7函数对称性补充、常见的图象变换讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数对称性与图象变换核心考点，系统梳理原函数与导函数的对称关系、图象平移伸缩翻折等变换规律，通过性质证明、变换原理推导、典例解析及分层训练，帮助学生构建知识网络，突破高考高频难点。 讲义采用“原理探究+规律应用”教学模式，如用“相关点代入法”推导平移法则培养数学思维，通过函数与导函数对称性辨析提升逻辑推理能力。设置选择、填空、解答分层训练题，配合真题演练，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

7函数对称性补充、常见的图象变换 一、原函数与导函数的对称性问题 性质1: 已知函数 及其导函数 的定义域为 若 关于直线 对称，则 关于点 对称。 (2)若 关于点 对称，则 关于直线 对称。 证明(1): 若 关于直线 对称，则 ，求导得： 所以： 关于点 对称。 (2)证明：若 关于点 对称，则 ，求导数： 所以 关于直线 对称。 在性质1中，已知函数 及其导函数 的定义域为 ：当 时，有如下结论： ① 若 关于直线 对称(若 为偶函数)，则 关于原点 (即 是奇函数)：证明如下： 为偶函数 ，即导函数 是奇函数，反之： 是奇函数则 为偶函数。 为奇函数 ，即导函数 是偶函数反之： 是偶函数则 为不一定为奇函数。如： ，则 性质2: 已知函数 及其导函数 的定义域为 (1)若 关于直线 对称，则 关于点 对称。且 为定义域内任意一点！ 证明: 关于直线 对称，则 ，当 ，可得： ，即 ，即 关于点 对称。 (2)若函数 连续且可导，且导函数 图象关于点 对称，则函数 图象关于直线 对称。 证明: 于是得 ( 为常数)，令 ，则 ，故 则函数 图象关于直线 对称。注意：若 关于点 对称，则函数 不一定关于直线 对称，证明如下：若 关于点 对称，则 ，得 ( 为常数)， 当 不一定为0，即并非可得 ，即 不一定关于 对称。 如：函数 ，导函数 关于点 对称，但 并不关于 对称。 性质3: 的导函数 定义域为 ，若 是周期为 的函数，则其导函数 也是周期为 的函数。 证明: 若函数 是周期为 的函数，则 ，求导得 ，即导函数 也是周期为 的函数。注：若导函数 是周期为 的函数，则 得 ，故函数 不一定是周期为 的函数。 例如：函数 ，导函数 是周期函数，而 不是周期函数。 二、常见的图象变换 1.常见的函数图象变换 ① 函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位得到的。 ② 函数 (的图象是把函数 的图象沿 轴向右平移 个单位得到的。 ③ 函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向上平移 个单位得到的； ④ 函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向下平移 个单位得到的； ⑤ 函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的。 ⑥ 函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 倍得到的。 ⑦ 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 轴的对称图形，然后擦去 轴下方的图象得到； ⑧ 的图象先保留 在 轴右方的图象，擦去 轴左方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到。 注意：第一点：函数左右平移仅仅是相对 而言的，即发生变化的只是 本身，利用"左加右减"进行操作。如果 的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换；第二点：上下平移仅仅是相对 而言的，即发生变化的只是 本身，利用"上加下减"进行操作。下面给出证明： 假设原函数为 ，向右平移 个单位得到函数 ，已知 ，如何求 ？曲线的平移本质是一系列点的平移，这里采用"相关点代入"的方法求函数表达式：对函数 中的任一点 ，向右平移 个单位得到点 在 的图像上。平移前后点之间的关系为： 代入 中，即 ，又因 在 上， 即 ；因此函数 向右平移 个单位得到函数 ，同理可得函数 向左平移 个单位得到函数 ，即做题中经常用到的结论：左加右减。原函数为 向上平移 个单位得到函数 ，已知 ，如何求 依然采用"相关点代入"的方法求函数表达式：对函数 中的任一点 ，向上平移 个单位得到点 在 的图像上。平移前后点之间的关系为： 点 在曲线 上，点 在曲线 上，代入 中得： ，即 ，因此函数 向上平移 个单位得到函数 ，同理可得函数 向下平移 个单位得到函数 ，即做题中经常用到的结论：上加下减。 代入 中得： ，即 ，因此函数 向上平移 个单位得到函数 ，同理可得函数 向下平移 个单位得到函数 ，即做题中经常用到的结论：上加下减。 ⑨ 数学语言传递两个函数满足对称关系 关于 对称 关于 对称 关于 对称 关于 对称 与 两函数互为反函数 例1: 函数 ，若函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，试求 解析1: 设 为 上任一点，则关于直线 对称的点为 在 图像上，则 即 ， ，由于 在 图像上，故满足 故 ；解析2: 由题意得： 例2: 将函数 的图象按向量 平移后所得图象的解析式是 解析: 任 上的一点 ，因为图象按向量 平移，所以可得新点 为 或者由向量得坐标表示： 进一步可得： 将 代入到 中，得 ，故答案为： 例3: 把函数 的图象按向量 平移，得到 的图象，则 为( ) 解析： 2.对数型函数图象变换与复合 对函数函数：形如： 的函数称之为对数型函数。对数函数 经过平移变换和伸缩变换后可以得到对数型函数。寻找对数型函数的渐近线为与定点. 对数函数的变换： (1)函数 由对数函数 经过平移变换得到。 例如 由对数函数 向右平移1个单位可以得到。 (2)函数 由对数函数 经过翻折变换得到。 例如 由对数函数 将 轴下方图象沿 轴翻折得到。 ① 先画出函数 图象（左加右减，函数向右平移1个单位），过程如上。 ② 将 在 轴负半轴上的图象沿 轴对称翻折可得 图象。 对数函数有如下几个复合结构：（优先考虑对数复合函数的定义域） (1)二次函数复合： ；对称性： 是对称轴图形，对称轴 (2)一次函数复合： ；对称性： 关于 呈中心对称， 是分式分子分母根之和。 其中： 均为奇函数 (3)对号函数复合： 函数不具备对称性 例4 若 则 解析： ，故答案为 1013. 巩固训练 一、单选题 1．已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 则再将的图象向右平移1个单位长度后所得图象为函数的图象， 由题可知函数图象恰好与函数的图象重合， 所以，即， 又且，所以. 2．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 【答案】A 【详解】把函数的图象的所有的点保持不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，向左平移1个单位长度得到函数的图象. 3．为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 【答案】A 【详解】因为， 所以要得到的图象，只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 4．已知函数 ，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若的图象与的图象关于 轴对称，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简，再根据图像的平移求出，最后再根据的图象与的图象关于 轴对称列式求解. 【详解】由题意得， 所以， 因为的图象与的图象关于 轴对称， 所以，即， 所以或（不合题意）， 解得：，又因为，所以的最小值为. 故选：B 5．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数奇偶性与图象变换，可得函数的对称性，根据题意可得函数的单调性，化简不等式，结合一元二次不等式的解法，可得答案. 【详解】依题意，因为为奇函数，所以函数的图像关于对称， 又当时，，易知函数在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 又，可知在上单调递增， 所以可化为， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C． 6．函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数与函数的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.根据是方程的解得，再由对称性可知是方程的解，即可求解. 【详解】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 7．已知函数，将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得到函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平移规律求，再分别求函数在区间和的单调性和值域，根据条件，以及，结合函数的图象，即可求解. 【详解】由函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得到函数， 所以，则， 当时，，单调递增且， 当时，， 单调递增且， 作函数的图象： 又，，当，即时，成立，符合题意； 当时，需满足，解得或. 所以实数的取值范围是. 故选：C. 8．函数图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数项化简函数解析式，根据函数图像变换，结合奇函数的对称性，可得答案. 【详解】， 易知函数的图像可由函数向左平移个单位，再向下平移个单位得到， 由奇函数的图像关于成中心对称，则函数的图像关于成中心对称. 故选：D. 9．为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【分析】利用函数的图象平移和伸缩变换，可得结论. 【详解】把的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为， 再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为. 故选：A. 10．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出与关于轴对称的函数，再将所得函数的图象向左平移一个单位，即可求解. 【详解】设与关于轴对称的函数为，且为函数的图象上任一点， 则关于轴的对称点为，所以点在的图象上， 则，又的图象向左平移一个单位得到，所以， 故选：B. 11．已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 【答案】B 【分析】先根据奇函数的对称性求得函数的单调区间，再结合函数图象平移求解即可. 【详解】因为为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，的图象是一条连续的曲线， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为的图象是由的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 12．已知，函数的最大值为0，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】结合函数图像分析，从而得到当与相切时，取得最小值，进而构造函数，求导，分析函数的单调性，从而求出最值，进而得到的最小值． 【详解】依题意可得函数的定义域为， 由函数的最大值为0， 即在上恒成立， 即的图象在的下方， 结合图象可得，当函数的图象过原点，且与相切时，取得最小值， 根据对称性，不妨只考虑的情况， 即当与相切时，取得最小值， 即在上恒成立， 令，即时，取得最小值， 则，令，则， 又时，，即在上单调递增； 时，，即在上单调递减， 所以，解得． 故选：A 13．把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值. 【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度， 得到函数表达式为， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍， 得到图象的函数表达式为， 因为图象与重合，所以， 即，解得，. 14．将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得， 将向右平移1个单位长度，所得图象恰好与的图象重合，可得， 选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误. 15．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简，根据图象变换求出的解析式，进而根据即可代入化简得求解. 【详解】因为 ， 所以， 因为与关于y轴对称，则，， ，得，， 所以的最小值为. 故选：C. 16．已知函数（且），若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象与的图象重合，则实数（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据函数图象的变换规则，得到变换后的函数表达式，再结合图象重合的条件建立等式求解. 【详解】由题意可得， 再将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象与的图象重合， 则， 即， 所以， 又因为， 所以. 故选：C. 二、多选题 17．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数，与函数的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得． 【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数， 对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意； 对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在 原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意； 对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到， 又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意； 对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意. 18．为得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．向上平移一个单位长度 B．向下平移一个单位长度 C．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍 D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍 【答案】AD 【分析】根据函数图象变换可得结果. 【详解】由题意可得，函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可得到函数的图象，故选项C错误，选项D正确. ∵， ∴将函数的图象向上平移一个单位长度可得到函数的图象，故选项A正确，选项B错误. 故选：AD. 19．函数，向右平移3个单位得到，下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．当有两解时， C．若，，则 D．若，那么，且有且仅有一解 【答案】BCD 【分析】由求得，解不等式可得单调区间得极值点，即可判断A；有两解相当于的图象与有两个不同交点，由A作出的图象，即可判断B；根据由向右平移3个单位得到，结合的单调情况得在上的单调性，由此比较大小即可判断C；将函数解析式代入，解方程即可判断D. 【详解】对于A，，由得，由得； ∴在上单调递减；在上单调递增.故在处取极小值，则的极小值点为.故A不正确； 对于B，由A知可知单调性，极小值为，又， 故时，，当时，，； 时，.时，，据此可作图象如图， 则方程有两解相当于图象与有两个不同交点，则由图可得.故B正确； 对于C，因为由向右平移3个单位得到，所以， 由A知在上单调递减；在上单调递增.故，即.故C正确； 对于D，由，得，而，故，解得.故D正确. 故选：BCD. 20．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 【答案】AC 【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将化为，结合函数图象的变换即可进行判断. 【详解】因为， 即,将函数图象上所有点横坐标变成原来的（纵坐标不变），可得到的图象； 又因为， 所以还可以将函数图象上所有点向上平移1个单位长度，可得到的图象． 故选：AC． 21．下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从变为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数图像的平移变换规律进行判断即可. 【详解】对于A，无法通过平移由得到，故A错误， 对于B，涉及伸缩变换，故B不正确， 对于C，，所以可通过的图象向左平移个单位得到，故C正确； 对于D，， 故可将的图象向上平移1个单位得到的图象，故D正确， 故选：CD． 22．已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，先判断函数与函数的图象有相同的对称中心，再依次判断各个选项即可. 【详解】选项A:函数为定义在R上的奇函数，则有，即，又，所以函数的图象关于点中心对称，无法判断是否关于点对称，所以选项A错误； 方法二：函数为定义在R上的奇函数，则函数的图象关于坐标原点对称.函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，因此函数的图象关于点对称.无法判断是否关于点对称，所以选项A错误； 选项B:函数，因此函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到.因为反比例函数的图象关于坐标原点对称，所以函数的图象关于点对称，所以选项B正确； 选项C、D:函数与函数的图象都关于点对称，且函数的图象不过点，所以它们的所有交点关于点对称，不妨设，则有，， 所以，，所以C选项正确；D选项错误． 故选：BC. 23．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象.则称为“旋转函数”.那么（    ） A．存在旋转函数 B．旋转函数一定是旋转函数 C．若为旋转函数，则 D．若为旋转函数.则 【答案】AC 【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可. 【详解】对A，如满足条件，故A正确； 对B，如倾斜角为的直线是旋转函数，不是旋转函数，故B错误； 对C，若为旋转函数，则根据函数的性质可得， 逆时针旋转后，不存在与轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点. 故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点. 即与至多1个交点. 联立，可得. 当时，最多1个解，满足题意； 当时，的判别式， 对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意，故.故C正确； 对D，同C，与的交点个数小于等于1， 即对任意的，使得方程至多1个解， 故为单调函数，即为非正或非负函数. 又，故，即恒成立. 即图象在上方，故，即. 当与相切时，可设切点， 对求导有，故，解得，此时， 所以.故D错误. 故选；AC 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 三、填空题 24．已知是定义在上的奇函数，且．若当时，，则在区间上的值域为______. 【答案】 【分析】先求出函数在上的解析式，结合奇函数画出的图象，再由得到，进而得到函数在上的图象，即可求得值域． 【详解】由当时，，得当时，， 当时，， 又是奇函数，则函数的图象关于原点对称， 由，得当时，， 即函数的图象右移两个单位，函数值变为原来的2倍， 由此可得函数在上的图象如图所示： 结合图象知，在区间上的值域为. 故答案为： 25．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】分，和，画出和的图象，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】当时，显然恒成立． 当时，可以理解为将的图象向右平移个单位长度后， 得到的的图象始终在的图象的下方（或重合）， 当时，画出和的图象，如下： 需满足，又，解得2； 当时，画出和的图象，如下： 的图象始终在的图象的下方，满足要求， 综上，故的取值范围为． 故答案为： 26．已知函数.若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据得或，问题转化为直线与函数的图象有3交点，结合函数图象可得结果. 【详解】 如图所示，作出函数的图象. 由得，， ∴或， 由图象可得直线与函数的图象有4个交点，故方程有4个不相等的实数根， 要使函数有七个不同的零点，需方程有3个不相等的实数根，即直线与函数的图象有3交点， 结合图象可得，的取值范围是. 故答案为：. 27．已知函数，设关于的不等式对于任意恒成立，则实数的最小值是______． 【答案】/ 【分析】作出的图像，观察图像可知向左平移可使得，代入得到不等式恒成立，利用判别式即可求解. 【详解】的图像如图所示， 因为，故的图像恒不在的下方， 故应将的图像向左平移，故. 如图，平移至两者相切时，此时令, 整理得，所以 化简得 ，又 ，解得， 故两者相切时， 因为恒成立，故 所以实数的最小值是. 故答案为：. 28．定义域为的函数的图像绕原点逆时针旋转后与自身重合，则不动点的个数为________． 【答案】 【分析】先由函数的不动点的定义可知不动点为，分和两种情况讨论，并结合函数的旋转性质可得. 【详解】因为函数的不动点是满足的点，即函数图象与直线的交点称为函数的不动点. 若点在函数的图像上，绕原点逆时针旋转后的点也一定在原图像上，即. ①对原点处的点，逆时针旋转两次后得到点，该点仍在图像上， 由函数定义（一个对应唯一一个）得：，故， 因此一定是函数的不动点（满足）. ②设是函数的非零不动点，即. 将点逆时针旋转得点，故； 再逆时针旋转得点，故. 由函数的定义知，同一个只能对应唯一一个，因此，得，与矛盾， 所以函数不存在非零不动点. 综上所述，函数的不动点只有原点，个数为. 四、解答题 29．已知函数． (1)讨论如何将曲线平移变为曲线； (2)若存在大于0的零点，求的取值范围； (3)设点在曲线的任意一条切线上，证明：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用函数图像的平移变换，再根据的情况分类讨论即可求解； （2）令，得，分和讨论，当时，得，令，即证，利用导数研究单调性，进而求解； （3）不妨设切点为，则切线方程为，即，要证，即证，设，利用导数研究单调性，进而求最小值即可求解. 【详解】（1）当时，的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； 当时，的图像仅向左平移1个单位长度得到； 当时，的图像先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到； 当时，的图像仅向下平移1个单位长度得到； 当时，的图像先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到； （2）令，则，则， 当时，，方程无实数根，无零点． 当时，解得， 设，只需即可， 所以， 由于，故，故恒成立， 所以在单调递减，又， 所以当时，即， 即若存在大于0的零点，则； （3）不妨设切点为，因为，所以切线斜率为， 则切线方程为， 由于是切线上一点，所以， 要证，即证， 即证明． 设，即证， 所以． 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以，即， 即得证． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7函数对称性补充、常见的图象变换 一、原函数与导函数的对称性问题 性质1: 已知函数 及其导函数 的定义域为 若 关于直线 对称，则 关于点 对称。 (2)若 关于点 对称，则 关于直线 对称。 证明(1): 若 关于直线 对称，则 ，求导得： 所以： 关于点 对称。 (2)证明：若 关于点 对称，则 ，求导数： 所以 关于直线 对称。 在性质1中，已知函数 及其导函数 的定义域为 ：当 时，有如下结论： ① 若 关于直线 对称(若 为偶函数)，则 关于原点 (即 是奇函数)：证明如下： 为偶函数 ，即导函数 是奇函数，反之： 是奇函数则 为偶函数。 为奇函数 ，即导函数 是偶函数反之： 是偶函数则 为不一定为奇函数。如： ，则 性质2: 已知函数 及其导函数 的定义域为 (1)若 关于直线 对称，则 关于点 对称。且 为定义域内任意一点！ 证明: 关于直线 对称，则 ，当 ，可得： ，即 ，即 关于点 对称。 (2)若函数 连续且可导，且导函数 图象关于点 对称，则函数 图象关于直线 对称。 证明: 于是得 ( 为常数)，令 ，则 ，故 则函数 图象关于直线 对称。注意：若 关于点 对称，则函数 不一定关于直线 对称，证明如下：若 关于点 对称，则 ，得 ( 为常数)， 当 不一定为0，即并非可得 ，即 不一定关于 对称。 如：函数 ，导函数 关于点 对称，但 并不关于 对称。 性质3: 的导函数 定义域为 ，若 是周期为 的函数，则其导函数 也是周期为 的函数。 证明: 若函数 是周期为 的函数，则 ，求导得 ，即导函数 也是周期为 的函数。注：若导函数 是周期为 的函数，则 得 ，故函数 不一定是周期为 的函数。 例如：函数 ，导函数 是周期函数，而 不是周期函数。 二、常见的图象变换 1.常见的函数图象变换 ① 函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位得到的。 ② 函数 (的图象是把函数 的图象沿 轴向右平移 个单位得到的。 ③ 函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向上平移 个单位得到的； ④ 函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向下平移 个单位得到的； ⑤ 函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的。 ⑥ 函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 倍得到的。 ⑦ 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 轴的对称图形，然后擦去 轴下方的图象得到； ⑧ 的图象先保留 在 轴右方的图象，擦去 轴左方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到。 注意：第一点：函数左右平移仅仅是相对 而言的，即发生变化的只是 本身，利用"左加右减"进行操作。如果 的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换；第二点：上下平移仅仅是相对 而言的，即发生变化的只是 本身，利用"上加下减"进行操作。下面给出证明： 假设原函数为 ，向右平移 个单位得到函数 ，已知 ，如何求 ？曲线的平移本质是一系列点的平移，这里采用"相关点代入"的方法求函数表达式：对函数 中的任一点 ，向右平移 个单位得到点 在 的图像上。平移前后点之间的关系为： 代入 中，即 ，又因 在 上， 即 ；因此函数 向右平移 个单位得到函数 ，同理可得函数 向左平移 个单位得到函数 ，即做题中经常用到的结论：左加右减。原函数为 向上平移 个单位得到函数 ，已知 ，如何求 依然采用"相关点代入"的方法求函数表达式：对函数 中的任一点 ，向上平移 个单位得到点 在 的图像上。平移前后点之间的关系为： 点 在曲线 上，点 在曲线 上，代入 中得： ，即 ，因此函数 向上平移 个单位得到函数 ，同理可得函数 向下平移 个单位得到函数 ，即做题中经常用到的结论：上加下减。 代入 中得： ，即 ，因此函数 向上平移 个单位得到函数 ，同理可得函数 向下平移 个单位得到函数 ，即做题中经常用到的结论：上加下减。 ⑨数学语言传递两个函数满足对称关系 关于 对称 关于 对称 关于 对称 关于 对称 与 两函数互为反函数 例1: 函数 ，若函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，试求 例2: 将函数 的图象按向量 平移后所得图象的解析式是 例3: 把函数 的图象按向量 平移，得到 的图象，则 为( ) 2.对数型函数图象变换与复合 对函数函数：形如： 的函数称之为对数型函数。对数函数 经过平移变换和伸缩变换后可以得到对数型函数。寻找对数型函数的渐近线为与定点. 对数函数的变换： (1)函数 由对数函数 经过平移变换得到。 例如 由对数函数 向右平移1个单位可以得到。 (2)函数 由对数函数 经过翻折变换得到。 例如 由对数函数 将 轴下方图象沿 轴翻折得到。 ① 先画出函数 图象（左加右减，函数向右平移1个单位），过程如上。 ② 将 在 轴负半轴上的图象沿 轴对称翻折可得 图象。 对数函数有如下几个复合结构：（优先考虑对数复合函数的定义域） (1)二次函数复合： ；对称性： 是对称轴图形，对称轴 (2)一次函数复合： ；对称性： 关于 呈中心对称， 是分式分子分母根之和。 其中： 均为奇函数 (3)对号函数复合： 函数不具备对称性 例4 若 则 巩固训练 一、单选题 1．已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 2．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 3．为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 4．已知函数 ，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若的图象与的图象关于 轴对称，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 7．已知函数，将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得到函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．函数图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 10．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 12．已知，函数的最大值为0，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 13．把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 14．将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 16．已知函数（且），若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象与的图象重合，则实数（   ） A． B． C． D．4 二、多选题 17．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 18．为得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．向上平移一个单位长度 B．向下平移一个单位长度 C．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍 D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍 19．函数，向右平移3个单位得到，下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．当有两解时， C．若，，则 D．若，那么，且有且仅有一解 20．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 21．下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从变为的是（   ） A． B． C． D． 22．已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C． D． 23．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象.则称为“旋转函数”.那么（    ） A．存在旋转函数 B．旋转函数一定是旋转函数 C．若为旋转函数，则 D．若为旋转函数.则 三、填空题 24．已知是定义在上的奇函数，且．若当时，，则在区间上的值域为______. 25．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的取值范围为______． 26．已知函数.若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是________. 27．已知函数，设关于的不等式对于任意恒成立，则实数的最小值是______． 28．定义域为的函数的图像绕原点逆时针旋转后与自身重合，则不动点的个数为________． 四、解答题 29．已知函数． (1)讨论如何将曲线平移变为曲线； (2)若存在大于0的零点，求的取值范围； (3)设点在曲线的任意一条切线上，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $