精品解析：安徽亳州市第四中学2025—2026学年度下学期期中阶段性检测数学

亳州四中2025—2026学年度下学期期中阶段性检测数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在半导体产业飞速发展的当下，国产高端芯片的制程工艺不断突破．某款自研芯片的晶体管栅极绝缘层厚度仅为0.000000042米．其中数据0.000000042用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 缩小6倍 D. 不变 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若 ，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ） A. 六折 B. 七折 C. 八折 D. 九折 10. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分式有意义的条件是______． 12. 比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 13. 若，且，，则的值为______． 14. 已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解． （1）a的最小值为_____； （2）若关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 16. 先约分，再求值：，其中，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知和是某个正数的两个不相等的平方根，的立方根为．求的算术平方根． 18. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：________； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为米，宽为米的长方形． （1）求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） （2）当，时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 20. 定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求的值． （2）若，，，求的值． 六、（本题满分12分） 21. 对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，再结合课堂所学就可以对多项式彻底因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． （1）求式子中m、n的值； （2）用“试根法”分解多项式． 七、（本题满分12分） 22. 在实验中学春季阅读月“书香校园”活动中，初一学部计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，购买书柜的预算为4400元．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜1个，共需资金360元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜5个，共需资金1480元． （1）求甲、乙两种书柜的单价分别是多少元； （2）若购买的甲种书柜不超过10个，在购买预算全部用完的情况下，购买乙种书柜至少有多少个？ （3）若初一学部计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，在不超出购买预算的情况下，请问有几种购买方案供学部选择？并说明哪种方案花费最少． 八、（本题满分14分） 23. 在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来） （2）【解决问题】 ①若，，则______； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值； （3）【拓展提升】 ①若t满足，求的值； ②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 亳州四中2025—2026学年度下学期期中阶段性检测数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的定义；根据分式定义判断选项即可． 【详解】解： ∵符合分式定义，是分式， ∴A符合题意， ∵属于整式，不符合分式定义， ∴B不符合题意， ∵是常数，分母不含有字母，不符合分式定义 ∴C不符合题意， ∵属于整式，不符合分式定义， ∴D不符合题意． 故选：A． 2. 在半导体产业飞速发展的当下，国产高端芯片的制程工艺不断突破．某款自研芯片的晶体管栅极绝缘层厚度仅为0.000000042米．其中数据0.000000042用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查小于1的正数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到答案. 【详解】解： . 3. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ∴，A选项正确，不符合题意； 由可得，，即，B选项正确，不符合题意； 由可得，C选项正确，不符合题意； 由可得，则，化简得，即，D选项错误，符合题意． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，逐一计算各选项即可得到正确结果． 【详解】解：选项A：， A错误； 选项B：， B错误； 选项C：， ， C正确； 选项D：， D错误． 5. 如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 缩小6倍 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据题意可得，再整理可得答案. 【详解】解：将分式中x，y都扩大3倍，得， 所以分式的值扩大3倍. 故选：A. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并将不等式组解集在数轴上表示出来，先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律（同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解）找出不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组解集为：， 在数轴上的表示为：， 故选：D． 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的概念与计算，对各选项逐一验证即可得到正确答案． 【详解】A．，错误，不符合题意； B． 不是整式乘积的形式，不符合因式分解定义，错误，不符合题意； C．是分式，不是整式，结果不符合要求，错误，不符合题意； D．，符合因式分解要求，符合题意． 8. 若 ，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，利用平方差公式可得，进而可得，再根据完全平方公式的变形运算即可求解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 9. 某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ） A. 六折 B. 七折 C. 八折 D. 九折 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利润率不低于，即利润要大于或等于元，设打折，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求出的范围，即可得解． 【详解】解：设至多打折， 则， 解得， 因为要求折扣力度最大， 所以售价应最低，应取最小值，故至多可打七折， 故选：B． 10. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到的值； ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将整理为，把代入，求出原式的值0，然后根据“和谐数”的定义即可判断． 【详解】解：① 观察“和谐数”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为， 即； ． 故①正确； ②根据①找出的规律知： ， 是8的倍数． 故②正确； ③ 若，则原式， 而0不是正整数，故不可能是“和谐数”． 故③错误. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分式有意义的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义时，分母不为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：分式有意义 解得 故答案为． 12. 比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法比较两个数的大小，通过平方比较无理数的大小，进而得到答案． 【详解】解：计算两个数的差得， ，且， ， 则，即， ． 13. 若，且，，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】两式作差后，利用因式分解进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 14. 已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解． （1）a的最小值为_____； （2）若关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先解不等式组得到，再由不等式组有3个偶数解得到，即可得出结果； （2）解一元一次方程得到，利用一元一次方程的解为非负整数和得到，， ，从而得到结果． 【详解】解：（1） 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个偶数解， ∴这3个偶数解为，0，2， ∴， 解得． 故a的最小值为； （2）解方程， 得， ∵方程的解为非负整数， ∴， 解得，且a为偶数， 由（1）， ∴a的范围为，且a为偶数， ∴，， ， 则所有满足条件的整数a的值之和为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， x系数化成1，得． 16. 先约分，再求值：，其中，． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化解求值，先用完全平方公式展开，然后约分，最后代入数值计算即可． 【详解】解：， 当，时， 原式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知和是某个正数的两个不相等的平方根，的立方根为．求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为4 【解析】 【分析】利用平方根以及立方根的定义求解． 【详解】解：由题意得， 所以， 解得， 因为的立方根为， 所以， 解得， 所以， 所以的算术平方根为4． 18. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：________； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2） 解：第个等式为； 证明： 左边， 右边， ∴左边右边， ∴等式成立． 【解析】 【分析】（1）仿照题意的规律写出第6个等式即可； （2）根据题目中等式的特点，写出猜想，再将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【小问1详解】 解：由题意得， 第5个等式：， 第6个等式：； 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为米，宽为米的长方形． （1）求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） （2）当，时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 【答案】（1）平方米 （2）平方米，平方米 【解析】 【分析】此题主要考查整式的乘法运算，解题的关键是根据题意列式求解． （1）根据矩形的面积公式即可列式求解； （2）根据厨房的用地面积，利用整式的乘法化简，代入a，b即可求解． 【小问1详解】 解： 平方米， 答：这块长方形土地的总面积是平方米． 【小问2详解】 解： 平方米， 当，时，原式平方米， 答：厨房的用地面积为平方米． 20. 定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求的值． （2）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：当，，时， ． 六、（本题满分12分） 21. 对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，再结合课堂所学就可以对多项式彻底因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． （1）求式子中m、n的值； （2）用“试根法”分解多项式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用． （1）根据，得出有关m，n的方程组求出即可； （2）由把代入，得其值为0，则多项式可分解为的形式，先根据（1）的方法求出a，b的值，进而将多项式分解得出答案． 【小问1详解】 解：在等式中， 分别令，，得 ， 解得； 【小问2详解】 解：把代入，得其值为0， 则多项式可分解为的形式， 分别令，，得 ， 解得， 所以． 七、（本题满分12分） 22. 在实验中学春季阅读月“书香校园”活动中，初一学部计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，购买书柜的预算为4400元．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜1个，共需资金360元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜5个，共需资金1480元． （1）求甲、乙两种书柜的单价分别是多少元； （2）若购买的甲种书柜不超过10个，在购买预算全部用完的情况下，购买乙种书柜至少有多少个？ （3）若初一学部计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，在不超出购买预算的情况下，请问有几种购买方案供学部选择？并说明哪种方案花费最少． 【答案】（1）甲种书柜单价为160元，乙种书柜单价为200元 （2）购买乙种书柜至少有14个 （3）共有3种购买方案，购买甲种书柜12个，乙种书柜12个时花费最少 【解析】 【分析】(1) 根据两种购买情况列二元一次方程组求解单价． (2) 根据预算全部用完列方程，结合甲种书柜不超过10个且个数为非负整数，求乙种书柜的最小值． (3) 根据总数24个、乙不少于甲、不超出预算列不等式组确定甲种书柜的取值范围，再计算各方案花费进行比较． 【小问1详解】 解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜单价为元， 由题意得：， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 去括号，得：， 合并，得：， 解得：， 将代入，得：， 答：甲种书柜单价为160元，乙种书柜单价为200元． 【小问2详解】 设购买甲种书柜m个，购买乙种书柜个，m，n均为非负整数， 由题意得：， 化简，得：， 变形，得：， ， 要使最小，需取最大值， 将代入，得：， 答：购买乙种书柜至少有14个． 【小问3详解】 解：设购买甲种书柜a个，则购买乙种书柜个，为非负整数， 由题意得：， 解第一个不等式，得：， 解第二个不等式，得：， ， 不等式组的解集为， 为整数， 的取值为10，11，12，对应共有种购买方案， 当时，，花费为元， 当时，，花费为元， 当时，，花费为元， ∵ ， ∴ 当时花费最少， 答：共有种购买方案，购买甲种书柜12个、乙种书柜12个时花费最少． 八、（本题满分14分） 23. 在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来） （2）【解决问题】 ①若，，则______； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值； （3）【拓展提升】 ①若t满足，求的值； ②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1），； （2）①；②； （3）①5；②阴影部分的面积为128． 【解析】 【分析】（1）结合图形直接写出答案即可； （2）①利用完全平方公式计算即可；②利用完全平方公式计算即可； （3）①设，，则，，再利用完全平方公式计算即可；②设，，求得，，利用完全平方公式求得，再利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：①观察图3，大正方形的面积可表示为，小正方形的面积可表示为； ②与之间的关系：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①设，，则，， ∵， ∴； ②设，， 由题意得，，， ∵正方形， ∴， ∵，即， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为128． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $