26.2.2二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第2课时 y=a（x-h）²的图象和性质）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=a(x-h)²的图象和性质，通过复习y=ax²、y=ax²+k的图象特征及上下平移规律，以情境设问引出左右平移新问题，搭建前后知识衔接的学习支架。 资料突出自主描点画图与小组对比探究，结合信息技术动态观察h值变化对图象的影响，典型例题与分层练习强化应用，培养学生几何直观和推理意识，助力掌握平移规律与性质，提升数形结合能力和数学表达能力。

26.2.1二次函数y=a（x-h)²+k的图象和性质 (第二课时 二次函数y=a（x-h)²的图象和性质) （导学案） （1）会用描点法画出y=a(x-h)²的图象，精准掌握该函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等性质；熟练掌握抛物线y=ax²与y=a(x-h)²的左右平移规律，能根据函数解析式判断图象变换方式. （2）通过自主描点画图、小组对比探究、归纳总结的过程，培养数形结合分析问题、类比推理、归纳概括的数学能力，体会函数图象变换中“变与不变”的数学规律. （3）感受二次函数图象的对称美、变换美，体会数学知识的连贯性和逻辑性；在自主探究与合作交流中提升学习主动性，树立严谨的数学思维，增强学习二次函数的信心. 重点:二次函数y=a(x-h)²的图象特征与核心性质；抛物线y=a(x-h)²与抛物线y=ax²的平移变换规律. 难点：准确理解并记忆抛物线左右平移规律（左加右减），区分左右平移与上下平移的解析式变化差异；根据函数解析式快速判断图象的平移过程、增减区间及最值. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：（1）二次函数y=2x²、y=ax²+k的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取何值时，函数有最值？增减性如何？ （2）抛物线y=ax²与y=ax²+k的变换规律是什么？ 情境设问：我们已经掌握了二次函数图象的上下平移，如果不上下平移，将抛物线y=ax²进行左右平移，会得到什么新的二次函数？新函数的解析式、图象和性质会发生怎样的变化？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第38-39页的内容 【学法指导】自研课本P38-39页内容 （一）画图对比，感知特殊的y=ax²、y=a(x-h)²函数图象间的联系 活动1.在同一平面直角坐标系中，画出二次函数和的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 列表： … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … … -2 -1 0 1 2 3 4 … … … 描点画图，就得到和的图象. 观察图象： 活动2.观察抛物线，与抛物线有什么关系? 观察三个抛物线，与的相同点和不同点是什么？ （二）归纳二次函数 y=a(x-h)²核心规律与性质 活动3.利用信息技术工具画函数y=a(x-h)²的图象(改变h的值)，观察图象变化. 改变h的值，可以发现，随着h的变化，二次函数y=a(x-h)²的图象向左或向右平移，即把抛物y=ax²（a>）向左(h<0)或向右（h>0)平移|h|个单位长度，就可以得到抛物y=a(x-h)² (如下图 ). 活动4.梳理总结y=a(x-h)²(a≠0)的完整性质和平移规律 图象共性：图象为抛物线，形状、开口大小、开口方向与y=ax²完全一致. 核心要素：对称轴：直线x=h,顶点坐标：(h, 0)，平移规律：抛物线y=ax²左右平移得到y=a(x-h)²，左加右减h>0：向右平移h个单位，h<0，向左平移|h|个单位. 函数增减性与最值:当a>0时，开口向上，顶点为最低点；x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，y随x的增大而增大；当x=h时，.当a<0时，开口向下，顶点为最高点；x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小；当x=h时，. 自研课本P38-39页内容 典型例题 例1.已知二次函数y=-2(x+1)²，完成下列问题： （1）说出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）说明该抛物线是由抛物线y=-2x²经过怎样的平移得到的； （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数取得最值？最值是多少？ 第二环节 合作探究 讨论交流: 1. 讨论怎样画二次函数和的图象. 2. 讨论二次函数 y=a(x-h)²核心规律与性质. 拓展提升： 1.如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求b的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小． 课本课堂练习（P39）. 1．（2026.徐州统考）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．当时，y取得最大值，且最大值为1 2.（2025·宁波联考）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 3．（2026盐城校考）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上，对称轴是直线 B．开口向下，对称轴是直线 C．开口向上，对称轴是直线 D．开口向下，对称轴是直线 知识技能：（1）二次函数y=a(x-h)²的图象是 ，开口方向由 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；（2）平移规律：抛物线y=ax² 得y=a(x-h)²， ；（3）增减性与最值：a>0开口 ， ，有 ；a<0开口 ， ，有 . 思想方法：（1）数形结合思想：通过函数图象直观 ， 、 ；（2）类比推理思想：类比y=ax²、y=ax²+k的探究方法，探究 ；（3）分类讨论思想：根据 分类讨论函数的增减性、最值. 易错提醒：（1）平移规律混淆：上下平移改变 ，左右平移改变 ，切勿混淆；（2）h的符号易错：解析式中是 ，若为 ，需转化为 ；（3）增减区间混淆：必须以对称轴 为分界，区分 变化. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.1二次函数y=a（x-h)²+k的图象和性质 (第二课时 二次函数y=a（x-h)²的图象和性质) （导学案） （1）会用描点法画出y=a(x-h)²的图象，精准掌握该函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等性质；熟练掌握抛物线y=ax²与y=a(x-h)²的左右平移规律，能根据函数解析式判断图象变换方式. （2）通过自主描点画图、小组对比探究、归纳总结的过程，培养数形结合分析问题、类比推理、归纳概括的数学能力，体会函数图象变换中“变与不变”的数学规律. （3）感受二次函数图象的对称美、变换美，体会数学知识的连贯性和逻辑性；在自主探究与合作交流中提升学习主动性，树立严谨的数学思维，增强学习二次函数的信心. 重点:二次函数y=a(x-h)²的图象特征与核心性质；抛物线y=a(x-h)²与抛物线y=ax²的平移变换规律. 难点：准确理解并记忆抛物线左右平移规律（左加右减），区分左右平移与上下平移的解析式变化差异；根据函数解析式快速判断图象的平移过程、增减区间及最值. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：（1）二次函数y=2x²、y=ax²+k的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取何值时，函数有最值？增减性如何？ 学生集体回顾作答，教师板书核心性质. （2）抛物线y=ax²与y=ax²+k的变换规律是什么？ k>0向上平移，k<0向下平移，平移不改变开口大小和方向. 情境设问：我们已经掌握了二次函数图象的上下平移，如果不上下平移，将抛物线y=ax²进行左右平移，会得到什么新的二次函数？新函数的解析式、图象和性质会发生怎样的变化？今天我们共同探究二次函数y=a(x-h)²的图象和性质. 【学法指导】 新知自研：自研课本第38-39页的内容 【学法指导】自研课本P38-39页内容 （一）画图对比，感知特殊的y=ax²、y=a(x-h)²函数图象间的联系 活动1.在同一平面直角坐标系中，画出二次函数和的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 列表： … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … -2 -1 0 1 2 3 4 … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … 描点画图，就得到和的图象. 观察图象：可以看出，抛物线的开口向下，对称轴经过（-1，0）且垂直于x轴的直线（记作x=-1），顶点是(-1，0)；抛物线的开口向下，对称轴经过（1，0）且垂直于x轴的直线（记作x=1），顶点是(1，0). 活动2.观察抛物线，与抛物线有什么关系? 观察三个抛物线，与的相同点和不同点是什么？ 可以发现，把抛物线(如上图中的虚线图形）向左平移1个单位长度，就得到抛物线,把抛物线向右平移1个单位长度，就得到抛物线. （二）归纳二次函数 y=a(x-h)²核心规律与性质 活动3.利用信息技术工具画函数y=a(x-h)²的图象(改变h的值)，观察图象变化. 改变h的值，可以发现，随着h的变化，二次函数y=a(x-h)²的图象向左或向右平移，即把抛物y=ax²（a>）向左(h<0)或向右（h>0)平移|h|个单位长度，就可以得到抛物y=a(x-h)² (如下图 ). 活动4.梳理总结y=a(x-h)²(a≠0)的完整性质和平移规律 图象共性：图象为抛物线，形状、开口大小、开口方向与y=ax²完全一致. 核心要素：对称轴：直线x=h,顶点坐标：(h, 0)，平移规律：抛物线y=ax²左右平移得到y=a(x-h)²，左加右减h>0：向右平移h个单位，h<0，向左平移|h|个单位. 函数增减性与最值:当a>0时，开口向上，顶点为最低点；x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，y随x的增大而增大；当x=h时，.当a<0时，开口向下，顶点为最高点；x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小；当x=h时，. 自研课本P38-39页内容 典型例题 例1.已知二次函数y=-2(x+1)²，完成下列问题： （1）说出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）说明该抛物线是由抛物线y=-2x²经过怎样的平移得到的； （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数取得最值？最值是多少？ 【分析】解题关键：先标准化解析式，将y=-2(x+1)²转化y=-2[x-(-1)]²，确定a=-2，h=-1；再根据a的符号判断开口方向、增减性、最值，根据h的值确定对称轴、顶点坐标和平移方式，严格套用本节课归纳的规律解题. 【详解】解：将函数解析式标准化：y=-2[x-(-1)]²，可得a=-2，h=-1. （1）∵a=-2<0，∴抛物线开口向下； 对称轴为直线x=-1；顶点坐标为(-1, 0) （2）根据平移规律“左加右减”，∴抛物线y=-2(x+1)²是由抛物线y=-2x²向左平移1个单位得到. （3）∵a=-2<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1， ∴当x<-1时，y随x的增大而增大；抛物线顶点为最高点’当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=0. 第二环节 合作探究 讨论交流: 1. 讨论怎样画二次函数和的图象. 2. 讨论二次函数 y=a(x-h)²核心规律与性质. 拓展提升： 1.如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求b的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为A， ∴，则， ∵， ∴，代入中， 得：， 解得：， ∴； （2）将代入中， 得：， 解得：； （3）∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 课本课堂练习（P39）. 1．（2026.徐州统考）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．当时，y取得最大值，且最大值为1 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，故A说法错误，不符合题意； ∴当时，y的值随x值的增大而减小，当时，y的值随x值的增大而增大，故C说法正确，符合题意； ∴当时，y取得最小值，且最小值为0，故D说法错误，不符合题意； ∴二次函数与x轴只有一个交点，故B说法错误，不符合题意； 故选C． 2.（2025·宁波联考）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 【详解】解：∵， ∴，对称轴为， ∴在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧y随着x的增大而减小， ∵当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴； 故选D． 3．（2026盐城校考）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上，对称轴是直线 B．开口向下，对称轴是直线 C．开口向上，对称轴是直线 D．开口向下，对称轴是直线 【详解】解：二次函数， 由可得抛物线开口向下；对称轴是直线， 故选：D． 知识技能：（1）二次函数y=a(x-h)²的图象是抛物线，开口方向由a决定，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h,0)；（2）平移规律：抛物线y=ax²左右平移得y=a(x-h)²，左加右减；（3）增减性与最值：a>0开口向上，左减右增，有最小值0；a<0开口向下，左增右减，有最大值0. 思想方法：（1）数形结合思想：通过函数图象直观分析函数性质，以形助数、以数释形；（2）类比推理思想：类比y=ax²、y=ax²+k的探究方法，探究新函数图象与性质；（3）分类讨论思想：根据a>0（a<0)分类讨论函数的增减性、最值. 易错提醒：（1）平移规律混淆：上下平移改变k（上加下减），左右平移改变h（左加右减），切勿混淆；（2）h的符号易错：解析式中是x-h，若为x+h，需转化为x-(-h)再判断平移方向、对称轴；（3）增减区间混淆：必须以对称轴x=h 为分界，区分左右区间的函数增减变化. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $