. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图：    由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图：    易知，，， 所以原梯形面积为. 3. 样本数据2，8，14，16，20，24的中位数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解. 【详解】样本数据从小到大排列，中间两个数是， 所以中位数是. 4. 在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设正方体棱长并建立空间直角坐标系，写出各点坐标得到两条直线的方向向量，通过向量点积公式求出向量夹角余弦，再取其绝对值得到异面直线夹角的余弦值． 【详解】 设正方体棱长为， 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， ，，，， ，， 所以， 所以与夹角的余弦值为． 5. 已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为是单位向量，所以， 由，得，所以， 所以在上的投影向量为. 6. 不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，利用列举法可得，结合古典概型运算求解即可. 【详解】因为样本空间， ， 可得， 设“记录号码为4”为事件A， 由题意可知：，可得， 所以. 故选：B. 7. 现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）.某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“型”几何体（正方形与正方形在同一平面内，，，，四点在一条直线上），，，，，则图二所示的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，分别求出两个棱柱体积即可. 【详解】由正方形可知， ， ， ，平面， 平面，则三棱柱为直三棱柱 ， ，同理可知 为边长为2的等边三角形， ， . 8. 已知平面向量，，，且，向量与所成的角为，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质，求出；再利用向量三角不等式，即，结合向量的模长公式，求出最小值即可. 【详解】由题意得，，由，得， 即，化简得. 令，其图象开口向上，要使恒成立， 则，解得， 又， ，所以的最小值为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得6分，部分选对得2分或3分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】借助平面向量的模长计算公式、平行与垂直的坐标运算公式逐一选项判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：因为，所以，得，故B正确； 对于C：因为，所以，得，故C正确； 对于D：因为，即，得，故D错误. 10. 已知随机事件与相互独立.若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率计算公式可判断ABC，根据和事件概率计算公式计算可判断D. 【详解】对于A，因为随机事件与相互独立， 所以，故，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，已知正三棱锥的棱长均为6，点为点在底面上的射影，，分别为线段，的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（ ） A. B. 平面截三棱锥所得截面的面积为 C. 三棱锥的内切球的表面积为 D. 点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出平面截三棱锥所得截面，求其面积，判断A的真假；计算边长判断B，利用体积法求三棱锥的内切球半径，再求其表面积，判断C的真假；求点的轨迹，求其轨迹的长度，判断D的真假； 【详解】点为点在底面上的射影，则平面，O为正三角形的中心， 因为，，所以，A正确； 因为平面平面PBC，且平面平面， 过作 交于，则平面， 同理过作，分别交，于点，过作交于， 连接，则为平面截三棱锥所得的截面． 由题意，得 ，且，所以， 所以，故B正确； 设三棱锥的内切球的半径为， 由等积法得，解得， 故其表面积为，故C错误； 过作平面的垂线，垂足为，连接，则为的重心， 且，所以 ， 所以点Q的轨迹是以K为圆心，以2为半径的圆在内的部分（三段弧）， 因为每段弧的圆心角均为，故点的轨迹长为，故D正确； 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知样本的方差是2，样本的方差是______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据题意设原样本的平均数为，分析可得新样本的平均数，然后利用方差公式求解. 【详解】设原样本的平均数为， 所以， 因为其方差为2， 即， 则， 则样本的方差是： ， . 故答案为：18 【点睛】本题主要考查样本估计总体中的平均数和方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13. 已知在中，是线段上一点满足，连接，在线段上，若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】 由题意得，故，又三点共线， 所以. 14. 在正四棱柱中，底面边长为3，侧棱长为，为平面内一动点，且满足，则所有满足条件的点所围成平面区域的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】判断出点的轨迹，结合球的有关性质计算，求得面积即可. 【详解】已知，所以，进而点在以为直径的球面上. 因为在平面内，因此满足条件的点围成的区域是该球面被平面截得的圆形区域， 面积即为截面圆的面积. 正四棱柱底面是边长为的正方形，因此底面对角线​， 球的半径，球心为的中点. 在正四棱柱中，，因此四点共面，即平面， 故到平面的距离. 因为平面，且平面，故平面平面，交线为. 在中，， 到的距离就是到平面的距离. 是中点，直线上中点到平面的距离为两端点距离的平均值，. 所以，因此区域面积为. 四、解答题：本大题共5小题，其中15题满分13分，16、17题满分15分，18、19题满分17，共77分．把答案填在答题卡的相应位置． 15. 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量单位：kg），并绘制频率分布直方图如图7所示. （1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表； （2）一次进货太多，水果会变得不新鲜;进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求即在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求请问每天应该进多少千克苹果? 【答案】（1）众数为，平均数为. （2）每天应该进千克苹果． 【解析】 【小问1详解】 由图可知，区间的频率最大，所以众数为； . 该水果店苹果日销售量的众数为85，平均数89.75. 【小问2详解】 日销售量在区间的频率为，日销售量在区间的频率为，故所求的量位于内. 由，得. 每天应该进千克苹果． 16. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若的周长为，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. 【小问2详解】 因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 17. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取中点，连接，已知为等边三角形，边长为4， 则，且，， 已知，，则四边形是矩形，，， ， ， 平面， 平面， 又平面， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据四棱锥的几何性质，利用线面垂直判断定理证明线面垂直，进而推出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量及向量，设直线与平面所成角为，利用向量夹角余弦公式计算求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 故底面，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴， 垂直于平面的方向为轴，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因， 则，令，则， 又， 设直线与平面所成角为， 则． 18. 在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式进行化简，然后结合余弦定理求解. （2）利用已知条件和余弦定理求得，然后根据列出关于的方程求解. （3）根据，然后两边平方，用来表示，然后根据的范围求解的范围. 【小问1详解】 ，， ，. . 又，. 【小问2详解】 周长为19，，①. 中，由余弦定理，即②. 联立①②可得. 设，为的角平分线， 则，即，解得. 【小问3详解】 是边上靠近的一个三等分点，. 两边平方可得. 又，. 由正弦定理可得， . ，. ， 19. 如图，在矩形 中，，， 是线段 上的一动点，将沿着折起，使点 到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影 落在线段 上． （1）当点 与点 重合时，证明：平面； （2）当点 与点 重合时，求二面角的余弦值； （3）设直线与平面所成的角为 ，二面角的平面角为 ，求的最大值． 【答案】（1） 证明：当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知平面 ，平面 ，所以， 又 ，，平面，平面， 所以平面，又平面，可知 ，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明和，证明平面； (2) 作于点，连接，证明为二面角的平面角，分别求出，借助于即可求得该角的余弦值； （3）由几何法找到 和，表示出，利用函数方法可求最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于点，连接，因平面，平面，则， 又平面，则平面，又平面，则， 故为二面角的平面角. 在中，，，则，则，， 在中，易得，则， 在中，， 即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 作交于 ，所以直线 与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 作于点，连接，因平面，平面，则， 又平面，则平面，又平面，所以平面平面， 作，垂足为，平面平面，平面，可得 平面， 连接，是直线 与平面所成的角，即， 因为，满足， 设，，， 因为在中，斜边大于直角边，即，即，解得， 又，在中，由等面积得， 因， 又因，，所以是二面角平面角，即， 则， 所以，当且仅当时“＝”成立， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $