专题03 《平面直角坐标系》 讲义 2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题03 平面直角坐标系 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 平面直角坐标系的概念 知识点二 平面直角坐标系中点的变换 知识点三 两个公式 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 写出坐标系中点坐标 题型2 点到坐标轴的距离 题型3 已知点所在象限求参数 题型4 坐标与图形综合 题型5 实际问题中用坐标表示位置 题型6 沿X轴、Y轴平移后的坐标 题型7 坐标系中的平移 题型8 坐标系中的动点问题 题型9 中点坐标 题型10 点坐标规律探索 常考考点 命题风向 1.坐标系基础：横轴纵轴、原点、象限划分，各象限点的坐标符号特征 2.特殊点坐标：坐标轴上点、一三/二四象限角平分线上点、平行于坐标轴直线上点的特征 3.距离计算：点到坐标轴距离、两点横/竖距离、平面简单线段长度 4.对称与平移：点关于x轴、y轴、原点对称坐标变化；点与图形平移坐标规律 5.面积计算：坐标系中不规则图形割补法、铅垂高法求面积 6.动点坐标探究：点在坐标轴/象限内运动、分段坐标表示、存在性问题 7.实际应用：用坐标表示地理位置、方位与坐标结合题型 （1）基础层（选择、填空） 考查象限符号判断、特殊点坐标特征、点到轴距离、简单对称平移。高频陷阱：距离与坐标正负混淆、象限符号记错、平移坐标加减搞反。 （2）中档解答（必考） 坐标对称平移综合、根据点的特征求参数值、坐标系图形面积求解。重在步骤规范、分类讨论完整。 （3）拔高压轴 ①坐标系动点运动与坐标探究；②动点产生的面积定值/最值问题；③点的存在性分类讨论（直角、等腰、面积相等）。 命题四大固定趋势 （1）考点融合：平移、对称、距离、面积常混搭出题，不单独考单一概念。 （2）数形结合为核心：以坐标代几何，用代数计算解决图形位置、长度、面积问题。 （3）重分类讨论：点在不同象限、坐标轴、线段上运动，多情况讨论是拉分关键。 （4）细节易错扣分：坐标符号写错、平移加减颠倒、距离不带绝对值、漏写情况。 考情解码： 1.象限符号口诀：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)，坐标轴上的点不属于任何象限。 2.特殊点规律：平行x轴纵坐标不变，平行y轴横坐标不变；角平分线横纵相等或互为相反数。 3.对称口诀：关于谁轴对称谁不变，关于原点对称都变号。 4.平移口诀：右加左减横坐标，上加下减纵坐标。 5.核心易错：点到x轴距离看纵坐标绝对值，到y轴距离看横坐标绝对值。 6.面积解题固定法：平行坐标轴用底乘高，不规则图形用割补法、铅垂高法。 7.动点核心思维：先表示动态坐标，再结合距离、面积、位置列等式求解，勿忘分类讨论。 知识点一 平面直角坐标系的概念 1．有序数对： 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作． 注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的． 2．平面直角坐标系： 两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点． 注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同． 3．点的坐标： 如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标． 4．象限和坐标轴： （1）第一象限内的点的坐标满足：，； （2）第二象限内的点的坐标满足：，； （3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，； （4）第四象限内的点的坐标满足：，. （5）x轴上的点的坐标满足：； （6）y轴上的点的坐标满足：； 注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限． 5．坐标系中的特殊直线： （1）与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为； （2）与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为． （3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为； （4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为． 6．点到特殊直线的距离： （1）点到x轴的距离为；到直线（m为常数）的距离为； （2）点到y轴的距离为；到直线（n为常数）的距离为． 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 知识点二 平面直角坐标系中点的变换 1．坐标系中的平移： （1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或． （2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或． 总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减． 2．坐标系中的对称： （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 1）原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 3）已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小. 知识点三 两个公式 （1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：； （2）两点距离公式：已知两点：、，则． （都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导） 题型1 写出坐标系中点的坐标 【例1-1】在平面直角坐标系中，关于点和，下列结论正确的是（     ）． A．横坐标相同 B．纵坐标相同 C．所在象限相同 D．到轴距离相等 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，象限判断，点到坐标轴的距离的概念，掌握相关性质即可逐项判断． 【详解】解：∵ 点的横坐标为，纵坐标为，点的横坐标为，纵坐标为 ∴ 两点横坐标不相同，纵坐标也不相同，故A，B选项错误； ∵ ，，∴ 点在第二象限， ∵ ，，∴ 点在第四象限，象限不同，故C选项错误； ∵ 点到轴的距离等于横坐标的绝对值，点到轴的距离为，点到轴的距离为， ∴ 两点到轴距离相等，D选项正确． 【例1-2】已知直线轴，点的坐标为，且线段，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由轴，可得点与点纵坐标相等，再根据，分点在点左侧、右侧两种情况计算横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵直线轴，点的坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴当点在点右侧时，点的横坐标为，得， 当点在点左侧时，点的横坐标为，得， ∴点的坐标为或． 过点分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足对应数值依次为横坐标、纵坐标，写成(x,y)，看清象限符号规律。 【变式训练1-1】在正方形网格中，点、、的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系后，点的横坐标和点的纵坐标都是，则点的坐标可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点的横坐标和点的纵坐标都是确认原点，画出坐标系后判断点的坐标． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图： 由图可知，点的坐标为． 【变式训练1-2】已知直线平行于轴，点的坐标为，且，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】平行于轴的直线上所有点的横坐标相等，分点在点上方和下方两种情况讨论求解． 【详解】解：∵直线平行于轴，点的坐标为， ∴点的横坐标为， 当点在点的上方时， ∵， ∴点的纵坐标为，此时点的坐标为； 当点在点的下方时， ∵， ∴点的纵坐标为，此时点的坐标为； 故点的坐标为或． 【变式训练1-3】已知点到轴的距离为，且，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据点到坐标轴的距离性质，算术平方根的定义，结合乘积的符号判断x和y的取值，即可得到点P的坐标. 【详解】解：∵点到轴的距离为， ∴，可得或， ∵， ∴， 又∵，且 ∴，即， ∴点的坐标为. 题型2 点到坐标轴的距离 【例2-1】如图，四边形为长方形，点在第四象限，长方形的周长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标以及点所在象限求得长方形的长与宽的长度，根据长方形的周长公式求解． 【详解】解：∵四边形是长方形，点的坐标为， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 长方形的周长为， 解得． 【例2-2】下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②是分数；③若平面直角坐标系中点到坐标轴的距离相等，则点M的坐标为；④任意一个实数都可以进行开立方运算．⑤过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段就是点P到直线m的距离．其中真命题的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行线的概念，实数的分类，点到坐标轴距离的性质，立方根的概念，点到直线距离的定义判断各命题真假，统计真命题个数即可． 【详解】解：过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在平行于已知直线的直线，故①是假命题； 是无理数，不是分数，故②是假命题； 点到坐标轴的距离相等， ，解得或， 对应点坐标为或，故③是假命题； 任意一个实数都可以进行开立方运算，故④是真命题； 点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，故⑤是假命题； 综上，真命题共个，故选A． 点(x,y)到x轴距离是∣y∣，到y轴距离是∣x∣；距离恒为非负数，切勿直接去掉绝对值。 【变式训练2-1】已知平面直角坐标系中有和两点，且点在第四象限，，直线轴，则的值为（    ） A．或 B． C． D．2或12 【答案】C 【分析】先根据平行于轴的直线上点的坐标特征得到的值，再根据的长度得到的所有可能值，结合点在第四象限的条件确定的取值，最后代入计算即可． 【详解】解：直线轴， 、两点的横坐标相等， ， ， ， 解得或， 点在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负数， ， ． 【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，若点到轴的距离等于到轴的距离，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离的性质，根据点到x轴距离为纵坐标的绝对值，到y轴距离为横坐标的绝对值，列出绝对值方程求解即可. 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到轴的距离为，到轴的距离为，点坐标为， 点到轴的距离为，到轴的距离为. 点到轴的距离等于到轴的距离， . 分两种情况求解： ① 当时，解得； ② 当时，解得. 因此的值为或. 【变式训练2-3】已知点，轴，且，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】点位置不确定，需要分类讨论，利用坐标特征计算即可得到结果． 【详解】解：∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为， 又∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或． 题型3 已知点所在象限求参数 【例3-1】如图，点为曲线上一动点，且点的坐标满足等式，若点在第二象限，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在第二象限确定、的符号，结合等式及非负数的性质求解、的取值范围． 【详解】解： 点在第二象限， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 故A、B错误． ， ， ， ， ∴， ， ∴． 故C错误，D正确． 【例3-2】已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离为3，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】平行于轴的直线上的点的横坐标相等，以及点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，据此即可求解点的坐标． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于y轴的直线上， ∴， ∵点B到x轴的距离为3， ∴点B的纵坐标的绝对值为3， ∴点B的纵坐标为或3， ∴点B的坐标为或 根据各象限横、纵坐标符号列出不等式组，解不等式得到参数取值范围，注意坐标轴上的点不属于任何象限。 【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵轴， ∴点与点的横坐标相等，均为，纵坐标之差的绝对值等于的长度， ∵， ∴点的纵坐标为，或， ∴点的坐标为或. 【变式训练3-2】已知点在轴上，点在轴上，则点所在的象限是（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题利用坐标轴上点的坐标特征求出和的值，再得到点的坐标，根据象限坐标特征判断点所在象限，用到轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为的性质． 【详解】解：∵点在轴上∴纵坐标，解得 ∵点在轴上∴横坐标，解得 将代入点的坐标得，即点坐标为 ∵点横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征 ∴点在第四象限． 【变式训练3-3】在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义如下变换：将点的横坐标除以2，纵坐标除以2后再取相反数，得到点，则称点是点的半距点．以下说法正确的是（     ） ①若点，则点的半距点的坐标是； ②若点的半距点位于第四象限，则为正数，为负数； ③若点的半距点在轴上，则点也一定在轴上； ④若点的半距点到轴的距离与到轴的距离之和为3，则点到轴的距离与到轴的距离之和为6． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据半距点的定义，结合平面直角坐标系中点的坐标性质，逐一判断即可得结论． 【详解】解：① 若点，则半距点的横坐标为，纵坐标为， ∴半距点坐标为，故①正确； ② ∵点的半距点为，半距点位于第四象限， ∴，， 解得，，故②错误； ③ 设，则半距点的坐标为， ∵在轴上， ∴， 解得，即点的纵坐标为， ∴一定在轴上，故③正确； ④ 设，则半距点坐标为， 由题意得，整理得， ∴点到轴与轴的距离之和为，故④正确； 综上所述，①③④正确． 题型4 坐标与图形综合 【例4-1】在平面直角坐标系中，，，，连接，，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据点和点的坐标特征得到与轴的位置关系，推出的度数，再结合已知角相等得到与轴的位置关系，利用平行于轴的点纵坐标相等整理得到的值即可． 【详解】解：，， ，横坐标相等，轴， ， ， ， ， 轴， 轴， ，纵坐标相等，即， 整理得：． 【例4-2】如图，点的坐标分别是、，如果将线段平移至的位置，与坐标分别是和，那么线段在平移过程中扫过的图形面积为（    ） A．48 B．64 C．72 D．108 【答案】C 【分析】利用坐标的变化信息得到从到，需要向上平移个单位，从到，需要向右平移个单位，再利用割补法列式运算即可． 【详解】解：∵，， ∴从到，需要向上平移个单位， ∵，， ∴从到，需要向右平移个单位， 过作平行于轴的线段，交于作平行于轴的线段于点，交于作平行于轴的线段于点；过作平行于轴的线段，交于作平行于轴的线段于点，交于作平行于轴的线段于点，如图所示： ∴由题意可得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 利用横纵坐标确定线段长度、图形顶点位置；平移看点坐标变化，求面积多用割补法，避开复杂计算。 【变式训练4-1】如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标以及平行线的性质． 根据已知条件求出和的长度，再结合平行线的性质确定点的坐标． 【详解】解：∵ , , ∴， ∵，， 又∵，， ∴，， ∴点横坐标为，点纵坐标为， ∴． 故选：． 【变式训练4-2】我们规定：在平面直角坐标系中，任意不重合的两点之间的折线距离为，例如：点与点之间的折线距离为．已知点，若点的坐标为，且，则的值为（    ） A． B．7 C．7或 D．或7 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形、绝对值方程等知识点，正确理解折线距离以及绝对值方程的解法是解题的关键．根据折线距离的定义可得关于t的绝对值方程，解方程即可解答． 【详解】由题意，点与点的折线距离为： ， 根据条件，得方程： ， 移项化简得： ， 解得： 或， 即或． 故选：D． 【变式训练4-3】平面直角坐标系中由两点，规定，则称点为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点，，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标有（   ） ①    ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是掌握“和点”的定义和“和点四边形”的定义． 根据“和点四边形”的定义，需考虑点C为A、B的和点，或A、C的和点为B，或B、C的和点为A三种情况，分别计算点C的坐标，再判断选项中符合条件的个数． 【详解】解：当C为A、B的和点时： C的坐标为，对应选项①． 当B为A、C的和点时： 设C的坐标为，则，解得，，对应选项②． 当A为B、C的和点时： 设C的坐标为，则，解得，，对应选项③． 选项④验证： 不存在任何情况使得④满足上述条件． ∴点C的坐标有3个． 故选C． 题型5 实际问题中用坐标表示位置 【例5-1】如图，建立平面直角坐标系标注一幅山西地形图，在地图中标注了几个特殊地点，，，，，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知点的坐标为，点的坐标为，确定平面直角坐标系的原点位置，再根据网格结构确定点的坐标． 【详解】解：由点的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系如下： 由图可得点C的坐标为． 【例5-2】小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是，小圆的半径是，已知小艇在游船的正南方向处，则下列关于位置的描述，正确的是（     ） A．小艇在游船的北偏东，且距游船处 B．小艇在游船的北偏西，且距游船处 C．游船在小艇的正南方向，且距游船处 D．小艇在游船的北偏西，且距游船处 【答案】D 【详解】解：由题意，游船在小艇的正北方向，且距小艇处，即在原点位置， 故小艇在游船的北偏东，且距游船处； 小艇在游船的北偏西，且距游船处； 故只有选项D符合题意. 先确定原点与正方向建立平面直角坐标系，找准横向、纵向对应数值，有序数对准确标记点位。 【变式训练5-1】2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，再逐项判断即可． 【详解】解：如图，设与相交于点 则直线与直线垂直，故A正确，不符合题意； 直线与直线平行，故B正确，不符合题意； 点位于点的正西方向，故C错误，符合题意； 点与点之间的距离，故D正确，不符合题意． 【变式训练5-2】如图，在正方形网格图中，位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据方位角的含义绘制点的南偏西方向和点西北方向，即可得到答案． 【详解】解：如图，绘制点的南偏西方向：从点的正南方，向西（左）偏转的方向， 绘制点西北方向：从点的正北方，向西（左）偏转，也就是正西和正北的角平分线方向，两直线交于点， ∴位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是点． 【变式训练5-3】小明和小文相约去游乐园游玩，以下是他们的一段对话，根据两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（    ） A．向北直走，再向西直走 B．向北直走，再向西直走 C．向北直走，再向西直走 D．向南直走，再向西直走 【答案】A 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据题意，画出坐标系，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：根据题意建立直角坐标系， 由图可知：小文向北直走，再向西直走就能到游乐园门口了； 故选A． 题型6 沿X轴、Y轴平移后的坐标 【例6-1】已知与的和为0，则点向右平移3个单位长度，再向上平移7个单位长度后的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 即为， ∵点向右平移个单位长度，横坐标加，向上平移个单位长度，纵坐标加， ∴平移后的横坐标为，纵坐标为， ∴平移后的坐标为． 【例6-2】将点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，根据规律逐步计算即可得到答案． 已知点的坐标为， 向下平移个单位，纵坐标需要减， 平移后纵坐标为， 再向左平移个单位，横坐标需要减， 平移后横坐标为， 最终得到的点的坐标是， 故选B． 左右平移改变横坐标：左减右加；上下平移改变纵坐标：上加下减。 【变式训练6-1】将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移规律与轴上点的坐标特征，掌握点向左平移时横坐标减、轴上点的横坐标为是解题的关键． 点向左平移，横坐标减，纵坐标不变；点在轴上，则其横坐标为，由此求出的值，再代入求坐标． 【详解】解：∵点向左平移1个单位得到点， ∴的坐标为，即， ∵在轴上， ∴， ∴， ∴的坐标为，即． 故选：A． 【变式训练6-2】如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系上点的翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键． 依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， 第1次变换后， 第2次变换后， 第3次变换后， 第4次变换后， …… 从而找到规律：当为奇数时，；当为偶数时，． ∴当时，． 故选B． 【变式训练6-3】在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】左平移横坐标减，下平移，纵坐标减，得新点坐标． 【详解】解：左平移3个单位长度，横坐标变为，向下平移2个单位长度，纵坐标变为，点B的坐标为； 故选：D 【点睛】本题考查直角坐标系平移与坐标变化；掌握平移方向与坐标加减的法则是解题的关键． 题型7 坐标系中的平移 【例7-1】平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：． 若“和点”按上述规则连续平移12次后，到达点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中规则，结合点坐标的平移规律求出第次平移后点的坐标，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，第1次平移为， 第2次平移为， 第3次平移为， 第4次平移为， 归纳类推得：每2次平移为一个循环周期，每个循环周期内，点的横坐标减1，纵坐标加1，横、纵坐标之和保持为8不变， ∵，即平移12次共有6个循环周期， ∴，即． 【例7-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，，三角形沿轴向右平移得到三角形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用坐标与图形性质得到，，利用平移性质得到，结合已知列方程即可求出m的值． 【详解】解：连接，如图， ∵，，，， ∴，， ∵三角形沿轴向右平移得到三角形． ∴， ∵， ∴，解得． 左右平移横坐标左减右加，上下平移纵坐标上加下减；图形平移等同于顶点同步平移。 【变式训练7-1】在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，使“少”的坐标为，“年”的坐标为，则“强”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据“少”和“年”的坐标，确定平面直角坐标系的原点位置、x轴与y轴的正方向．观察“强”字在网格中的相对位置，根据坐标的定义，读取横坐标与纵坐标数值． 【详解】解：∵“少”的坐标为，“年”的坐标为， ∴“少”向右移动2格、向上移动2格是坐标原点，正好“年”向上移动1格也是原点． ∵原点向右移动1格，向上移动1格是“强”， ∴“强”的坐标为． 【变式训练7-2】小明和小亮在玩“你来说，我来猜”的游戏． 小明经过思考给出了正确答案，这个游戏的谜底是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】平面直角坐标系中一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可确定点P的纵坐标，在y轴上的点的横坐标为0，结合向右平移时横坐标加上平移距离可得点P的横坐标． 【详解】解：∵点P到x轴的距离为3个单位长度， ∴点P的纵坐标的绝对值为3，即点P的纵坐标为3或， ∵点P向右平移4个单位长度后落在y轴上， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或． 【变式训练7-3】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，已知点，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点B的对应点D的坐标确定平移规律，再利用平移规律即可确定点C的坐标． 【详解】解：∵将线段平移后得到了线段，点， ∴线段向右平移7个单位，再向下平移2个单位得到线段，点A的对应点为点C， ∵， ∴点C的横坐标为，纵坐标为， ∴点C的坐标为． 题型8 坐标系中的动点问题 【例8-1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，轴，且点B的纵坐标为2m，则下列说法正确的是（     ） A．当点B在第三象限时，存在 B．当时，m的值为或 C．无论m取何值，点B不可能在y轴上 D．无论何时，m的值不可能是 【答案】B 【分析】先根据垂直关系确定点的坐标，再得到和的长度表达式，结合象限坐标特征解方程，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵ 轴，，的纵坐标为， ∴ 的横坐标与相同，即， ∴，， 对选项A：若在第三象限，则，得， 若，则，时，，解得，不满足，不存在这样的，不符合题意； 对选项B：若，则，两边平方得：，整理得，因式分解得，解得或，符合题意； 对选项C：若在轴上，则横坐标，解得，存在这样的，可以在轴上，不符合题意； 对选项D：由选项C可知，可以取，不符合题意． 【例8-2】在平面直角坐标系中，点，，直线与坐标轴平行，且．两位同学进行探究，小明发现：若，则三角形的面积为4；小丽发现：若，则点B一定在第四象限．请对两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都错误 D．小明、小丽都正确 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：平行于x轴或平行于y轴．因为，结合点A的坐标，所以可分别求出两种情况下点B的坐标．对于小明的结论，若，先确定符合条件的点B坐标，再利用三角形面积公式计算的面积，判断结论是否成立．对于小丽的结论，若，先确定符合条件的点B坐标，再判断点B所在象限，判断结论是否成立． 【详解】解：∵，直线与坐标轴平行，， ∴分两种情况列出所有可能的点坐标： 若轴，则，， 解得或， ∴或． 若轴：则，， 解得或， ∴或． 评判小明的结论（时，）： ∵， ∴同号， ∴符合条件的点为和： 当：，在直线上，原点到的距离为，． 当时，，在直线上，原点到的距离为2，． ∴小明的结论不完全正确． 评判小丽的结论（时，一定在第四象限）： ∵， ∴异号，符合条件的点为和， 两个点都满足横坐标正、纵坐标负，都在第四象限． ∴小丽的结论正确． 综上，小明错误，小丽正确． 设运动时间t，用含t的式子写出动点坐标；找准拐点分段讨论，借助距离、面积公式列方程，最后检验是否在有效取值范围。 【变式训练8-1】如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出四边形的周长为10，根据，由此即可解决问题． 【详解】解：∵，，，， ∴，，且四边形为矩形， ∴矩形的周长． ∵，， ∴细线的另一端落在点． 【变式训练8-2】如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易知圆的周长为个单位长度，然后可得点P运动半圆所需1秒，然后求出前几秒点的坐标，归纳规律并运用规律求解即可． 【详解】解：由题意得：圆的周长为个单位长度， ∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点P运动半圆所需（秒）， ∴第1秒时，点P的坐标为；第2秒时，点P的坐标为；第3秒时，点P的坐标为；第4秒时，点P的坐标为；； 综上可知：第2023秒时，点P的坐标是，即选项C符合题意。 【变式训练8-3】如图，长方形的顶点坐标分别为，，，，点，同时从点出发，在长方形的边上做环绕运动，点以2个单位长度/秒的速度沿顺时针方向运动，点以1个单位长度/秒的速度沿逆时针方向运动，则点，在运动过程中第次相遇时，相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可求出长方形的周长．设点，出发t秒第次相遇，即可列出关于t的等式，解出，从而可求出此时点的路程为．最后根据长方形的周长，即得出相遇点在点A，从而得出相遇点的坐标． 【详解】解：，，，， ，． 长方形的周长． 设点，出发t秒第次相遇，则， 解得：． ∴此时Q的路程为． ∵， ∴相遇点在A． 相遇点的坐标为． 题型9 中点坐标 【例9-1】已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算和的坐标即可. 【详解】解：设坐标为， ∵点关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，，即， 设坐标为， ∵关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为. 【例9-2】在平面直角坐标系中，点，，，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（    ） A．当时，点是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为1 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 【答案】C 【分析】根据各点坐标，分别计算各选项对应内容，逐一判断即可． 【详解】解：由已知得，点，，，因为轴，点纵坐标为，所以． 选项A：当时，，，，中点的横坐标为，因此点不是线段的中点，A错误． 选项B：线段的长度为，不是定值，随变化，因此B错误． 选项C：，．若，则，解得，只存在唯一一个满足条件，因此C正确． 选项D：若，则，可得或，解得或，有两个满足条件，因此D错误． 两点(x1​,y1)、(x2​,y2)，中点坐标：()。 已知中点和一个端点，可逆公式求出另一个端点坐标。 【变式训练9-1】在平面直角坐标系中，已知点，点，连接，，则下列结论正确的是（    ） ①点一定在点的左侧； ②的中点坐标为； ③三角形的面积为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用横坐标比较、中点坐标公式、三角形面积公式结合绝对值性质判断，统计正确结论个数得到答案． 【详解】解：点都在x轴上， ① 计算横坐标差得， 当时，，即A的横坐标大于B的横坐标，A在B右侧，故①错误； ②根据中点坐标公式，中点的横坐标为 ，纵坐标为， ∴的中点坐标为，故②正确； ③的长度为，的高为点C到x轴的距离，即10， ∴ 当时，，不等于，故③错误； 综上，正确结论只有1个． 【变式训练9-2】嘉嘉在平面直角坐标系中设计了一个跳棋游戏，将棋子从点开始，第一次跳到与点关于点对称的点处，第二次跳到与点关于点对称的点处，第三次跳到与点关于点对称的点处，第四次跳到与点关于点对称的点处，第五次跳到与点关于点对称的点处…按此规律跳下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用点对称的中点性质求出前几个点的坐标，找出坐标循环规律，再通过计算余数得到目标点的坐标． 【详解】解：∵若点关于对称的点为，根据对称中心是两点中点，可得，． 依次计算各点坐标：初始点， 第一次跳动得， 第二次跳动得， 第三次跳动得， 第四次跳动得， 第五次跳动得， 第六次跳动得， ∴坐标每次跳动为一个循环，回到初始坐标． ，余数为， 的坐标与相同，为． 【变式训练9-3】在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得的中点落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出线段的原中点坐标，再根据原中点与对应中点的坐标确定平移规律，最后根据平移规律计算点A的对应点坐标． 【详解】解：∵， ∴ 线段的中点的坐标为 ∵平移后的对应点为 ∴平移规律为横坐标减，纵坐标减 ∴点对应点的横坐标为，纵坐标为 ∴． 题型10 点坐标规律探索 【例10-1】在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的“伴随点”．已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次得到点，，，，，若点的坐标为，则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据伴随点的定义求出前几个点的坐标，找出坐标的循环周期规律，再计算除以周期的余数，根据余数确定的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的伴随点为 ∴的坐标为，即， 的坐标为，即， 的坐标为，即， 的坐标为，即， ∴与坐标相同 由此可知，点的坐标每个为一个循环周期 ∵ ∴的坐标与的坐标相同，即为． 【例10-2】2026年2月，北京大学研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．如图，搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点O出发，按以下指令移动．指令1：向北移动4米到点A；指令2：右转，向东移动3米到点B；指令3：右转，向南移动2米到点C；指令4：右转，向西移动5米到点D．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点O与点C之间的距离大于3米 D．点D位于点O的北偏东方向 【答案】D 【分析】以起点为原点，建立平面直角坐标系，规定：东为轴正方向，北为轴正方向，计算各点坐标，逐一判断即可． 【详解】以起点为原点，建立平面直角坐标系，规定：东为轴正方向，北为轴正方向，如图所示， ，向北走4米得；右转向东走3米得；再右转向南走2米得；再右转向西走5米得； 选项A：直线是竖直线（沿轴方向），直线是水平线（），竖直直线与水平直线垂直，结论正确，不符合题意； 选项B：直线是水平线（），直线也是水平线，两条水平线互相平行，结论正确，不符合题意； 选项C：由勾股定理，，结论正确，不符合题意； 选项D：点，横坐标为负（西方向）、纵坐标为正（北方向），因此在的北偏西方向，不是北偏东，结论错误，符合题意． 先写出前几组点的坐标，观察横、纵坐标各自变化规律；区分奇偶序号分类讨论，总结通项，再代入验证。 【变式训练10-1】利用平移，人们可以设计出美丽的图案，如图所示的是小明利用甲骨文“山”字在平面直角坐标系中通过平移设计的图案，已知点，点，点，点，点，点，点若继续平移，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得每6个点为一个循环，每个循环内横坐标增加6，纵坐标依次为2，1，3，1，2，0，求出2026除以6的商和余数即可得到答案． 【详解】解：点，点，点，点，点，点，点， 以此类推可知，每6个点为一个循环，每个循环内横坐标增加6，纵坐标依次为2，1，3，1，2，0， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为1， ∴点的坐标为． 【变式训练10-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A．（10，10） B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点的坐标求出四边形各边的长度及周长，再用细线总长度除以周长求出余数，根据余数确定细线另一端在四边形边上的具体位置，进而求出坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴四边形的周长为， ∵， ∴细线另一端在绕四边形第21圈的第26个单位长度的位置， ∵从点出发，按的方向绕行，且， ∴细线另一端落在边上，且距离点为26个单位长度， ∴该点的横坐标为，纵坐标为， 即细线另一端所在位置的点的坐标是． 【变式训练10-3】在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动个单位长度，其坐标为：，，，，，，其行走路线如图所示，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察可得，每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4，计算出的商和余数即可得到答案． 【详解】解：点，，，，，，，，，…， ∴每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4， ∵， ∴点纵坐标为2，横坐标为， 点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面直角坐标系 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 平面直角坐标系的概念 知识点二 平面直角坐标系中点的变换 知识点三 两个公式 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 写出坐标系中点坐标 题型2 点到坐标轴的距离 题型3 已知点所在象限求参数 题型4 坐标与图形综合 题型5 实际问题中用坐标表示位置 题型6 沿X轴、Y轴平移后的坐标 题型7 坐标系中的平移 题型8 坐标系中的动点问题 题型9 中点坐标 题型10 点坐标规律探索 常考考点 命题风向 1.坐标系基础：横轴纵轴、原点、象限划分，各象限点的坐标符号特征 2.特殊点坐标：坐标轴上点、一三/二四象限角平分线上点、平行于坐标轴直线上点的特征 3.距离计算：点到坐标轴距离、两点横/竖距离、平面简单线段长度 4.对称与平移：点关于x轴、y轴、原点对称坐标变化；点与图形平移坐标规律 5.面积计算：坐标系中不规则图形割补法、铅垂高法求面积 6.动点坐标探究：点在坐标轴/象限内运动、分段坐标表示、存在性问题 7.实际应用：用坐标表示地理位置、方位与坐标结合题型 （1）基础层（选择、填空） 考查象限符号判断、特殊点坐标特征、点到轴距离、简单对称平移。高频陷阱：距离与坐标正负混淆、象限符号记错、平移坐标加减搞反。 （2）中档解答（必考） 坐标对称平移综合、根据点的特征求参数值、坐标系图形面积求解。重在步骤规范、分类讨论完整。 （3）拔高压轴 ①坐标系动点运动与坐标探究；②动点产生的面积定值/最值问题；③点的存在性分类讨论（直角、等腰、面积相等）。 命题四大固定趋势 （1）考点融合：平移、对称、距离、面积常混搭出题，不单独考单一概念。 （2）数形结合为核心：以坐标代几何，用代数计算解决图形位置、长度、面积问题。 （3）重分类讨论：点在不同象限、坐标轴、线段上运动，多情况讨论是拉分关键。 （4）细节易错扣分：坐标符号写错、平移加减颠倒、距离不带绝对值、漏写情况。 考情解码： 1.象限符号口诀：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)，坐标轴上的点不属于任何象限。 2.特殊点规律：平行x轴纵坐标不变，平行y轴横坐标不变；角平分线横纵相等或互为相反数。 3.对称口诀：关于谁轴对称谁不变，关于原点对称都变号。 4.平移口诀：右加左减横坐标，上加下减纵坐标。 5.核心易错：点到x轴距离看纵坐标绝对值，到y轴距离看横坐标绝对值。 6.面积解题固定法：平行坐标轴用底乘高，不规则图形用割补法、铅垂高法。 7.动点核心思维：先表示动态坐标，再结合距离、面积、位置列等式求解，勿忘分类讨论。 知识点一 平面直角坐标系的概念 1．有序数对： 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作． 注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的． 2．平面直角坐标系： 两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点． 注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同． 3．点的坐标： 如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标． 4．象限和坐标轴： （1）第一象限内的点的坐标满足：，； （2）第二象限内的点的坐标满足：，； （3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，； （4）第四象限内的点的坐标满足：，. （5）x轴上的点的坐标满足：； （6）y轴上的点的坐标满足：； 注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限． 5．坐标系中的特殊直线： （1）与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为； （2）与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为． （3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为； （4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为． 6．点到特殊直线的距离： （1）点到x轴的距离为；到直线（m为常数）的距离为； （2）点到y轴的距离为；到直线（n为常数）的距离为． 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 知识点二 平面直角坐标系中点的变换 1．坐标系中的平移： （1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或． （2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或． 总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减． 2．坐标系中的对称： （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 1）原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 3）已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小. 知识点三 两个公式 （1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：； （2）两点距离公式：已知两点：、，则． （都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导） 题型1 写出坐标系中点的坐标 【例1-1】在平面直角坐标系中，关于点和，下列结论正确的是（     ）． A．横坐标相同 B．纵坐标相同 C．所在象限相同 D．到轴距离相等 【例1-2】已知直线轴，点的坐标为，且线段，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 过点分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足对应数值依次为横坐标、纵坐标，写成(x,y)，看清象限符号规律。 【变式训练1-1】在正方形网格中，点、、的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系后，点的横坐标和点的纵坐标都是，则点的坐标可能为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知直线平行于轴，点的坐标为，且，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式训练1-3】已知点到轴的距离为，且，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型2 点到坐标轴的距离 【例2-1】如图，四边形为长方形，点在第四象限，长方形的周长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例2-2】下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②是分数；③若平面直角坐标系中点到坐标轴的距离相等，则点M的坐标为；④任意一个实数都可以进行开立方运算．⑤过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段就是点P到直线m的距离．其中真命题的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 点(x,y)到x轴距离是∣y∣，到y轴距离是∣x∣；距离恒为非负数，切勿直接去掉绝对值。 【变式训练2-1】已知平面直角坐标系中有和两点，且点在第四象限，，直线轴，则的值为（    ） A．或 B． C． D．2或12 【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，若点到轴的距离等于到轴的距离，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式训练2-3】已知点，轴，且，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 题型3 已知点所在象限求参数 【例3-1】如图，点为曲线上一动点，且点的坐标满足等式，若点在第二象限，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【例3-2】已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离为3，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C．或 D．或 根据各象限横、纵坐标符号列出不等式组，解不等式得到参数取值范围，注意坐标轴上的点不属于任何象限。 【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式训练3-2】已知点在轴上，点在轴上，则点所在的象限是（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练3-3】在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义如下变换：将点的横坐标除以2，纵坐标除以2后再取相反数，得到点，则称点是点的半距点．以下说法正确的是（     ） ①若点，则点的半距点的坐标是； ②若点的半距点位于第四象限，则为正数，为负数； ③若点的半距点在轴上，则点也一定在轴上； ④若点的半距点到轴的距离与到轴的距离之和为3，则点到轴的距离与到轴的距离之和为6． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 题型4 坐标与图形综合 【例4-1】在平面直角坐标系中，，，，连接，，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 【例4-2】如图，点的坐标分别是、，如果将线段平移至的位置，与坐标分别是和，那么线段在平移过程中扫过的图形面积为（    ） A．48 B．64 C．72 D．108 利用横纵坐标确定线段长度、图形顶点位置；平移看点坐标变化，求面积多用割补法，避开复杂计算。 【变式训练4-1】如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【变式训练4-2】我们规定：在平面直角坐标系中，任意不重合的两点之间的折线距离为，例如：点与点之间的折线距离为．已知点，若点的坐标为，且，则的值为（    ） A． B．7 C．7或 D．或7 【变式训练4-3】平面直角坐标系中由两点，规定，则称点为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点，，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标有（   ） ①    ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5 实际问题中用坐标表示位置 【例5-1】如图，建立平面直角坐标系标注一幅山西地形图，在地图中标注了几个特殊地点，，，，，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【例5-2】小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是，小圆的半径是，已知小艇在游船的正南方向处，则下列关于位置的描述，正确的是（     ） A．小艇在游船的北偏东，且距游船处 B．小艇在游船的北偏西，且距游船处 C．游船在小艇的正南方向，且距游船处 D．小艇在游船的北偏西，且距游船处 先确定原点与正方向建立平面直角坐标系，找准横向、纵向对应数值，有序数对准确标记点位。 【变式训练5-1】2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 【变式训练5-2】如图，在正方形网格图中，位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式训练5-3】小明和小文相约去游乐园游玩，以下是他们的一段对话，根据两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（    ） A．向北直走，再向西直走 B．向北直走，再向西直走 C．向北直走，再向西直走 D．向南直走，再向西直走 题型6 沿X轴、Y轴平移后的坐标 【例6-1】已知与的和为0，则点向右平移3个单位长度，再向上平移7个单位长度后的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】将点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 左右平移改变横坐标：左减右加；上下平移改变纵坐标：上加下减。 【变式训练6-1】将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 题型7 坐标系中的平移 【例7-1】平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：． 若“和点”按上述规则连续平移12次后，到达点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【例7-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，，三角形沿轴向右平移得到三角形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 左右平移横坐标左减右加，上下平移纵坐标上加下减；图形平移等同于顶点同步平移。 【变式训练7-1】在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，使“少”的坐标为，“年”的坐标为，则“强”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】小明和小亮在玩“你来说，我来猜”的游戏． 小明经过思考给出了正确答案，这个游戏的谜底是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式训练7-3】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，已知点，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型8 坐标系中的动点问题 【例8-1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，轴，且点B的纵坐标为2m，则下列说法正确的是（     ） A．当点B在第三象限时，存在 B．当时，m的值为或 C．无论m取何值，点B不可能在y轴上 D．无论何时，m的值不可能是 【例8-2】在平面直角坐标系中，点，，直线与坐标轴平行，且．两位同学进行探究，小明发现：若，则三角形的面积为4；小丽发现：若，则点B一定在第四象限．请对两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都错误 D．小明、小丽都正确 设运动时间t，用含t的式子写出动点坐标；找准拐点分段讨论，借助距离、面积公式列方程，最后检验是否在有效取值范围。 【变式训练8-1】如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】如图，长方形的顶点坐标分别为，，，，点，同时从点出发，在长方形的边上做环绕运动，点以2个单位长度/秒的速度沿顺时针方向运动，点以1个单位长度/秒的速度沿逆时针方向运动，则点，在运动过程中第次相遇时，相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型9 中点坐标 【例9-1】已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【例9-2】在平面直角坐标系中，点，，，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（    ） A．当时，点是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为1 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 两点(x1​,y1)、(x2​,y2)，中点坐标：()。 已知中点和一个端点，可逆公式求出另一个端点坐标。 【变式训练9-1】在平面直角坐标系中，已知点，点，连接，，则下列结论正确的是（    ） ①点一定在点的左侧； ②的中点坐标为； ③三角形的面积为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练9-2】嘉嘉在平面直角坐标系中设计了一个跳棋游戏，将棋子从点开始，第一次跳到与点关于点对称的点处，第二次跳到与点关于点对称的点处，第三次跳到与点关于点对称的点处，第四次跳到与点关于点对称的点处，第五次跳到与点关于点对称的点处…按此规律跳下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得的中点落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型10 点坐标规律探索 【例10-1】在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的“伴随点”．已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次得到点，，，，，若点的坐标为，则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【例10-2】2026年2月，北京大学研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．如图，搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点O出发，按以下指令移动．指令1：向北移动4米到点A；指令2：右转，向东移动3米到点B；指令3：右转，向南移动2米到点C；指令4：右转，向西移动5米到点D．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点O与点C之间的距离大于3米 D．点D位于点O的北偏东方向 先写出前几组点的坐标，观察横、纵坐标各自变化规律；区分奇偶序号分类讨论，总结通项，再代入验证。 【变式训练10-1】利用平移，人们可以设计出美丽的图案，如图所示的是小明利用甲骨文“山”字在平面直角坐标系中通过平移设计的图案，已知点，点，点，点，点，点，点若继续平移，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A．（10，10） B． C． D． 【变式训练10-3】在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动个单位长度，其坐标为：，，，，，，其行走路线如图所示，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $