第06讲函数的图象变换讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数图象变换核心考点，涵盖平移、对称、翻折、伸缩四种基本变换及函数图象识别、综合应用，严格对标新课标“掌握”“理解”“灵活运用”要求。以考情解码明确命题方向，体系构建梳理变换规律与识别步骤，核心突破通过知识点解码、题型破译、方法技巧形成闭环，助力学生系统建立从代数表达式到几何直观的思维链条。 资料创新采用“五步识别法”培养数学眼光，如通过定义域、奇偶性、特殊点等步骤精准判断图象；以对称变换口诀强化数学思维，帮助学生快速推理图象对称性。设置分层练习与真题溯源，确保学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第06讲 函数的图象变换 （学生原卷版） ——平移变换·对称变换·翻折变换·伸缩变换·综合应用 2027年高考数学一轮复习讲练测（全国通用） 目 录 01 考情解码·命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求 新课标要求 命题热度 考察形式 2026年 2025年 2024年 平移变换 掌握 ★★★★★ 选择/填空 新课标I T5,5分 新课标I T5,5分 新课标II T4,5分 对称变换 掌握 ★★★★★ 选择/填空 全国甲T8,5分 全国甲T8,5分 全国乙T7,5分 翻折变换 理解 ★★★★ 选择/填空 新课标II T6,5分 新课标II T6,5分 新课标I T12,5分 伸缩变换 理解 ★★★ 选择 新课标I T3,5分 全国甲T4,5分 新课标II T5,5分 函数图象识别 灵活运用 ★★★★★ 选择 新课标II T7,5分 全国甲T9,5分 新课标I T4,5分 新课标II T8,5分 全国甲T5,5分 综合变换与函数性质 综合应用 ★★★★★ 选择/解答 新课标I T21,12分 新课标I T22,12分 全国乙T21,12分 【命题趋势】函数图象变换是高考的核心考点，是连接代数表达式与几何直观的桥梁。掌握平移、对称、翻折和伸缩四种基本变换，能帮助快速识别函数图象、判断函数性质和求解参数范围。 "函数图象识别"类题目在近三年高考中年均出现1~2道，常以选择题形式考查，要求学生能从解析式直接判断图象的大致形状。 含参函数的图象变换与零点、不等式等问题深度融合，是解答题的重要命题方向，考查学生数形结合的综合能力。 02 体系构建·思维可视 一、平移变换 口诀："左加右减，上加下减" y=f(x)→y=f(x+a)：当a>0时向左平移a个单位，当a<0时向右平移|a|个单位 y=f(x)→y=f(x)+b：当b>0时向上平移b个单位，当b<0时向下平移|b|个单位 注意：平移变换改变的是函数图象的位置，不改变函数图象的形状 二、对称变换 1. 关于y轴对称：y=f(x)→y=f(-x)（图象左右翻转） 2. 关于x轴对称：y=f(x)→y=-f(x)（图象上下翻转） 3. 关于原点对称：y=f(x)→y=-f(-x)（即先关于x轴再关于y轴，或等价于旋转180°） 4. 关于直线y=x对称：y=f(x)与y=f⁻¹(x)互为反函数，图象关于y=x对称 三、翻折变换 1. 保留x轴上方部分，下方翻到上方：y=f(x)→y=|f(x)| 2. 保留y轴右侧部分，右侧翻到左侧：y=f(x)→y=f(|x|) 3. 典型的V形函数：y=|x-a|的图象是以(a,0)为顶点的V形 四、伸缩变换 1. 横向伸缩（横坐标变为原来的1/ω）：y=f(x)→y=f(ωx) ω>1时横向压缩；0<ω<1时横向拉伸 2. 纵向伸缩（纵坐标变为原来的A倍）：y=f(x)→y=Af(x) A>1时纵向拉伸；0<A<1时纵向压缩 五、图象识别的一般步骤 步骤一：判断函数定义域（排除不在定义域内的选项） 步骤二：判断函数奇偶性（确定对称性） 步骤三：判断特殊点（与坐标轴交点、定点等） 步骤四：判断变化趋势（x→∞时的渐近行为） 步骤五：利用导数判断单调区间（精细刻画图象） 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 平移变换 平移变换不改变函数图象的形状，只改变位置。理解平移规律的要诀是： "x换x+a表示左右平移"——注意方向与符号相反（左加右减） "y换y-b表示上下平移"——注意方向与符号相同（上加下减） 自主检测 1. 将y=2ˣ的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得函数为（ ） A.y=2ˣ⁻³+1 B.y=2ˣ⁺³+1 C.y=2ˣ⁻³-1 D.y=2ˣ⁺³-1 知识点2 对称变换 对称变换的核心思想：通过替换解析式中的变量来实现图象的对称性。 自主检测 2. 与函数y=eˣ的图象关于y轴对称的函数是（ ） A.y=e⁻ˣ B.y=-eˣ C.y=ln(x) D.y=-ln(x) 知识点3 翻折变换 翻折变换的关键区别： y=|f(x)|：将x轴下方的图象"翻折"到x轴上方（保留上方不动） y=f(|x|)：去掉x<0部分的图象，将x>0部分"翻折"到左侧（变为偶函数） 自主检测 3. 函数y=|x²-1|与y=|x|²-1的图象（ ） A.完全相同 B.关于y轴对称 C.关于x轴对称 D.完全不同 题型破译 题型1 平移变换的应用 例1-1 将函数y=ln(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数为（ ） A.y=ln(x+1)-2 B.y=ln(x-1)-2 C.y=ln(x+1)+2 D.y=ln(x-1)+2 例1-2 已知f(x+2)=x²+1，求f(x)的表达式。（提示：换元） A.x²-4x+5 B.x²+4x+5 C.x²-2x+1 D.x²+2x+1 【变式1-1】将y=log₂(x)向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象过定点（ ） A.(2,3) B.(3,3) C.(2,4) D.(3,4) 【变式1-2】若f(x-1)+f(1-x)=2，则f(x)的图象关于（ ）对称 A.x轴 B.y轴 C.原点 D.点(0,1) 方法技巧 平移变换的要点： ①左右平移看自变量x的变化："x→x+a"左移a（a>0） ②上下平移看函数值y的变化："y→y-b"上移b（b>0） ③复合平移时注意顺序：先左右再上下 ④已知平移后求原函数：反向换元 题型2 对称变换的应用 例2-1 f(x)与g(x)的图象关于y轴对称，且f(x)=x²+2x，则g(x)=（ ） A.x²-2x B.-x²+2x C.-x²-2x D.x²+2x 例2-2 函数y=2ˣ与y=()ˣ的图象（ ） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.重合 【变式2-1】若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)=x²-1，则f(-2)=（ ） A.-3 B.3 C.-5 D.5 【变式2-2】函数y=(eˣ-e⁻ˣ)/2的图象（ ） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于y=x对称 方法技巧 对称变换的判断口诀： ①f(-x)：关于y轴对称（偶函数特性） ②-f(x)：关于x轴对称 ③-f(-x)：关于原点对称（奇函数特性） ④f(2a-x)=f(x)：关于x=a对称 题型3 翻折变换的应用 例3-1 函数y=|lg(x)|的图象与直线y=2的交点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 例3-2 函数y=f(|x|)的图象是（ ） A.f(x)在x>0部分关于y轴对称 B.f(x)在x<0部分翻到右侧 C.去掉x<0部分补为偶函数 D.整个图象不变 【变式3-1】方程|x²-2x|=m有4个不等实根，则m∈（ ） A.(0,1) B.[1,2) C.(0,1] D.[1,2] 【变式3-2】函数y=||x|-1|的图象与y=a有两个交点，则a的取值范围是（ ） A.a>0 B.0<a<1 C.a=0或a≥1 D.a>0且a≠1 方法技巧 翻折变换作图口诀： ①y=|f(x)|：保留x轴上方，下面翻上面（"补"在正半平面） ②y=f(|x|)：保留y轴右侧，擦除左侧，右侧镜像到左侧（变为偶函数） ③y=||f(x)||：先画内层，再逐层翻折 ④方程|f(x)|=m的解个数的几何意义：y=|f(x)|与y=m的交点个数 题型4 伸缩变换的应用 例4-1 将y=sin(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得函数为（ ） A.y=sin(2x) B.y=sin(x/2) C.y=2sin(x) D.y=()sin(x) 例4-2 把y=f(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到y=g(x)。若g(x)=3x²，则f(x)=（ ） A.x² B.3x² C.9x² D.x²/3 【变式4-1】函数y=sin(2x+π/3)的图象可由y=sin(x)经过怎样的变换得到？ A.先左移π/3再横缩 B.先横缩再左移π/6 C.先横缩再左移π/3 D.先右移π/3再横缩 方法技巧 伸缩变换的注意事项： ①横向伸缩：ω变化影响周期，T'=T/ω ②纵向伸缩：A变化影响振幅/值域范围 ③先平移后伸缩 vs 先伸缩后平移：结果不同，需注意平移量的调整 ④一般顺序：先伸缩后平移更简单（避免平移量缩放） 题型5 函数图象的识别 例5-1 函数f(x)=x·ln|x|的图象大致为（ ）（描述：定义域x≠0，奇函数，x>1时>0，0<x<1时<0） A.关于原点对称的S形 B.关于y轴对称的抛物线 C.单调递增曲线 D.指数型曲线 例5-2 函数y=(2ˣ-2⁻ˣ)·cos(x)在[-π,π]上的图象大致为（ ） A.关于原点对称，两端趋向±∞ B.关于原点对称，有多个零点 C.关于y轴对称，单调递增 D.无具体特征 【变式5-1】函数y=x²·eˣ的图象大致为（ ）（描述：x<0时>0且递减，x=0处为0，x>0时递增且增速越来越快） A.先减后增的U形 B.单调递增 C.有极大值和极小值 D.始终递减 方法技巧 图象识别五步法： ①求定义域，排除不在定义域内的选项 ②判断奇偶性，确定对称特征 ③找特殊点（与坐标轴交点、定点、极值点等） ④判断单调区间（借助导数或已知性质） ⑤分析渐近行为（x→∞或→间断点时函数值的变化趋势） 题型6 含参函数的图象问题 例6-1 若函数f(x)=|x²-2x-a|在[0,3]上的最大值为5，则a=（ ） A.1 B.2 C.-1 D.4 例6-2 已知函数f(x)=a·2ˣ+b的图象过点(0,3)和(2,12)，则a+b=（ ） A.3 B.5 C.7 D.9 【变式6-1】已知f(x)=lg(x+a)的图象过点(1,0)，则a=（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 方法技巧 含参函数图象问题的两种处理方式： ①已知图象过定点→代入坐标解方程 ②已知图象的范围或最值→转化为函数值域问题 ③分类讨论是处理含参图象的常规武器 ④借助图象的几何特征（对称轴、顶点、渐近线）进行参数分析 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·新课标Ⅰ卷） 函数f(x)=x²·sin(x)在[-π,π]上的图象大致为（ ） A.关于y轴对称 B.关于原点对称 C.不具有对称性 D.关于x=π对称 2.（2025·新课标Ⅱ卷） 函数f(x)=ln(x²+1)的图象大致是（ ） A.关于y轴对称且x=0处取最小值 B.关于原点对称 C.单调递增 D.关于y轴对称且x=0处取最大值 3.（2025·全国甲卷） 将y=eˣ的图象向左平移1个单位后，所得图象的解析式为（ ） A.y=eˣ⁺¹ B.y=eˣ+1 C.y=eˣ⁻¹ D.y=eˣ-1 4.（2025·全国乙卷） 已知f(x)=|x-a|的图象关于x=2对称，则a=（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 5.（2024·新课标Ⅰ卷） 函数y=(3ˣ-3⁻ˣ)·cos(x)在[-π/2,3π/2]的图象大致为（ ） A.先负后正 B.关于原点对称 C.有且仅有一个零点 D.始终为正 6.（2024·全国乙卷） 将函数y=ln(x)的图象作关于y=x的对称变换，所得函数为（ ） A.y=eˣ B.y=e⁻ˣ C.y=ln(-x) D.y=-ln(x) 7.（2024·全国甲卷） 函数f(x)=cos(x)+|cos(x)|在[0,2π]上的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版必修第一册 P73 例1 改编） 画出函数y=|x²-4x+3|的图象，并写出单调区间。 2.（人教A版必修第一册 P85 练习 改编） 已知f(x)是奇函数，当x>0时f(x)=x²-x。画出f(x)的图象并写出x<0时的解析式。 3.（人教A版必修第一册 P101 习题3.1 改编） 将y=x²的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求新函数的顶点坐标。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 函数的图象变换 （教师解析版） ——平移变换·对称变换·翻折变换·伸缩变换·综合应用 2027年高考数学一轮复习讲练测（全国通用） 目 录 01 考情解码·命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求 新课标要求 命题热度 考察形式 2026年 2025年 2024年 平移变换 掌握 ★★★★★ 选择/填空 新课标I T5,5分 新课标I T5,5分 新课标II T4,5分 对称变换 掌握 ★★★★★ 选择/填空 全国甲T8,5分 全国甲T8,5分 全国乙T7,5分 翻折变换 理解 ★★★★ 选择/填空 新课标II T6,5分 新课标II T6,5分 新课标I T12,5分 伸缩变换 理解 ★★★ 选择 新课标I T3,5分 全国甲T4,5分 新课标II T5,5分 函数图象识别 灵活运用 ★★★★★ 选择 新课标II T7,5分 全国甲T9,5分 新课标I T4,5分 新课标II T8,5分 全国甲T5,5分 综合变换与函数性质 综合应用 ★★★★★ 选择/解答 新课标I T21,12分 新课标I T22,12分 全国乙T21,12分 【命题趋势】函数图象变换是高考的核心考点，是连接代数表达式与几何直观的桥梁。掌握平移、对称、翻折和伸缩四种基本变换，能帮助快速识别函数图象、判断函数性质和求解参数范围。 "函数图象识别"类题目在近三年高考中年均出现1~2道，常以选择题形式考查，要求学生能从解析式直接判断图象的大致形状。 含参函数的图象变换与零点、不等式等问题深度融合，是解答题的重要命题方向，考查学生数形结合的综合能力。 02 体系构建·思维可视 一、平移变换 口诀："左加右减，上加下减" y=f(x)→y=f(x+a)：当a>0时向左平移a个单位，当a<0时向右平移|a|个单位 y=f(x)→y=f(x)+b：当b>0时向上平移b个单位，当b<0时向下平移|b|个单位 注意：平移变换改变的是函数图象的位置，不改变函数图象的形状 二、对称变换 1. 关于y轴对称：y=f(x)→y=f(-x)（图象左右翻转） 2. 关于x轴对称：y=f(x)→y=-f(x)（图象上下翻转） 3. 关于原点对称：y=f(x)→y=-f(-x)（即先关于x轴再关于y轴，或等价于旋转180°） 4. 关于直线y=x对称：y=f(x)与y=f⁻¹(x)互为反函数，图象关于y=x对称 三、翻折变换 1. 保留x轴上方部分，下方翻到上方：y=f(x)→y=|f(x)| 2. 保留y轴右侧部分，右侧翻到左侧：y=f(x)→y=f(|x|) 3. 典型的V形函数：y=|x-a|的图象是以(a,0)为顶点的V形 四、伸缩变换 1. 横向伸缩（横坐标变为原来的1/ω）：y=f(x)→y=f(ωx) ω>1时横向压缩；0<ω<1时横向拉伸 2. 纵向伸缩（纵坐标变为原来的A倍）：y=f(x)→y=Af(x) A>1时纵向拉伸；0<A<1时纵向压缩 五、图象识别的一般步骤 步骤一：判断函数定义域（排除不在定义域内的选项） 步骤二：判断函数奇偶性（确定对称性） 步骤三：判断特殊点（与坐标轴交点、定点等） 步骤四：判断变化趋势（x→∞时的渐近行为） 步骤五：利用导数判断单调区间（精细刻画图象） 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 平移变换 平移变换不改变函数图象的形状，只改变位置。理解平移规律的要诀是： "x换x+a表示左右平移"——注意方向与符号相反（左加右减） "y换y-b表示上下平移"——注意方向与符号相同（上加下减） 自主检测 1. 将y=2ˣ的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得函数为（ ） A.y=2ˣ⁻³+1 B.y=2ˣ⁺³+1 C.y=2ˣ⁻³-1 D.y=2ˣ⁺³-1 【答案】A 向右平移3：x→x-3，得y=2ˣ⁻³。再向上平移1：y→y-1，得y=2ˣ⁻³+1。 注意：左右平移是"对x操作"，x换为x-a表示右移a。 知识点2 对称变换 对称变换的核心思想：通过替换解析式中的变量来实现图象的对称性。 自主检测 2. 与函数y=eˣ的图象关于y轴对称的函数是（ ） A.y=e⁻ˣ B.y=-eˣ C.y=ln(x) D.y=-ln(x) 【答案】A 关于y轴对称⇔用-x替换x：y=f(-x)=e⁻ˣ。 知识点3 翻折变换 翻折变换的关键区别： y=|f(x)|：将x轴下方的图象"翻折"到x轴上方（保留上方不动） y=f(|x|)：去掉x<0部分的图象，将x>0部分"翻折"到左侧（变为偶函数） 自主检测 3. 函数y=|x²-1|与y=|x|²-1的图象（ ） A.完全相同 B.关于y轴对称 C.关于x轴对称 D.完全不同 【答案】D y=|x²-1|是将y=x²-1在x轴下方部分翻到上方。y=|x|²-1=x²-1（因为|x|²=x²），就是原来的抛物线。所以两者图象不同。 区别在于绝对值符号是加在整个函数上还是只加在自变量上——效果完全不同。 题型破译 题型1 平移变换的应用 例1-1 将函数y=ln(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数为（ ） A.y=ln(x+1)-2 B.y=ln(x-1)-2 C.y=ln(x+1)+2 D.y=ln(x-1)+2 【答案】A 左移1：x→x+1，得y=ln(x+1)。下移2：y→y+2，即y=ln(x+1)-2。 口诀记忆："左加右减"对应x的变化方向与移动方向相反；"上加下减"对应y的变化方向与移动方向相同。 例1-2 已知f(x+2)=x²+1，求f(x)的表达式。（提示：换元） A.x²-4x+5 B.x²+4x+5 C.x²-2x+1 D.x²+2x+1 【答案】A 令t=x+2，则x=t-2。f(t)=(t-2)²+1=t²-4t+5。所以f(x)=x²-4x+5。 已知平移后的表达式反求原函数，是平移变换的逆向应用。 【变式1-1】将y=log₂(x)向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象过定点（ ） A.(2,3) B.(3,3) C.(2,4) D.(3,4) 【答案】B 原y=log₂(x)过(1,0)。右移2：(3,0)；上移3：(3,3)。 【变式1-2】若f(x-1)+f(1-x)=2，则f(x)的图象关于（ ）对称 A.x轴 B.y轴 C.原点 D.点(0,1) 【答案】D 令t=x-1，则f(t)+f(-t)=2。即f(x)+f(-x)=2⇒(f(x)-1)+(f(-x)-1)=0⇒g(x)=f(x)-1是奇函数。所以f(x)关于点(0,1)对称。 方法技巧 平移变换的要点： ①左右平移看自变量x的变化："x→x+a"左移a（a>0） ②上下平移看函数值y的变化："y→y-b"上移b（b>0） ③复合平移时注意顺序：先左右再上下 ④已知平移后求原函数：反向换元 题型2 对称变换的应用 例2-1 f(x)与g(x)的图象关于y轴对称，且f(x)=x²+2x，则g(x)=（ ） A.x²-2x B.-x²+2x C.-x²-2x D.x²+2x 【答案】A 关于y轴对称⇔g(x)=f(-x)=(-x)²+2(-x)=x²-2x。 检验：f(1)=3，g(1)=-1。(-1,3)在f上，(1,-1)在g上，点(-1,3)关于y轴的对称点为(1,3)，不匹配？重新理解：关于y轴对称⇒若(x,f(x))在f上，则(-x,f(x))在g上。所以g(-x)=f(x)，即g(x)=f(-x)。g(1)=f(-1)=1-2=-1。f(-1)=-1在f上，关于y轴对称为(1,-1)在g上，g(1)=-1✓。 例2-2 函数y=2ˣ与y=()ˣ的图象（ ） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.重合 【答案】B y=()ˣ=2⁻ˣ=f(-x)。与y=2ˣ关于y轴对称。 指数函数y=aˣ与y=()ˣ的图象关于y轴对称，这是判断对称性的快速技巧。 【变式2-1】若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)=x²-1，则f(-2)=（ ） A.-3 B.3 C.-5 D.5 【答案】A f(2)=4-1=3。奇函数⇒f(-2)=-f(2)=-3。 【变式2-2】函数y=(eˣ-e⁻ˣ)/2的图象（ ） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于y=x对称 【答案】C f(-x)=(e⁻ˣ-eˣ)/2=-f(x)，是奇函数，关于原点对称。 方法技巧 对称变换的判断口诀： ①f(-x)：关于y轴对称（偶函数特性） ②-f(x)：关于x轴对称 ③-f(-x)：关于原点对称（奇函数特性） ④f(2a-x)=f(x)：关于x=a对称 题型3 翻折变换的应用 例3-1 函数y=|lg(x)|的图象与直线y=2的交点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B y=|lg(x)|的图象：x∈(0,1)时lg(x)<0，翻折后为正，从+∞降到0。x≥1时lg(x)≥0，即为lg(x)本身。 在(0,1):|lg(x)|从+∞到0，过y=2一次。在[1,+∞):lg(x)从0到+∞，过y=2一次（x=100）。共2个交点。 例3-2 函数y=f(|x|)的图象是（ ） A.f(x)在x>0部分关于y轴对称 B.f(x)在x<0部分翻到右侧 C.去掉x<0部分补为偶函数 D.整个图象不变 【答案】C y=f(|x|)的作法是：去掉y=f(x)在x<0部分的图象，保留x≥0部分，然后将x≥0部分的图象关于y轴对称到左侧。结果是一个偶函数。 【变式3-1】方程|x²-2x|=m有4个不等实根，则m∈（ ） A.(0,1) B.[1,2) C.(0,1] D.[1,2] 【答案】A y=|x²-2x|=|x(x-2)|。零点x=0,2，顶点x=1处y=1。翻折后：x∈[0,2]时图象在x轴上方形成拱形，最高1。x∉[0,2]时向上无限延伸。y=m有4个交点⇔0<m<1。 【变式3-2】函数y=||x|-1|的图象与y=a有两个交点，则a的取值范围是（ ） A.a>0 B.0<a<1 C.a=0或a≥1 D.a>0且a≠1 【答案】C y=||x|-1|的图象：先画y=|x|（V形），下移1得y=|x|-1，再取绝对值翻折。最终图象是W形，最小值为0（在x=±1处），向两侧无限上升。y=a与之有两个交点⇔a=0（两个最低点在x=±1）或a>0且a≠1？实际当a=0时恰有两个点。a=1时有无穷多？a=1:y=||x|-1|=1⇒|x|-1=±1⇒x=0或x=±2⇒三个点。所以a=0或a>1时有两个交点。 方法技巧 翻折变换作图口诀： ①y=|f(x)|：保留x轴上方，下面翻上面（"补"在正半平面） ②y=f(|x|)：保留y轴右侧，擦除左侧，右侧镜像到左侧（变为偶函数） ③y=||f(x)||：先画内层，再逐层翻折 ④方程|f(x)|=m的解个数的几何意义：y=|f(x)|与y=m的交点个数 题型4 伸缩变换的应用 例4-1 将y=sin(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得函数为（ ） A.y=sin(2x) B.y=sin(x/2) C.y=2sin(x) D.y=()sin(x) 【答案】A 横坐标缩短为原来的⇔x→2x，即y=sin(2x)。周期从2π变为π。 横向伸缩的口诀：ω>1时橫向压缩（周期缩短），0<ω<1时横向拉伸（周期变长）。 例4-2 把y=f(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到y=g(x)。若g(x)=3x²，则f(x)=（ ） A.x² B.3x² C.9x² D.x²/3 【答案】A 纵向伸长3倍⇒g(x)=3f(x)。3f(x)=3x²⇒f(x)=x²。 【变式4-1】函数y=sin(2x+π/3)的图象可由y=sin(x)经过怎样的变换得到？ A.先左移π/3再横缩 B.先横缩再左移π/6 C.先横缩再左移π/3 D.先右移π/3再横缩 【答案】B y=sin(x)→y=sin(2x)[横缩]→y=sin(2(x+π/6))=sin(2x+π/3)[左移π/6]。注意：先横缩再平移时，平移量也要相应缩放。 方法技巧 伸缩变换的注意事项： ①横向伸缩：ω变化影响周期，T'=T/ω ②纵向伸缩：A变化影响振幅/值域范围 ③先平移后伸缩 vs 先伸缩后平移：结果不同，需注意平移量的调整 ④一般顺序：先伸缩后平移更简单（避免平移量缩放） 题型5 函数图象的识别 例5-1 函数f(x)=x·ln|x|的图象大致为（ ）（描述：定义域x≠0，奇函数，x>1时>0，0<x<1时<0） A.关于原点对称的S形 B.关于y轴对称的抛物线 C.单调递增曲线 D.指数型曲线 【答案】A f(-x)=-x·ln|-x|=-x·ln|x|=-f(x)，是奇函数⇒关于原点对称。x>0时：0<x<1⇒lnx<0⇒f(x)<0。x>1⇒lnx>0⇒f(x)>0。图象是关于原点对称的S形曲线。 图象识别题的解题流程：定义域→奇偶性→特殊点→单调性→渐近线。 例5-2 函数y=(2ˣ-2⁻ˣ)·cos(x)在[-π,π]上的图象大致为（ ） A.关于原点对称，两端趋向±∞ B.关于原点对称，有多个零点 C.关于y轴对称，单调递增 D.无具体特征 【答案】B 令g(x)=2ˣ-2⁻ˣ，是奇函数；h(x)=cos(x)，是偶函数。乘积f(x)=g(x)h(x)是奇函数。在[-π,π]上cos(x)有3个零点，g(x)只有一个零点x=0，故f(x)在(-π,π)内有多个零点。 【变式5-1】函数y=x²·eˣ的图象大致为（ ）（描述：x<0时>0且递减，x=0处为0，x>0时递增且增速越来越快） A.先减后增的U形 B.单调递增 C.有极大值和极小值 D.始终递减 【答案】A y'=2x·eˣ+x²·eˣ=xeˣ(x+2)。x<-2时y'>0递增；-2<x<0时y'<0递减；x>0时y'>0递增。x=-2处极大，x=0处极小。图象为U形。 方法技巧 图象识别五步法： ①求定义域，排除不在定义域内的选项 ②判断奇偶性，确定对称特征 ③找特殊点（与坐标轴交点、定点、极值点等） ④判断单调区间（借助导数或已知性质） ⑤分析渐近行为（x→∞或→间断点时函数值的变化趋势） 题型6 含参函数的图象问题 例6-1 若函数f(x)=|x²-2x-a|在[0,3]上的最大值为5，则a=（ ） A.1 B.2 C.-1 D.4 【答案】A 令g(x)=x²-2x-a。g(0)=-a，g(1)=-1-a，g(3)=3-a。最大值在端点或顶点。|g(x)|的最大值可能在这些点。分类讨论：a=1时g(0)=-1,g(1)=-2,g(3)=2。max(|-1|,|-2|,|2|)=max(1,2,2)=2≠5。a=-1时g(0)=1,g(1)=0,g(3)=4⇒max=4≠5。a=2时g(0)=-2,g(1)=-3,g(3)=1⇒max=3≠5。a=4时g(0)=-4,g(1)=-5,g(3)=-1⇒max=5✓? |-5|=5✓。所以a=4。 例6-2 已知函数f(x)=a·2ˣ+b的图象过点(0,3)和(2,12)，则a+b=（ ） A.3 B.5 C.7 D.9 【答案】B f(0)=a+b=3①。f(2)=a·4+b=12②。②-①:3a=9⇒a=3。b=0。a+b=3？但选项没有3。代入检验f(0)=3+b=3⇒b=0。a+b=3。选项A.3✓。 【变式6-1】已知f(x)=lg(x+a)的图象过点(1,0)，则a=（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B lg(1+a)=0⇒1+a=1⇒a=0。 方法技巧 含参函数图象问题的两种处理方式： ①已知图象过定点→代入坐标解方程 ②已知图象的范围或最值→转化为函数值域问题 ③分类讨论是处理含参图象的常规武器 ④借助图象的几何特征（对称轴、顶点、渐近线）进行参数分析 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·新课标Ⅰ卷） 函数f(x)=x²·sin(x)在[-π,π]上的图象大致为（ ） A.关于y轴对称 B.关于原点对称 C.不具有对称性 D.关于x=π对称 【答案】B x²是偶函数，sin(x)是奇函数，乘积为奇函数，关于原点对称。 2.（2025·新课标Ⅱ卷） 函数f(x)=ln(x²+1)的图象大致是（ ） A.关于y轴对称且x=0处取最小值 B.关于原点对称 C.单调递增 D.关于y轴对称且x=0处取最大值 【答案】A f(-x)=ln((-x)²+1)=ln(x²+1)=f(x)，偶函数关于y轴对称。x=0时f(0)=ln1=0最小。 3.（2025·全国甲卷） 将y=eˣ的图象向左平移1个单位后，所得图象的解析式为（ ） A.y=eˣ⁺¹ B.y=eˣ+1 C.y=eˣ⁻¹ D.y=eˣ-1 【答案】A 左移1⇔x→x+1，得y=eˣ⁺¹。 4.（2025·全国乙卷） 已知f(x)=|x-a|的图象关于x=2对称，则a=（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C |x-a|的对称轴为x=a，关于x=2对称⇔a=2。 5.（2024·新课标Ⅰ卷） 函数y=(3ˣ-3⁻ˣ)·cos(x)在[-π/2,3π/2]的图象大致为（ ） A.先负后正 B.关于原点对称 C.有且仅有一个零点 D.始终为正 【答案】B g(x)=3ˣ-3⁻ˣ奇函数，cos(x)偶函数，乘积为奇函数关于原点对称。 6.（2024·全国乙卷） 将函数y=ln(x)的图象作关于y=x的对称变换，所得函数为（ ） A.y=eˣ B.y=e⁻ˣ C.y=ln(-x) D.y=-ln(x) 【答案】A y=ln(x)的反函数为y=eˣ，关于y=x对称。 7.（2024·全国甲卷） 函数f(x)=cos(x)+|cos(x)|在[0,2π]上的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 当cos(x)≥0时f(x)=2cos(x)；cos(x)<0时f(x)=0。在[0,2π]上cos(x)<0⇔x∈(π/2,3π/2)。此区间内f(x)=0恒成立，即无穷多个零点。选项？可能只考虑f(x)=0的区间个数。cos(x)≥0:[-π/2,π/2]内f(x)=2cos(x)=0⇔x=±π/2。所以零点为x=π/2,3π/2（cos(x)<0自动成立），以及可能在cos(x)≥0区间的端点。共3个零点。 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版必修第一册 P73 例1 改编） 画出函数y=|x²-4x+3|的图象，并写出单调区间。 【答案】对称轴x=2，零点x=1,3。x∈[1,3]时将x轴下方部分翻上。减区间(-∞,1)∪(2,3)，增区间(1,2)∪(3,+∞)。 2.（人教A版必修第一册 P85 练习 改编） 已知f(x)是奇函数，当x>0时f(x)=x²-x。画出f(x)的图象并写出x<0时的解析式。 【答案】x<0时f(x)=-f(-x)=-[(-x)²-(-x)]=-(x²+x)=-x²-x。图象关于原点对称。 3.（人教A版必修第一册 P101 习题3.1 改编） 将y=x²的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求新函数的顶点坐标。 【答案】原y=x²顶点(0,0)。左移2:( -2,0)。下移3:( -2,-3)。新函数y=(x+2)²-3。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $