第1讲 函数的图象及周期性、对称性问题讲义-2027届高三数学一轮复习

第1讲 函数的图象及其周期性、对称性问题 函数的图象及其对称性、周期性是函数性质的核心内容，它们直观地刻画了函数图象的几何特征与变化规律，是函数专题中的一个重点，在高考中考查频繁，常见题型涉及判断函数的对称性、周期性，函数图象的变换，以及与其他性质的综合应用等.难度以中档为主. 【知识讲解】 一、函数的图象 若要画出函数的大致图象，可以按照以下步骤进行： 定义域→奇偶性（对称性）→周期性→单调性→特殊点（端点、零点或±∞处的情况） 二、函数的周期性 若对定义域内任一自变量x的值（）： 1.若，则. 2.若，则. 3.若，则. 三、函数的对称性 1.若函数为偶函数函数关于对称. 2.若函数满足，则函数关于对称. 3.若函数为奇函数函数关于对称. 4.若函数满足，则函数关于对称. 小结：同号周期，异号对称. 四、三次函数的对称中心 三次函数的图象都有对称中心，对称中心为.三次函数对称中心的横坐标为的对称轴，即的根. 证明：设的对称中心为，则对任意R，都有 ，即.整理得，故，解得， ，所以三次函数的图象都有对称中心，对称中心为. 【典例分析】 一、利用导数研究函数的图象 例1 画出下列函数的大致图象 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 训练1（人教A版选择性必修第二册P104习题17）作函数的大致图象. 【解析】由题意知，，因此函数在 上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，；当从1的左侧无限趋近于1时， ；当从1的右侧无限趋近于1时，；当时，； 当时，.因此，函数的大致图象如右图所示. 二、函数的轴对称问题 例2（2017·全国Ⅰ卷改编）判断函数的图象是否为轴对称图形，若是请写出对称轴，若不是请说明理由. 【解析】由题知，函数的定义域为，定义域关于对称，若函数存在对称轴，则对称轴必为.且，所以函数的图象为轴对称图形，对称轴为. 训练2（2023·全国乙卷节选）已知函数，是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，请说明理由. 【分析】由于对称函数的定义域必定也对称，不妨先求定义域，从定义域出发寻找对称轴.本题中，函数的定义域为，关于对称，则函数对称轴若存在，只能为. 【答案】， 【解析】令，函数的定义域满足，即函数的定义域为，所以定义域关于直线对称，由题意可得.由对称性可知 ，即，解得.经检验，满足题意（过程省略），即存在，满足题意. 三、函数的中心对称问题 例3（2024·全国Ⅰ卷节选）已知函数，证明：曲线是中心对称图形. 【解析】由题知，函数的定义域为，定义域关于对称.因为 ，所以曲线关于点对称. 训练3（多选）下列说法中，正确的是（     ） A.函数的图象关于点中心对称 B.函数满足为奇函数，则函数关于点中心对称 C.若函数过定点，则函数过定点 D.函数的图象关于点中心对称，则 【答案】ABC 【解析】对A，，其图象可以由的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且的图象关于原点对称，故的图象关于点中心对称，正确. 对B，因为为奇函数，所以，所以，所以，故函数关于点中心对称，正确. 对C，函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数 的图象，由于过定点，故函数过定点，正确. 对D，函数的图象关于点中心对称，所以，，故，错误. 四、三次函数的图象及性质 例4（人教A版选择性必修第二册P99习题13）利用信息技术工具，根据给定的，，，的值，可以画出函数（）的图象，当，，，时，的图象如图所示.改变，，，的值，观察图象的形状： （1）你能归纳函数图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？ （2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间. 【解析】（1）函数的图象大致是一个“双峰”图象.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间. （2）因为，所以. ①当，且时，设方程的两个根分别为，，设.则函数的单调性满足下表： + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ②当，且时，，函数单调递增. ③当，且时，设方程的两个根分别为，，设.则函数的单调性满足下表： - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ④当，且时，，函数单调递减. 训练4-1（2022·全国Ⅰ卷 多选）已知函数，则（     ） A.有两个极值点 B.有三个零点 C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】由三次函数性质易知，A对B错.令，函数的定义域为R，且满足 ，所以函数为奇函数，则函数的对称中心是，故函数的对称中心为，故C正确.令，得，且 ，所以当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为 ，故D错误. 训练4-2（2024·全国Ⅰ卷 多选）设函数，则（     ） A.是的极小值点 B.当时， C.当时， D.当时， 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的定义域为R，且，易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，正确. 对B，当时，，所以，且函数在上单调递增，所以，错误. 对C，当时，，且函数在上单调递减，所以，即，正确. 对D，当时，，所以，正确. 五、函数的周期性 例5 若函数关于对称，且关于对称，求函数的最小正周期. 【解析】由题易知，①，②，由②式得 ③，由①③知④，进而 ⑤，由④⑤得，所以函数的最小正周期为. 训练5（2022·全国乙卷）已知函数，的定义域均为R，且， .若的图象关于直线对称，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为的图象关于直线对称，所以.因为 ，所以，且，故，函数为偶函数.又因为，所以，代入得 ，即，且，故，所以函数是以4为周期的周期函数.因为，，所以.又因为 ，所以，且，故.又因为 ，.所以. 【巩固提升】 1.（2021·全国Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为为偶函数，则，即①.又因为 为奇函数，则，即②.由①②两式得， ，且，故，即，所以函数是以4为周期的周期函数.又因为函数为奇函数，所以，故令①式中，则. 2.（2022·全国Ⅰ卷 多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，则（     ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】因为为偶函数，所以①，令，则，故C正确.同理，，即②，对①式两边求导，即，令，得，且，故③ 由②③知，，即，又因为，所以 ，函数是以2为周期的周期函数，则，B正确.由周期性及③式知，，D错误.设，由题意知，满足题意，则，A错误. 3.（2021·全国乙卷）设，若为函数的极大值点，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当时，为单调函数，无极值点，故.因为 ，所以有两根.不妨设，，因为为函数的极大值点，所以有或即，故，所以，即. 4.（2024·全国Ⅱ卷 多选）设函数，则（     ） A.当时，有三个零点 B.当时，是的极大值点 C.存在，，使得为曲线的对称轴 D.存在，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】对A，，由于，故函数在和上单调递增，在 上单调递减.因为，，根据零点存在性定理函数在上有唯一零点.同理，，，所以在和上各有一个零点，于是当时，有三个零点，正确. 对B，，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，错误. 对C，假设存在，，使得为曲线的对称轴，则存在，有，即，由二项式定理知，展开式含的项为，等式左右两边的系数不相等，原等式不成立，错误. 对D，法一：，假设存在，使得点为曲线的对称中心，则 ，且 ，即，解得，即存在使得点为曲线 的对称中心，正确. 法二：任意三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是其导数的对称轴.且， 则，所以该三次函数的对称中心为.且为曲线的对称中心，所以，即存在使得点为曲线的对称中心，正确. 5.（2024·全国甲卷）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______________. 【答案】 【解析】令，即.令，则 ，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，，函数的大致图象如图所示.因此，当时，与有两个交点，即曲线与在上有两个不同的交点. 6.（2018·江苏卷）若函数（R）在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为______________. 【答案】 【解析】由题知，在内有且只有一个根，于是.令 ，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，当时，，当时，.所以，当时，直线 与函数的图象有一个交点，即函数（R）在内有且只有一个零点.于是，，则.所以，函数在上单调递增，在 上单调递减，即，且，，则，则在上的最大值与最小值的和为. 7.（2020·全国Ⅲ卷）设函数，曲线在点处的切线与轴垂直. （1）求； （2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1. 【解析】（1）； （2）由（1）知，，，函数的单调性满足下表 + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 ①当时，，只有1个零点，且大于1. ②当时，，零点为1和，满足题意. ③当时，，，，，由零点存在性定理知有三个零点、、，设，则，， ，满足题意. ④当时，，零点为－1和，满足题意. ⑤当时，，只有1个零点，且小于－1. 综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则所有零点的绝对值都不大于1. 8.（2016·天津卷）设函数，R，其中，R. （1）求的单调区间； （2）若存在极值点，且，其中，求证：； （3）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于. 【解析】（1）①当时，在R上单调递增； ②当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， . （2）因为存在极值点，由（1）知，且.由题知，，即 ，所以，又因为 ，且，由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以. （3）设在区间上的最大值为，用表示两个数，中的最大值. ①当时，. 由（1）知，在上单调递减，所以 ，所以. ②当时，. 由（1）和（2）知，，. 故在上的取值范围为，得， 即 . ③当时，. 由（1）和（2）知，，. 故在上的取值范围为，得 . 综上，当，函数在区间上的最大值不小于. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 函数的图象及其周期性、对称性问题 函数的图象及其对称性、周期性是函数性质的核心内容，它们直观地刻画了函数图象的几何特征与变化规律，是函数专题中的一个重点，在高考中考查频繁，常见题型涉及判断函数的对称性、周期性，函数图象的变换，以及与其他性质的综合应用等.难度以中档为主. 【知识讲解】 一、函数的图象 若要画出函数的大致图象，可以按照以下步骤进行： 定义域→奇偶性（对称性）→周期性→单调性→特殊点（端点、零点或±∞处的情况） 二、函数的周期性 若对定义域内任一自变量x的值（）： 1.若，则. 2.若，则. 3.若，则. 三、函数的对称性 1.若函数为偶函数函数关于对称. 2.若函数满足，则函数关于对称. 3.若函数为奇函数函数关于对称. 4.若函数满足，则函数关于对称. 小结：同号周期，异号对称. 四、三次函数的对称中心 三次函数的图象都有对称中心，对称中心为.三次函数对称中心的横坐标为的对称轴，即的根. 证明：设的对称中心为，则对任意R，都有 ，即.整理得，故，解得， ，所以三次函数的图象都有对称中心，对称中心为. 【典例分析】 一、利用导数研究函数的图象 例1 画出下列函数的大致图象 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 训练1（人教A版选择性必修第二册P104习题17）作函数的大致图象. 二、函数的轴对称问题 例2（2017·全国Ⅰ卷改编）判断函数的图象是否为轴对称图形，若是请写出对称轴，若不是请说明理由. 训练2（2023·全国乙卷节选）已知函数，是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，请说明理由. 三、函数的中心对称问题 例3（2024·全国Ⅰ卷节选）已知函数，证明：曲线是中心对称图形. 训练3（多选）下列说法中，正确的是（     ） A.函数的图象关于点中心对称 B.函数满足为奇函数，则函数关于点中心对称 C.若函数过定点，则函数过定点 D.函数的图象关于点中心对称，则 四、三次函数的图象及性质 例4（人教A版选择性必修第二册P99习题13）利用信息技术工具，根据给定的，，，的值，可以画出函数（）的图象，当，，，时，的图象如图所示.改变，，，的值，观察图象的形状： （1）你能归纳函数图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？ （2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间. 训练4-1（2022·全国Ⅰ卷 多选）已知函数，则（     ） A.有两个极值点 B.有三个零点 C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线 训练4-2（2024·全国Ⅰ卷 多选）设函数，则（     ） A.是的极小值点 B.当时， C.当时， D.当时， 五、函数的周期性 例5 若函数关于对称，且关于对称，求函数的最小正周期. 训练5（2022·全国乙卷）已知函数，的定义域均为R，且， .若的图象关于直线对称，，则（     ） A. B. C. D. 【巩固提升】 1.（2021·全国Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（     ） A. B. C. D. 2.（2022·全国Ⅰ卷 多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，则（     ） A. B. C. D. 3.（2021·全国乙卷）设，若为函数的极大值点，则（     ） A. B. C. D. 4.（2024·全国Ⅱ卷 多选）设函数，则（     ） A.当时，有三个零点 B.当时，是的极大值点 C.存在，，使得为曲线的对称轴 D.存在，使得点为曲线的对称中心 5.（2024·全国甲卷）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______________. 6.（2018·江苏卷）若函数（R）在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为______________. 7.（2020·全国Ⅲ卷）设函数，曲线在点处的切线与轴垂直. （1）求； （2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1. 8.（2016·天津卷）设函数，R，其中，R. （1）求的单调区间； （2）若存在极值点，且，其中，求证：； （3）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于. 1 学科网（北京）股份有限公司 $